17.1勾股定理 5
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第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(一）
历史因你而改变 学习因你而精彩
星期日老师带问领题八年情级境全体学生去牛背梁
风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示
意图得知:牛背梁主峰高约为900米,如图:为了
方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一
条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距
1少2？00米AC,B 90
探究一：等腰直角三角形三边关系
C
图1
A
图2
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
面积) 面积) 面积)
9
9
C A
S正方形c
B C
图1
A
4 1 33 18 2
B
（单位面积）
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
３、学了本节课后我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学 的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化 辉煌历史的教育.
作业
必做题：课本28页第1、2、3题. 选做题：收集有关勾股定理的其它
证明方法，下节课展示、 交流.
这是2002年国际数学家大会会标
cb a
赵爽弦图
,请问缆车路线AB长应为多
看
能同面去 发学反朋
一
现们映友 相 什，直家 传
看
么我角作 两 ？们三客 千
也角，五
来形发百
观三现年
察边朋前
一的友，
下某家一
图种用次
案数砖毕
，量铺达
看关成哥
看系的拉
你，地斯
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
9 16
64 100
z
169
144
①
②
③
X=5
Y=6
Z=5
求下列直角三角形中未知边的长x:
X=15
比 一
X=12
X=13 5
比
看8
17
谁 算
x
x
16
20
x 12
得
又 勾股定理运用二:
快 又
可用勾股定理建立方程.
准
！
课堂反馈
1、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=__1_3__
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b=
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
B
∵ ∠C＝90° ∴ a2 + b2 = c2
ac
Cb
A
例1.星期日老师带领八年级全体学生去牛背梁风景区游
玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:牛背梁山 主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处 向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处
相距1200米A, CB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少?
分析：已知△ABC中，
ACB 90
，
AC=900米，BC=1200米， 求斜边AB的长.
勾股定理的运用一
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c （1） 已知a=1，b=2，求c （2） 已知a=10，c=15，求b
A
bc
C
aB
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
= 5²-2²
C
=21
∴ AB= 21（米） (舍去负值）
B
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
图1-1
图1-2
4 1 431 2
B
C
图3
A
B
图4
25（单位面积） 分割成若干个直角边为
整数的三角形
A a
Bb c
C
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、b，斜边长
为c.猜想:两直角边a、b 与斜边c 之间的关系？
SA+SB=SC
a2+b2=c2
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方.
读一读
( 24 ).
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c.
b=8 c=10
ac
b
小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想.
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cbபைடு நூலகம்
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
A的面 B的面 C的面
积(单位 积(单位 积(单位
面积) 面积) 面积)
C
图1
9
9 18
A B
图1
C A
B 图2
图2
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
4
4
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
8
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究二：
一般的直角三角形
C
三边关系
A
S正方形c
∵
1 2
ab×4+(b-a)²=c²
2ab+（b²-2ab+a²）=c²
∴a²+b²=c²
历史因你而改变 学习因你而精彩
星期日老师带问领题八年情级境全体学生去牛背梁
风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示
意图得知:牛背梁主峰高约为900米,如图:为了
方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一
条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距
1少2？00米AC,B 90
探究一：等腰直角三角形三边关系
C
图1
A
图2
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
面积) 面积) 面积)
9
9
C A
S正方形c
B C
图1
A
4 1 33 18 2
B
（单位面积）
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
３、学了本节课后我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学 的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化 辉煌历史的教育.
作业
必做题：课本28页第1、2、3题. 选做题：收集有关勾股定理的其它
证明方法，下节课展示、 交流.
这是2002年国际数学家大会会标
cb a
赵爽弦图
,请问缆车路线AB长应为多
看
能同面去 发学反朋
一
现们映友 相 什，直家 传
看
么我角作 两 ？们三客 千
也角，五
来形发百
观三现年
察边朋前
一的友，
下某家一
图种用次
案数砖毕
，量铺达
看关成哥
看系的拉
你，地斯
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
9 16
64 100
z
169
144
①
②
③
X=5
Y=6
Z=5
求下列直角三角形中未知边的长x:
X=15
比 一
X=12
X=13 5
比
看8
17
谁 算
x
x
16
20
x 12
得
又 勾股定理运用二:
快 又
可用勾股定理建立方程.
准
！
课堂反馈
1、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=__1_3__
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b=
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
B
∵ ∠C＝90° ∴ a2 + b2 = c2
ac
Cb
A
例1.星期日老师带领八年级全体学生去牛背梁风景区游
玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:牛背梁山 主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处 向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处
相距1200米A, CB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少?
分析：已知△ABC中，
ACB 90
，
AC=900米，BC=1200米， 求斜边AB的长.
勾股定理的运用一
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c （1） 已知a=1，b=2，求c （2） 已知a=10，c=15，求b
A
bc
C
aB
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
= 5²-2²
C
=21
∴ AB= 21（米） (舍去负值）
B
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
图1-1
图1-2
4 1 431 2
B
C
图3
A
B
图4
25（单位面积） 分割成若干个直角边为
整数的三角形
A a
Bb c
C
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、b，斜边长
为c.猜想:两直角边a、b 与斜边c 之间的关系？
SA+SB=SC
a2+b2=c2
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方.
读一读
( 24 ).
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c.
b=8 c=10
ac
b
小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想.
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cbபைடு நூலகம்
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
A的面 B的面 C的面
积(单位 积(单位 积(单位
面积) 面积) 面积)
C
图1
9
9 18
A B
图1
C A
B 图2
图2
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
4
4
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
8
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究二：
一般的直角三角形
C
三边关系
A
S正方形c
∵
1 2
ab×4+(b-a)²=c²
2ab+（b²-2ab+a²）=c²
∴a²+b²=c²