第十二节加乘原理B

合集下载

第十二节加乘原理A

第十二节加乘原理【你知道吗】加法原理：为了完成一件事，有K类方法。

第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第k类方法中有m k种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+m k种不同的方法。

乘法原理：为了完成一件事需要几个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。

特别提醒：注意乘法原理与加法原理的区别：乘法原理中，完成某件事情要分成若干个步骤，且一步接一步地去做才能完成。

而加法原理中，做某件事情可以有若干类方法，每一类方法中的任何一种具体的做法都可以完成这件事情。

【经典例题】例1、从甲地到乙地有4条路可以选择，从乙地到丙地有5条路可以选择，从丙地到丁地有6条路可以选择。

那么从甲地经乙地、丙地到丁地一共有多少种不同的走法？例2、 A、B、C、D、E、F、G表示7个城市，每两个城市之间要修一条不经过其它城市的高速公路，问共需要修几条这样的高速公路？例3、小黄、小谢、小唐、小陈四个人排成一排照相。

（1）如果任意站，共有多少种不同的站法？（2）如果小黄和小谢必须站在两端，共有多少种不同的站法？例4、利用数字0，1，2，3，4共可组成：（1）多少个数字不重复的三位数？（2）多少个数字不重复的三位偶数？例5、如图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种涂料，若使相邻的区域涂不同的颜色，问：有几种不同的涂法？ABDC E【尖子训练营】1、书架上有6本不同的数学书，4本不同的语文书，问：（1）从中任取一种书有多少种不同的取法？（2）数学、语文书各取一本，有多少种不同的取法？2、如下图，甲、乙之间有2条路，乙、丙之间有4条路，甲、丙之间有3条路。

某人从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲乙丙3、学校四年级有3个班，各班分别有男生18人，20人，16人。

加法原理和乘法原理的综合运用ppt课件

书,第3层放有2本不同的体育书.从
书架上任取1本书,有多少种不同的
取法?
Hale Waihona Puke 4+3+2=9（种）
答：有9种不同的取法.
精选PPT课件
2
乘法原理公式：
一般地，如果完成一件事需要几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2中不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1× m2×…× mn种不同的方法。
颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？
分析：按2、3号长方形的涂色情况，可把本题的涂法分为两大类：第一类：3号长方形选与2号相同的颜色。第二类：3号长方形与 2号都不同的颜色。
精选PPT课件
13
第一类根据乘法原理共有不同涂法： 4×3×3=36（种）。第二类根据乘法原理共有不同涂法： 4×3×2×2=48（种）。
精选PPT课件
11
模仿训练2：书架的第一层放有4本不
同的计算机书,第二层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. 从书架的任意两层上各取1本书,有多少种不同的取法?
4×3 + 4×2 + 3×2=26 （种）
答：有26种不同的取法。
精选PPT课件
12
例3：如下图，用红、绿、蓝、黄四种
路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路。则从甲地到丁地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
2×3=6
4×2=8
6+8 =14
丙地
丁地
答：从甲地到丁地共有14种不同的走法。

高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶

第十二讲乘法原理进阶在之前我们学习了 “加法原理与乘法原理” 一讲，即分类相加与分步相乘的思想. 如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数一一这就是乘法原理.要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面两个要求：1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才算做完这件事；2. 步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后.那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？沽你来当服装设讣人师.给小高挑迭帽子、上衣" 棘了、柱了.如采这四件衣物械不可.但只能甸种选 -件'有多少种不同的搭配?如下图，把A、B、C三部分用三种不同的颜色染色，要求相邻两部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法呢？其实，整个染色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块染色：当染色顺序为A-B-C时，那么A有3种染法，B不能和A 一样，有2种染法，同样C 有2种，那么一共就有“ 3 2 2 ”种染法；（C-B-A同理）当染色顺序为B-A-C时，那么B有3种染法，A不能和B 一样，有2种染法，同样C 有2种，那么一共就有“ 3 2 2 ”种染法；（B-C-A同理）当染色顺序为A-C-B时，那么A有3种染法，第二步C没有限制，也有3种染法，但是最后的B就出问题了，我们没法确定它有2种还是1种染法一一如果C和A同色，则B 有2种染法；如果C和A不同色，则B只有1种染法一—此时，根据分步相乘的思想计算整个过程的染色方法“ 3 3 ? ”就不再适用了. （C-A- B 同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以应用乘法原理，要想应用乘法原理，还必须满足第三个要求：3.做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数.如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数发—变化，就不能直接用乘法原理计算—--- 简称“前不影响后原则”染色问题，是应用乘法原理最常见的一类题型，其实，从上面对A、B、C三部分的染色分析我们应该可以发现，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”.例题1如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色.请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？「分析」分五步染色，先染哪一块呢？能否按照A、B、C、D、E的顺序染呢？练习1如图，把A、B、C、D这四部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色.请问: 这幅图共有多少种不同的染色方法？例题2某市实行垃圾分类处理.每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、其它.现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一.(1)要求相邻两个垃圾桶颜色不同，一共有多少种染色方法？(2)要求相邻两个垃圾桶颜色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？「分析」如果我们先染废纸垃圾桶：当它染红色时，回收易拉罐的垃圾桶可以染绿、蓝两种颜色；而当它染绿色(蓝色)时，回收废纸的垃圾桶只能染蓝色(绿色).因此先染废纸垃圾桶时，会影响易拉罐垃圾桶的染色方法数，就不能直接用乘法原理计算了.那么我们应该先给哪个垃圾桶染色呢？练习2麦兜很挑食，只吃带有鱼丸或粗面的搭配.一天它和3位同学来餐厅吃东西, 一开口就要鱼丸粗面，结果老板说没有.这个时候，由于时间太晚，餐厅快打烊了，只能做牛肚河粉，鱼丸油面，猪肉米线和牛肉拉面各一份，请问它们四只猪各点一份，有几种点法？在例题2中，有一个垃圾桶是有特殊要求的一一易拉罐垃圾桶不能染成红色，我们通过尝试可知：如果一开始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就会影响到易拉罐垃圾桶的染色方法数，即不能满足“前不影响后”原则，而如果首先染易拉罐垃圾桶，则不会出现该问题，所以一般而言，如果题目中有些对象是有特殊要求的，那么我们分步分析计算的时候，首先要考虑这些特殊的对象.卡莉娅、墨莫、小高和大头4名同学竞选班委.有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任.(1)有多少种可能的选举结果？(2)如果班长必须由卡莉娅来担任，有多少种可能的选举结果？(3)如果生活委员只能在墨莫和大头之中选，有多少种可能的选举结果？(4)如果学习委员不能由小高担任，有多少种可能的选举结果？「分析」可以按照职位一一确定，第(2)问中，班长只能由卡莉娅来担任，那么先确定哪一个职位的人选呢？其他小问呢？甲、乙、丙、丁、戊5个人竞选班委.有班长、副班长、纪律委员、卫生委员四个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任：请问:(1) 一共有多少种可能的选举结果？( 2)如果副班长只能在甲、丁和戊中选，有多少种可能的选举结果？ ( 3)如果卫生委员不能由乙、丙担任，有多少种可能的选举结果？甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人.其中甲不住A房间，丙只住D房间.请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？「分析」本题中甲和丙有特殊要求，我们应该先考虑甲还是丙呢？练习4甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人.其中甲只住A或B房间，丙只住A、B或C房间.请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？例题5甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，请计算在下列情况下，分别共有多少种不同的安排方案：(1)只有甲能开汽车A，乙不会开汽车B;(2)会开A的只有甲和乙，会开E的只有甲、乙、丙.「分析」第(1)问中，甲和丙两人有特殊要求，我们应该先考虑哪一个人呢？第(2)问中，A和E两车有特殊要求，我们应该先考虑哪辆车呢？接下来我们分析一下“放相同棋子”的问题.如右图，将2枚相同的棋子放入2X2的方格内，每个格子只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共会有几种方法呢？其实，要把两枚相同的棋子放进格子内，只需要选出两个格子即可，然后每个格子里放一枚棋子.一共有两行，所以必定会是每行一枚，所以我们完全可以分行选格子，第行有两种选法，第一行选好后，第二行就只有一种选法了，所以一共有2X1=2 种.例题6右图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？「分析」容易看出，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子, 我们可以把放五枚棋子的过程分成五步：一行一行或一列一列的放.课堂内外四色定理读书的格斯里向他的老师一一著名数学家摩根提出了这个问题，摩根没有能找到解决这个问题的途径.“四色问题”提出以后，最初并没有引起广泛的重视，许多数学家低估了它的难度.就连素以谦虚著称的德国数论专家闵可夫斯基在大学上拓扑课时也说：四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有一流的数学家来解决它.说罢，他拿起粉笔，竟要当堂给学生推导出来，结果没有成功.下一节课他又去试，还是没有成功.过了几个星期，仍无进展.有一天，他刚跨进教室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋.他马上对学生说：“上天在责备我自大，我也无法解决四色问题.”这样，四色问题就成了世界最著名的问题之一. 100多年中, “四色问题”使数学家们深为困扰.没有人能证明它，也没有人推翻它.电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了四色猜想的证明进程.就在1976年6月，哈肯与阿佩尔在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界.作业1.五个座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人选一个座位坐下，其中每个座位只能坐一个人，且萱萱不坐在中间的位置•这五个人有多少种坐法？2.如图，把A、B、C这三部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色•请问，这幅图共有多少种不同的染色方法？3.把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色.这幅图共有多少种不同的染色方法？AL D亠4.甲、乙、丙、丁四个人排成一队，甲不当排头，乙不当排头也不当排尾，共有多少种不同的排法?5.在2 4的方格中放入两枚相同的棋子，要求两枚棋子既不在同一行也不在同一列，共有多少种放法？第十二讲乘法原理进阶1. 例题1答案：96详解：分步，分别给E、B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2、2种染法，所以一共有4 3 2 2 2 96 种染色方法.2. 例题2答案：48; 32详解：(1)从左往右依次染色，分别有3、2、2、2、2种染法，共有3 2 2 2 2 48种染色方法；(2)分步，先染易拉罐垃圾桶，再分别给废纸、塑料、电池、其他这四个垃圾桶染色，五个垃圾桶分别有2、2、2、2、2种染法，所以一共有 2 2 2 2 2 32种染色方法.3. 例题3答案：24; 6; 12; 18详解：(1 )分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有4、3、2种选法，所以共有4 3 2 24种；(2)分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有1、3、2种选法，所以共有1 3 2 6种；(3)分别确定生活委员、学委、班长的人选，分别有2、3、2种选法，所以共有2 3 2 12种；(4)分别确定学委、班长、生活委员的人选，分别有3、3、2种选法，所以共有3 3 2 18种.4. 例题4答案：4详解：分步，分别安排丙、甲、乙、丁，分别有1、2、2、1种选法，所以一共有12 2 14 种选法.5. 例题5答案：18；24详解：(1 )先考虑甲，后考虑乙，再考虑其他三个人，分别有1、3、3、2、1种可能，共有1 3 32 1 18 种；(2)先考虑A，后考虑E，再考虑其他三辆车，分别有2、2、3、2、1种可能，所以共有2 23 2 1 24 种.6. 例题6答案：16详解：一共要选5个格子放棋子，一行一行选，每行1个，而且不能在同一列，从上往下，5行分别有2、2、2、2、1种选法，所以一共有2 2 2 2 1 16种选法.7. 练习1答案：48详解：分步，分别给B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2种染法，所以一共有4 3 2 2 48种染色方法.8. 练习2答案：6详解：先让麦兜点，只有鱼丸油面1种可选，然后让其他3位同学依次点，分别有3、2、1种选法，共分四步，乘法原理，所以共有13 2 1 6中不同的选法.9. 练习3答案：120; 72; 72简答：(1) 5 4 3 2 120 种；(2)先确定副班长，再依次确定其他，共有 3 4 3 2 72种；(3)先确定卫生委员，再依次确定其他，共有 3 4 3 2 72种.10. 练习4答案：8简答：分步，分别安排甲、丙、乙、丁，分别有2、2、2、1种选法，所以一共有2 2 2 1 8种选法.11. 作业1答案：96.简答：可以按照萱萱、小高、墨莫、阿呆、阿瓜的顺序安排座位，有 4 4 3 2 1 96种•安排座位的顺序不唯一.12. 作业2答案：24简答：可以按照A、B、C的顺序染色，4 3 2 24种.染色顺序不唯一.13. 作业3答案：96简答：可以按照A、B、C、D、E的顺序染色，有4 3 2 2 2 96种.染色顺序不唯一.14. 作业4答案：8简答：按照乙、甲、丙、丁的顺序安排，有 2 2 2 1 8种排法.15. 作业5答案：12简答：一行一行选位置，第一行有4个格子可选，即4种选法；第二行还有3个格子可选，即有 3 种选法. 因此有 4 3 12 种不同的放法.。

加乘原理初步课件

在非线性加乘中，加法或乘法的交换律不成立，即a+b不等于b+a和ab不等于ba。
加乘原理的数学表达
加乘原理可以表述为：对于任意两个数a和b，有a+b=b+a和ab=ba。如果一个数学系统满足加乘原理，则该系统中的加法和乘法是可交换的。
03
加乘原理的实例解析
日常生活中的加乘实例
总结词
无处不在，易于理解
详细描述
在日常生活中，加乘原理的应用非常广泛。例如，在购物时，如果一个商品打九折，然后再买三赠一，这就是加乘原理的体现。原本需要购买4个商品才能享受到优惠，但由于打九折和买三赠一的双重优惠，实际上只需要购买3个商品就能获得4个商品的价值，这就是加乘原理的魅力。
科学实验中的加乘实例
总结词
严谨科学，需要验证
01
线性加乘是指两个或多个数相加或相乘时，结果与加法或乘法的顺序无关。例如，2+3=3+2， 2x3=3x2。
02
在线性加乘中，加法或乘法的交换律成立，即a+b=b+a和 ab=ba。
非线性加乘
非线性加乘是指两个或多个数相加或相乘时，结果与加法或乘法的顺序有关。例如，2x3不等于3x2。
加乘原理初步课件
• 加乘原理简介 • 加乘原理的基本概念 • 加乘原理的实例解析 • 加乘原理的推导过程 • 加乘原理的应用策略 • 加乘原理的未来发展
01
加乘原理简介
加乘原理的定义
总结词
加乘原理是一种数学原理，它描述了两个或多个数相乘时，其结果的计算方式。
详细描述
加乘原理是数学中的基本原理之一，它指出两个数相乘时，其结果是它们各自独立相加后再相乘的结果。具体来说，如果a和b是两个数，那么a乘以b等于a 加b后再乘以它们各自的值。

加乘原理公式

加乘原理公式加乘原理是数学中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

在代数、几何、物理等学科中，加乘原理都扮演着重要的角色。

本文将对加乘原理进行详细的介绍，并给出相应的公式和例子，以便读者更好地理解和应用这一概念。

首先，我们来了解一下加乘原理的基本概念。

加乘原理是指，如果一件事情可以分解为若干个步骤完成，那么完成这件事情的总方法数就等于各个步骤完成的方法数的乘积。

换句话说，如果事件A有m种可能，事件B有n种可能，那么事件A和事件B同时发生的总方法数就是m乘以n。

在代数中，加乘原理常常用于计算排列组合的方法数。

例如，如果从n个不同的元素中取出r个元素，那么一共有n(n-1)(n-2)...(n-r+1)种取法，这就是加乘原理的应用。

在几何学中，加乘原理可以用来计算图形的面积或体积，将图形分解为若干个简单的部分，然后分别计算它们的面积或体积，最后将它们相加或相乘，就可以得到整个图形的面积或体积。

除了在代数和几何中的应用外，加乘原理在物理学中也有着重要的作用。

例如，当两个力作用在同一物体上时，它们的合力可以通过加乘原理来计算。

如果两个力的大小分别为F1和F2，方向分别为a和b，那么它们的合力可以表示为F = F1 +F2，方向为a和b的合成。

这就是加乘原理在物理学中的应用之一。

在实际生活中，加乘原理也随处可见。

比如，一件事情可以分解为多个步骤完成，每个步骤又可以有多种选择，最终完成这件事情的总方法数就是各个步骤完成方法数的乘积。

这种思维方式可以帮助我们更好地理解和解决问题，提高我们的计算能力和逻辑思维能力。

总之，加乘原理是数学中一个非常重要的概念，它在代数、几何、物理等学科中都有着广泛的应用。

通过学习加乘原理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高我们的计算能力和逻辑思维能力。

希望本文对读者能有所帮助，谢谢阅读！。

学而思加乘原理初步课件

加乘原理的重要性
加乘原理在数学中的应用
培养逻辑思维
加乘原理是数学中基本运算之一，对于进行各种复杂的计算具有重要的实际意义。
学习加乘原理有助于培养逻辑思维，提高对数学问题的分析和解决能力。
加深对数学概念的理解
通过学习加乘原理，可以更深入地理解数学中的一些基本概念，如代数、函数等。
加乘原理的应用范围
劣势3
加乘原理的应用需要投入时间和精力，需要进行必要的准备和规划。
对加乘原理未来的展望和期待
发展方向1
深入研究加乘原理的理论和实践，探索其应用范围和领域，推动其在更广泛领域的应用和发展。
发展方向2
加强加乘原理与其他理论或技术的结合，形成新的理论或技术体系，为解决复杂问题提供更多有效的工具和方法。
到一个整体，这个整体的效果大于各个部分的效果之和。
总结2
02
加乘原理可以应用于各种领域，如数学、物理、化学等，以及
商业、管理、教育等方面。
总结3
03
加乘原理是一种思维方式和工具，可以帮助人们更好地理解和
解决复杂问题，提高效率和效果。
分析加乘原理的优势和劣势
优势1
加乘原理可以帮助人们更好地认识事物的本质和规律，从而更好地进行决策和行动。
和融合，能够产生新的工作思路和方法，从而更好地完成工作任务。
03
职业规划与发展
加乘原理可以帮助我们更好地规划职业发展，通过将不同的职业领域进
行关联和整合，能够更好地了解职业发展趋势和机会。
生活上的应用
提高生活质量
加乘原理可以帮助我们更好地管理生活，通过将不同的生活领域进行优化和整合，能够提高生活质量。
案例二：力量的加乘
总结词

加乘原理口诀范文

加乘原理口诀范文加乘原理是数学中一个重要的计数原理，它在概率论、组合数学以及统计学中都有广泛的应用。

为了帮助记忆加乘原理，我给出以下的口诀：加乘原理应牢记，计数得术法之基。

加之后乘法来辅，各种任务皆能驱。

这个口诀以“加乘原理”为主要内容，旨在帮助记忆加法法则和乘法法则的应用。

下面我将详细介绍加法法则和乘法法则的应用以及与口诀相符的记忆方法。

一、加法法则（准则）：加法法则是计算多种情况下的总数的方法。

当我们需要计算总数时，可以将问题分解成几个不相交的情况，并求出每个情况的个数，然后将这些个数相加即可。

例如，假设一个班级有5名男生和7名女生，我们想知道这个班级中学生的总数。

根据加法法则，我们只需要将男生的数量和女生的数量相加即可：5+7=12、这个口诀中的“加之后”就是指的这个步骤。

二、乘法法则（准则）：乘法法则是计算多种情况下的总数的方法。

当我们需要计算总数时，可以将问题分解成几个步骤，每个步骤都有多个选项，然后将每个步骤的选项数相乘即可。

例如，假设在上述班级中，男生中有3人在参加篮球训练，女生中有4人在参加乒乓球训练。

我们想知道参加篮球训练或乒乓球训练的学生总数。

根据乘法法则，我们需要将男生参加篮球训练的数量和女生参加乒乓球训练的数量相乘：3*4=12、这个口诀中的“乘法来辅”就是指的这个步骤。

除了上述加法法则和乘法法则的基本应用外，加乘原理还有一些其他的应用，如排列组合、选择问题、树状图问题等。

这些应用也可以通过加法法则和乘法法则来解决。

为了更好地记忆加乘原理，我们可以使用以下的记忆方法：1.关键词记忆法：将关键的词语和口诀进行关联，以帮助记忆。

比如，“加乘原理”和“计数得术法之基”是关联的，这样可以提醒我们计数的基本原理。

2.形象记忆法：3.创造问题练习法：通过创造问题并尝试解决，加深对加乘原理的理解。

可以从日常生活中的情景中创造问题，然后运用加法法则和乘法法则来解决。

这样可以增加对加乘原理的理解和记忆。

加乘原理详解——从概念到应用的全面解析

第 4 讲加乘原理（2）一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互．不．影．响．的独．立．步．骤．来完成，这几步是完成这件任务缺．一．不．可．的．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．1、五面五种颜色的小旗，任意取出几面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】分 5 种情况：⑴取出一面，有 5 种信号；⑵取出两面：可以表示5⨯ 4 = 20 种信号；⑶取出三面：可以表示：5⨯ 4 ⨯ 3 = 60 种信号；（4）取出四面：可以表示：5⨯ 4⨯ 3⨯ 2 =120 种信号；（4）取出五面：可以表示：5⨯ 4⨯ 3⨯ 2⨯1 =120 种信号；由加法原理，一共可以表示： 5 + 20 + 60 +120 +120 = 325 种信号．2、五种颜色不同的信号旗，各有5 面，任意取出四面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】每一个位置都有 5 种颜色可选，所以共有5⨯ 5⨯ 5⨯ 5 = 625 种3、由数字4，5，7，8 可以组成多少个没有重复数字的奇数？【解析】2+6+12+12=324、由数字0，1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的偶数？解答：3+13+52+156+312+312=8485、有5 张卡，分别写有数字2，3，4，5，6．如果允许6 可以作9 用，那么从中任意取出3 张卡片，并排放在一起．问（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个不同的三位偶数？（1）96有6 4×3×3=36有9 4×3×3=36无69 4×3×2=24（2）48有6 在末尾4×3×1=12有6 不在末尾3×2×2=12有9 3×2×2=12无69 3×2×2=126、妈妈买了7 件不同的礼物，要送给亲朋好友的 4 个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么，妈妈送出这4 件礼物共有种方法．【解析】若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外2 个孩子在剩余5 件礼物中任选2 件，有5⨯ 4 = 60 种方法；若将遥控车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有20 种方法；若遥控车既不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有20 种方法．所以共有60 种方法．7、某件工作需要钳工 2 人和电工2 人共同完成．现有钳工 3 人、电工 3 人，另有 1 人钳工、电工都会．从7 人中挑选 4 人完成这项工作，共有多少种方法？（6 级）【解析】分两类情况讨论：⑴都会的这 1 人被挑选中，则有：①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3 种方法，再选 2 名电工也有 3 种方法；所以有3⨯ 3 = 9 种方法；②同样，这人做电工，也有9 种方法．⑵都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3种方法，一共有3⨯ 3 = 9 种方法．所以，根据加法原理，一共有9 + 9 + 9 = 27 种方法．8、玩具厂生产一种玩具棒，共4 节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产种颜色不同的玩具棒．【解析】每节有3 种涂法，共有涂法3⨯ 3⨯ 3⨯ 3 = 81 (种)．但上述81 种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有3⨯ 3⨯1⨯1 = 9 (种)．故玩具棒最多有(81+ 9) ÷ 2 = 45 种不同的颜色．9、从 6 名运动员中选出4 人参加4 ⨯100 接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒【解析】⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5 种选择，第四棒有4 种选择，剩下的四人中随意选择2 个人跑第二、第三棒，有4 ⨯3=12 种，由乘法原理，共有：5⨯4⨯12 =240 种参赛方案⑵先不考虑甲乙的特殊要求，从 6 名队员中随意选择 4 人参赛，有6⨯ 5⨯ 4⨯ 3 = 360 种选择.考虑若甲跑第一棒，其余5 人随意选择3 人参赛，对应5⨯4⨯ 3 = 60 种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应5⨯ 4 ⨯ 3 = 60 种选择，但是从360 种中减去两个60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的4 ⨯ 3 = 12种方案，所以，一共有360 - 60⨯ 2 +12 = 252 种不同参赛方案．10、七位数的各位数字之和为60 ，这样的七位数一共有多少个？【解析】七位数数字之和最多可以为9 ⨯ 7 = 63．63 - 60 = 3 ．七位数的可能数字组合为：①9，9，9，9，9，9，6．第一种情况只需要确定 6 的位置即可．所以有 6 种情况．②9，9，9，9，9，8，7．第二种情况只需要确定8 和7 的位置，数字即确定．8 有7 个位置，7 有 6 个位置．所以第二种情况可以组成的7 位数有7 ⨯ 6 = 42 个．③9，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3 个8 的位置确定即7 位数也确定．三个8 的位置放置共有7 ⨯ 6⨯ 5 = 210 种．三个相同的8 放置会产生3⨯ 2 ⨯1 = 6 种重复的放置方式．所以 3 个8 和 4 个9 组成的不同的七位数共有210 ÷ 6 = 35 种．所以数字和为60 的七位数共有35 + 42 + 7 = 84 ．11、从1到2006这2006个数中,共有多少个数与四位数8765相加时,至少发生一次进位？【解析】1887。

小升初数学加法乘法原理和几何计数知识总结

小升初数学加法乘法原理和几何计数知识总结加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2……+mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2……×mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点;没有长度。

①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数加法原理经典例题：例题1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法?分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4+3+2=9(种)不同走法。

例2、旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号?分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。

第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种;第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。

小学奥数四年级加乘原理

小学奥数四年级加乘原理work Information Technology Company.2020YEAR第一讲加乘原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法。

那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。

核心：分布相乘、分步相加例题1：（1）从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。

那么从天津到上海共有多少种不同的走法？（2）请观察下面的树状图，请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条？练习1：（1）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？（2）下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过，问家中最多有多少种走法？例题2：泡泡有许多套服装，帽子数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有运动鞋6双，早晨要从几种服装中各取一个搭配，问：有多少种搭配？练习2：书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任取外语、语文、数学书各一本，有多少种不同的取法？例题3：由数字1、2、3、4、 5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的三位数？百位为7的没有重复数字的三位数？练习3：利用数字1，2，3，4，5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？⑶多少个数字不重复的偶数？例题4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，一共有多少种不同的安排方式？如果会驾驶汽车A的只有甲和乙，一共有多少种安排方式？练习4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案？例题5：用5种颜色给如图4块区域染色，要求每块区域涂一种颜色，要使相邻区域不是同一种颜色，那么有多少种不同的染色方式？练习5：用5种颜色给如图图形染色，要求每块区域染一种颜色，要使相邻区域不是同一种颜色，有多少种染色方式？作业：1、小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称几种不同重量的物体（2、要求砝码只放在一个托盘中）。

小升初数学加法乘法原理和几何计数知识点

小升初数学加法乘法原理和几何计数知识点
2019小升初数学加法乘法原理和几何计数知识
点
小升初数学考试复习知识点众多，要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。

下面为大家分享小升初数学加法乘法原理和几何计数知识点，欢迎阅读参考！
加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2…… +mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有
m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2…… ×mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

加乘原理与容斥原理

专题五（1）加乘原理一、加乘原理1 、加法原理：为了完成一件事，有几类方法。

第一类方法中有法，第二类m1 种不同的方方法中有m2种不同的方法…….第n类方法中有m n种不同的方法。

那么，完成这件事共有：N m i m2 m n种不同的方法。

2、乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。

做第一步有m i种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ....... 做第n步有mi n种不同的方法。

那么，完成这件事共有：N m1 m2 m n 种不同的方法。

二、应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．4）加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．5）乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影．响．．．的独．立．步．骤．来完成，这几步是完成这件任务缺一．不．可．的．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关” 例题1、如下图，从甲地到乙地有2 条路，从乙地到丙地有4 条路，从甲地到丁地有3 条路可走，从丁地到丙地也有3 条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？例题2、有一个三层书架，第一层放了15本书，第二层放了10 本漫画书，第三层放了5 本科普书，并且这些书各不相同，请问：1）如果从所有的书中任取1 本，共有多少种不同的取法？2）如果从每一层中各取一本，共有多少种不同的取法？3）如果从中取2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？例题2、运动会中有4 个跑步的比赛项目，分别为50 米、100米、200 米、400 米，规定每个参赛只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：1）如果每名同学都可以任意报这4 个项目，一共有多少种报名方法？2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？例题4、用数字0，1，2，3，4 可以组成多少个小于1000的自然数？例题5、用0，1，2，3 四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？例题6、如右图，有A、B、C、D、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？1、王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？（级）2、如果从3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？3、四张卡片上写有2、4、7、8，从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数，请问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位奇数? 4、由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数?5、地图上有 A, B ，C ，D 四个国家（如下图），现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法?6、用4种不同的颜色给下图涂色，使相邻的长方形颜色不同，有多少种不同的种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

加乘原理ppt课件

6. 所以，加乘原理公式得证。
04
加乘原理实例分析
自然数幂运算的加乘原理体现
总结词
幂运算的加乘原理是自然数幂运算中的重要规律。
详细描述
在自然数幂运算中，对于任意正整数n，都有(a^n) * (b^n) = (a * b)^n，这就是幂运算的加乘原理。它表明当两个数相乘时，可以将它们的幂次相加，从而得到它们乘积的幂次。
加乘原理的数学证明
数学证明过程
1. 定义加乘原理公式为P。
2. 根据加乘原理公式的定义，有P = (a+b)(c+d) 。
加乘原理的数学证明
01
02
03
04
3. 根据乘法分配律，有P = ac+ad+bc+bd。
4. 根据加法的结合律和乘法的交换律，有P = a(c+d) +
b(c+d)。
5. 根据乘法的分配律，有P = (a+b)(c+d)。
02
对数的性质
对数的性质包括换底公式和log(a*b)=log(a)+log(b)等。换底公式是指
log_b(a)=log_c(a)/log_c(b)，其中c可以是任意正实数。
03
对数的应用
对数在金融、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。例如，在
金融学中，经常使用对数来描述股票价格的变化；在统计学中，对数可
加乘原理课件
目录
• 加乘原理概述 • 加乘原理基础 • 加乘原理公式及推导 • 加乘原理实例分析 • 加乘原理在生活中的应用 • 加乘原理的深入研究和探讨
01
加乘原理概述
加乘原理定义
01
加乘原理是指在进行数据分析时，将多个维度的数据按照不同的权重进行相乘，以得到一个新的数据表示。

加法乘法原理

加法乘法原理加法乘法原理是数学中的基本原理之一，它们在解决组合问题和计数问题时起着至关重要的作用。

加法乘法原理可以帮助我们更好地理解和解决各种计数问题，从而提高我们的数学思维能力和解决问题的能力。

首先，让我们来看一下加法原理。

加法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的总数就是这些子事件的数量之和。

换句话说，如果事件A有m种可能发生的方式，事件B有n种可能发生的方式，那么事件A和事件B一共有m+n种可能发生的方式。

举个简单的例子来说明加法原理，假设小明有一件红色的衣服和一件蓝色的衣服，他还有一条黑色的裤子和一条白色的裤子。

那么小明今天可以选择穿红衣配黑裤、红衣配白裤、蓝衣配黑裤、蓝衣配白裤这四种搭配方式。

这里红衣和蓝衣的搭配方式分别有两种，黑裤和白裤的搭配方式分别有两种，根据加法原理，总的搭配方式就是2+2=4种。

接下来，让我们来了解一下乘法原理。

乘法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的总数就是这些子事件的数量之积。

换句话说，如果事件A有m种可能发生的方式，事件B有n种可能发生的方式，那么事件A和事件B一共有mn种可能发生的方式。

举个例子来说明乘法原理，假设小明有一件红色的衣服和一件蓝色的衣服，他还有一条黑色的裤子和一条白色的裤子。

如果他今天要穿衣服并且穿裤子，那么他一共有22=4种穿衣服和穿裤子的搭配方式。

即红衣配黑裤、红衣配白裤、蓝衣配黑裤、蓝衣配白裤这四种搭配方式。

在实际生活中，加法乘法原理经常被应用于各种排列组合问题。

比如，排队买票、选课、组队比赛等各种场合都可以用到加法乘法原理。

掌握了加法乘法原理，我们就能更加灵活地解决各种排列组合问题，提高解决问题的效率和准确性。

总之，加法乘法原理是数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和解决各种排列组合问题。

通过掌握加法乘法原理，我们可以提高自己的数学思维能力和解决问题的能力，让我们在生活和学习中更加得心应手。

乘法定理加法定理

乘法定理加法定理
乘法定理和加法定理是初中数学中的两个重要概念。

乘法定理是指：在两个或多个事件相互独立的情况下，它们同时发生的概率等于各事件发生概率的乘积。

即 P(A∩B)=P(A)×P(B)。

例如，投掷两枚骰子时，第一枚骰子出现任何一个点数的概率是1/6，第二枚骰子也是如此。

那么两枚骰子同时出现任意两个点数的概率是多少？根据乘法原理，可以得到答案为1/6×1/6=1/36。

加法定理是指：当两个或多个事件不可能同时发生时，这些事件中至少有一个发生的概率等于各事件发生概率之和。

即 P(A∪
B)=P(A)+P(B)。

例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，它既不是黑桃也不是红桃的概率是多少？由于黑桃和红桃是两个互不相交的事件，因此根据加法原理，可以得到答案为P(黑桃的补集∪红桃的补集)=P(方块∪梅花)=P(方块)+P(梅花)=1/4+1/4=1/2。

人教版四年级数学上册【课本】四年级上第12讲_乘法原理进阶

第十二讲乘法原理进阶在之前我们学习了“加法原理与乘法原理”一讲，即分类相加与分步相乘的思想．如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数——这就是乘法原理．要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面两个要求：1.2.那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？如下图，把A、B、C三部分用三种不同的颜色染色，要求相邻两部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法呢？A B C其实，整个染色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块染色：当染色顺序为A→B→C时，那么A有3种染法，B不能和A一样，有2种染法，同样C有2种，那么一共就有“322⨯⨯”种染法；（C→B→A同理）当染色顺序为B→A→C时，那么B有3种染法，A不能和B一样，有2种染法，同样C有2种，那么一共就有“322⨯⨯”种染法；（B→C→A同理）当染色顺序为A→C→B时，那么A有3种染法，第二步C没有限制，也有3种染法，但是最后的B就出问题了，我们没法确定它有2种还是1种染法——如果C和A同色，则B有2种染法；如果C和A不同色，则B只有1种染法——此时，根据分步相乘的思想计算整个过程的染色方法“33?⨯⨯”就不再适用了．（C→A→B同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以应用乘法原理，要想应用乘法原理，还必须满足第三个要求：3.——简称“前不影响后．．．．．原则”染色问题，是应用乘法原理最常见的一类题型，其实，从上面对A、B、C 三部分的染色分析我们应该可以发现，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”．例题1如图，把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？「分析」分五步染色，先染哪一块呢？能否按照A 、B 、C 、D 、E 的顺序染呢？练习1如图，把A 、B 、C 、D 这四部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？例题2某市实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、其它．现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一．（1）要求相邻两个垃圾桶颜色不同，一共有多少种染色方法？（2）要求相邻两个垃圾桶颜色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？「分析」如果我们先染废纸垃圾桶：当它染红色时，回收易拉罐的垃圾桶可以染绿、蓝两种颜色；而当它染绿色（蓝色）时，回收废纸的垃圾桶只能染蓝色（绿色）．因此先染废纸垃圾桶时，会影响易拉罐垃圾桶的染色方法数，就不能直接用乘法原理计算了．那么我们应该先给哪个垃圾桶染色呢？练习2麦兜很挑食，只吃带有鱼丸或粗面的搭配．一天它和3位同学来餐厅吃东西，一开口就要鱼丸粗面，结果老板说没有．这个时候，由于时间太晚，餐厅快打烊了，只能做牛肚河粉，鱼丸油面，猪肉米线和牛肉拉面各一份，请问它们四只猪各点一份，有几种点法？在例题2中，有一个垃圾桶是有特殊要求的——易拉罐垃圾桶不能染成红色，我们通过尝试可知：如果一开始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就会影响到易拉罐垃圾桶的染色方法数，即不能满足“前不影响后”原则，而如果首先染易拉罐垃圾桶，则不会出现该问题，所以一般而言，如果题目中有些对象是有特殊要求的，那么我们分步．．分析计算的时候，首先要考虑这些特殊的对象．例题3卡莉娅、墨莫、小高和大头4名同学竞选班委．有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任．（1）有多少种可能的选举结果？（2）如果班长必须由卡莉娅来担任，有多少种可能的选举结果？（3）如果生活委员只能在墨莫和大头之中选，有多少种可能的选举结果？（4）如果学习委员不能由小高担任，有多少种可能的选举结果？「分析」可以按照职位一一确定，第（2）问中，班长只能由卡莉娅来担任，那么先确定哪一个职位的人选呢？其他小问呢？练习3甲、乙、丙、丁、戊5个人竞选班委．有班长、副班长、纪律委员、卫生委员四个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任：请问：（1）一共有多少种可能的选举结果？（2）如果副班长只能在甲、丁和戊中选，有多少种可能的选举结果？（3）如果卫生委员不能由乙、丙担任，有多少种可能的选举结果？例题4甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人．其中甲不住A房间，丙只住D房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？「分析」本题中甲和丙有特殊要求，我们应该先考虑甲还是丙呢？练习4甲、乙、丙、丁四个人要住进A 、B 、C 、D 四间房间，每个房间住一个人．其中甲只住A 或B 房间，丙只住A 、B 或C 房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？例题5甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A 、B 、C 、D 、E 这五辆不同型号的汽车，请计算在下列情况下，分别共有多少种不同的安排方案：（1）只有甲能开汽车A ，乙不会开汽车B ；（2）会开A 的只有甲和乙，会开E 的只有甲、乙、丙．「分析」第（1）问中，甲和丙两人有特殊要求，我们应该先考虑哪一个人呢？第（2）问中，A 和E 两车有特殊要求，我们应该先考虑哪辆车呢?接下来我们分析一下“放相同棋子”的问题．如右图，将2枚相同的棋子放入2×2的方格内，每个格子只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共会有几种方法呢？其实，要把两枚相同的棋子放进格子内，只需要选出两个格子即可，然后每个格子里放一枚棋子．一共有两行，所以必定会是每行一枚，所以我们完全可以分行选格子，第一行有两种选法，第一行选好后，第二行就只有一种选法了，所以一共有2×1=2种．例题6右图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？「分析」容易看出，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子，我们可以把放五枚棋子的过程分成五步：一行一行或一列一列的放．课堂内外四色定理四色定理与费马大定理、哥德巴赫猜想并称为近代数学三大难题．四色定理的内容是：对于任何一张地图，只用四种颜色，就可以把有相邻边界的国家染上不同的颜色．四色问题的提出来自英国．1852年，在大学读书的格斯里向他的老师——著名数学家摩根提出了这个问题，摩根没有能找到解决这个问题的途径．“四色问题”提出以后，最初并没有引起广泛的重视，许多数学家低估了它的难度．就连素以谦虚著称的德国数论专家闵可夫斯基在大学上拓扑课时也说：四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有一流的数学家来解决它．说罢，他拿起粉笔，竟要当堂给学生推导出来，结果没有成功．下一节课他又去试，还是没有成功．过了几个星期，仍无进展．有一天，他刚跨进教室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋．他马上对学生说：“上天在责备我自大，我也无法解决四色问题．”这样，四色问题就成了世界最著名的问题之一．l00多年中，“四色问题”使数学家们深为困扰．没有人能证明它，也没有人推翻它．电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了四色猜想的证明进程．就在1976年6月，哈肯与阿佩尔在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界．作业1. 五个座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人选一个座位坐下，其中每个座位只能坐一个人，且萱萱不坐在中间的位置．这五个人有多少种坐法？2. 如图，把A 、B 、C 这三部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问，这幅图共有多少种不同的染色方法？3. 把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．这幅图共有多少种不同的染色方法？4. 甲、乙、丙、丁四个人排成一队，甲不当排头，乙不当排头也不当排尾，共有多少种不同的排法？5. 在的方格中放入两枚相同的棋子，要求两枚棋子既不在同一行也不在同一列，共有多少种放法？24 ABCD E。

小学奥数-加乘原理

特殊位置优先考虑（一）
例题：
运动会上，甲乙丙丁 4 名运动员组队参加 4 × 100 米接力赛，甲必须跑第一棒，一共有多少种不同的跑法？
第1棒
第2棒
第3棒
第4棒
甲
乙、丙、丁
第2棒选定1人后
第2、3棒选定后
三人选其一
还剩两人选其一
只剩下1人
1
3
2
1
题目解析：
第一棒已固定为甲，所以第一步的选择种类为1，第2棒的运动员人选可能是乙、丙、丁3人种一人，所以
加乘原理
加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法......,第 k 类方法中有mk 种不同做法，则完成这件事共有 m1+m2+......+mk种不同方法。
艾迪要从 3 件不同的外套和 5 条不同的裤子中各选一件穿好出门，他有多少种不同的搭配方法。
乘法原理解题三部曲
1、完加成法一原件理事解分题n 三个部必曲要步骤；
2、步1步、相完关成（一每件步事都分不k 能类单情独况完成该件事）
3、步2步、相类乘类独立（每类都能单独完成该
件事）
解题思路
第二步：看看另外两类，饮料和小吃不想和中午重复，说明晚饭时，这两种食3物、的类种类类相选加择要各比中午少一种。
乘法原理：一般地，如果完成一件事可以分成 n 个必要步骤，第一步有m1种，第二步有m2种......,第 n 步有 mn 种，那么完成这件事情一共有 m1×m2×......×mn 种不同的方法。
1
加乘原理初步知识（一）
例题：
艾迪去吃午饭，发现附近有中餐厅 9 个，西餐厅 5 个，快餐厅 3 个，他准备去其中一家餐厅吃饭，共有多少种不同的选择？