2019-2020年高三数学摸底考试试题 文
2019年徐州市高三考前模拟数学试题含答案
高考数学精品复习资料2019.5徐州市20xx 年高考考前信息卷数学Ⅰ卷参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =11n i i x x n ==∑． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．若集合{}1,0,1A =-，{}21,B x x m m ==+∈R ，则B A ＝ ▲ ．2．设i 是虚数单位，复数1i3ia +-为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，且60xy =，则此样本的标准差是 ▲ ．4．在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素，所取元素恰好满足方程1cos 2x = 的概率是 ▲ ． 5．已知双曲线与椭圆2212xy +=有相同的焦点，且它们的 离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ▲ ． 6．已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数7．()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7．已知32cos()23απ+=-，则cos2α= ▲ ．Read xIf x ≤1- Thenf (x )←x +2Else If 1-<x ≤1 Then f (x )←x 2Elsef (x )←x -+2End If End IfPrint f (x )(第6题图)注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
2024届新高三数学开学摸底考试卷01及答案解析(九省新高考专用)
2024届新高三数学开学摸底考试卷01及答案解析（九省新高考专用）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U =R ，集合{}2|430A x x x =-+<，2{|log }B x x a =<，且满足{}|12A B x x ⋂=<<，则()U A B ⋃=ð（）A ．()0,3B ．(][),03,-∞+∞ C ．()1,3D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】首先求出集合A ，B 中的不等式，再根据{}|12A B x x ⋂=<<得出集合B ，根据集合并集和补集的定义计算即可．【详解】由题可知(1,3)A =，{|02}a B x x =<<，因为{}|12A B x x ⋂=<<，所以22a =，即{|02}B x x =<<，所以(0,3)A B ⋃=，所以()(0][3,)U A B ⋃=-∞⋃+∞，ð，故选：B ．2．已知复数z 满足2i1i z-=+（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则4z z ⋅=（）A ．5BC ．10D【答案】C【分析】先根据复数的除法求出z ，再计算4z z ⋅.【详解】由2i1i z-=+得()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-+-+，所以13i 22z =+，所以()()413i 13i 10z z ⋅=-⋅+=.故选：C.3．已知复数z 在复平面内对应的点为M ，iz 在复平面内对应的点为N ，i 是虚数单位，则“点M 在第一象限”是“点N 在第四象限”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设复数i z a b =+，复数z 在复平面内对应的点为M (),a b 在第一象限，求出,a b 的范围，iz在复平面内对应的点为N (),b a -在第四象限，求出,a b 的范围，再结合充分条件必要条件的定义即可求出答案.【详解】设复数i z a b =+，复数z 在复平面内对应的点为M (),a b 在第一象限，则0,0a b >>，()2i i i i i i i 1ia b z a b a b b a ++-====--，i z 在复平面内对应的点为N (),b a -在第四象限，则0,0b a >>.反之，也成立，“点M 在第一象限”是“点N 在第四象限”的充要条件.故选：C..4．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A ．23B ．23C 255D ．25【答案】A【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解.【详解】如图：正四棱台，由题意可知：O 是底面正方形的中心也是球O 的球心，且50,40R OB OO '===,所以502,BC =2222504030O B R OO '''=-=-=,进而可得302,B C ''=取BC 的中点为N ，过B C ''的中点P 作PM ON ⊥，连接PN ,所以11522OM O P B A '''===,12522ON BA ==故2MN ON OM =-=在直角三角形PMN 中，tan 22,102PM PNM MN ∠===故22sin 3PNM ∠=，由于,PN BC ON BC ⊥⊥,所以PNM ∠即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为223故选：A5．若数列{}n a 的首项114a =-，且满足111n na a +=-，则2022a =（）A ．14-B ．5C ．45D ．54【答案】C【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.【详解】因为114a =-，111n na a +=-，所以2341141115,1,11455445a a a =-==-==-=--，所以该数列的周期为3，于是有20226743345a a a ⨯===，故选：C6．函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A ．B．C．D ．【答案】C【分析】确定函数为奇函数，排除BD ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤，排除A ，得到答案.【详解】()f x 的定义域为{}2x x ≠±，()()()()()2222cos 22cos ()44xx xx x x f x f x x x ------==-=----，故()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，D ；又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220x x --≥，cos 0x ≥，240x -<，故()0f x ≤，排除A ．故选：C ．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,3BC a BA b BE EF === ，则AE =（）A ．12162525a b- B ．16122525a b+C ．1292525a b+D ．9122525a b-【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】依题意，3339()44416AE BE BA BF BA BC CF BA BC AE BA =-=-=+-=--，于是25331644AE BC BA a b =-=-，所以12162525AE a b =-.故选：A8．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[0,2)x ∈时，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩，则5(2f -=（）A ．﹣1B ．1C ．12D ．14【答案】D【分析】根据题意，化简得到551()(3)()222f f f -=-+=，代入即可求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[0,2)x ∈时，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩，则2551111()(3)()3(222224f f f -=-+==⨯-=.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
甘肃静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
甘肃静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |-1＜x ＜1}，B ={x |x 2-x -2＜0}，则（∁R A ）∩B =（ ）A. (−1,0]B. [−1,2)C. [1,2)D. (1,2]2. 已知命题p ：“∀a ＞0，有e a ≥1成立”，则￢p 为（ ）A. ∃a ≤0，有e a ≤1成立B. ∃a ≤0，有e a ≥1成立C. ∃a >0，有e a <1成立D. ∃a >0，有e a ≤1成立3. 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x>0)，则f[f(14)]的值是（ ） A. 9 B. 19 C. −19 D. −94. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∧qB. ￢p ∧￢qC. ￢p ∧qD. p ∧￢q5. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. y =x 3B. y =cosxC. y =1x 2D. y =ln|x| 6. 函数f （x ）=-1x +log 2x 的一个零点落在下列哪个区间（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7. 已知a =log 23，b =log 123，c =3−12，则（ ） A. c >b >aB. c >a >bC. a >b >cD. a >c >b 8. 曲线y =x x−2在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. y =x −3B. y =−2x +1C. y =2x −4D. y =−2x −3 9. 函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.10. 若函数y =x 2-3x +4的定义域为[0，m ]，值域为[74，4]，则m 的取值范围是（ ） A. (0,4] B. [32,4] C. [32,3]D. [32,+∞)11.若函数f(x)=−12(x−2)2+alnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. .[−1,+∞)B. (−∞,−1]C. (1,+∞)D. .(−∞,1]12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2；当-1≤x＜3时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（）A. 336B. 337C. 338D. 339二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（x2-2x-8）的单调递减区间是______．14.已知a＞0且a≠1，函数y=log a(2x−3)+√2的图象恒过定点P，若P在幂函数f（x）的图象上，则f（8）=______．15.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，若f（x-2）＞f（3），则x的取值范围是______．16.（理科）若函数f（x）满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求值(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8；（2）函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，求f（m）的值．18.设f（x）=x3-x．（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设x∈[-1，1]，求f（x）最大值．19.已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2-a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20.已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．21.已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．22.已知函数f（x）=2a ln x-x2+1．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，∴∁R A={x|x≤-1或x≥1}，（∁R A）∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选：C．先求出集合A，B，从而求出∁R A，进而能求出（∁R A）∩B．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】B【解析】解：=f（log2）=f（log22-2）=f（-2）=3-2=，故选：B．因为，所以f（）=log2=log22-2=-2≤0，f（-2）=3-2=，故本题得解．本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．4.【答案】D【解析】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．5.【答案】D【解析】解：A．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，所以A不合适．B．函数y=cosx为偶数，但在（0，+∞）上不单调，所以B不合适．C．函数y=为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，所以C不合适．D．函数y=ln|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，所以D合适．故选：D．分别判断每个函数的奇偶性和单调性．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和单调性．6.【答案】B【解析】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．7.【答案】D【解析】解：由对数函数y=log2x的图象与性质，得log23＞log22=1，∴a＞1；由对数函数y=x的图象与性质，得3＜1=0，∴b＜0；又∵c==，∴0＜c＜1；∴a＞c＞b．故选：D．利用对数函数的图象与性质，得a＞1，b＜0；利用幂的运算法则，得出0＜c＜1；即可判定a、b、c的大小．本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用对数函数的图象与性质以及1与0等数值比较大小，是基础题．8.【答案】B【解析】解：对于函数y=，∵y′=，∴y在点（1，-1）处的导数为-2，故y=在点（1，-1）处的切线斜率为-2，故y=在点（1，-1）处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1，故选：B．先求得y在点（1，-1）处的导数为-2，利用点斜式求得函数y在点（1，-1）处的切线方程．本题主要考查函数在某一点的导数的意义，求曲线在某一点切线的方程，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→-∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x-1，此时y→0，排除D，故选：C．根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．10.【答案】C【解析】解：y=x2-3x+4=x2-3x++=（x-）2+，定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大，即y最大=4，又值域为〔，4〕，根据二次函数的对称性，≤m≤3，故选：C．先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．本题考查函数的定义域值域的求法，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：函数，x∈（1，+∞），可得f′（x）=x-2+，函数在（1，+∞）上是减函数，可得-x+2+＜0，在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x2-2x在x∈（1，+∞）上恒成立，函数g（x）=x2-2x的对称轴为：x=1，在x∈（1，+∞）上是增函数，函数的最小值为：g（1）=1．可得a≤1．实数a的取值范围是：（-∞，1]．故选：B．求出函数的导函数，利用导函数的符号，得到a的不等式，然后求解实数a的取值范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查计算能力以及转化思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2当-1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，∵f（x+6）=f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=336+f（1）+f（2）+f（3）=338．故选：C．根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．13.【答案】（-∞，-2）【解析】解：对于函数f（x）=ln（x2-2x-8），有x2-2x-8＞0，求得x＜-2，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜-2，或x＞4}，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得y=x2-2x-8在定义域内的减区间为（-∞，-2），故答案为：（-∞，-2）．由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质可得，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于基础题．14.【答案】2√2【解析】解：∵log a1=0，∴2x-3=1，即x=2时，y=，∴点P的坐标是P（2，）．由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=，f（8）=故答案为：2．由log a1=0，知2x-3=1，即x=2时，y=，由此能求出点P的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，然后求解函数值．本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．仔细解答，避免出错，15.【答案】（-1，5）【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，∴不等式f（x-2）＞f（3）等价为f（|x-2|）＞f（3），则|x-2|＜3，即-3＜x-2＜3，则-1＜x＜5，即不等式的解集为（-1，5）．故答案为（-1，5）．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．]16.【答案】(0，12【解析】解：①x∈[0，1]时，f（x）=x，g（x）=x-mx-m，要使g（x）有零点，则必须有g（0）g （1）＜0，即m（2m-1）＜0，∴0＜m＜，若m=0，g（x）=x，有一个零点0；若m=，g（x）=，有一个零点1，∴m∈[0，]②x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=x+1，f（x）=，g（x）=-mx-m，g（0）=-mg'（x）=m=0，g（x）单调减，g（0）=0，此时无零点若m＞0，则g′（x）＜0恒成立，x∈（-1，0）时，x→-1，g（x）→+∞，x→0，g（x）=-m ＜0∴此时在（-1，0 ）上必然有一个零点若m＜0，令g′（x）=0，考虑到x∈（-1，0 ），此时没有零点，综上所述：0＜m故答案为：确定分段函数的解析式，分别研究它们的零点，即可得到结论．本题考查分段函数的解析式，考查函数的零点，解题的关键是确定分段函数的解析式．17.【答案】解：（1）根据题意，(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8=1+14×23−1 2log23×32log32=1+16−34=512，（2）根据题意，函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，则有m2-m=3+m，解可得：m=3或m=-1．当m=3，时f（x）=x-1在x=0无意义，舍当m=-1时f（x）=x3符合，则f（x）=x-1，故f（m）=f（-1）=（-1）3=-1．【解析】（1）根据题意，由指数幂的运算性质分析，计算即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的性质可得m2-m=3+m，解可得m的值，验证函数f（x）是否为奇函数可得m 的值，即可得函数的解析式，将m 的值代入解析式分析可得答案．本题考查幂函数的性质以及应用，（2）中关键是求出m 的值，属于基础题． 18.【答案】解：（1）f （x ）=x 3-x ，f ′（x ）=3x 2-1，切线斜率f ′（1）=2，∴切线方程y =2（x -1），即2x -y -2=0；（2）令f ′（x ）=3x 2-1=0，x =±√33，列表：故x =-√33，f （x ）max =2√39． 【解析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，得到极值点，判断导函数的符号，利用函数的单调性求解函数的极值与端点值，即可得到函数的最大值．本题考查了导数的综合应用及函数的最值问题，属于中档题． 19.【答案】解：（1）∵命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，令f （x ）=x 2-a ，根据题意，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可， 也就是1-a ≥0，解得a ≤1，∴实数a 的取值范围是（-∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a ≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a ≤-2或a ≥1． ∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与命题q 必然一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，{−2<a <1a≤1⇒−2＜a ＜1， 当命题p 为假，命题q 为真时，{a ≤−2或a ≥1a>1⇒a ＞1， 综上：a ＞1或-2＜a ＜1． 【解析】（1）由于命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a≥0”，令f （x ）=x 2-a ，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a 的取值范围．由于命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．（3'）因为f（x）的定义域是[0，3]，所以{0≤x+2≤30≤2x≤3，解之得0≤x≤1．于是g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．（8'）∵x∈[0，1]，即2x∈[1，2]，∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值-4；（10'）当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值-3．（12'）【解析】（1）由f（x）=2x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，由此能求出g（x）的定义域．（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．由2x∈[1，2]，能求出函数g（x）的最大值和最小值．本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21.【答案】解：（1）f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，−b2=5，c2=0，解得b=-10，c=0，∴f（x）=2x2-10x；（2）f（x）+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立，∴2x2-10x+t-2的最大值小于或等于0．设g（x）=2x2-10x+t-2≤0，则由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，∴g（x）max=g（-1）=10+t≤0，解得t≤-10．【解析】（1）由题意可得，0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，然后利用根与系数的关系列式求得b，c的最值，则f（x）的解析式可求；（2）把问题转化为2x2-10x+t-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）=2x2-10x+t-2在[-1，1]上的最大值小于等于0恒成立，由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，求其最大值后利用最大值小于等于0列关于t的不等式求解．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求二次函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2ln x-x2+1，f′(x)=2x −2x=−2(x2−1)x，x＞0．令f′(x)=−2(x2−1)x＜0，解得：x＞1或x＜-1，因为x＞0，所以x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）f′(x)=2ax −2x=−2(x2−a)x，x＞0．令f'（x）=0，由a＞0，解得x1=√a，x2=−√a（舍去）．当√a≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f'（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当√a＞综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f(√a)=alna−a+1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
高三数学摸底考试试题
高三数学摸底考试试题高三数学摸底考试试题高三数学摸底考试是学生们备战高考的重要一环。
这次考试的试题设计旨在检验学生对于高中数学知识的掌握程度，帮助他们发现自己的薄弱点，并及时进行针对性的复习和提高。
以下是一些典型的数学试题，希望能够帮助大家更好地了解这次考试的难度和内容。
一、选择题1. 已知函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求 f(-1) 的值。
A. -1B. 0C. 1D. 22. 设 a、b 是正整数，且满足 a + b = 10，若 a^2 + b^2 的最小值为 k，求 k 的值。
A. 25B. 36C. 49D. 643. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，则A ∩ B = ?A. {1, 2}B. {3, 4}C. {5, 6}D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}二、填空题1. 若 a + b = 5，且 a^2 + b^2 = 13，则a × b = _______。
2. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，已知 f(1) = 3，f(2) = 7，f(3) = 15，则 a + b + c = _______。
三、解答题1. 解方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 132. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，且 f(1) = 4，f(2) = 9，f(3) = 16，求 a、b、c的值。
四、应用题某班级有男生和女生共 50 人，男生人数是女生人数的 2 倍。
如果男生的平均身高是 170cm，女生的平均身高是 160cm，求该班级的平均身高。
五、综合题已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，且 f(1) = 1，f(2) = 8，f'(1) = 6，求 a、b、c 的值。
以上是一些典型的高三数学摸底考试试题，通过这些题目的练习，可以帮助学生们巩固和提高数学知识，同时也能够帮助他们了解自己在数学上的不足，有针对性地进行复习和强化训练。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案
江西省贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案贵溪市实验中学高中部2019-2020学年第一学期第一次月考高三(文科）数学试卷考试时间：120分钟 总分：150 命题人：第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}31|<<-=x x A ，(){}1lg |-==x y x B ，则()=⋂B C A R （ ）A 。
()3,1B 。
()3,1- C.()1,1- D.(]1,1-2．已知命题:p x R ∀∈,1sin x e x ≥+。
则命题p ⌝为( ） A ．x R ∀∈，1sin x e x <+ B ．x R ∀∈，1sin x e x ≤+ C ．0x R∃∈，001sin x e x ≤+D ．0x R∃∈，001sin x e x <+3．下列哪一组函数相等（ ） A 。
()()xx x g x x f 2==与B.()()()42x x g x x f ==与C.()()()2x x g x x f ==与D.()()362x x g x x f ==与 4. = 255tan （ ）A ．3-2- B ．32-+C ．3-2D ．32+5．设a ，b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的(） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．()的图像为函数R x x y x ∈-=22（ ） A.B.C 。
D 。
7．已知定义在R 上的函数f （x ),其导函数f ′(x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）①f （b )＞f （a ）＞f （c ）；②函数f （x )在x ＝c 处取得极小值在x ＝e 处取得极大值;③函数f （x ）在x ＝c 处取得极大值在x ＝e 处取得极小值;④函数f （x ）的最小值为f （d ）．A.③ B 。
2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2019—2020学年髙三年级上学期 第二次摸底考试（数学）学科试卷（理）考试时间：120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240P x R x x =∈-≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. []3,4 B. (]3,4- C. (],4-∞ D. ()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别求解二次不等式和绝对值不等式，求并集即可. 【详解】对集合P ：240x x -≤，解得[]0,4x ∈； 对集合Q ：3x <，解得：()3,3x ∈-； 求并集得：(]3,4P Q ⋃=-， 故选：B .【点睛】本题考查不等式的求解、并集的运算. 2.复数311ii++等于( ) A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】C 【解析】2311(1)2.11(1)(1)2i i i ii i i i i +++====+--+ 本题选择C 选项.3.若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的（ ）A. 允分不必要条件B. 必要不允分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由p 是q 的充分不必要条件，可得：若p ，则q ，再根据其逆否命题，即可求得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则可记作： 若p ，则q 为真，求其逆否命题为：若q ⌝，则p ⌝， 故：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化. 4.设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A. c b a >> B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】120200201901912a >==Q,20192019log log 201910b <<==, 202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用..5.将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），那么所得图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,13π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由三角图像变换，先求变换后的解析式，再求对称中心即可.【详解】将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12， 则得()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，解得12x π=，此时函数值为-1，故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像的变换，及变换后函数的性质.6.已知命题“00x ∃≥，200210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. [)1,-+∞B. ()0,∞+C. []1,1-D. [)0,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求该命题的否定，再将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题：00x ∃≥，200210x ax ++<是假命题；则其否定:0x ∀≥，2210x ax ++≥是真命题； 当0x =时，10≥显然成立；当0x >时，2210x ax ++≥，解得122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭而1122x x+≥当且仅当1x =时取得，故： 1122x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，由题可知： 122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭等价于1a ≥-，故选：A.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，属综合基础题.7.若直线y ex b =+是曲线ln y x =的一条切线，则函数()3ln f x b x x x=---的单调递增区间是（ ） A. ()0,3 B. ()1,3-C. ()3,+∞D. (),1-∞-和()3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由y ex b =+是曲线的切线，求出b ，再求具体函数的单调增区间即可. 【详解】设切点为()00,ln x x ，则可得过该点的切线方程为：001ln 1y x x x =+-，又知切线为：y ex b =+， 故得：01x e =，1ln 12b e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则： ()33ln 2ln f x b x x x x x x=---=--，()2231f x x x=-+'，令()0f x ¢>， 解得：2230x x --<，即()1,3x ∈- 又该函数定义域为：()0,+?，故单调增区间为()0,3.故选：A.【点睛】本题考查曲线上一点处的切线方程的求解，以及求具体函数的单调区间，属综合基础题. 8.下列函数中同时具有以下性质的是（ ） ①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数； ④图象的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭． A. 26cos x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.【详解】对A ：函数的最小正周期为4π，故A 不正确； 对B ：该函数在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故B 不正确； 对C ：函数图像不关于3x π=直线对称，故C 不正确；对D ：该函数满足四条性质，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.9.己知函数()()()()()24112111xa x f x x a x x ⎧--<⎪=⎨+-+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. []1,0 C. [)1,3 D. [)0,3【答案】C 【解析】 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】若满足题意，则()()41xf x a =--要为增函数，则：41a ->；①若保证()()()22111f x x a x x =+-+≥单调递增，则：11a -≤；②若要保证该函数在R 上单调递增，则在断点处：()()411211a a --≤+-+③由①②③解得：[)1,3a ∈. 故选：C .【点睛】本题考查分段函数在R 上的单调性，需要满足每段函数均为单调的，同时也要考虑断点处函数值的关系.10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B 【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．11.己知O 是ABC ∆内一点，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AB AC =-uu u r uu u r g ，且23BAC π∠=，则OBC ∆的面积为（ ）A.B.C. D.6【答案】D 【解析】 【分析】由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v可确定O 点的位置，再求解面积即可. 【详解】分别取AC 、BC 的中点为D 、E ，作图如下：由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，可得：()2OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v，即：2OD OE =-u u u v u u u v ，故O 是DE 上靠近E 点的三等分点， 故6ABC OBC S S ∆∆=，根据题意可知：4AB ACAB AC cosA=⋅=u u u r u u u r故12ABC S AB AC sinA ∆==则16OBC ABC S S ∆∆==， 故选：D .【点睛】本题考查向量的运算、三角形面积公式的计算，属综合基础题.12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,18,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B. ()6,+∞C. 1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭D. {}11,121410⎛⎫⋃⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】将函数有5个零点的问题，转化为图像有5个交点的问题，则数形结合可得.【详解】()()2f x f x +=-可得：该函数关于1x =对称，又其关于原点对称，故： 该函数的周期为4；()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，等价于函数()y f x =与()log 3a y x =+有5个交点，当()0,1a ∈时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：()log 3a y x =+在7x =时的函数值log 101a >-，且在11x =时的函数值log 141a <-，解得：11,1410a ⎛⎫∈⎪⎝⎭； 当()1,a ∈+∞时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：此时，函数应该过点()9,0C ，故log 121a =，解得12a =. 综上所述：12a =或11,1410a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故答案为：D.【点睛】本题综合考查函数的性质，以及零点问题，利用数形结合；属综合中档题.二、填空题：13.己知向量a r ，b r 满足a b ⊥r r，1a =r，2a b +=r r =b r ______．【答案】1 【解析】 【分析】由向量垂直可得0a b =v n v，将2a b +=v v 两边平方，结合已知，即可求得.【详解】因为a b ⊥v v ，故0a b =v n v ；2a b +=vv ，两边平方，则：22445a b a b ++=v n v vv ，解得：244b =v ，即：1b =r .故答案为：1.【点睛】本题考查向量的数量积、模长的计算，属向量基础运算题. 14.已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____． 【答案】25. 【解析】试题分析：把所求的式子分母看作“1”，利用sin 2θ+cos 2θ=1，从而把所求的式子化为关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．详解：由tanθ=2，则sinθcosθ=22sin cos sin cos θθθθ+=1215tan tan θθ=+.故答案为25.点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．本题利用了sin 2θ+cos 2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.15.己知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin b C c B a A +=，1AB =，2BC =，且1AB BC =-u u u r u u u rn ，则C ∠=______． 【答案】6π【解析】 【分析】由cos cos sin b C c B a A +=可求角A ，利用向量数量积，求得B ，从而推出C. 【详解】由：cos cos sin b C c B a A +=，可得：1sinA =，又()0,A π∈，故90A =︒； 由1AB BC -⋅=u u u r u u u r，可得：()cos 1AB BC B π-=-⋅u u u r u u u r，解得：60B =︒；由三角形内角和得：30C =︒， 故答案为6π. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查了正弦定理的应用，属基础题. 16.定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，己知()f x '是它的导函数，且恒有()()cos sin 0x f x x f x '⋅+⋅<成立，且13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则不等式()2cos f x x <的解集为______． 【答案】32x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'可构造函数()()f x F x cosx=，由其单调性及特殊值，可求得不等式.【详解】由()()cos sin 0x f x x f x ⋅'+⋅<，可构造函数：()()f x F x cosx =，则：()()()2cos sin 0cos x f x x f x F x x''⋅+⋅=<；故()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 由13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得23F π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 而()2cos f x x <等价于()23F x F π⎛⎫<=⎪⎝⎭，解得：,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32xx ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查：利用导数构造函数，求解不等式的问题，属导数中的中档题；本题中()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'的构造形式需要注意.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，数列{}n b 是等差数列，且11b a =，43b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若11n n n n c a b b +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n a -=，n b n = （2）1221nn T n =-++ 【解析】 【分析】（1）由21n n S a =-，利用1n n n a S S -=-求得n a ；再利用基本量求得n b ； （2）先求n a 的前n 项和，再用裂项求和即可.【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---122n n a a -=-，∴12n n a a -=，当2n =时，2221S a =-即22121a a +=-，∴22a =， ∴212a a =，∴{}n a 为以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，∵11b =，434b a ==，4113b b d -==， ∴n b n =．（2）由（1）可得：()1121n n c n n -=-+，所以1111112231n n T S n n ⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭112112211n n n n =--+=-+++ 【点睛】第一问考查1n n n a S S -=-的利用，以及基本量求解通项公式；第二问考查分组求和与裂项求和. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AB //CD ，2AB CD =，PA PD =，PA ⊥平面PCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设2AD CD ==，求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）11【解析】 【分析】（1）由CD ⊥平面PAD ，通过线面垂直，推出面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， ∴PA CD ⊥又AD CD ⊥且PA AD A ⋂=， ∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，作图如下：∵PA PD =，∴PO AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的直角坐标系，()0,1,0D ，()2,1,0C ，()0,0,1P ，()410B -，，， ()2,2,0BC =-u u u v ，()4,1,1PB =--u u u v，∴平面PBC 的一个法向量()1,1,3m =v，平面PAD 的一个法向量()2,0,0n DC ==u u uv vcos m n m n m n⋅=v v v vv v11=，∴平面PBC 与平面PAD . 【点睛】本题第一问考查通过线面垂直证明面面垂直，第二问考查利用向量求解二面角的大小.19.已知函数()()2sin 2cos 12f x x x x ππ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知()2f A =-，2a =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数整理为标准型，再求单调区间；（2）由（1）解得角A ，利用余弦定理及均值不等式，得bc 的最大值，即可得面积最大值.【详解】（1）()cos cos2f x x x x =-+12sin2cos222x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又∵[]0,x π∈，∴函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）∵()2f A =- ∴2sin 226A π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴262A ππ-=，∴3A π=在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =+-≥-=， 当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤∴当2b c ==时，()max ABC S ∆=【点睛】（1）第一问考查利用三角恒等变换化简三角函数为标准型，并求其单调性；（2）第二问考查三角函数与解三角形的结合，以及利用余弦定理，均值不等式求解三角形面积最大值得问题；本题属综合中档题，需要重视，高考常考.20.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，当m 变化时，证明：12λλ+为定值； （3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析；（3）5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：：1）由题设条件求出椭圆的右焦点F 与上顶点坐标，即可得出b ：c 的值，再求出2a 的值即可求得椭圆C 的方程：：2：设()()1122,,,A x y B x y ：联立直线与椭圆的方程：结合韦达定理得出12y y +与12y y ：再根据12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v 及10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭：从而可表示出12λλ+：化简即可得证：：3：）当0m =时，易得AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭：可猜想：m 变化时：AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭：再证明猜想成立即可.试题解析：：1：∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ： ∴右焦点()1,0F ，即21c =：又∵2x =的焦点(为椭圆C 的上顶点，∴b =222234b a b c ==+=，：∴椭圆C 的方程22143x y +=：：2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=： 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m 、+=-=-++： ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ：∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：∴1212111,1my my λλ=--=--： ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++：综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-：：3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，证明如下： ∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ：∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭： ∴//AN NE u u u v u u u v，即A N E 、、三点共线. 同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：：1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题：：2）求定值问题常见的方法：：从特殊入手：求出定值：再证明这个值与变量无关：：直接推理、计算：并在计算推理的过程中消去变量：从而得到定值． 21.已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的两个零点分别是1x ，2x ，求证：122x x a+>． 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，得其导数的主导因式为二次函数，对参数进行分类讨论即可；（2）要证122x x a +>，即证：212x x a >-，根据函数的单调性，等价于证：()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，讨论其单调性即可. 【详解】（1）函数()()2ln 2f x x ax a x=-+-定义域为()0,+∞，()()()()121122ax x f x ax a x x-+=-+-=-'， ①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<， 则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：由（1）易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 不妨设1210x x a<<<， 构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()()()()()()2'222212222ax ax ax F x f x fx f x f x a a x ax x ax -+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎣'⎭⎦'''， ∵10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()()22102ax F x x ax ='->-， ∴()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()11210F x F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 的即()2f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又1x ，2x 是函数()f x 的两个零点且110x a<<， ∴()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 又∵()()12f x f x =，∴()212f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 而2x ，12x a -均大于1a ，且()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴212x x a >-，∴122x x a+>，得证． 【点睛】本题第一问考查利用导数对含参函数单调性讨论；第二问考查极值点偏离问题的处理方法，构造函数法；本题的第二问属于经典题型，需要重点关注.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t ay t a=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23sin 4ρρθ=+． （1）求曲线C 的参数方程； （2）若3=4πα，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 【答案】（1）cos 1sin 2x y ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数） （2）2 【解析】 【分析】（1）将极坐标方程，化为直角方程，再转化为参数方程即可；（2）可以利用直线参方中参数的几何意义进行处理，也可以利用直角坐标系中的弦长公式. 【详解】（1）由23=sin 4ρρθ+得，2234x y y +=+， 的即22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴曲线C 的参数方程为12x cos y sin ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）． （2）解法一：若3=4πα， 则直线l参数方程为1212x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 代入2234x y y +=+， 整理得2410t ++=，560=>n ，12t t +=，1214t t =， ∴122AB t t =-==． 解法二：若34πα=，则直线l 的直角坐标方程为0x y +=， ∵曲线C 为圆，它的直角坐标方程为22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径1r =，圆心到直线l的距离14d ==，∴2AB ===． 【点睛】本题考查将极坐标方程转换为参数方程、利用直线参方中t 的几何意义求解弦长；本题中第二问的方法二，也是一种很好的思路，利用直角坐标系中的弦长公式进行求解.【选修4-5：不等式选讲】23.己知函数()2f x x a a =-+．的（1）当2a =时，求不等式()8xf x ≥的解集；（2）若不等式()14f x x ≥-+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}2x x ≥ （2）(]5,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】【分析】（1）将绝对值函数，转化为分段函数，分段求解不等式，先交后并即可；（2）不等式有解，等价于214x a x a ---≥-有解，求21x a x ---的最大值即可. 【详解】（1）当2a =时，()2,4426,4x x f x x x x -≥⎧=-+=⎨-<⎩， 当4x ≥时，由()8xf x ≥，得2280x x --≥，得4x ≥．当4x <时，由()8xf x ≥，得2680x x -+≤，得24x ≤<，∴不等式()8xf x ≥的解集为{}2x x ≥．（2）由()14f x x ≥-+有解，可得214x a x a ---≥-有解， 又()()212121x a x x a x a ---≤---=-∴214a a -≥-①．当4a ≥时，不等式①恒成立 当142a ≤<时，不等式①可化214a a -≥-，可得543a ≤<， 当12a <时，不等式①可化为124a a -≥-，可得3a ≤-． ∴实数a 的取值范围是(]5,3,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值不等式的性质、有解问题的转化，属不等式中档题.。
高三开学摸底考试数学文试卷及答案
江西师大附中高三数学（文）考试试卷命题人：张逸之 审题人：刘 芬 .8一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、由函数(23)y f x =-的图象得到函数(23)y f x =+的图象必须经过下述变换得（ ）A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60度；B ．假设三内角都大于60度；C ．假设三内角至多有一个大于60度；D ．假设三内角至多有两个大于60度。
3、已知关于x 的方程至少有一个负实根，则实数a 的取值范（ ）A ．a ＜0B ．a ＜1C ．a≤0D ．a≤14、定义集合运算：A ⊙B ＝﹛z|z=xy(x+y)，x ∈A,y ∈B ﹜.设集合A =﹛0，1﹜，B =﹛2，3﹜，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ ） A ．0 B ．6 C ．12 D ．185、不等式242x x-<+的解集为（ ）A ．13x <<B ．3x <C ．23x -<<D ．3x >或2x <- 6、命题甲：x ≠2或y ≠3；命题乙：x +y ≠5，则甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果c ＞b ＞a ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是（ ）8、下列命题为特称命题的是（ ） A ．偶函数的图像关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在大于等于3的实数9、已知函数k a x f y x+==)(经过点（0,4），其反函数)(1x f y -=的图象经过点(7,1)，则)(x f 在定义域上是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数10、若函数432--=x x y 的定义域为[0,m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，4]B ．]4,23[C ．]3,23[D ．),23[+∞11、已知,62322x y x =+则u=的最大值是122-+y x （ ）0122=++x axA ．25 B ．3C ．27 D ．412、函数331x x y -+=的极大值，极小值分别是（ ）A ．极小值-1，极大值1B ．极小值-2，极大值3C ．极小值-2，极大值2D ．极小值-1，极大值3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知集合A ＝﹛－1，3，m ﹜，集合B ＝﹛3，4﹜，若B A ⊂，则实数m ＝ .14、设曲线b ax x y ++=4在x =1处的切线方程是x y =，则=a ，=b .15、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 . 16、已知下面五个命题：①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. 表述正确的是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（12分）记函数f (x )3x 的定义域为A ，()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域为B . （1）求集合A ；（2）求集合B .为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表 （单位：人）（1）求x ，y ；（2）若从高校A,C 抽取的人中选2人作专题发言，求这两人都来自高校C 的概率.19、（12分）（1）求证：223)a b ab a b ++≥+; （2）a ，b 分别取何值时，上面不等式取等号.20、（12分）定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=－f (x ),且当x ∈[－1，1]时，f (x )=x 3. （1）求f (x )在[1，5]上的表达式；（2）若A ={x | f (x )>a , x ∈R},且A φ≠，求实数a 的取值范围.双曲线E 经过点A (4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F 1,F 2在X 轴上，离心率e =2。
广西南宁市、玉林市、贵港市等2020届高三毕业班摸底考试数学(文)试卷Word版含解析
广西南宁市、玉林市、贵港市等2020届毕业班摸底考试高三数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，∴A∩B={x|＜x≤4}=（]．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】===﹣3﹣i．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．3.已知角A满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边平方，判断出cosA小于0，sinA大于0，且sinA的绝对值大于cosA的绝对值，利用完全平方公式求出sinA﹣cosA的值，与已知等式联立求出sinA与cosA的值，即可确定出的值.【详解】∵A为三角形内角，且sinA+cosA=，∴将sinA+cosA=两边平方得：2sinAcosA=﹣，∴A为钝角，即sinA＞0，cosA＜0，且|sinA|＞|cosA|，∴1﹣2sinAcosA=，即（sinA﹣cosA）2=，∵sinA﹣cosA＞0，∴sinA﹣cosA=，联立得：，解得：sinA=，cosA=﹣，则sin2A=故选：D【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos 这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．4.执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据循环语句得S变化规律（周期），再根据规律确定输出值.详解：因为所以,所以当时选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.若直线与圆相交，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径.【详解】直线化为一般式为：，直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径，即，∴∴故选：D【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.6.已知x、y满足，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 12D. 16【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），令z=3x﹣y，化为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=的图象变换规律，得出结论．【详解】由函数f（x）=的部分图象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），将代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到的图象，故选：B．【点睛】由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.8.如图，棱长为的正方体中，为中点，这直线与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出直线D1M与平面ABCD所成角，然后求解即可【详解】连接DM，因为几何体是正方体，所以∠D1MD就是直线D1M与平面ABCD所成角，tan∠D1MD=故选：C【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可．【详解】函数是偶函数，排除选项B，C；当x＞0时，，∴在上单调递增，排除D故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.在中，的对边分别为，已知，则的周长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由sinB=2sinA，利用正弦定理得b=2a，由此利用余弦定理能求出a，b，从而得到的周长.【详解】∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，又c=，解得a=1，b=2．∴的周长是故选：C【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.11.如图，已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【详解】由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入，b＞0），可得x=±，y=±•，∴=c2，∴4a2b2=（b2﹣3a2）c2，∴4a2（c2﹣a2）=（c2﹣4a2）c2，∴e4﹣8e2+4=0，∵e＞1，∴e2=4+2，∴e=+1．故选：C．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】几何体复原后为正方体的内接四面体，其外接球即正方体外接球.【详解】几何体复原后如图所示:四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，外接球的直径2R=∴此几何体的外接球表面积为故选：B【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量与的夹角为，且，若，则__________．【答案】 1【解析】【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）•=0，展开后得答案．【详解】∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）•=，解得m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．14.某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为__________．【答案】60【解析】【分析】先求出高级教师与初级教师的人数之和，然后根据分层抽样的定义，即可得到结论．【详解】∵学校共有教师300人，其中中级教师有120人，∴高级教师与初级教师的人数为300﹣120=180人，∵抽取的样本中有中级教师72人，∴设样本人数为n，则，解得n=180，则抽取的高级教师与初级教师的人数为180﹣72=108，∵高级教师与初级教师的人数比为5：4．∴该样本中的高级教师人数为．故答案为：60【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：（1）；（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15.抛物线的准线方程是________．【答案】【解析】分析：根据抛物线标准方程求性质：的准线方程为详解：因为的准线方程为所以抛物线的准线方程是.点睛：的准线方程为焦点坐标为16.已知，点的坐标为，则当时，且满足的概率为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，满足|x|≤2且|y|≤2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其外部运动．因此，所求概率等于阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．【详解】如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其外部∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的概率为P1===．故答案为：【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设是公比不为1的等比数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）设.若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，，利用裂项相消法求和即可.【详解】(1) 设等比数列的公比为，则.因为，所以.解得（舍去），..（2）由（1）得，所以数列的前项和.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.(参考数据: ，计算结果保留小数点后两位）【答案】（1）；（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.【解析】【分析】（1）求得样本中心点（，），利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）由（1）可知：将t=8代入线性回归方程，即可求得该地区2019年该农产品的产量估计值为7.72万吨．【详解】（1）由题意可知：，，，∴，又，∴关于的线性回归方程为.（2）由（1)可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.【点睛】求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.（1）求证：平面；（2）求几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 判断PA⊥BC，且，从而得证PA⊥平面ABCD；（2）由运算求解即可．【详解】（1）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴.同理，∴平面.（2）∵为中点，.【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.20.设椭圆，右顶点是，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆右顶点的坐标为A（2，0），离心率，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；（2）当直线斜率不存在时，设，易得，当直线斜率存在时，直线，与椭圆方程联立，得，由可得，从而得证.【详解】（1）右顶点是，离心率为，所以，∴，则，∴椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，设，与椭圆方程联立得：，，设直线与轴交于点，，即，∴或(舍），∴直线过定点；当直线斜率存在时，设直线斜率为，，则直线，与椭圆方程联立，得，，，，，，则，即，∴，∴或，∴直线或，∴直线过定点或舍去；综上知直线过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．21.已知函数.（1）当图象过点时，求函数在点处的的切线方程；（其中为自然对数的底数，）（2）当时，求证：对任意，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由图象过点可得，求出，从而得到切线方程； (2) 欲证：，注意到，只要即可.【详解】（1）当图象过点时，所以，所以，由得，切点为，斜率为，所求切线方程为：，即；（2）证明：当时，，欲证：，注意到，只要即可，，令，则，知在上递增，有，所以，可知在上递增，于是有.综上，当时，对任意的恒成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于原点，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C的直角坐标方程；2（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|4sinα﹣4cosα|=4|sin（）|=4，进而sin（）=±1，由此能求出结果．【详解】（1）由消去参数可得普通方程为，∵，∴，由，得曲线的直角坐标方程为；（2）由（1）得曲线，其极坐标方程为，由题意设，则，∴，∴，∵，∴.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.已知函数.（1）解不等式；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意化简，分段解不等式，最后取并集即可；（2）的不等式有解等价于.【详解】（1）由题意化简，∵，所以或或，解得不等式的解集为：.（2）依题意，求的最小值，的最小值为 9，∴.【点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．。
2019-2020学年广东省梅州市茶背中学高三数学文月考试题含解析
2019-2020学年广东省梅州市茶背中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数是偶函数，则实数的值为A、0B、-1或1C、1D、0或1参考答案：C因为函数为幂函数，所以，即或.当时，函数为为奇函数，不满足条件.当时，为偶函数，所以，选C.2. 已知复数满足，则（）A．B．C．D．参考答案：D3. 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=2，BC=，∠CAB=120°，则∠AOB对应的劣弧长为（）A．πB．C．D．参考答案：C【考点】圆周角定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】由正弦定理求出sin∠ACB=，从而∠AOB=，进而OB=，由此能求出∠AOB 对应的劣弧长．【解答】解：由正弦定理知：=， =，∴sin∠ACB==，∴，∴∠AOB=，∴OB=，∴∠AOB对应的劣弧长： =π．故选：C．【点评】本题考查劣弧长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．4. 在边长为3的等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且满足，则A．B．C．D．参考答案：B略5. 已知命题P：若平面向量，，满足（?）?=（?）?，则向量与一定共线．命题Q：若?＞0，则向量与的夹角是锐角．则下列选项中是真命题的是（）A．P∧Q B．（￢P）∧Q C．（￢P）∧（￢Q）D．P∧（￢Q）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断出命题P和命题Q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：命题P：若平面向量，，满足（?）?=（?）?，则向量与共线或为零向量．故为假命题，命题Q：若?＞0，则向量与的夹角是锐角或零解，故为假命题．故命题P∧Q，（￢P）∧Q，P∧（￢Q）均为假命题，命题（￢P）∧（￢Q）为真命题，故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，向量的运算，向量的夹角等知识点，难度中档．6. 数列{a n}的通项公式为a n＝3n2﹣28n，则数列{a n}各项中最小项是（）A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项参考答案：B二次函数的对称轴为，数列中的项为二次函数自变量为正整数时对应的函数值，据此可得：数列各项中最小项是第5项.本题选择C选项.7. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是( ) Ks5u(A) 2 (B) 4 (C) (D)参考答案：C略8. 椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．9. 已知函数是定义在R上的增函数，函数的图象关于点对称．w若对任意的恒成立，则当时，的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：C略10. 若为实数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为 .参考答案：12. 如图所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2，3)，(4，6，5)，(8，12，10，7)，(16，24，20，14，9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，（1）、第7群中的第2项是：；（2）、第n群中n个数的和是：参考答案：96，3·2n－2n－313. 若实数满足，则的取值范围是__________．参考答案：如图，画出可行域，设写成表示斜率为-2的一组平行线，当直线过时，目标函数取得最小值，当直线过点时目标函数取得最大值，所以的取值范围是，故填：.考点：线性规划14. 已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____．参考答案：（-4，2）试题分析：因为当且仅当时取等号，所以考点：基本不等式求最值15. 曲线：（为参数）上的点到曲线：（为参数）上的点的最短离为．参考答案：116. “所有末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是______ __________。
江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试(三)数学(文科)试题(含答案)
2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a <b <1且ab ≠0，则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a <b <1可得a -1 b -1 >0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。
2020届高三数学第一次月考试题 文(含解析)新 人教
2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。
贵州省2019年普通高等学校高三招生适应性考试数学(文)
贵州省2019年普通高等学校高三招生适应性考试数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I 卷（本试卷共l2小题，每小题5分，共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）设全集U=R ，若A={x |2)0x -<（}，B={x|ln(1)y x =-}，则()U AB ð=（A ）（-2，1） （B ）（-2，1]（C ）[1，2）（D ）（1，2）（2）sin45o cosl5o +cosl35o sinl5o的值为（A ）12-（B ）12（C ）-（D ）（3）已知sin （4πα+）=23，则cos （4πα-）的值等于（A ） 23-（B ）23（C （D ） （4）设{n a }为递增等比数列，2010a 和2011a 是方程4x 2—8x+3=0的两根，则2012a = （A ） 9 （B ） 10（C ）92（D ） 25（5）将函数2sin()36x y π=+的图象按向量a=（4π-，2）平移后所得图象的函数为 （A ） 2sin()234x y π=+- （B ） 2sin()234x y π=++（C ） 2sin()2312x y π=-- （D ） 2sin()2312x y π=++（6）若非零向量a 、b 、c 满足a+b+c=0，，且c 与b 的夹角为l50o ，则向量a 与c 的夹角为 （A ）150o （B ）90o 或l20o （C ）90o 或150o （D ）60o （7）下面四个命题：①“直线a ∥直线b”的充分条件是“直线a 平行于直线b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α”的充要条件是“直线l ⊥平面α内无数条直线”； ③“直线a 、b 不相交”的必要不充分条件是“直线a 、b 为异面直线”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等”． 其中正确命题的序号是 （A ）①② （B ） ②③（C ） ③④（D ） ④（8）若直线100ax by (ab )+-=>平分圆222220x y x y +---=，则12a b+的最小值等于 （A ）（B ）（C ） 2（D ） 5（9）若变量x ，y 满足约束条件360203x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，且0z kx y(k )=+>的最大值为14，则k =（A ）1（B ）2（C ）23（D ）539（10）已知双曲线2222100x y (a ,b )a b-=>>的焦点为F 1、F 2，M 为双曲线上一点，若120FM F M =，且tan 1212MF F ∠=，则双曲线的离心率为 （A（B ）12（C ）（D ）56（11）某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2019级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“爱心社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社”，则不同的参加方法的种数为 （A ） 72 （B ） 108 （C ） 180 （D ） 216 （12）若y f (x )=是定义在R 上的函数，且满足：①f (x )是偶函数；②1f (x )-是奇函数，且当0<x ≤1时，f (x )lg x =，则方程2012f (x )=在区间（-6，10）内的所有实数根之和为 （A ） 8 （B ） 12（C ） 16（D ） 24第Ⅱ卷（本试卷共l0小题。
高三数学第三次模拟考试题(三)文(最新整理)
2019届高三数学第三次模拟考试题（三）文12019届高三数学第三次模拟考试题（三）文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高三数学第三次模拟考试题（三）文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2019届高三数学第三次模拟考试题（三）文的全部内容。
2019届高三第三次模拟考试卷文科数学(三）注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·新乡二模］已知集合{}2,3,4A=，集合{},2B m m=+,若{}2A B =，则m=( ）A．0 B．1 C．2 D．4 2．［2019·湘赣联考］设复数()iiaz aa-=∈+R在复平面内对应的点位于第一象限，则a的取值范围是（ )A．1a<-B．0a<C．0a>D．1a>3．［2019·南通期末]已知向量(),2a=m,()1,1a=+n,若∥m n，则实数a的值为( ）准考证号考场号座位号23A ．23- B ．2或1- C ．2-或1D ．2-4．[2019·毛坦厂中学]某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元5．[2019·广东模拟]若3π3sin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ) A ．12- B ．13- C ．13D ．126．[2019·临川一中]函数()12sin 12xxf x x ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．7．［2019·南昌一模]如图所示算法框图，当输入的x 为1时,输出的结果为（ )4A ．3B ．4C ．5D ．68．［2019·宜宾二诊］已知ABC △中，A ,B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B=︒，则AB 边上的中线的长为（ ） A ．37B ．34C ．32或37D ．34或379．[2019·江西九校联考］如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ )A ．2845+B ．2882+C ．164285+D ．168245+10．[2019·汕尾质检］已知A ,B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点,若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．［2019·菏泽一模]已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，5A 为椭圆上一点，且120AF AF ⋅=，直线2AF 交y 轴于点M ，若126F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ) A ．13BC ．58D12．［2019·江西九校联考]设[]x 为不超过x 的最大整数,n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和,则下列结论正确个数的有（ ） （1）34a = （2）190是数列{}n a 中的项 （3）1056S = （4)当7n =时，21n a n+取最小值 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·深圳期末］已知不等式组20202x y x y x -≥-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩所表示的平面区域为Ω,则区域Ω的外接圆的面积 为______．14．[2019·南京二模］若函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则4πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值为______．15．[2019·赣州期末]若曲线ln y x x =在1x =处的切线l 与直线:10l ax y '-+=垂直，则切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为_______．16．[2019·茂名一模］已知()0,0O ,()2,2A -，点M 是圆6()()22312x y -+-=上的动点，则OAM △面积的最大值为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）［2019·江南十校]已知数列{}n a 与{}n b 满足：()1232n n a a a a b n ++++=∈*N ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()1nn n n a c n b b +=∈*N ，n T 为数列{}n c 的前n 项和,证明1n T <．18．(12分)[2019·沧州模拟]高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节,全社会极其关注．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3x +”模式初露端倪．其中“3”指必考科目语文、数学、外语，“x "指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择3门作为选考科目,其中语、数、外三门课各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．假定A 省规定:选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%的，以此赋分70分、60分、50分、40分．为了让学生们体验“赋分制"计算成绩的方法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考,单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分)茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理86分,化学70多分．(1)求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．19．（12分）［2019·宜宾二诊]如图，边长为2的正方形ABCD 中,E、F分别是AB、BC边的中点,将AED△，DCF△分别沿7DE,DF折起，使得A，C两点重合于点M．求证：MD EF⊥；求三棱锥M EFD-的体积．20．（12分）[2019·临沂质检]已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，OFP△的外接圆与抛物线的准线相切,且外接圆的周长为3π．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若12AB=，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程．8921．（12分）[2019·石家庄质检］已知函数()e sin x f x a x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当1a =时，证明：对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥；(2）若函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．（10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】10［2019·新疆一模]在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数,以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>．（1)将圆C 的参数方程化为极坐标方程；(2）设点A的直角坐标为(，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，求OAB △面积的最大值．23．(10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·咸阳模拟]已知函数()()2f x x m x =--∈R ，且()20f x +≤的解集为[]1,1-．（1）求实数m 的值；（2）设a ,b ，c +∈R ,且222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值．2019届高三第三次模拟考试卷文科数学（三）答案一、选择题．1．【答案】A【解析】因为{}2A B =，所以2m=或22m+=．当2m=时,{}2,4A B =，不符合题意，当22m+=时,0m=．故选A．2．【答案】A【解析】()()()()22222212iii12ii i i111a aaa a aza a a a a a-----====-++-+++，z对应的点在第一象限，2222110112201aaa aa aa⎧->⎪⎧->⎪+∴⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪->⎪+⎩，故本题选A．3．【答案】C 【解析】根据题意，向量(),2a=m，()1,1a=+n,若∥m n，则有()12a a+=,解可得2a=-或1，故选C．4．【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为127508500015%=元,故选D．5．【答案】B【解析】因为3πsin2α⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式得cosα=，所以21cos22cos13αα=-=-，故选B．6．【答案】A【解析】因为()()()122112sin sin sin122112x x xx x xf x x x x f x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=⋅-=-⋅=⋅=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项B，C；因为2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ，故选A ．7．【答案】C【解析】当1x =时,1x >不成立，则1112y x =+=+=,011i =+=，20y <成立，2x =，1x >成立，24y x ==，112i =+=,20y <成立， 4x =，1x >成立,28y x ==，213i =+=，20y <成立，8x =，1x >成立,216y x ==，314i =+=，20y <成立16x =，1x >成立，232y x ==，415i =+=，20y <不成立,输出5i =，故选C ． 8．【答案】C【解析】∵3b =,33c =，30B =︒,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯⨯， 整理可得29180a a -+=，∴解得6a =或3．如图：CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==， ∴在BCD △中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得22233333626CD =+-⨯⎝⎭,或22233333323CD =+-⨯⎝⎭， ∴解得AB 边上的中线32CD =37C ．9．【答案】A【解析】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -,将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在ADC △中，25AC =,且CD AC ⊥，∴226AD CD AC =+=，114254522ADC S AC DC =⋅=⨯⨯=△， 在ABD △中，25AB =，42BD =， 由余弦定理得，222cos 226255AD AB BD DAB AD AB +-∠===⋅⨯⨯，∴2sin 1cos 5DAB DAB ∠=-∠=，∴11sin 62512225ABDS AD AB DAB =⋅∠=⨯⨯⨯=△， 又ABC S △与BDC S △均为边长为4的正方形面积的一半，即为8， ∴三棱锥A BCD -的表面积为1228452845+⨯+=+,故选A ． 10．【答案】A【解析】如图,取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥,DG BC ⊥， 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ,则O 为四面体A BCD -的球心, 由2AB AC DB DC BC =====，得正方形OEGF 3,则6OG =∴四面体A BCD -的外接球的半径222265133R OG BG ⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=．故选A ． 11．【答案】D【解析】结合题意,可知122F F c =，3c OM =则，故21tan 3MF O ∠=，结合120AF AF ⋅=， 可知1290F AF ∠=︒，故1213AF AF =， 设1AF x =,23AF x =，所以234a x x x =+=,()22224310c x x x =+=，所以c e a ==，故选D ． 12．【答案】C【解析】当1n =时，[)0,1x ∈，[]0x =,[]0x x =，[]{}0x x ⎡⎤∈⎣⎦，故11a =． 当2n =时，[)0,2x ∈，[]{}0,1x ∈，[][)0,2x x ∈，[]{}0,1x x ⎡⎤∈⎣⎦，故22a =． 当3n =时,[)0,3x ∈,[]{}0,1,2x ∈，[][)[)[)0,11,24,6x x ∈，故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤∈⎣⎦，共有4个数，即34a =，故（1）结论正确．以此类推，当2n ≥，[)0,x n ∈时,[]{}0,1,,1x n ∈-,[][)[)[)()())20,11,24,1,61x x n n n ⎡∈--⎣，故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为()22112312n n n -++++++-=，即()2222n n n a n -+=≥,当1n =时上式也符合，所以222n n n a -+=；令190n a =，得()1378n n -=,没有整数解，故(2）错误．()()1211221212n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭,所以111111112223341222n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 故1011522126S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以(3)判断正确． 21221112222n a n n n +=+->=,222n n=，244n =， 当6n =时，21166n a n +=+；当7n =时，21167n a n +=+, 故当7n =时取得最小值，故（4)正确．综上所述，正确的有三个，故选C ．二、填空题．13．【答案】25π4【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知1232tan 14122MON -∠==+⨯，故3sin 5MON ∠=, 又3MN =，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠,即52R =，故所求外接圆的面积为2525ππ24⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 14．【答案】3【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππω=，2ω∴=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．因为函数的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin π13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πϕ<<，π6ϕ∴=． 所以()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 342πππ6f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为315．【答案】1【解析】由题可得ln 1y x '=+，故切线l 的斜率为1， 又切点坐标为()1,0,所以切线l 的方程为1y x =-，因为切线l 与直线l '垂直，所以11a ⋅=-,所以直线l '的方程为1y x =-+,易得切线l 与直线l '的交点坐标为()1,0,因为切线l 与y 轴的交点坐标为()0,1-，直线l '与y 轴的交点坐标为()0,1，所以切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为12112⨯⨯=．16．【答案】6 【解析】如图，由题设，得圆心()3,1C ，半径2r =222222OA =+=， 直线OA 的方程为0x y +=，则OAM △边OA 上的高h 就是点M 到直线OA ,的距离，圆心()3,1C 到直线OA 的距离为31222d +==，可得圆()()22312x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为max 32h d r =+=，故OAM △面积的最大值max 112232622S OA h =⋅=⨯．故答案为6．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =，21n n b =-;（2）见解析． 【解析】（1)由1232n n a a a a b +++⋅⋅⋅+=……①2n ≥时,123112n n a a a a b --+++⋅⋅⋅+=……②①-②可得：()()133222248n n n a b b a b b -=-⇒=-=⨯=，12a =，0n a >，设{}n a 公比为q ，2182a q q ∴=⇒=，()1222n n n a n -∴=⨯=∈*N ,()()123121222222222112n nn n n n b b n +-∴=+++⋅⋅⋅+==-⇒=-∈-*N ．（2）证明：由已知：()()11121121212121n n n n n n n n n a c b b +++===-⋅----，121223*********121212*********n n n n n T c c c ++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=--------，当n ∈*N 时，121n +>，11021n +∴>-，111121n +∴-<-，即1n T <．18．【答案】（1）70分；（2）76,77，78，79;（3)25． 【解析】（1）()11100.0050.0150.0250.0350.12⨯-⨯+++=⎡⎤⎣⎦，100.0050.05⨯=,∴此次考试物理成绩落在(]80,90,(]90,100内的频率依次为0.1，0.05，概率之和为0.15，小明的物理成绩为86分，大于80分．∴小明物理成绩的最后得分为70分．（2）因为40名学生中，赋分70分的有4015%6⨯=人，这六人成绩分别为89，91，92,93，93，96;赋分60分的有4035%14⨯=人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人,分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为76,77，78，79．（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A ,a ，b ，c ，d ，e ，小明的所有可能选法有(),,A a b ，(),,A a c ,(),,A a d ，(),,A a e ，(),,A b c ，(),,A b d ,(),,A b e ,(),,A c d ，(),,A c e ,(),,A d e 共10种，其中包括化学的有(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A a d ，(),,A a e 共4种，∴若小明必选物理,其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为25．19．【答案】（1）见解析;（2）13．【解析】（1)证明：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M =，MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥．（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点,1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S ∴==⨯⨯=△△，由（1）知,111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=△．20．【答案】（1）24y x =;(2）最小值为5，直线方程为210x ±-=．【解析】（1）因为OFP △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFP △的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径， 圆周长为3π，所以圆的半径为32r =， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上2p OF =， 所以3422pp +=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =． （2）①当l 的斜率不存在时， 因为12AB =，所以246x =，得9x =,所以点M 到y 轴的距离为9，此时，直线l 的方程为9x =，②当l 的斜率存在且0k ≠时，设l 的方程为y kx b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ,()00,M x y ，由24y x y kx b==+⎧⎨⎩，化简得()222220k x kb x b +-+=， 所以16160Δkb =-+>，由韦达定理可得12242kbx x k -+=,2122b x x k =，所以()22212124114112kbAB k x x x x k -++-+=， 即42911k kb k -=+，又因为212022222219191129151211x x kb k x k k k k k +-===+=++-≥=++，当且仅当2113k+=时取等号，此时解得2k =, 代入12kb =-中，得22k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，22k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩, 所以直线l 的方程为2222y x =-或2222y =+,即直线方程为10x -=．21．【答案】(1）见证明；(2)()0,1a ∈．【解析】（1）当1a =时，()e sin x f x x =-，于是()e cos x f x x '=-． 又因为当()0,x ∈+∞时，e 1x >且cos 1x ≤． 故当()0,x ∈+∞时,e cos 0x x ->，即()0f x '>． 所以函数()e sin x f x x =-为()0,+∞上的增函数，于是()()01f x f ≥=．因此对[)0,x ∀∈+∞,()1f x ≥．（2）方法一：由题意()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值,则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点,①当()0,1a ∈时,()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭,所以，存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数;当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，所以00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点；②1a ≥当时,()e cos e cos 0x x f x a x x ≥-'=->在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值;③当0a ≤时，()e cos 0x f x a x =-<'在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值,综上所述,使()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1．方法二：由题意，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．即e cos x x a =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 设()cos e x x g x =，2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数．即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()e cos x f x a x'=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 下面证明，当()0,1a ∈时,函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．事实上，当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以,存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，即00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点．综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．22．【答案】（1)4cos ρθ=；（2）2． 【解析】（1）圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数，∴圆C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， ∴圆C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．(2）射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，4cos OB α∴=，π2α≠，点A 的直角坐标为()1,3，132OA ∴=+=, ()1sin 602OAB S OA OB α=⨯⨯⨯︒-△()124cos sin 602αα=⨯⨯⨯︒- 314cos cos sin 2ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭223cos 2sin cosααα=-()31cos2sin2αα=+-()2sin 6023α=︒-+ ()2sin 2603α=--︒+,∴当26090α-︒=-︒，即15α=-︒时，OAB △面积取最大值23S =+．23．【答案】（1）1m =；（2）14．【解析】（1）依题意得()2f x x m +=-，()20f x +≤，即x m ≤， 可得1m =． （2）依题意得2221a b c ++=(0a b c >，，)由柯西不等式得， 2222222312314a b c a b c ++≤++⋅++=, 当且仅当23b c a ==,即1414a =，147b =，31414c =时取等号． ∴23a b c ++的最大值为14．。
【精准解析】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试题
2020年兰州一中高三数学模拟试卷（二）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2. 设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案．【详解】设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-，4a =-；4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+，复数z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题． 3. 若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A. b a > B. b a < C. b a < D. b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 4. 已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B.12C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】∵α为锐角，3cos5α=，∴4sin5α，则2sin2sin cos222tan2cos2cos22αααααα==4sin1531cos215αα===++，∴1tan tan1422tan31421tan tan1422παπαπα++⎛⎫+===⎪⎝⎭--.故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A. s＞3？B. s＞5？C. s＞10？D. s＞15？【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k＝1，s＝1，s＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝2，s＝4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，s＝6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，s＝11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.因此判断框内的条件可填：s ＞10？ 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A. []0,2B. 0,⎡⎣C. []22-,D. -⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2cos [22,22]OM ON θ=∈- 故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D 【解析】 【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数； 则一共可以表示14216+=个两位数； 故选D ．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ） A. (3,7)-B. ()4,5-C. (7,3)-D. ()2,6-【答案】C 【解析】 【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.9. 已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221124x y -= D.221412x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线性质得3a =，再根据渐近线求得1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，3a =且一条渐近线的倾斜角为30，所以3b a =，解得1b =，所以双曲线C的方程为2213x y -=.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A.16B.13C.23D.79【答案】D 【解析】 【分析】由m ，{}1,2,3n ∈，分别作分类讨论，可写出9组数据，再结合古典概型公式计算即可 【详解】当1m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()1,1,1,2,1,3； 当2m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()2,1,2,2,2,3； 当3m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()3,1,3,2,3,3；其中符合1m n -≤的组合为： ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,3,2,3,37种情况， 故两人心有灵犀的概率为：79P = 故选：D【点睛】本题考查古典概型的基本求法，列举法、树状图法常用来求解此种题型，属于基础题11. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A.35B. 45-C. 3-D. 【答案】B 【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D.24[,)e -+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -, 所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnx k x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 【答案】2677 【解析】 【分析】结合秦九韶算法，将5432()254367f x x x x x x =--+-+转化为()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，然后由内至外逐步计算即可求出答案【详解】()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+令125,t x =- 当5x =时，12555t =⨯-=；则令214t t x =-，当15,5t x ==时，255421t =⨯-=； 则令323t t x =+，当221,5t x ==时，32153108t =⨯+=；则令436t t x =-，当3108,5t x ==时，410856534t =⨯-=； 则令547t t x =+，当4534,5t x ==时，5534572677t =⨯+=； 故(5)2677f = 故答案为：2677【点睛】本题考查秦九韶算法，将多项式转化为()()()()()254367f x x x x x x =--+-+至关重要，属于中档题14. 设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 【答案】95【解析】 【分析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，1312n m n ++++可化为111a b++，利用基本不等式可求11a b+的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15. 设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'fx ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019xxe f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】构造函数()()2019xxg x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x 的单调性即可得到答案.【详解】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+ 故答案为：()0,∞+【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.16. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝，PC =P ﹣ABC 外接球的表面积为______．【答案】10π 【解析】 【分析】由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R .【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理得cos B 222222PB BC PC BP BC +-==⋅，⇒sin B 22=， 由正弦定理得：2PC R sinB =，解得R 10=， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π， 故答案为10π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE 是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）35. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由勾股定理得BD AD ⊥，再由平面ADE ⊥平面ABCD ， 得BD ⊥平面ADE ，得证； （Ⅱ）由13C BDE E BCD BCD V V S EH --==⋅△，得112336335C BDE V -=⨯= 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，4BD =，3AD =，5AB =222AB AD BD ∴+=，BD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，BD ∴⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF∴平面⊥BDF 平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ，由ADE 为等边三角形得EH AD ∴⊥ 平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ∴⊥平面ABCD ，1·3C BDE E BCD BCD V V S EH --∴==△又因为ADE 中，332EH =， 在ABD △中，AB 边上的高341255⨯==112112(25)342525BCD ABCD ABD S S S ∆∴=-=⨯+⨯-⨯⨯=△ 112336335C BDE V -∴=⨯⨯=∴三棱锥C BDE -的体积为63.考点：空间中的位置关系、体积计算． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.【答案】（1）()3*423,n n a n n -=+⋅∈N ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）题设中的递推关系可转化为131n n S S n n +=+，利用等比数列的通项公式可求n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求出n S 后可求{}n a 的通项公式.（2）利用裂项相消法可求{}n b 的前n 项和，从而可证不等式成立. 【详解】（1）∵()1310n n n S nS ++-=，∴131n n S S n n+=+，又12013S =≠，所以113n n S n S n++=， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项，3为公比的等比数列，∴1223233n n n S n --=⨯=⨯，223n n S n -=⋅. 当2n ≥时，()()2331=23213423n n n n n n a S S n n n -----=⋅--⋅=+⋅；当1n =时，123a =符合上式，∴()3*423,n n a n n -=+⋅∈N . （2）证明：()1111122112n n n n n n n n nn S S a b S S S S S S +++++-⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴12122311111112n nn b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111223n S S S +⎛⎫=⨯-<⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率． 【答案】(1)0.035a =，0.025b =.(2)35【解析】【详解】试题分析：(1)根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =；(2) 根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 由古典概率模型的求法：令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，例举总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 这10种情况，其中,,,ABa ABb ACa ,,ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，运用概率公式可求出三人获得代金券总和为200元的概率.试题解析：(1) 根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况， 其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. 考点：考查统计与概率的相关知识20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果. 【详解】（1）设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设:1lx my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21. 已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12a f x x ax <-+-恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）． （2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0， 因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数， 故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0， 所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A 、B 均异于原点O，且AB =α的值. 【答案】（1）(223x y +=，()2211x y -+=；（2）512π或1112π. 【解析】 【分析】（1）由题意消去参数即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）由题意结合极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得曲线1C 的极坐标方程，设()1,A ρα，()2,B ρα，由ρ的几何意义可得4sin 6AB πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程消参可得曲线1C的普通方程为(223x y +=；曲线2C 极坐标方程可变为22cos ρρθ=，∴2C 的直角坐标方程为222x y x +=即()2211x y -+=；（2）曲线1C 化极坐标方程为ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρα=，22cos ρα=，∴122cos 4sin 6AB πρρααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵0απ<<，∴5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=. 【点睛】本题考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的转化，考查了ρ的几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.23. 已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值. 【答案】（1）6m =（2）32 【解析】 【分析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值. 【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，，- 21 - ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0， ]内的x0的值．
【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+ cos（wx）=2sin（wx+ ）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，
∴ =π，
∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+ ）．
∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，
【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
当x＞1或x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当﹣ ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（﹣ ）为极大值．
∵f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
2025届新高三数学开学摸底考试卷03(新高考通用)(解析版)
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）03数学•全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x <+<=，则A B = （）A ．{}3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【分析】首先根据对数函数的性质化简集合B ，再结合交集运算可得答案.【详解】由题意得{}211x e e B x -<<-=，又因为22.7,49e e =<< 所以{}2,3A B ⋂=，故选：C.2．若复数z 满足()i 2i i z z +=-，则z =（）A ．1B CD ．2【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数z 满足i 2i(i)z z +=-，则可转化为2i (2i)(12i)43i 12i (12i)(12i)55z --+===+--+，所以||1z =.故选：A.3．已知向量(),1a m =，()1,b n = ，若()()//a b a b +- ，则（）A ．1mn =B ．1mn =-C ．0-=m n D ．0m n -=【答案】A【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.【详解】()1,1a b m n +=++ ，()1,1a b m n -=-- ，∵()()//a b a b +-，∴()()()()1111m n m n +-=-+，化简得1mn =．故选:A ．4．已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（）A ．12B ．15C ．25D ．2【答案】B【分析】首先求出cos()αβ-，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出cos cos αβ，最后由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为π02βα<<<，所以π02αβ<-<，因为()4sin 5αβ-=，所以3cos()5αβ-==，因为sin sin sin cos sin cos sin()2tan tan cos cos cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβαβ--=-=-==，所以2cos cos 5αβ=，因为23cos()cos cos sin sin sin sin 55αβαβαβαβ-=+=+=，则1sin sin 5αβ=．故选：B ．5．已知圆锥的轴截面为,PAB P 为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若60APB ∠=︒，则该圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，利用内切圆的性质，求得圆锥的底面半径和高，结合体积公式，即可求解.【详解】如图所示，设内切球O 与PA 相切于点E ，因为60APB ︒∠=，所以OPA ∠30︒=，由内切球的表面积为12π，可得球的半径r OP ==则圆锥的高为3，所以该圆锥的体积1π93V =⨯⨯.故选：A.6．函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1-B ．(],1-∞-C ．[)1,-+∞D ．11,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A.7．已知函数()()()3sin3cos3,2lg 1f x x x g x x =+=+，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】准确分析函数性质，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象即可得解.【详解】()π33cos 22sin 36f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，当()f x 取最大值时，有ππ32π,Z 62x k k +=+∈，即π2π,Z 93k x k =+∈，由()()2lg 1219g x x x =+≤⇒-<≤，令π2π19,Z 93k x k -<=+≤∈，解得04,Z k k ≤≤∈，当x 趋于1-时，()()()h x f x g x =-趋于正无穷，而2π2π2π2π122lg 122lg 0999910h f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=---<--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()h x f x g x =-在2π1,9⎛⎫-- ⎪⎝⎭上存在一个零点，根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出()f x 的图象与()g x 的图象如图所示，由图可知，()()()h x f x g x =-在2π1,9⎛⎫-- ⎪⎝⎭上存在一个零点，()()()h x f x g x =-在{}2π2π4π2π,,0,1,2,3,49393k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上存在2510⨯=个零点，综上所述，()f x 的图象与()g x 的图象共有11个交点.故选：C ．【点睛】关键点点睛：关键是对区间进行适当划分，从而研究函数在各个区间上的性质，由此即可顺利得解.8．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==，记()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c<<【答案】D【分析】根据函数()f x 满足的表达式以及()1e f =，利用赋值法即可计算出,,a b c 的大小.【详解】由()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==可得，令12x y ==，代入可得()21111=e 222f f ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即12a f ⎛⎫==± ⎪⎝⎭令1x y ==，代入可得()()22221e f f ==，即()2e22b f ==，令1,2x y ==，代入可得()()()23e 32122e e 23f f f ==⨯=，即()3e 33c f ==；由e 2.71828≈⋅⋅⋅可得23e e 23±<，显然可得a b c <<.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X 的分数转换区间为[]30,100，若等级分()80,25X N ，则（）参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+=；()220.9545P X μσμσ-<≤+=；()330.9973P X μσμσ-<≤+=.A ．这次考试等级分的标准差为25B ．这次考试等级分超过80分的约有450人C ．这次考试等级分在[]65,95内的人数约为997D ．()70750.1359P X <≤=【答案】CD【分析】由(80,25)X N ～，则80,5μσ==，根据正态分布的性质，结合题中给出的概率公式，对每一选项进行分析，可得答案.【详解】对于A ，由题设，均值80μ=，方差225σ=，所以标准差为5，故A 错误；对于B ，(80)0.5P X >=，所以10000.5500⨯=人，故B 错误；对于C ，(6595)(33)0.9973P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，则10000.9973997⨯≈人，故C 正确；对于D ，(22)()(7075)0.13592P X P X P X μσμσμσμσ-<≤+--<≤+<≤==故D 正确．故选：CD.10．已知函数()sin cos e e x xf x =+，则（）A ．()f x 的图象关于直线π4x =对称B ．()()π4f x f x ⋅+≥C ．()()3f x f x +->D ．()f x 在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的极大值为【答案】ABD【分析】对于A 选项，把轴对称转化为等式()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立，结合诱导公式，从而可以得证；对于B 选项，先化简()()πf x f x ⋅+，然后结合基本不等式，即可求得最小值；对于C 选项，令πx =，举反例，可得C 错误；对于D 选项，利用导数求函数极值，即可求解.【详解】对于A 选项，因为()ππsin cos cos sin 22πe e e e 2x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π4x =对称，故A 正确；对于B 选项，()()()()sin cos sin cos sin cos cos sin πe e ee 2e e x x xx x x x x f x f x ----⋅+=++=++24+≥，当且仅当sin cos x x =时取等号，故B 正确；对于C 选项，()()112ππ1123e e ef f +-=+++=+<，故C 错误；对于D 选项，因为()sin cos e cos e sin x xf x x x =⋅-⋅'，当π02x -<≤时，sin 0x ≤，cos 0x >，则()0f x '>；当π04x <<时，()sin cos sin cos e e e cos e sin sin cos sin cos xxx xf x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎝'=-⎪⎭，设()e x p x x =，()0,1x ∈，则()()2e 10x x p x x'-=<，所以()e xp x x =在()0,1上单调递减.由π04x <<，得()sin ,cos 0,1x x ∈且sin cos x x <，()()sin cos p x p x >，sin cos e e sin cos x xx x>，又sin cos 0x x >，则()0f x '>，则()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当π4x =时，π04f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，结合A 选项知()f x 在ππ,24⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的极大值为π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 正确.故选：ABD.11．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xoy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2a (0)a >的点的轨迹成为双纽线C ，已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法正确的有（）A ．双纽线C 关于原点O 中心对称；B ．022a a y -≤≤；C ．双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；D ．||PO.【答案】ABD【分析】对于A ，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将(,)x y --替换方程中的(,)x y 进行判断，对于B ，根据三角形的等面积法分析判断，对于C ，由题意得12PF PF =，从而可得点P 在y 轴上，进行可判断，对于D ，由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于A ，因为定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点12(,0),(,0)-F a F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ，2a =，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，所以A 正确，对于B ，设12F PF α∠=∵1221211sin sin 22PF F S PF PF a αα=⋅= ，12120012PF F S F F y a y == ，∴201sin 2a y a α=，∴01sin 22ay a α=≤，∴022a a y -≤≤，故B 正确；对于C ，由12PF PF =知P 在12F F 的垂直平分线（方程为0x =）上将0x =2a =2a =即222a y a +=，解得0y =，∴这样的点只有一个，故C 错误；对于D ，因为121()2PO PF PF =+，所以()()2222211221*********cos 44PO PF PF PF PF PF PF PF F PF PF =+⋅+=+⋅∠+ ，由余弦定理得22211212242cos a PF PF PF F PF PF =-⋅∠+ ，所以22222121212cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+⋅∠=+∠≤，所以||PO ，故D 正确；故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2019-2020年高三数学摸底考试试题 文【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合{}21M x x ==，{}1,2N =,则M N ⋃= A ．{1,2} B ．{1,1,2}-C ．{1,2}-D ．{1}【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合{}21M x x ==，即{}11M x x 或==-，又因为{}1,2N =，所以M N ⋃={1,1,2}-，故选B.【思路点拨】先化简集合M ，再求结果即可.【题文】2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z = A. 2 B. 2-C. 1i +D. 1i -【知识点】复数的运算.L4【答案解析】A 解析：因为复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则21z i =-，所以12z z =()()1+1=2i i -，故选A.【思路点拨】先利用已知条件求出2z 再计算结果即可. 【题文】3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【知识点】指数函数的单调性；对数函数的单调性；比较大小.B6 B7 【答案解析】C 解析：因为103022a -<=<，故01a <<；221log log 103b =<=，故 0b <，112211log log 132c =>=，故1c >.故c a b >>，故选C. 【思路点拨】分别利用指数函数的单调性与对数函数的单调性判断出各自的范围，然后再比较大小即可.【题文】4．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【知识点】充要条件.A2【答案解析】A 解析：当0a =时，()()1010a a -=⨯-=；当()10a a -=时，01a 或=，由此可知：0a =是()10a a -=的充分而不必要条件，故选A.【思路点拨】对两个命题进行双向推出即可.【题文】5．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项A ：m 、n 平行、相交、异面都有可能；选项B 显然成立 【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。
【题文】6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S = A ．31 B ．32 C ．63D ．64【知识点】等比数列的性质；等比数列的前n 项和． D3【答案解析】C 解析：由等比数列的性质可得24264--S S S S S ，，成等比数列，即63153S 15，，--成等比数列，∴()()261533S 15-=-，解得6S =63，故选A. 【思路点拨】由等比数列的性质可得24264--S S S S S ，，成等比数列，代入数据计算可得．【题文】7．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A ．3()f x x =B ．()sin f x x =C ．()1f x x=D ．()||f x x x =-【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3、B4【答案解析】D 解析：根据四个函数的图像获得正确选项. 【思路点拨】通过函数图像分析结论.【题文】8．由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为A.81 B.41 C. 43 D.87【知识点】几何概型；简单线性规划．E5 K3【答案解析】D 解析：平面区域1Ω，为三角形AOB ，面积为12×2×2＝2， 平面区域2Ω，为四边形BDCO ，其中C （0，1），由2=01y x x y --⎧⎨+=⎩，解得1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1322，，⎛⎫- ⎪⎝⎭则三角形ACD 的面积S=12×1×12=14，则四边形BDCO 的面积S=S △O A B −S C D ＝2−14=74， 则在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为77428=，故选：D ． 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【题文】9．已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为A 22B 51C 31D 2+1【知识点】抛物线及其几何性质、双曲线及其几何性质.H6、H7【答案解析】D 解析：根据题意得：()1,0,F 从而()1,2A ±所以22221141a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得 2322a =±22a c <，所以2322a =-21a =，所以12121c e a ===+-.故选：D ． 【思路点拨】先求出点F 、A 的坐标，从而求出a 、b 、c 的值，进而求得离心率。
【题文】10．已知菱形ABCD 的边长为2，0120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，,BE BC DF DC λμ==.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= A ．12 B ．23 C ．56 D ．712【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】C 解析：由题意可得:若AE AF AB BE AD DF AB AD AB DF BE AD BE DF （）（）22cos120ABABAD ADADAB24422cos120 44221，∴4423 ①．111(1)CE CF EC FC EC FCBC DC AD AB21122cos120123， 即23 ②． 由①②求得56， 故选C ．【思路点拨】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由1AE AF ⋅=，求得4423 ①；再由23CE CF ⋅=-，求得23②．结合①②求得的值．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）【题文】11．已知某程序框图如图，若分别输入的x第11题图的值 为0,1,2，执行该程序后，输出的y 的值分 别为,,a b c ，则a b c ++= ． 【知识点】程序框图 L1【答案解析】6 解析：：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数241111x x yx x x ，＜，＝，＞的函数值． 当x=0时，则y=4°=1；当x=1时，则y=1；当x=2时，则y=22=4； 则a+b+c=1+1+4=6,故答案为：6．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数241111x x yx x x ，＜，＝，＞的函数值，将x 的值分别代入即得．【题文】12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c 且4524==B c ，，面积2=S ， 则b = ．【知识点】三角形的面积公式；余弦定理. C8112sin 42221222ac B a a a ．，由余弦定理得2222222cos 1422142252b acac B ，∴5b ．【思路点拨】先利用三角形的面积公式求出边a ；利用三角形的余弦定理求出边b ． 【题文】13. 如图,对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中,m n N *∈):例如27的“分裂”中最小的数是1,最大的数是13；若3m 的“分裂”中最小的数是241,则最大的数是 ．1 23 53 35 321 322 79 4233119 7 432927 25 7 92715 31311第13题图【知识点】合情推理、数列，M1、D2【答案解析】271 解析：3235=+：分裂中的第一个数3211=⨯+，最后一个数 5321=+⨯；337911=++：分裂中的第一个数7321=⨯+，最后一个数11722=+⨯；3413151719=+++：分裂中的第一个数13431=⨯+，最后一个数191323=+⨯；发现分裂数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是：底数⨯（底数-1）+1. 又3m 分裂中的第一个数是241，则()12411240m m -=-=，解得()162m m => 所以316的分裂中最大数是：()2412161271+-=【思路点拨】根据3332,3,4分裂的结果，归纳总结3m 分裂的特点：分裂数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是：底数⨯（底数-1）+1.从而求得分裂中的第一个数是241的底数m 的值。
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【题文】14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为42,4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ． 【知识点】圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．N3 【答案解析】4 解析：由点M 的极坐标为42,4π⎛⎫⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标42cos=442sin=444x y ，，即M （4，4），由曲线C 的参数方程1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α得普通方程为：2211x y ，∴圆心为A （1，0），半径r =1，由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为2234151=4MA r．【思路点拨】利用公式即可把点M 的坐标化为直角坐标；把曲线C 的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|-r 即可求出最小值．【题文】15．（几何证明选讲选做题）如图，过⊙O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且9PB =，C 是圆上一点 使得4BC BAC APB =∠=∠，，则AB = ． 【知识点】几何证明选讲.N1【答案解析】6 解析：因为PAB CAB ∠=∠(弦切角等于它所夹弧所对圆周角) ,BPA BAC ∠=∠,所以APB 与CAB 相似, 所以,PB ABAB BC=即29436AB PB BC =⋅=⨯=,所以6AB =. 【思路点拨】利用三角形相似求线段AB 的长即可.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 【题文】 16．( 本小题满分12分)已知函数()2cos 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求()f x 的单调递减区间； （2）若3sin 5θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()4f θπ+． 【知识点】三角函数的单调区间；同角三角函数的基本关系式；三角恒等变换. C2 C3 C5【答案解析】（1）54,4,22k kk Z ；（2 解析：（1）由2224x k k k Z ……………2分 解得：54422kx k，k Z ……………3分f x 的单调递减区间为54,4,22kkk Z ……………4分（2）3sin,,52，2cos1sin ，……………5分34155……………6分 1142cos42cos 2244f ……………7分2cos 2cossin 2sin44……………8分2cos2sin 2……………9分222cos sin 2sin cos ……………10分224334225555……………11分31225……………12分 【思路点拨】（1）直接利用余弦函数的单调区间即可；（2）先利用同角三角函数的基本关系式求出余弦值，再利用公式把4f 化简代入数值即可.【题文】17. （本小题满分1２分）为增强市民的环保意识，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的志愿者中随机选取20名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄(岁)分成五组:第1组[)20,25,第2组[)25,30,第3组[)30,35,第4组[)35,40,第5组[)40,45.得到的频率分布直方图(局部)如图所示.（1）求第4组的频率,并在图中补画直方图；（2）从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人,求这3名主要 宣讲人的年龄在同一组的概率.【知识点】频率分布直方图；超几何分布；组合的运算；概率.I2 J2 K5 【答案解析】（1）0.3，图见解析；（２）25解析：（1）第4组的频率为()10.010.040.070.0250.3-+++⨯=.....1分0.30.065=, ............................2分, 则补画第4组的直方图如图所示：频率组距0.01 0.04 0.06 0.07 20 25 30 40 3545O年龄∕岁第17题图.............................................4分（２）设“从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人, 其年龄均在同一组”为事件A...............................................5分 第一组的人数为0.015201⨯⨯=人第二组的人数为0.045204⨯⨯=人......................6分设第一组的志愿者为m ，第二组的4名志愿者分别为a,b,c,d.......................7分 从m, a,b,c,d 中选出3名志愿者共有()()()()(),,,,,c ,,,,,,,,,,m a b m a m a d m b c m b d()()()()(),,,,,,,,,,c,d ,b,c,d ,m c d a b c a b d a 10种选取方法。