(理数试题)2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

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(文数答案)2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBCBACBA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分.11.0 12.[0,1] 13.35,10 14.26 15．2三、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)解：)43tan()9(πππ+=f ………………………………1分 4tan3tan 14tan3tan ππππ-+=………………………………3分 323113--=-+=………………………………4分(2)解法1：因为)443tan()43(ππαπα++=+f …………………………5分)tan(πα+= …………………………6分 2tan ==α …………………………7分所以2cos sin =αα，即ααcos 2sin = ①因为1cos sin 22=+αα， ②由①、②解得51cos2=α， ………………………9分所以1cos 22cos 2-=αα ……………………11分 531512-=-⨯= …………………………12分解法2：因为)443tan()43(ππαπα++=+f ……………5分)tan(πα+= …………6分.2tan ==α ……………7分所以ααα22sincos 2cos -= ……………………9分 αααα2222sin cos sin cos +-= ……………………10分 αα22tan 1tan 1+-=………………………11分 534141-=+-=……………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1．…………………1分解得a=0.03． ………………………2分(2)解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85．………………………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为 640×0.85=544人. ……………………………………5分 (3)解：成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A ，B ．………6分成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C ，D ，E ，F ．……7分若从数学成绩在[40,50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A ，E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D), (C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E ，F)共15种． …………………9分如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(A ，B),(C ，D),(C ，E),(C,F),(D,E),(D ，F),(E,F)共7种，……………………11分所以所求概率为157)(=M P …………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC=AC ，⊂PD 平面PAC ，PD ⊥AC ，所以PD ⊥平面ABC ． …………………………2分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB=BC ，所以BE ⊥AC.因为6==BC AB，AC=4，所以22CE BC BE -=22)6(22=-= ………………………4分所以△ABC 的面积2221=⨯⨯=∆BE AC S ABC …………………5分因为PD=2，所以三棱锥P-ABC 的体积⨯=-31ABC P V =⨯∆PD S ABC 32422231=⨯⨯………7分 (2)证法1：因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形.因为PD=2，CD=3,所以22CD PD PC+=2232+=13= ……………………………9分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为∠BED=900，2=BE ，DE=1，所以22DE BE BD +=31)2(22=+=. …………10分由(1)知PD ⊥平面ABC ，又⊂BD 平面ABC ，所以PD ⊥BD.在Rt △PBD 中，因为2,90==∠PD PDB，3=BD ，所以22BD PD PB+=7)3(222=+= ………………… 12分在△PBC 中，因为13,7,6===PC PB BC . 所以BC 2+PB 2=PC 2． ………………13分所以△PBC 为直角三角形． ……………14分证法2：连接BD ，在Rt △BDE 中，因为oBED 90=∠，2=BE ，DE=1,所以22DE BE BD +=31)2(22=+=． …………8分在△BCD 中，CD=3，3,6==BD BC ，所以BC 2+BD 2=CD 2，所以BC ⊥BD ．………………10分由(1)知PD ⊥平面ABC ，因为⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥PD ．因为BD ∩PD=D ，所以BC ⊥平面PBD ． ………………………12分因为⊂PB 平面PBD ，所以BC ⊥PB ．所以△PBC 为直角三角形． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） (1)解：因为数列}{n a 是等差数列，所以a n =a 1+(n-1)d ，d n n na S n 2)1(1-+=. ……………………………1分依题意，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222275,70a a a S 即⎩⎨⎧++=+=+)21)(()6(,7010511211d a d a d a d a ……………………3分解得a 1=6，d=4． ……………………5分所以数列{a n }的通项公式为*)(24N n n a n ∈+= ……………6分 (2)证明：由(1)可得S n =2n 2+4n ………………………7分所以n n S n 42112+=)211(41)2(21+-=+=n n n n …………………………8分所以nn n S S S S S T 111111321+++++=- +-+-+-=)5131(41)4121(41)311(41)211(41)1111(41+-++--+n n n n ……9分 )2111211(41+-+-+=n n )2111(4183+++-=n n ………10分因为0)2111(4183<+++-=-n n T n，所以83<n T ……………11分因为0)3111(411>+-+=-+n n T T nn ，所以数列}{n T 是递增数列. ………12分所以611=≥T T n ………………13分所以8361<≤n T …………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)解：因为b ax x x f ++-=23)(，所以ax x x f 23)('2+-=)32(3ax x --= ……1分当a=0时，f'(x)≤0，函数f(x)没有单调递增区间； …………………………2分当a>0时，令f'(x)>0，得320a x <<. 故f(x)的单调递增区间为)32,0(a ； ………………………3分当a<0时，令f'(x)>0，得032<<x a.故f(x)的单调递增区间为)0,32(a ……………4分综上所述，当a=0时，函数f(x)没有单调递增区间；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为)32,0(a ；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为)0,32(a . ……………5分 (2)解：由(1)知，]4,3[∈a 时，f(x)的单调递增区间为)32,0(a ，单调递减区间为(-∞，0)和),32(+∞a …………6分所以函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=b ， ……………………7分函数f(x)在32ax =处取得极大值b a a f +=274)32(3 ……………8分由于对任意]4,3[∈a ，函数f(x)在R 上都有三个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧><0)32(,0)0(a f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>+<0274,03b a b ………10分解得02743<<-b a ……11分因为对任意]4,3[∈a ，2743a b ->恒成立，所以=->max 3)274(a b 427343-=⨯- ……13分所以实数b 的取值范围是(-4，0). …………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解：依题意可得A(-1，0)，B(1，0)． ………1分设双曲线C 的方程为)0(1222>=-b by x ，因为双曲线的离心率为5，所以5112=+b ，即b=2．所以双曲线C 的方程为1422=-y x ……………3分(2)证法1：设点),(11y x P 、)2,1,0,0)(,(22=>>i y x y x T i i ，直线AP 的斜率为k （k>0），则直线AP 的方程为y=k(x+1)， …………4分联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=.14),1(22y x x k y …………5分整理，得042)4(2222=-+++k x k x k ，解得x=-1或2244k k x +-=．所以22244k k x +-= …………6分同理可得，22144k k x -+= ……………7分所以121=⋅x x …………8分证法2：设点),(11y x P 、)2,1,0,0)(,(22=>>i y x y x T i i ，则111+=x y k AP ，122+=x yk AT …………………4分因为k AP =k AT ，所以111221+=+x y x y ，即22222121)1()1(+=+x y x y ………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以142121=-y x ，142222=+y x . 即)1(42121-=x y ，)1(42222x y -= ……………6分所以22222121)1()1(4)1()1(4+-=+-x x x x ，即12111211+-=+-x x x x …………………7分所以121=⋅x x …………………8分证法3：设点P （x 1，y 1），直线AP 的方程为)1(111++=x x y y ………………………4分联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=.14),1(12211y x x x y y ………………………5分整理，得x y x y x 21221212])1(4[+++0)1(42121=+-+x y ，解得x=-1或21212121)1(4)1(4y x y x x ++-+= ………………………6分将442121-=x y 代入21212121)1(4)1(4y x y x x ++-+=，得11x x =．即121x x =. 所以121=⋅x x …………………8分 (3)解：设点),(11y x P 、)2,1,0,0)(,(22=>>i y x y x T i i ，则),1(11y x PA ---=，),1(11y x PB --=. 因为15≤⋅PB PA ，所以15)1)(1(2111≤+---y x x ，即162121≤+y x ………9分因为点P 在双曲线上，则142121=-y x ，所以16442121≤-+x x ，即421≤x . 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以211≤<x …………………10分因为||||21221y y AB S ==，==||||2112y OB S 121y ，所以2122222141y y S S -=-)44(22x -=22212145)1(x x x --=-- ………11分由(2)知，121=⋅x x ，即121x x =. 设21x t =，则1<t ≤4，52221=-S S t t 4--. 设t t t f 45)(--=，则241)('tt f +-=2)2)(2(t t t +-=，当1<t<2时，f'(t)>0，当2<t ≤4，f'(t)<0，所以函数f(t)在(1，2)上单调递增，在（2,4]上单调递减．因为f(2)=1，f(1)=f(4)=0，所以当t=4，即x 1=2时，0)4()(min 2221==-f S S ……………………12分当t=2,即21=x 时，1)2()(max2221==-f S S ………………13分所以2221S S -的取值范围为[0，1]. ………………………………………14分说明：由)4(522212221x x S S +-=-14521=-≤x x ，得1)(max 2221=-S S ，给1分．。

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集{1,2,3,4,5,6,7},{1,2,3,4,5},{3,4,5,6,7},U P Q === ()U P C Q 则=（）A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,6,7}D ．{1,2,3,4,5} 2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是（）x 50<<x105<≤x1510<≤x2015≤≤xy2345A ．]5,2[B ．}5,4,3,2{C ．]20,0(D ．N3. 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（）.A ．（－1，0） B ．（1e，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 4. 已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则2a = （）A ．－2B. －3C ． 2D ． 35. 平面向量|2|,1||),0,2(,120b a b a b a +==︒则的夹角为与=（）A ．4B ．3C ．2D ．36. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A ．1)37()3(22=-+-y x B ． 1)1()2(22=-+-y xC.1)3()1(22=-+-y x D. 1)1()23(22=-+-y x7.设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则122011x x x ⋅⋅⋅ 的值为（）A.12010 B. 20092010 C. 12012 D. 201020118. 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A. 18 B .116C. 127D. 27649. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A ．9π B ．10πC ．11πD ．12π10. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有俯视图正(主)视图侧(左)视图2 32 2y xO6π 2 512π min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2012广州一模试题及答案(理综)WORD版-推荐下载

C．姬小蜂引进本地后其种群增长曲线呈“J”型 D．引进本地的姬小蜂会与椰心叶甲共同进化 6．以下说法不正确的是 A．用含蛋白酶和脂肪酶的洗衣粉去除奶渍效果更好 B．用以纤维素为唯一碳源的培养基来分离纤维素分解菌 C．在植物组织培养过程中改变培养条件容易获得突变体 D．基因工程和蛋白质工程只能生产自然界已存在的蛋白质 7．下列说法正确的是
A．甲烷和乙醇均能发生取代反应 B．苯酚和甲苯遇 FeCl3 均显紫色 C．溴乙烷与 NaOH 水溶液共热生成乙烯 D．油脂和淀粉都是高分子化合物 8．下列说法正确的是 A．Fe 在一定条件下与水反应生成 H2 和 Fe(OH)3 B．Fe3O4 溶于盐酸后加入几滴 KSCN 溶液，溶液显红色 C．FeCl2 溶液蒸干灼烧后得到 FeCl2 固体 D．FeCl3 饱和溶液滴入 NaOH 溶液中可制备 Fe(OH)3 胶体 9．能在水溶液中大量共存的一组离子是 A．H+、Fe3+、I－、SO42－ B．Al3+、Mg2+、CO32－、Cl－ C．K+、Ag+、Ca2+、NO3－ D．NH4+、Na+、OH－、MnO4－ 10．设 nA 为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是（相对原子质量：C 12 O 16） A．常温下，22g CO2 含有 nA 个氧原子 B．2mol Na 与足量水反应，转移 nA 个电子 C．1L0.1mol·L－1CH3COOH 溶液中含有 0.1nA 个 H+ D．常温常压下，22.4LCH4 中含有 nA 个 CH4 分子 11．对于 0.1 mol·L－1 NH4Cl 溶液，正确的是 A．升高温度，溶液 pH 升高 B．通入少量 HCl，c(NH4＋)和 c(Cl－)均增大
D．若 a 为粗铜，b 为纯铜，通电后 b 电极质量增加

2012年广州市普通高中毕业班综合测试分析新

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学学科分析报告第一部分命题背景分析一、命题指导思想1．2012年是广东省实施《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）考试的第六年，广州市普通高中毕业班综合测试（一）（以下简称“一模”）数学命题的主要依据是《2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文、理科）考试大纲》（以下简称《考试大纲》）和《2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）考试大纲的说明－数学（文、理科）》（以下简称《考试说明》）．2．研究2007~2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷）的命题特点，是广州市“一模”数学卷命题的另一依据，主要考查学生的基础知识、基本技能和基本数学思想方法，考查学生的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识，考查学生对新增知识点的掌握情况，体现《课程标准》的基本理念．3．命题遵循“以能力立意”的指导思想，将知识、能力和素养融为一体，全面检测考生的数学素养，力争体现“多考点思维，少考点运算”的命题原则，试题注重通性通法，淡化特殊技巧，解答题基本设置了多个台阶，形成了入口宽、层次分明、有序递进的特点．4．命题既注重基础知识又突出能力要求，既注重覆盖范围又突出主干知识，既注重传统知识又突出新增内容，既注重常规教学又突出考试功能．二、考查内容分布“一模”数学试卷考查的知识点涉及集合与常用逻辑用语，函数、导数与不等式（含指定选考内容），数列、推理与证明，平面向量与三角函数，概率与统计，立体几何，解析几何，复数，计数原理（理科）等必考知识板块，以及坐标系与参数方程、几何证明选讲等选考内容．具体分值分布与得分情况见表1、2．（必考部分总结，100左右，120-130难）表1：广州市2012年“一模”文科数学试卷考点分布及得分情况内容题号题型分值得分知识点与交汇点集合与常用逻辑用语9 选择题 5 2.61 充要条件的判定12 填空题 5 2.82 集合的运算与性质函数、导数与不等式1 选择题 5 4.52 函数的定义域6 选择题 5 4.21 线性规划7 选择题 5 3.49 幂函数的概念与性质11 填空题 5 3.06 偶函数的概念20 解答题14 2.66函数的性质、导数、函数零点、不等式数列、推理与证明13 填空题 5 3.92 合情推理19 解答题14 4.24 等差数列、等比数列、裂项求和平面向量与三角函数3 选择题 5 4.69 三角函数的周期8 选择题 5 3.13 向量的新定义及其运算16 解答题12 8.05两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的关系、二倍角的余弦概率与统计4 选择题 5 3.24 几何概型17 解答题12 8.28 频率、频数、统计和概率立体几何5 选择题 5 2.42 三视图、几何体的侧面积18 解答题14 7.62 空间线面关系、几何体的体积解析几何10 选择题 5 1.58 直线与直线、圆的位置关系21 解答题14 1.79椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值复数 2 选择题 5 4.43 复数的运算几何证明选讲14 填空题5 1.95 圆中相交弦性质运用坐标系与参数方程15 填空题参数方程的运算合计150分78.71表2：广州市2012年“一模”理科数学试卷考点分布及得分情况内容题号题型分值得分知识点与交汇点集合与常用逻辑用语5 选择题 5 3.79 充要条件的判定12 填空题 5 2.86 集合的运算与性质函数、导数与不等式2 选择题 5 4.46 函数的定义域10 填空题 5 2.98 积分的简单运算（几何意义）11 填空题 5 1.62 幂函数的概念与基本性质21 解答题14 1.27函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理数列、推理与证明13 填空题 5 4.19 合情推理19 解答题14 5.94 等比数列的通项；裂项求和平面向量与三角函数3 选择题 5 4.58 零点的概念、三角函数的周期6 选择题 5 3.93 向量的新定义及其运算16 解答题12 9.09两角和、差的三角函数；同角三角函数的关系；诱导公式概率与统计7 选择题 5 1.31 几何概型17 解答题12 9.39 方差、随机变量的分布列与均值立体几何与空间向量9 填空题 5 3.99 三视图、几何体的体积18 解答题14 8.14 空间线面关系；直线与平面所成角解析几何4 选择题 5 2.78 直线与圆的位置关系20 解答题14 3.35椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值复数 1 选择题 5 4.79 复数的运算计数原理 8 选择题 5 1.63 排列与组合的综合运用几何证明选讲 14 填空题 5 3.10 圆中相交弦性质运用坐标系与参数方程15 填空题参数方程的运算合计150分83.19表1、表2的说明：①由于有些试题涵盖的知识点较多，一般以最主要的知识点统计．②从统计表可以看出，本次考查的覆盖面广，每个模块的内容都有涉及，且基本与教学课时的比例相当．③本分析报告中的数据为广州市所有区（县级市）考生的统计数据，其中文科人数为30199人，理科人数为26931人。

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理科数学)

x = 1+ s ∴ y = 2− x y = 1− s
2
x = t + 2 2 ⇒ y = ( x − 2) 2 y = t
∴ 2 − x = ( x − 2) , 解得：x = 2或x = 1
∴ A(1,1), B(2, 0),| AB |= 2
小题，三、解答题：本大题共6小题，满分分，解答须解答题：本大题共小题满分80分写出文字说明、证明过程或演算步骤。写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π
3π 16.已知函数f ( x ) = tan(3 x + ).(1)设α ∈ π， 4 2
π
,
π 若f ( + ) = 2, 求 cos α − 的值. 3 4 4 3π π α π (2) f + = tan α + + = tan(α + π ) = tan α = 2 4 4 3 4 sin α 3π 2 2 ∴ = 2, 又 Q sin α + cos α = 1且考虑到α ∈ π， cos α 2
∴ (C + C + C + 4 × 3 × 3) ⋅ A = 42 × 6 = 252
3 4 3 3 3 3 3 3
小题，小题，二、填空题：本大题共7小题，考生作答小题，填空题：本大题共小题考生作答6小题每小题5分满分30分每小题分，满分分。
9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积如为 .
1
x +1 y = log 2 ( x + 2)的定义域为集合B，则集合(CU A) I B = (D ) C .( −∞ , −2) D.( −1, +∞ )

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试卷类型：A
2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2012.3
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
18．（本小题满分14分）
如图 5 所示，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 6 ，平面 PAC 平面 ABC ， PD AC 于点
D ， AD 1 ， CD 3 ， PD 3 ．
（1）证明△ PBC 为直角三角形；（2）求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值．
已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求 a 的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学
成绩之差的绝对值为 X ，求随机变量 X 的分布列和均值（数学期望）．
（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．）
，求
．
cos
A．充分非必要条件 C．充要条件
6．已知两个非零向量 a 与 b ，定义 a b a b sin ，其中为 a 与 b 的夹角．若 a = 3, 4，
b = 0, 2，则 a b 的值为
A． 8
B． 6
7．在△ ABC 中， ABC 60 ， AB 2 ， BC 6 ，在 BC 上任取一点 D ，使△ ABD 为钝角三角形
则实数 a 的取值范围为．
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文)

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin()6f x x ωπ=+()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．在ABC !中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使ABD !为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 AB．C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩………表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．若函数2()ln(1)f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为．12．已知集合{}13A x x=剟，{}3B x a x a =+剟，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，图1俯视图正(主)视图侧(左)视图被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点， 3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1xs y s=+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan(3)4f x x π=+．（1）求()9f π的值；（2）若()234f απ+=，求cos 2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．5 121 22 图2 图3图418．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明PBC !为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：1368n T <…．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB !与POB !（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB 15…uu r uu rg ，求2212S S -的取值范围．图5BPACD。

2012年广州市高三第一次模拟考试试题

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 AB．C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为．图1俯视图正(主)视图侧(左)视图13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点， 3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．5 12 122 图2图4图318．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范。

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)--理科综合-化学

广州教研网h tt p://ww w.g u an gz tr .e du .c n/2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）参考答案理科综合－化学7．A 8．B 9．C 10．A 11．B 12．D 22．AC 23．CD 30．（16分）（1）C 7H 6O 2 （2分）（2分）（2）消去反应（2分）酯化反应（2分）（3）（3分）（4）（任写一种，其他合理答案也给分）（3分）（5）（2分）31．（16分）（1）① ＞（2分）② 增大反应物中C 2H 5OCOOC 2H 5的浓度（或比例）（2分）③ 由图知，平衡时CH 3OCOOCH 3的转化率为60％。

（1分）设容器的容积为V （L ）C 2H 5OCOOC 2H 5（g ）+ CH 3OCOOCH 3（g ）2 CH 3OCOOC 2H 5（g ）初始浓度/ mol·L －1： 1/V 1/V 0平衡浓度/ mol·L －1： 0.4/V 0.4/V 1.2/V （2分）（3分）－CH ＝CH －CHOOO＋ 2NaOH△ONaCH ＝CH －COONa＋ H 2OCH 2OHOH CH 2COOHCH 2CHO COOHCOOCH 3 OOCCH 3CH 2CHO OOCHc 2(CH 3OCOOC 2H 5) c (C 2H 5OCOOC 2H 5)·c (CH 3OCOOCH 3) K ＝＝＝ 9(1.2/V) 2(0.4/V) · (0.4/V)州教研网h tt p:.g u an gz tr .e du .c n/（2）（3分）（3）ΔH 2－ΔH 3 （3分）32．（16分）（1）Fe 2＋＋2HCO 3－＝FeCO 3↓＋CO 2↑＋H 2O （3分）（2）FeCO 3FeO ＋CO 2↑（1分） CO 2＋C2CO （1分）FeO ＋CO Fe ＋CO 2（1分）（3）Fe 2＋（3分）（4）过滤（2分） NH 4+＋H 2O NH 3·H 2O ＋H +，温度过高NH 3挥发使平衡向右移动，溶液酸性增强生成NH 4HSO 4。

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

年广州市普通高中毕业班综合测试（一）英语参考答案. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .一、完形，原则，文章的第一句话内容就是原则。

上下义重现，，公司后面的麦当劳和摩托罗拉是公司名。

上下义重现，可通过的前面的是提示同根重现，与同义重现，网站，本文讲得最多是网站，原词重现，意思上要表达不断增加，根据常识，可以知道这里表达为很方便购物。

，前面的与同义重现，根据后文的 , 我们知道此处要选一个和法律相关的词，同义重现，此处意为浏览。

，与第题前的同根重现，根据常识可以得出答案。

，可以用排除法及同义重现得出,可以使用的。

，根据意思，此处意为“遵循”，利用排除法和原词重现，本文所讲的就是要让网站更容易访问。

二、语法填空考察代词形容词词性变化非谓语，可是后面有出现这个词不规则动词过去式介词连词非谓语(分词作状语)连词冠词连词考察连词较多，介词才一个,形容词有两种形式。

表因为有三种形式。

三、阅读理解记叙文，人物传记，. 推理判断题：项可以根据第二段最后一句话“, ..." 排除；项可以可以根据第二段第二行的” (被)孤立的,(被)分离的,(被)隔离的“排除；项可以根据第二段倒数第三行的排除。

. 细节理解题：根据第三段的倒数第二句话“ ”. 细节理解题：文中第二段第四行及第四段第三行都出现过“ ”. 细节理解题：第二段最后一个单词是“,”第三段第一行出现单词“”,第四段第三行出现单词“”. 写作目的题：根据倒数第二段的 ... 和最后一段的 ...说明文，. 细节理解题：项的缩小了范围，项的（垫子）错误，根据第三段第一行可以知道；项的太绝对了。

项根据第二段第三行的" "可以得出答案。

. 指代内容：读懂这句话不能得出答案。

. 细节理解题根据第三段第三行“ ...”可以得出答案。

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(含详细答案)

数学（理科）2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）答案30分．其中14-1592. 三、16．(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力)因为,1cos 22=+ααsm ②由①、②解得51cos 2=α……9分因为)23,(ππα∈ 所以55cos -=α,552sin -=α……10分所以4sinsin 4cos cos )4cos(παπαπα+=-…………………………11分1010322)552(2255-=⨯-+⨯-=……………………………12分 17．本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解：依题意，得),95939087(41)96968987(41++++⨯=+++⨯a 解得a=3．…2分 (2)解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x =92．……………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()[]992959293929392874122222=-+-+-+-=S ………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果…6分这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表： 0随机变量X 的数学期望为⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=16291618163616241643161216211610EX 4171668==18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线画关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)所以()()6332222=+=+=BD PD PB …………………6分在△PBC 中，因为,6=BC 6=PB ，32=PC所以222PC PB BC =+所以△PBC 为直角三角形．……………………7分证明2：因为PAC⊥平面ABC ，平面PAC∩平面ABC=AC ，PD ⊂平面PAC ，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC ．………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB=BC ，所以BE ⊥AC ．因为6==BC AB ，,4=AC 所以.22)6(2222=-=-=CE BC BE ……3分连接BD ， Rt△BDE 中，因为∠BED=900，BE=2，DE=1，所以.31)2(2222=+=+=DE BE BD 在△BCD 中，因为CD=3，BC=6，BD=3.所以222CD BD BC =+．所以BC⊥BD．因为PD⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC⊥PD……6分因为BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC⊥PB．所以△PBC 为直角三角形．………………………………7分(2)解法l ：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则∠APH 为直线AP 与平面PBC 所成的角．由(1)知，△ABC 的面积.2221=⨯⨯=∆BE AC s ABC …………………………9分因为3=PD ,所以3623223131=⨯⨯=⨯⨯=∆-PD s V ABC ABC P 0由(1)知△PBC 为直角三角形6,6==PB BC 所以△PBC 的面积3662121=⨯⨯=⨯⨯=∆PB BC S PBC …………………11分因为三棱锥A-PBC 与三棱锥P-ABC 的体积相等，即ABC P PBC A V V --= 即362331=⨯⨯AH 所以362=AH ……12分在Rt△ PAD 中，因为1,3==AD PD所以21)3(2222=+=+=AD PD AP …………13分因为362362sin ===∠AP AH APH 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为36…………………14分解法2：过点D 作AF DM //，设M PC DM =则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．………………8分由(1)知BC⊥PD，BC ⊥PB ，且PC∩PB=P，所以BC⊥平面PBD 因为BC ∈平面PBC ，所以平面PBC⊥平面PBD 过点D 作DN 上PB 于点NM 连接MN ，则DN⊥平面PBC 所以∠DMN 为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt△PAD 中，因为,1,3==AD PD 所以()2132222=+=+=AD PD AP ……11分因为AP DM //，所以CACD AP DM =，即432=DM ，所以23=DM (2)由(1)知3=BD ,6=PB ,且3=PD ，所以6633=⨯=⨯=PBBDPD DN 因为,362326sin ===∠DEDN DMN 所以直线AP 与甲面PBC 所成角的正弦值为,36解法3：延长CB 至点G ，使得BG=BC ，连接AG 、PG ，在△PCG 中,6===BC BG PB所以∠CPG=900.即.PG CP ⊥在△PAC 中，因为32=PC ，2=PA ，,4=AC所以,222AC PC PA =+所以PA CP ⊥因为,P PG PA = 所以CP ⊥平面PAG ……9分过点A 作AK 上PG 于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP ⊥AK ．因为PG CP=P ，所以AK ⊥平面PCG ．所以∠APK 为直线AP 与平面PBC 所成的角．………………11分由(1)知，BC ⊥PB ，所以32==PC PG ，在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以.222==BE AG …………12分，在△PAG 中，,2=PA 22=AG ，,32=PG 所以222PG AG PA =+即PA ⊥AG …………l3分，因为363222sin ===∠PG AG APK所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为⋅36………………14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E —xyz ，…8分，则A(-2,0),)0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)3,1,0(-P , 于是)3,1,0(=AP ,)3,1,2(-=PB ,)3,3,0(-=PC设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+.033032z y z y x 取.1=y ,则3=z ,.2=X 所以平面PBC 的一个法向量为)3,1,2(=n ………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ,则36624|,cos |sin ===><=n AP θ 所以直线AP 与平而PBC 所成角的正弦值为36………………14分若第(1)、(2)问都用向量法求解；给分如下:(1)以点E 为坐标原点，EB ，EC 所在的直线分别为X 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系 E-xyz ………1分，则)0,0,2(B ,)0,2,0(C ,()3,1,0-P 于是)3,1,2(--=BP ,()0,2,2-=因为()()00,2,23,1,2=-⋅--=⋅，所以BC BP ⊥，所以BC BP ⊥ 所以△PBC 为直角三角形．………………………7分(2)由（1）可得，A(0,-2，0)．于是)3,1,0(=,),3,1,2(-=PB ⋅-=)3,3,0(PC设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n PB n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+.033,032z y z y x取,1=y 则3=z ，.2=x 所以平面PBC 的一个法向量为)3,1,2(=n …………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则⋅===><=36624|,cos |sin n AP θ 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为36…………14分 19．(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解：设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=.2242223543a a a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=22354322a a a a a ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=2212141312122q a q a qa q a q a ……………………3分由于,01=/a 0=/q ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21211q a 或⎪⎩⎪⎨⎧-==1211q a ………………5分又0,01>>q a 所以211=a ，21=q …………6分所以数列}{n a 的通项公式为)()21(*N n a n n ∈=…………7分(2)解：由（1）得)32)(12(52+++=n n n b n ，n n n n n a 21)32)(12(52⋅+++=………8分所以n n n n b 21)321122(⋅+-+=nn n n 2)32(12)12(11+-+=-分10⋅⋅⋅ 所以nn b b b S +++= 21 +⋅-⋅+⋅-=)271251(]25131(2]2)32(12)12(1[1nn n n +-++- n n 2)32(131+-=.故数列{b n }的前n 项和nn n S 2)32(131+-= ……14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解：依题意可得A(-1，0)，B(1，0)．设双曲线C 的方程为)0(1222>=-b by x ，因为双曲线的离心率为5，所以5112=+b ，即b=2．所以双曲线C 的方程为1422=-y x ………3分(2)证法1：设点P(x 1，y 1)、T(x 2，y 2)(x i >0，y i >0，i=1，2），直线AP 的斜率为k(k>0)，则直线AP 的方程为y=k(x+1)， ………4分联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.14),1(22y x x k y (5)整理，得042)4(2222=-+++k x k x k ，解得x=-1或2244kk x +-=．所以22244k k x +-=…6分同理可得，22144k k x -+=……7分，所以121=⋅x x …………8分证法2：设点),(11y x P 、)2,1,0,0)(,(22=>>i y x y x T i i ，则111+=x y k AP ，122+=x y k AT ………4分因为k AP =k AT ，所以111221+=+x y x y ，即22222121)1()1(+=+x yx y …………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以142121=-y x ，142222=+y x .即)1(42121-=x y ，)1(42222x y -= …………………6分所以22222121)1()1(4)1()1(4+-=+-x x x x ，即11112211+-=+-x x x x ………7分，所以121=⋅x x … 8分证法3：设点P （x 1，y 1），直线AP 的方程为)1(111++=x x y y ……………4分联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=.14);1(11221y x x x y y ，整理，得22121])1(4[x y x ++0)1(42212121=+-++x y x y ，解得x=-1或21212121)1(4)1(4y x y x x ++-+= ……………6分将442121-=x y 代入21212121)1(4)1(4y x y x x ++-+=，得11x x =．即121x x =. 所以121=⋅x x …………8分 (3)解：设点P(x 1，y 1)、T(x 2，y 2)(x i >0，y i >0，i=1，2)，则),1(11y x PA ---=，),1(11y x PB --=. 因为15≤⋅PB PA ，所以15)1)(1(2111≤+---y x x ，即162121≤+y x …………9分因为点P 在双曲线上，则142121=-y x ，所以16442121≤-+x x ，即421≤x . 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以211≤<x ……………10分因为||||||21221y y AB S ==，||21||||21112y y OB S ==，所以2122222141y y S S -=-2221212245)1()44(x x x x --=---= ……………11分由(2)知，121=⋅x x ，即121x x =.设21x t =，则1<t ≤4，t t S S 452221--=-. 设tt t f 45)(--=，则22)2)(2(41)('tt t t t f +-=+-=，当1<t<2时，f'(t)>0，当2<t ≤4时，f'(t)<0,所以函数f(t)在(1，2)上单调递增，在（2，4]上单调递减.因为f(2)=1, f(1)=f(4)=0,所以当t=4，即x 1=2时，0)4()(min2221==-f S S …12分当t=2，即21=x 时，max 2221)(S S -1)2(==f ，所以2221S S -的取值范围为[0,1].…14分说明：由=-2221S S )4(52221x x +-14521=-≤x x ,得1)(max 2221=-S S ，给1分． 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)证明：设)()(1x f x =φ1)(1--=-x e x g x，所以1)('1-=xe x ϕ ……1分当x<0时，0)('1<x ϕ，当x=0时，0)('1=x ϕ，当x>0时，0)('1>x φ. 即函数φ1(x)在(-∞，0)上单调递减，存(0，+∞)上单调递增，在x=0处取得唯一极小值，因为φ1(0)=0，所以对任意实数x 均有φ1(x)≥φ1(0)=0．即f(x)-g 1(x)≥0，所以f(x)≥g 1(x)．………3分(2)解：当x>0时，)()(x g x f n >. ………4分用数学归纳法证明如下：①当n=1时，由(1)知)()(1x g x f >. ②假设当*)(N k k n ∈=时，对任意x>0均有)()(x g x f k > …………………5分令)()()(x g x f x k k -=φ，)()()(11x g x f x k k ++-=φ，因为对任意的正实数x ，)()()(')(')('11x g x f x g x f x kk k -=-=++φ，由归纳假设知，0)()()('1>-=+x g x f x kk φ ……………………6分即)()()(11x g x f x k k ++-=φ在(0，+∞)上为增函数，亦即)0()(11++>k k x φφ，因为0)0(1=+k φ，所以0)(1>+x k φ.从而对任意x>0，有0)()(1>-+x g x f k . 即对任意x>0，有)()(1x g x f k +>.这就是说，当n=k+1时，对任意x>0，也有)()(1x g x f k +>. 由①、②知，当x>0时，都有f(x)>g n (x)． (3)证明1：先证对任意正整数n ，g n (1)<e ．由(2)知，当x>0时，对任意正整数n ，都有f(x)>g n (x)．令x=1，得g n (1)<f(1)=e ．所以g n (1)<e ． …………9分再证对任意正整数n ，1)22(1+nn )12()42()32(32+++++ 11)1(+=≤ng !1!31!21n ++++ . 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式!1)12(n n n ≤+成立．即要证明对任意正整数n ，不等式(*))21(!n n n +≤成立. ………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当n=1时，1)211(!1+≤成立，所以不等式（*）成立． ②假设当*)(N k k n ∈=时，不等式（*）成立，即kk k )21(!+≤ …………11分则)1(!)1()!1(+≤+=+k k k k 1)21(2)21(++=+k k k k . 因为111)12()21()22(+++++=++k k k k k k k 11011)111(++++=++=k k k C C k 2)11(11111≥+++++++k k k k C k ，……12分所以1)21(2)!1(++≤+k k k 1)22(++≤k k ……………………13分这说明当n=k+1时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立.综上可知，对任意正整数n ，不等式21)32()22(1+++++ 3)42(e g n n n<≤+)1()12(成立. ……………………14分方法2（基本不等式法）：因为211+≤⋅n n ， ……………………11分 212)1(+≤⋅-n n . ……，211+≤⋅n n ，将以上n 个不等式相乘，得nn n )21(!+≤ ………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立.综上可知，对任意正整数n ，不等式321)42()32()22(1+++e g n nn<≤+++)1()12(成立. ……………………14分。

2012年广州一模数学(理科)试卷(word版,含答案)

数学（理科）试题A 第 1 页共 4 页试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++=.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U AB =ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定数学（理科）试题A 第 2 页共 4 页5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为． 11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图正(主)视图侧(左)视图数学（理科）试题A 第 3 页共 4 页（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5PACD图3数学（理科）试题A 第 4 页共 4 页19．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）．（1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．·5·2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ- ………………………………3分 2==- …………………………4分2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………5分()tan α=+π………………………6分·6·tan 2α==．……………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．……………………………9分因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+…………………………11分⎛== ⎝⎭．…………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，…………1分解得3a =.…………………………2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. …………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.……………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==，·7·2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==. 所以随机变量X随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯……………11分 6817164==.…………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD⊥平面ABC ．…………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ，所以BE ===………………3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为PD =，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt △BDE中，因为BE ，1DE =，所以BD ===．…………5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt △PBD 中，因为PD ，BD =，所以PB =6分在PBC ∆中，因为BC =，PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，……………………10分BPACDE·8·AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．……………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ，所以BE ===………………3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===．………………………4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =BD =，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………6分因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．…………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=9分因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯13=⨯=10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC =PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即1333AH ⨯⨯=3AH =．…………………………12分在Rt△PAD 中，因为PD ，1AD =，所以2AP ==．……………………13分·9·因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC14分解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．…………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt △PAD中，因为PD ，1AD =，所以2AP ==．………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．……………………12分由（1）知BD =，PB=PD =，所以PD BD DN PB ⨯===．…………………13分因为2sin 332DN DMN DE ∠===，所以直线AP 与平面PBC 14分解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，………………8分在△PCG 中，PB BG BC == 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC 中，因为PC =2PA =，4AC =，BPACDEKBP A CDMN·10·所以222PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．………………………13分因为sin 3AG APK PG ∠===．所以直线AP 与平面PBC14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，………………………8分则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n nA即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线AP 与平面PBC14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -， (1)分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =．因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BPBC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．…………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +-==⎪⎩ 取1y =，则z =x =A所以平面PBC的一个法向量为=n．………………12分设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sin cosAPAPAPθ⋅=<>===⋅n,nn．所以直线AP与平面PBC14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a的公比为q，依题意，有45323224,22.a aaa a+⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a aa a=+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………2分所以234111222112,2.a q a q a qa q a q⎧=+⎪⎨=⎪⎩……………………………3分由于1a≠，0q≠，解之得11,21.2aq⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.aq⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………5分又10,0a q>>，所以111,22a q==，……………………6分所以数列{}n a的通项公式为12nna⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n∈N）．…………………7分（2）解：由（1），得()()252123n nnb an n+=⋅++()()25121232nnn n+=⋅++．……………8分所以21121232n nbn n⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭111(21)2(23)2n nn n-=-++．……………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．……………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，…………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩……………………………5分整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．……………………6分同理可得，21244k x k +=-．………………7分所以121x x ⋅=．…………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．…………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．……………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．………………7分所以121x x ⋅=．…………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，……………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．…………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．…………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值…2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．……………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，……………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．……………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>，因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．………………………………9分再证对任意正整数n，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． …………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，………………………………………11分 12n +， ……，12n +，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分。

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