与轴对称相关的最值问题

图（5）

C

E D P

B

A 与轴对称相关的最值问题

【典型题型一】：如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

【典型题型二】如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

【练习】1、(温州中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200

,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ）

解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。这时三角形CBE 1是含有300

角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23a 。所以选（D ）。

2、如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B 西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）

（A ） 4+185英里 （B ） 16英里 （C ） 17英里 （D ） 18英里

3．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?

4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上 一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。

即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交 AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。在直角△DBC'中DB=1，BC=2， 根据勾股定理可得，DC'= 5

5．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边 上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小

作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E 的长就是PB+PE 的最小值

在直角△B'EF 中，EF = 1，B'F = 3根据勾股定理，B'E = 10

6．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．2 3 B ．2 6 C ．3 D ． 6

即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ，

连接BE 交AC 于点P ，则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 3 7．如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值；

作点C 关于BD 的对称点C'，过点C'，作C'B ⊥BC ，交BD 于点P ，则C'E 就是PE+PC 的最小

值直角△BCD 中，CH = 20

5

错误！未定义书签。直角△BCH 中，BH = 8 5 △BCC'的面积为：

BH ×CH = 160

所以 C'E ×BC = 2×160 则CE' = 16

F

P

B'

E

Ａ

Ｃ

Ｂ

Ｃ'

D

Ａ

Ｃ

Ｂ

E

P

E B C

D A

H P

E

C'

D

A

C

B

8．如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；

点C 关于BD 的对称点是点A ，过点A 作AE ⊥BC ，交BD 于点P ，则AE 就是PE+PC 的最小值在等腰△EAB 中，求得AE 的长为5 2

9．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )

A 2 2

B 2

C 1

D 2

即在MN 上求一点P ，使PA+PB 的值最小作点A 关于MN 的对称点A'，连接A'B ，交MN 于点P ，则点P 就是所要作的点A'B 的长就是PA+PB 的最小值

连接OA'、OB ，则△OA'B 是等腰直角三角形所以 A'B = 2

10如图，一次函数 y = 12x 与反比例函数y = k

x 交于点A ，AM ⊥x 轴于点M ，S △OAM = 1

(1)求k 的值，

(2)点B 为双曲线y=k

x 上不与A 重合的一点，且B(1，n)，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小

(1)由S △OAM = 1知，k = 2

(2)作点A 关于x 轴的对称点A ’，连接A ’B ，交x 轴于点P ，连接PA ，则PA+PB 最小。 用待定系数法求直线A ’B 的解析式为y = - 3x + 5， 因为点P 在x 轴上，所以设 y = 0，即0 = - 3x + 5， 解得 x = 53 所以P( 5

3

，0)

11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称

点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P′的坐标为 （不必证明）； （3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标． (1)点B(5，3)、C(-2，5)关于直线l 的对称点B'(3，5)、C'(5，-2) (2)坐标平面内任一点P(a ，b)关于直线l 的对称点P'的坐标为(b ，a)

(3)作点E 关于直线l 的对称点E'，连接DE'，交直线l 于点Q 则QE+QD 的值最小设直线DE'的解析式为：y = kx+b ，因为D(1，-3)、E'(-4,-1)，

则-3 = k+b-1 = -4k+b

解得：k = - 25 ，b = - 135 所以 y = - 25 x - 13

5

当x = y 时，有x = y = - 137 则Q 点的坐标为(- 137 ，- 13

7

)

【典型题型三】：如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON

上作

点A ，B 。使△PAB 的周长最小

12、如图（9），∠AOB=450

，角内有一点P ，PO=10，在角两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则 ①△PQR 的周长最小值是____________。

②当ΔPQR 周长最小时，∠QPR 的度数=_________。（答案：900

）

P E

C

A D

B P

A'

B

A

N

O

M

x y

l Q

E'

C'

B'

E

D C

B A'

A O B

A 图（9）

O

P