7.8三角形(高中平分)
三角形及其性质
三角形及其性质【知识要点】1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形的性质：（1）边：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）角：①三角形内角和等于180；②三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和； 3．三角形的分类 （1）按边分类（2）按角分类 4．三角形中的特殊线（1）高（2）角平分线 （3）中线 （4）中位线5．内心：三条角平分线的交点. 外心：是垂直平分线的交点. 重心：三条中线的交点 垂心：三条高所在直线的交点 考点一：三角形的三边关系考题类型：1.判定三条线段能否构成三角形 2. 求三角形的边的取值范围考点三必知：已知两边长分别a ，b ，且a>b ，则第三边长x 的取值范围是a-b<x<a+b,即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【例1】若某三角形的两边分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ） A. 1 B.5 C.7 D.9【练习】：下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8 考点二：三角形的角考题类型：1.三角形内角和定理的应用 2. 三角形外角的性质的应用⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形考点一必知：明确一副三角形的角度90°，45°，45°和90°，60°，30°以及外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”【例2】将一副三角板按如图1-3中的方式叠放，则∠а的读数是（ ） A. 30° B.45° C.60° D.75°【练习】一副三角板，如图1-10所示叠放在一起，则图中∠а的度数是 .【例3】如图1.11，在ΔABC 中，∠B=46°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ， 则∠AEC= .【练习】在ΔABC 中，点P 是ΔABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB= 度考点三：等腰三角形考题类型：1.等腰三角形的性质 2.等腰三角形的判定 3.三线合一 4.等边三角形考点四必知：①“等边对等角”可以用来证明两个角相等；②“等角对等边”可以用来证明两条线段相等.【例3】如图1-4，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（ ）A. 40海里B.60海里C.70海里D.80海里【练习】如图1-5，ΔABC 与ΔDEF 均为等腰三角形，O 为BC ，EF 的中点，则AD ：BE 的值为 A. 3 B. 2 C. 35 D.不确定考点四：直角三角形 考题类型：1.勾股定理 2.勾股定理的逆定理 3.含30°角的直角三角形 4.等腰直角三角形解题技巧：在三角形的边的计算问题中，如果没有直角三角形，可以通过作垂线构造直角三角形来解决问题.【例6】如图1-6所示，在ΔABC 中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC 取一点E ，以BE 为折痕，使 点A 和BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（ ）A. 6B. 3C. 23D. 3【例7】如图1.13知：△ABC中,AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，求证：2DC=BD【练习】如图1-7，ΔABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为（）A. 2B. 23C.3D. 3考点五：三角形中特殊的线【例1】如图1-1，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2:1，BC=7.8cm，则点D到AB的距离是 cm.【练习】1.三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A. 中线B. 角平分线C. 高D. 中位线2.如图1-2，在ΔABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 .考点六等腰三角形的多解问题考题类型：1.对等腰三角形的腰分类讨论 2.对等腰三角形的底角分类讨论3.对等腰三角形的高分类讨论.解题技巧：当等腰三角形的腰或顶角不明确时，通常要根据题意进行分类讨论，将几种情况逐一进行研究，做到不重不漏.【例8】一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 .【练习】如图1-11，点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴上，且ΔAPO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A.（4,0） B.（1,0） C.（22，0） D.（2,0）南宁中考题1.（2010，3分）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是：（Ａ）a<c<b （Ｂ）a<b<c （Ｃ）c<a<b （Ｄ）c<b<a2.（2010，3分）如图2所示，在Rt ABC △中，90A ∠=°，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是：（Ａ）3 （Ｂ）4 （Ｃ）5 （Ｄ）6 练习题：1.（2012，四川巴中）三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 中位线2.（2012浙江嘉兴）已知ΔABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°3.（2012义乌）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 84.（2012湖南怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 45.如图1-8，在ΔABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ） A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 76.（2012四川绵阳）如图1-9，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1+∠2=（ ） A. 225° B. 235° C. 270° D. 与虚线的位置有关7.如图1-12，在ΔABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（ ）FED C B AFEDC B AA. 90°B. 80°C. 70°D. 60°8.（2012海安模考）在ΔABC 中，BC ：AC ：AB=1:1：2，则ΔABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9.（2011乐山）如图1-13，在直角ΔABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数。
7.8-三角形的外角
7.8－三角形的外角姓名___________班级__________学号__________分数___________一、选择题1．（6892－08四川凉山州）下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ）2．（5890）如图AB ∥CD ，︒=∠38A ，︒=∠80C ，则=∠M （ ）A ．︒52；B ．︒42；C ．︒40；D ．︒10；3．（10389）如图是跷跷板的示意图，支柱OC 与地面垂直，点O 是横板AB 的中点，AB 可以绕着点O 上下转动，当A 端落地时，∠OAC ＝20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA )是( ) A B A ′B ′O CA ．80°B ．60°C ．40°D ．20°4．（5893）如图C B ∠=∠，则ADC ∠和AEB ∠的大小关系是（ ）A ．AEB ADC ∠>∠； B ．AEB ADC ∠=∠； C ．AEB ADC ∠<∠；D ．大小关系不能确定；5．（320－2008江苏连云港）已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ） A B D C A B D C A B DC 2 1 C DB A 1 2 1 2 2 16．（294－2008山东聊城）如下图∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=（ ）A ．55°；B ．65°；C ．75°；D ．85°；BC AE DD BE A Mb a （a b ∥ ） A ． 1 21 2 B ． （平行四边形） C ． 2 1 D ．3 127．（364）如图，已知∠B ＝∠C ，则∠ADC 与∠AEB 的大小关系是（ ）A ．∠ADC ＞∠AEB ； B ．∠ADC ＜∠AEB ； C ．∠ADC ＝∠AEB ；D ．大小关系不能确定；A B C DE二、填空题8．（308）直角三角形的外角______是锐角．（填“一定不”或“不一定”）9．（290－2008广西桂林）如下图，∠ACD =155°，∠B =35°，则∠A =_____度．AB CD10．（296－2007湖南湘潭）将一副三角板摆成如下图所示，图中∠1=______度．111．（291－2007江苏扬州）用等腰三角板画∠AOB =45°，并将三角板沿OB 方向平移到如下图所示的虚线出后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______．12．（282）如图，∠ABD 与∠ACE 是△ABC 的两个外角，若∠A ＝70°，则∠ABD ＋∠ACE ＝_____． A B C D E三、证明题13．（280）如图，E 是△ABC 的边CA 延长线上一点，F 是AB 上一点，D 点在BC 的延长线上，试说明：∠1<∠2．2 1FEC BA四、解答题14．（238）如图，说出∠1+∠2+∠3=360°的理由（根据解答的思路填空）．解：∵三角形的一个外角和它相邻的内角互补∴∠1+∠ =180°∠2+∠ =180°∠3+∠ =180°将上面的三个式子相加，得 （∠1+∠2+∠3）+（∠ +∠ +∠ ）=540°①又∵在△ABC 中，∠ +∠ +∠ =180° ②将②代入①整理，得∠1+∠2+∠3=360°15．（281）如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ，交BC 延长线于F ，若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°，∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数．ABC D EFA BC12 3。
专题7.8有关三角形的角的计算与证明2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)
专题7.8有关三角形的角的计算与证明专题培优姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一．解答题（共20小题）1．（2020春•仪征市期末）已知△ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点P在△ABC内时，①若y＝70，s＝10，t＝20，则x＝；②探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点P在△ABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．2．（2020春•扬中市期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．3．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．（1）填空：∠BIC＝°．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝°．（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于度时，CE∥AB？4．（2019春•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．6．（2019春•德惠市期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．7．（2019春•东台市月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝50°，∠BDC ＝70°，求∠BED的度数．8．（2019春•大名县期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？9．（2019春•雁江区期末）在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD=12∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．10．（2018秋•安仁县期末）如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD＝BD，∠ADC＝80°．（1）求∠B的度数；（2）若∠BAC＝70°，判断△ABC的形状，并说明理由．11．（2019春•南昌期末）如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．（1）求证EF∥BC；（2）求∠1与∠2的度数．12．（2020春•兴化市月考）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝°；（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝．13．（2020春•江都区月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为；（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．①图中有个“8字形”；②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．14．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：．15．（2020春•徐州期末）△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P 是平面内一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．初探：（1）如图1，若点P在线段AB上运动，①当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝°；②∠α、∠1、∠2之间的关系为：．再探：（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．拓展：（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系：．16．（2020春•淮安区期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A 作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．17．（2020春•常州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．18．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．①∠BAC＝°，∠DAE＝°；②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．19．（2020春•泰兴市校级期中）直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．20．（2020春•江阴市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．。
2022年数学精品初中教学设计《三角形的高、中线与角平分线》特色教案
三角形的高、中线与角平分线一、新课导入1.导入课题：在与三角形有关的线段中, 除了它的三边外, 还有它的高、中线和角平分线, 这节课我们来学习三角形的高, 中线和角平分线的意义、作法和发现的规律性结论.2.学习目标：(1)了解三角形的高、中线和角平分线的意义.(2)会画出三角形的高、中线和角平分线.(3)结合图形写出三种线段分别得到的相应结论.3.学习重、难点：重点：三角形的高、中线和角平分线的意义和画法.难点：结合三角形高、中线和角平分线的定义探索相应的规律结论.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第4页《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》的第1自然段.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容, 划出你认为是重点的语句.〔4〕自学参考提纲：①表述出什么是三角形的高？从三角形的一个顶点向它的对边作垂线, 所得线段叫做三角形的高.②如图1, ∵AD是△ABC的高,∴AD⊥BC于点D〔或∠ADB=∠ADC=90°〕.反之, ∵AD⊥BC于点D〔或∠ADB=∠ADC=90°〕,∴AD是△ABC中BC边上的高.③请画出以下三角形三边上的高, 并说说你有什么发现？发现：三角形的高可以在三角形内, 也可以在三角形边上, 还可以在三角形外.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：三角形的高, 这局部知识实际上是探讨线与线之间的位置关系, 学生会作锐角三角形的高, 但直角三角形、钝角三角形三边上的高线, 学生容易混淆, 所以应跟踪学情点拨引导.②差异指导：引导学生找准要作哪条边上的高, 及掌握直角三角板的两条直角边的用法.〔2〕生助生：学生互助交流不同类别三角形的高的画法.4.强化：〔1〕强调三角形的高线是一条线段.〔2〕作三角形高的方法.〔3〕练习：如图, 写出以AE为高的三角形.解：△ABE, △ABD,△ABC,△AED,△AEC,△ADC.1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第4页《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》的第2自然段到第5页的第1自然段.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容, 结合图形划出你认为是重点的语句及存有疑点之处.〔4〕自学参考提纲：①连接三角形一个顶点和它对边中点的线段, 叫做三角形的中线.②结合右图填空：∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD=1BC.2S△ABC.∴S△ABD=S△ADC=12反之：∵BD=DC, ∴AD是△ABC的中线.③画出以下三角形三边的中线, 说说你的发现.发现：它们的中线都在三角形内部且相交于一点.④要找到一块质地均匀的三角形钢板的平衡点, 你应怎样做？作它的三条中线, 交点即为平衡点〔即重心〕.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：重点了解学生对画中线的根本步骤, 及三条中线交于一点即重心的掌握.②差异指导：引导学生寻找画中线的方法：a.先要找准边的中点；b.连接该中点与这边所对的顶点的线段.〔2〕生助生：学生相互讨论交流学习疑难点.4.强化:〔1〕强调三角形的中线是一条线段.〔2〕三角形的中线的概念和中线的画法.〔3〕练习：如下图, AM是△ABC的中线, 假设△ABM的面积是20平方厘米, 求△ABC的面积.S△ABC=2S△ABM=40平方厘米1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第5页图11.1-5到“练习〞前的内容.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容, 结合图形完成参考提纲.划出你认为重点的语句和学习疑点.〔4〕自学参考提纲：①定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交, 这个角的顶点与对边上的交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线.②结合右图填空：∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2=1∠BAC.2反之, ∵∠1=∠2, ∴AD是△ABC的角平分线.③如右图, △ABC中, ∠B、∠C的平分线相交于O, ∠A=70°, 那么∠BOC=125°.④画出以下三角形的三条角平分线, 你有什么发现？发现：三角形的角平分线都在三角形内部且相交于一点.⑤你怎样来区别三角形的高线、中线、角平分线？三角形的高线垂直于三角形的边;三角形的中线平分三角形的边；三角形的角平分线平分三角形的角.2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.3.助学:〔1〕师助生：①明了学情：三角形的角平分线是探究角之间的数量关系, 学生已经掌握了量角器的用法, 能很快地画出一个角的角平分线.②差异指导：引导学生从概念、画法等方面区别高线、中线、角平分线.〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助解决学习中的疑惑.4.强化:(1)三角形的角平分线的概念及其画法.(2)练习：①, AD是△ABC的中线, AE是∠BAC的平分线, 那么BD＝DC＝12BC,∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC.②, BD是△ABC的角平分线, DE∥BC, ∠DBC＝20°, 求∠AED.解：∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠DBC=12∠ABC.∵DE∥BC,∠DBC=20°,∴∠AED=∠ABC=2∠DBC=40°.三、评价1.学生自我评价〔围绕三维目标〕：学生交流自己的学习收获和存在的困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、学习成果及存在的缺乏进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价〔教学反思〕:本课时教学以“自主探究——合作交流〞为主体形式, 先给学生独立思考的时间, 提供学生创新的空间与可能, 再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机, 培养学生独立探究, 合作学习的能力.一、根底稳固〔每题10分, 共50分〕1.三角形的高、中线和角平分线都是〔C〕2.如图,在△ABC中, AD是角平分线, AE是中线, AF是高, 那么:(1)BE=EC=12BC；(2)∠BAD=∠DAC=12∠BAC；(3)∠AFB=∠AFC=90°；(4)△ABC的面积=12BC·AF.3.如图, 在△ABC中, AD平分∠BAC且与BC相交于点D, ∠B=40°, ∠BAD=30°, 那么∠C的度数是80°.4.以下说法错误的选项是〔A〕D.一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点5.如下图, 在△ABC中, ∠1＝∠2, G为AD的中点, 连接BG并延长, 交AC于点E, CF⊥AD于点H, 交AB于点F.以下说法中, 正确的有〔A〕①AD是△ABE的角平分线②BE是△ABD的边AD上的中线③CH是△ACD的边AD上的高.二、综合应用〔每题10分, 共20分〕6.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为多少度？解：如图, △ABC中, ∠B=90°,AD、CE是△ABC的角平分线, 那么∠DAC+∠ECA=12〔∠BAC+∠BCA〕=45°,∴∠AFC=180°-(∠ECA+∠DAC)=135°.所以直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为135°.7.如图, AD是△ABC的边BC上的中线, AB=5cm,AC=3cm.△ABD的面积为acm 2,(1)S △ABC=2acm 2；(2)△ABD 与△ACD 的周长之差为2cm.三、拓展延伸〔每题15分, 共30分〕△ABC 中, AD 是∠A 的平分线, DE ∥AC 交AB 于E, EF ∥AD 交BC 于F, 试问EF 是△BED 的角平分线吗？说说你的理由.解：EF 是△BED 的角平分线, 理由如下：∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠1=∠2.∴DE ∥AC,∴∠5=∠2=∠1. ∵EF ∥AD,∴∠3=∠5,∠4=∠1,∴∠3=∠4,∴EF 是△BED 的角平分线.△ABC 中, ∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D, AB=13,CD=6,BC=10, 求AC 的长.解：∵S △ABC=12AB·CD=12AC·BC, AB=13,CD=6,BC=10, ∴AC=AB CD BC •=13610⨯=7.8. 三角形全等的判定一、教学目标知识技能1掌握三角形全等的“ASA 和AAS 〞条件.2.能初步应用ASA 和AAS 〞条件判定两个三角形全等.数学思考1.使学生经历探索三角形全等条件的过程, 体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.2.在探索三角形全等条件及其运用过程中, 能够进行有条理的思考并进行简单的推理.解决问题会用ASA 和AAS 〞条件证明两个三角形全等.情感态度1.通过探索和实际的过程体会数学思维的乐趣,激发应用数学的意识.2.通过合作交流,培养合作意识,体验成功的喜悦.二、教学方法探究式、讨论式三、教学手段多媒体辅助教学.四、教学过程Ⅰ、创设情境, 引入新课一天, 小明的妈妈叫他去玻璃店画一块三角形玻璃,小明不小心把画的三角形玻璃打碎成了三块,他为了省事,他从打碎的三块玻璃中选一块去,小明想法能办得到吗? 假设能,你认为小明应该拿哪块玻璃去呢? 为什么?【师生行为】教师通过〔Flash课件〕展示视频内容, 提出情境问题.学生独立思考, 发表自己的见解.【设计意图】创设性的设计问题, 变“教教材〞为“用教材〞.①使学生快速集中精力, 调整听课状态.②知识的呈现过程与学生已有的生活密切联系起来, 学有用的数学, 激发学生的学习兴趣. ③使学生产生认知上的冲突, 从而引入本课课题, 明确本节课的探究方向, 激发学习欲望.Ⅱ、实践操作、探索新知问题1、如图, △ABC是任意一个三角形, 画△A1B1C1,使A1B1=AB,∠A1=∠A,∠B1=∠B把画得△A1B1C1剪下来放在△ABC进行比拟, 它们是否重合？问题2、如图,△ABC是任意一个三角形, 画△A1B1C1,使A1C1=AC, ∠A1=∠A,∠B1=∠B, 请你猜想△A1B1C1与△ABC是否全等? 假设它们全等,你能用"ASA"来证明你猜想结论成立吗?【师生行为】教师提出问题, 学生思考问题, 动手实践、小组讨论、交流.学生在探索过程中, 难免有困难, 教师要鼓励学生争论和启发引导下及时作出正确的结论. 教师通过动画演示作图过程. 得出结论：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA〞〕用数学语言表示为：在△ABC与△A1B1C1中∠A=∠A1AB=A1B1∠B=∠B1∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)【设计意图】对于问题1, 因为学生已经在学习“SSS〞条件有了一定的作图和探究图形的根底. 所以这里就直接提出问题让学生动手操作, 教师适时引导. 对于问题2, 学生在问题1的根底上通过类比思想可以得出结论. 〔即：可以通过"角边角"(ASA)来证明在△ABC和△A1B1C1中因为∠A1=∠A,∠B1=∠B所以∠C1=∠C在△ABC与△A1B1C1中∠A=∠A1AC=A1C1∠C=∠C1∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)〕让学生在合作学习中共同解决问题, 使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力. 培养学生的合作意识和竞争意识. 体会合作交流的重要性.Ⅲ、例题讲解、应用新知例1、如图,点D在AB上, 点E在AC上, BE和CD相交于点O, AB=AC,∠B=∠C,求证：BE=CD例2、例2、如图, 海岸上有A、B两个观测点, 点B在点A的正东方, 海岛C在观测点A的正北方, 海岛D在观测点B的正北方, 从观测点A看C, D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C, D的视角∠CBD相等, 那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等, 为什么？【师生行为】先让学生独立思考, 在互相讨论、交流.然后引导学生分析题设中的条件, 以及两个三角形全等还需要的条件, 判断两个三角形全等的过程.证明：〔1〕在△ADC和△AEB中,∠A=∠A 〔公共角〕AC=AB∠C=∠B∴△ACD≌△ABE (ASA)∴AD=AE 〔全等三角形的对应边相等〕又AB=AC∴BE=CD证明：〔2〕∵∠CAD=∠CBD, ∠1=∠2∴∠C=∠D.在△ABC与△BAD∠CAB=∠ABD〔〕∠C=∠D 〔已证〕AB=BA 〔公共边〕∴△ABC≌△BAD〔AAS〕∴AC=BD即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等【设计意图】培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力, 会用“ASA或AAS“判断三角形全等, 标准地书写证明过程. 培养学生合情合理的逻辑推理能力, 语言表达能力, 标准地书写证明过程.培养学生的符号感, 体会数学知识的严谨性. Ⅳ、课堂练习、稳固新知1、如图1,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃, 那么最省事的方法〔〕A、选①去,B、选②C、选③去2、如图2, O是AB的中点, 要使通过角边角〔ASA〕来判定△OAC≌△OBD, 需要添加一个条件,以下条件正确的选项是(〕A、∠A=∠BB、AC=BDC、∠C=∠D3、如图, 要测量河两岸相对的两点A、B的距离, 可以在AB的垂线BF上取两点C、D, 使BC=CD, 再定出BF 的垂线DE, 使A, C, E在一条直线上, 这时测得DE的长度就是AB的长度, 为什么？4、如图, AB⊥BC, AD⊥DC, ∠BAC=∠CAD, 求证：AB=AD【师生行为】教师提出问题. 学生思考、交流, 解答问题. 教师正确引导学生正确运用〞ASA/AAS条件来解决实际问题. 针对练习可以通过让学生来演示结果, 形成共识.【设计意图】使学生正确地理解定理, 并能用它来解决实际问题. 稳固知识, 及时了解学生掌握定理的情况.Ⅴ、反思小结、布置作业1、通过本节课你学到了哪些内容？你有何收获？2、判断两个三角形全等有哪些方法呢？【师生行为】教师以问题的形式提出, 让学生归纳、总结所学知识, 进行自我评价, 自我总结.学生把作业做在作业本上, 教师检查、批改.【设计意图】通过回忆本节课的所学内容, 从知识、技能、数学思考等方面加以归纳, 有利于学生掌握、运用知识.教学反思《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆, 学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流, 以促进学生自主、全面、可持续开展〞.数学教学是数学活动的教学, 是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同开展的过程, 是“沟通〞与“合作〞的过程.本节课我结合情景问题自然地引入课题, 让学生亲身体验到数学知识来源于实践, 从而激发学生的学习积极性.为学生提供了大量的操作、思考和交流的学习时机,通过“画图〞——“观察“——“操作〞——“交流〞发现“ASA/AAS〞定理. 在信息社会, 信息技术与课程的整合必将带来教育者的深刻变化.我充分地利用多媒体教学, 为学生创设了生动、直观的现实情景, 具有强列的吸引力, 能激发学生的学习欲望.本节课, 通过情景引入问题, 让学生亲身体验、动手操作来探究三角形全等的条件. 整个探索过程, 不仅教师引导学生的过程, 同时也是教师从学生的角度考虑问题, 顾及全面、充分准备好自己的心理提升.缺乏之处：本节课安排学生的活动较多, 教师必须准备到位, 操作有序、收放自如. 教学中出现学生有自己的语言描述时、语言不够准确简练, 描述不够完整等等, 都需要教师及时纠正.。
人教版八年级上册数学《角的平分线的性质》全等三角形PPT教学课件
DE＝3.
求BD的长。
A
E
C
D
B
随堂检测
A
E
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF=
度，BE=
。
C
D
B
F
C
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，
推理的理由有三个，
必须写完全，不能
少了任何一个。
D
∴
(角的平分线上的点到角的两边
的距离相等)
A
O
1
2
E
图形语言
B
议一议
2.角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
A
D
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
C
O
（3）垂直距离。
定理的作用：证明线段相等。
E
B
练一练
已知：OM=ON，MC=NC。
A
求证：OC平分∠AOB。
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
议一议
2.角平分线的性质
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点
A
求证：
D
C
O
E
B
议一议
2.角平分线的性质
文字语言： 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
∵
∠1= ∠2
在
Rt△BDE 和 Rt△FDC 中,
角平分线的十种模型
角平分线的十种模型
1. 三角形内部的角平分线模型：三角形中任意一个角的角平分线会将该角分成相等的两部分。
2. 四边形内部的角平分线模型：四边形内部任意一个角的角平分线会将该角分成相等的两部分，以及将四边形分成两个全等的三角形。
3. 直角三角形内部的角平分线模型：直角三角形内部直角的角平分线将直角分成两个相等的锐角。
4. 五边形内部的角平分线模型：五边形内部任意一个角的角平分线将该角分成两部分，同时将五边形分为三个全等的三角形。
5. 六边形内部的角平分线模型：六边形内部任意一个角的角平分线将该角分为两部分，同时将六边形分为四个全等的三角形。
6. 梯形内部的角平分线模型：梯形内部自下底和上底交点所对的角的角平分线将该角分成两部分，同时将梯形分为两个全等的三角形。
7. 平行四边形内部的角平分线模型：平行四边形内部任意一个角的角平分线将该角分成两部分，同时将平行四边形分为两个全等的三角形。
8. 等腰三角形内部的角平分线模型：等腰三角形内部顶角的角平分线将该角分成两个相等的锐角，同时将等腰三角形分为两个全等的三角形。
9. 扇形内部的角平分线模型：扇形内任意一条弧所对的角的角平分线将该角分为两部分，同时将扇形分为两个全等的三角形。
10. 正多边形内部的角平分线模型：正多边形内部任意一个角的角平分线将该角分成两部分，同时将正多边形分为若干个全等的三角形。
人教版八年级上册全等三角形角的平分线的性质课件
人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课件(共17张PPT)
人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课件(共17张PPT)
例一.已知:如图,在△ABC 中,DE=DF,BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:AD是它的角平分线 A
E
F
B
老师期望:
D
C
悟 做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的认知结构中去.
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驶向胜利 的彼岸
人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课件(共17张PPT)
证明： ∵ DE⊥AB, DF⊥AC，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
E
FM⊥BC于M.
G
C ∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，A
FH⊥AD， FM⊥BC，
M
F
B HD
∴FM＝FH， ∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
C.三处
D.四处
人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课件(共17张PPT)
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随堂练习
4.已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分∠MON， 且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E
求证：点P在∠MNO的平分线上
已知：如图，PD OA，PE OB ，
人教版八年级数学上册 (角的平分线的性质)全等三角形教学课件
幂的乘方逆用公式： a
练习3
mn
m n
n m
a
a
请你把x12写成“幂的乘方”的形式
x
6
2
x x
x x
12
4
2
3
3
6
4
我巩固，我提升
练习4 已知ɑm=2,ɑn=3，求下列式子的值.
(1) ɑ2m= 4 ,ɑ3n= 27 .
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解过点P作PF⊥BE于点F,∵BP平分∠ABC,PH⊥BA于点
H,PF⊥BE于点F,
∴PH=PF.
又∵CP平分∠ACE,PD⊥AC于点D,PF⊥BE于点F,
∴PF=PD.∴PD=PH.
∴AP平分∠HAD.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点三 角的平分线的性质与全等三角形的判定的综合运用
（m,n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘
.
.
.
我探究，我收获
10
a
a
2 3
2 3
m 3
性质
=
=10
= ɑ
=
= ɑ
=
a
m n
6
6
3m
a
m
n
10
ɑ
ɑ
2×
3
2×
3
.
m× 3 .
（m,n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘
.
我应用，我展示
练习1
判断对错，如果有错，如何改正？
幂的乘方，
乘法
新华师大版八年级数学上册课件角平分线
新华师大版八年级数学上册课件角平分线一、教学内容本节课选自新华师大版八年级数学上册，主要涉及第三章“角的平分线”相关内容。
具体包括：角平分线的定义、性质及其应用。
教材第三章第二节详细阐述了角平分线的概念，并通过实际例题引导学生理解角平分线的性质。
二、教学目标1. 理解并掌握角平分线的定义，能够准确判断和识别角平分线。
2. 掌握角平分线的性质，能够运用性质解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：角平分线的定义及性质。
难点：如何运用角平分线的性质解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、直尺、圆规等。
2. 学具：三角板、量角器、直尺、圆规等。
五、教学过程1. 实践情景引入：出示一个三角形，请学生尝试画出这个三角形的一个角的平分线。
2. 讲解角平分线的定义：通过学生尝试画角平分线的过程，引出角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。
3. 讲解角平分线的性质：a. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
b. 角平分线将这个角平分成两个相等的角。
4. 例题讲解：结合教材中的例题，讲解如何利用角平分线的性质解决实际问题。
5. 随堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 角平分线的定义2. 角平分线的性质a. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等b. 角平分线将这个角平分成两个相等的角七、作业设计1. 作业题目：a. 画出下列各角平分线：（图略）b. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，E是AD上的一点，EB=EC，求证：∠EBC=∠ABC。
（图略）2. 答案：a. 略b. 证明：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD。
又因为EB=EC，所以∠EBC=∠ABC。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对角平分线的定义和性质掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何运用角平分线的性质解决其他几何问题，如：角平分线与三角形面积的关系，角平分线与多边形内角和的关系等。
《角的平分线的性质》全等三角形PPT优质课件
于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
【结论】我们知道，角的平分线上的点到角
的两边的距离相等，到角的两边的距离相等
的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全
等，可以得到角的内部到角的两边的距离相
等的点在角的平分线上.
教学新知
例：如图，△ 的角平分线，相交于点.求证：点到三
知识点2：几何命题的证明
证明几何命题的一般步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
例3：如图，已知△ 的角平分线，相交于点，求证：
能否平分∠？
过点分别作，，的垂线，垂足分别、、.∵ 是
, = − ,∴ = . ∵ ⊥ ， ⊥ .∴∠ = ∠ = 90°.
在 △ 和 △ 中，
=
在△ 和 △ 中 ∠ = ∠ ，∴△ ≌ ,∴∠ =
=
于点，；
②分别以，为圆心，大于号的长为半径
画弧，两弧在∠0内交于一点；
③画射线，射线就是∠的角平分线.
【结论】连接、.根据作图的过程
知，在△ 与△ 中，
=
= ,∴△ ≌△ ().
=
知识梳理
∴∠EDC = ∠ABC.在△ CDE和△ CBF中，
∠ = ∠ = 180°
∠ = ∠
=
∴△ CDE ≌△ CBF， ∴ CE = CF， ∴点C在∠DAB的角平分线上
知识梳理
例9：在△ ABC中，∠B = ∠C.求证：AB = AC.
【证明】如图，过点A作AD ⊥ BC于D，∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
2024年新华师大版八年级数学上册课件角平分线
2024年新华师大版八年级数学上册课件角平分线一、教学内容本节课选自2024年新华师大版八年级数学上册教材第三章“几何图形的轴对称”中的3.2节“角平分线”。
具体内容包括：角平分线的定义、性质、判定方法以及应用。
二、教学目标1. 理解并掌握角平分线的定义，能准确判断一个线段是否为角的平分线。
2. 掌握角平分线的性质，能运用性质解决相关问题。
3. 学会运用角平分线的判定方法，解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：角平分线性质的运用。
教学重点：角平分线的定义、性质及判定方法。
四、教具与学具准备教具：三角板、量角器、直尺、多媒体课件。
学具：三角板、量角器、直尺、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示等腰三角形的性质，引导学生思考：如果一个角的两边长度相等，那么这个角有什么性质？从而引出本节课的主题——角平分线。
2. 教学新课（1）角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的线段，叫做这个角的平分线。
（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（3）角平分线的判定方法：如果一个线段从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角，那么这个线段是这个角的平分线。
3. 例题讲解讲解教材例题，通过分析解题步骤，让学生掌握角平分线性质的应用。
4. 随堂练习设计针对性的随堂练习，巩固学生对角平分线的定义、性质和判定方法的理解。
六、板书设计1. 角平分线的定义2. 角平分线的性质3. 角平分线的判定方法4. 例题及解题步骤5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目：教材第3.2节练习题1、2、3。
2. 答案：见教材。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对角平分线的定义、性质和判定方法的掌握程度，以及例题和随堂练习的完成情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考角平分线与其他几何知识（如：等腰三角形的性质、平行线的性质等）的联系，提高学生的几何思维能力。
重点和难点解析1. 角平分线的定义及其理解2. 角平分线的性质的深入理解3. 角平分线判定方法的掌握4. 例题的选取和讲解5. 随堂练习的设计与实施一、角平分线的定义及其理解角平分线是从角的顶点出发的线段。
7.8三角形(一)
8 三角形（一）教学目标:1、运用三角形三线的性质、三角形的内角和、三角形外角的性质解决问题；2、能利用三角形三边的关系判断能否构成三角形；3、结合平行线的性质和判定综合解决问题。
教学重点:运用三角形三线的性质、三角形的内角和、三角形外角的性质解决问题；教学难点：结合平行线的性质和判定综合解决问题。
教学过程：一、知识要点1、三角形三边之间的大小关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
2、三角形三个内角的和等于180°；直角三角形两个内角互余。
3、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
二、典型例题例1：现有长为150cm长的铁丝，要截成n（n 〉2 ）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数。
如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么n的最大值是（）。
A. 5B. 7C. 8D. 10师：铁丝的总长是多少？生：150cm。
师：截成的小段长度有什么要求？生：大于或等于1的整数。
师：怎么理解任意三小段都不能拼成三角形？生：两边之和小于或等于第三边。
师：要求截成的段数n的最大值，那就要使得每段的长尽可能长还是短？生：尽可能短。
师：每段长是大于或等于1的整数，要保证两边之和小于或等于第三边，依次写出符合要求的长度？生：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……师：求和看看加到多少接近150？生：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143师：铁丝长度有且只有150厘米，不能再增加一段89厘米长的，那该怎么办呢？ 生：最后一段55厘米长的变成62厘米长。
师：此时n 最大值是多少？生：10。
师：还有其他满足条件的数据吗？（学生思考）例2：已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线相交于G 1，G 2，G 3，…，G n-1，试猜想：∠BG n-1C 与∠A 的关系，（其中n 为不小于2的整数），首先得到：当n=2时，如图1，∠BG 1C=________；当n=3时，如图2，∠BG 2C=________……猜想∠BG n-1C=________。
解三角形中的高、中线、角平分线问题
解三角形中的高、中线、角平分线问题浙江温州龙湾中学2008级学生 王煜坤指导老师 陈华云[注]：此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖在学习了《解三角形》这一章后，我们学会了怎样利用正弦定理和余弦定理来求三角形的边、角等问题。
先让我们来回顾这部分主要内容： 正弦定理：C cB b A a sin sin sin == 余弦定理：)3(cos 2)2(cos 2)1(cos 2222222222Cab b a c Bac c a b Abc c b a -+=-+=-+= 思考1：正弦定理和余弦定理可以互推吗？ ①正弦定理⇒余弦定理 设R CcB b A a 2sin sin sin === 则C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===222222222222222222222222222222222222sin 4)cos sin cos (sin 4]cos cos sin sin 2cos sin cos [sin 4]cos cos sin sin 2)sin 1(sin )sin 1([sin 4)]sin sin 2cos cos sin sin 2sin [sin 4)]sin sin cos (cos sin sin 2sin [sin 4)]cos(sin sin 2sin [sin 4)cos sin sin 2sin (sin 4cos sin sin 8sin 4sin 4cos 2a A R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R C B C B C B C B R C B C B C B R A C B C B R A C B R C R B R A bc c b ==+=++=+-+-=-++=-++=+++=-+=-+=-+∴同理B ac c a b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+= 故“正弦定理⇒余弦定理”成立 ②余弦定理⇒正弦定理由 （1）+（2） 得B ca A bc c b a b a cos 2cos 2222222--++=+ 即B a A b c cos cos +=代入（3）得C ab b a B a A b cos 2)cos cos (222-+=+⇒C ab b a B A ab B a A b cos 2cos cos 2cos cos 222222-+=++ ⇒0)cos cos (cos 2)cos 1()cos 1(2222=+--+-C B A ab B a A b⇒0)]cos(cos [cos 2sin sin 2222=+--+B A B A ab B a A b ⇒0sin sin 2sin sin 2222=-+B A ab B a A b ⇒0)sin sin (2=-B a A b ⇒B a A b sin sin =⇒BbA a sin sin =同理C c A a sin sin =；BbC c sin sin =故“余弦定理⇒正弦定理”成立 思考2：三角形的边和高有何关系？如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，h a 、h b 、h c 分别为a 、b 、c 三边上的高。
高中解三角形角平分线定理
高中解三角形角平分线定理解三角形角平分线定理是高中数学中的重要定理之一。
它指出，任意三角形的三条角平分线交于一点，这个点被称为三角形的内心。
本文将逐步阐述角平分线定理的证明过程。
首先，我们考虑一个任意三角形ABC。
我们要证明三条角平分线AD、BE和CF交于一点I。
为了证明这一点，我们需要使用有关角的性质和一些几何定理。
第一步，我们先来讨论角平分线的定义。
角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
在三角形ABC中，我们可以从角A、角B和角C的顶点分别引出角平分线AD、BE和CF。
第二步，我们来看如何证明三条角平分线交于一点。
我们先证明角平分线AD和BE的交点在三角形ABC的内部。
首先，根据角平分线的定义，角BAD和角BAE是相等的。
又因为角ABD和角ABE 也是相等的（都是直角），所以三角形ABD和三角形ABE是全等的。
根据全等三角形的性质，我们得知线段AD和线段BE是相等的。
同理，我们可以证明线段AD和线段CF的长度也相等。
因此，根据线段的性质，我们可以得出三角形ADF 和三角形CEF是全等的。
第三步，我们继续证明角平分线AD、BE和CF交于一点。
根据前面的证明，我们已经得知线段AD 和线段BE相等，线段AD和线段CF相等。
因此，线段BE和线段CF也相等。
根据线段的性质，我们可以得出三角形BEF是一个等边三角形。
因为线段BE和线段CF相等，所以角BFE和角CEF是相等的。
又因为角BEF是一个等边三角形的内角，所以角BFE和角CEF也是相等的。
根据角的性质，我们可以得知角BFE和角CEF都是角BAC 的一半。
因此，角平分线AD、BE和CF交于一点I，这个点被称为三角形ABC的内心。
第四步，我们来总结一下角平分线定理的证明过程。
通过利用角的性质和几何定理，我们证明了任意三角形的三条角平分线交于一点，这个点被称为三角形的内心。
角平分线定理在解题和证明几何问题时有着重要的应用价值。
高中解三角形角平分线定理
高中解三角形角平分线定理高中解三角形角平分线定理是几何学中的一个重要定理，它可以帮助我们解决一些三角形的相关问题。
下面，我将按照步骤来详细介绍这个定理。
第一步：了解角平分线的定义角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角划分成两个相等的角的直线。
在三角形中，我们可以通过角平分线来进一步研究三角形的性质和关系。
第二步：了解角平分线定理的表述角平分线定理表述如下：在一个三角形中，如果一条线段从某个顶点出发，将与这个顶点相邻的两条边的对应角分成相等的两部分，那么这条线段就是这个角的角平分线。
第三步：理解角平分线定理的证明过程证明角平分线定理的关键是利用三角形的几何性质。
具体的证明过程如下：1.假设在三角形ABC中，BD是角B的角平分线。
我们需要证明∠ABD=∠CBD。
2.首先，通过辅助线的方法，我们可以将三角形ABC分割成两个小三角形ABD和CBD。
3.然后，我们可以通过角的对应角相等性质得出∠ABD=∠CBD。
4.因此，根据角平分线的定义，BD是角B的角平分线。
第四步：应用角平分线定理解决问题角平分线定理可以应用于解决一些相关的三角形问题。
比如，当我们已知一个三角形中的一个角的平分线和两边的长度时，我们可以利用角平分线定理来求解其他角的大小或者其他边的长度。
总结：高中解三角形角平分线定理是一个重要的几何定理，它可以帮助我们解决一些三角形的相关问题。
通过理解角平分线的定义，掌握角平分线定理的表述和证明过程，我们可以灵活运用这个定理来解决一些具体的问题。
在学习过程中，我们需要通过大量的练习来巩固和深化对这个定理的理解和应用。
八年级角平分线
八年级角平分线角平分线，这是一个几何术语，也是数学中的一个基本概念。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法。
下面，我将从定义、性质、判定方法三个方面，对八年级角平分线进行解析。
角平分线是指从一个角顶点引出一条射线，将这个角分成两个相等的角。
这条射线叫做角的平分线。
在书写时，我们通常用符号“”来表示角平分线，例如，如果有一个角AOB，那么它的角平分线可以表示为。
角平分线有许多重要的性质。
这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是角平分线的一些主要性质：角平分线将对应的边分为两段，两段长度相等。
也就是说，如果一个角AOB被分为两个相等的角，那么从角的顶点到角平分线的任意一点的距离等于另一段距离。
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
这意味着，如果你在角平分线上画一个点，那么这个点到角的两边的距离是相等的。
角的两边中点之间的连线是角平分线。
这是一个重要的性质，可以帮助我们在不知道角平分线的情况下找到角平分线的位置。
在八年级的数学课程中，我们学习了如何判断一个线段是否是角平分线。
以下是两种主要的判定方法：如果一个线段将一个角的两边等分，那么这个线段是这个角的平分线。
如果一个线段通过一个角的顶点，且将这个角分成两个相等的角，那么这个线段是这个角的平分线。
在几何学中，角平分线是一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们解决一些简单的问题，还可以帮助我们理解更复杂的几何问题。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法，这为我们进一步学习几何学打下了坚实的基础。
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一。
在三角形中，中线和角平分线是两种非常重要的线段，它们在几何学中有着重要的性质和应用。
三角形的中线是指连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。
三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，且每条中线都与三角形的三条边相交。
三角形中线的性质包括：1）任意两边中线的长度相等；2）中线将三角形的面积分成相等的两部分；3）当一个顶点与中线的交点之间的连线作为辅助线时，可以构成直角三角形。
八年级数学下册北师大版角平分线知识点
八年级数学下册北师大版角平分线知识点知识点角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
涉及到的知识点：熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。
各位求三角形的高、中线与角平分线的知识点归纳!!!要全面谢谢!三角形的面积=底×高÷2。
公式S= a×h÷2正方形的面积=边长×边长公式S= a×a长方形的面积=长×宽公式S= a×b平行四边形的面积=底×高公式S= a×h梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和=180度。
长方体的体积=长×宽×高公式：V=abh长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式：V=abh正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式：V=aaa圆的周长=直径×pi; 公式：L=pi;d=2pi;r圆的面积=半径×半径×pi; 公式：S=pi;r2圆柱的表(侧)面积：圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=pi;dh=2pi;rh圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2pi;r2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh 圆锥的体积=1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
已知三角形两边长为7.8,0.1,求中线的取值范围
已知三角形三边长为7.8,0.1,求中线的取值范围
主要内容：
根据三角形三边长关系，添加辅助线构造三角形，介绍已知三角形边长a=7.8,b=0.1，求下图中线CD取值范围的主要步骤。
B
主要步骤：
思路：三角形任意两边长的和大于第三边长，任意两边长的差小于第三边。
解：对于本题，所求的是中线CD的取值范围，已知的是AC和BC的长，所以需要构造三角形将所求问题与已知条件建立联系。
延长CD到E点，使得DE=CD，链接AE，在△CBD和△ADE中，有：
CD=DE,∠CDB=∠ADE,AD=DB,
所以△CBD≌△ADE，则：AE=BC=7.8。
在三角形AEC中，根据三角形两边的长度和大于第三边
长度有：
AC+AE＞CE，即：
0.1+7.8＞2CD,所以：CD<3.95；
再由三角形两边长度的差小于第三边则有：AE＞|7.8-0.1|=7.7，即：
2CD＞7.7，所以：CD＞3.85，
综上可知，3.85＜CD＜3.95。
C。
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1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是
（ ）．A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ）
3．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm
4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．属于哪一类不能确定 5．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高， D
E ⊥AC ，D
F ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ）
A 、3个
B 、4个
C 、5个
D 、6个
7．在∆ABC 中，C B ∠∠,的平分线相交于点P ，设,︒=∠x A 用x 的代数式表示BPC ∠的度数，正确的是（ ） （A ）x 2190+
（B ）x 2
1
90- （C ）x 290+ （D ）x +90 8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ，
则∠AOC+∠DOB=（ ） A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800
9．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。
12．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________.
13．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE 是 度。
14．如图,∠1=_____.
15.若三角形三个内角度数的比为2:3:4,则相应的外角比是
.
第2题图 第5题图
第8题图 C D B A
第11题图
第12题图 A B
C D E
第13题图
140801
第14题图 第16题图
43
2
1E
D
C
B
A
1
C
D B
A 16．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠
B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，
则∠CDF = 度。
17.如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到
一个三角形，那么a 的取值范围是
18．如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的４倍，等于与
它不相邻的一个内角的２倍，则此三角形各内角的度数是_____________。
19．如图，△ABC 中，∠A=1000，BI 、CI 分别平分∠ABC ，∠ACB ，
则∠BIC= ，
若BM 、CM 分别平分∠ABC ，∠ACB 的外角平分线，则∠M=
20．如图∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上 的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________。
三角形的高、中线与角平分线1
1 如图，已知△ABC 中，AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R ，
PS ⊥AC 于S ，有以下三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ； ③△BRP ≌△CSP ，其中( )．
(A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正确 2、 如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，
不能判定AB ∥CD 的是( ) A. ∠3=∠4 B.∠B=∠DCE
C.∠1=∠2.
D.∠D+∠DAB=180° 3．如图，ΔACB 中，∠ACB=900，∠1=∠B. （1）试说明 CD 是ΔABC 的高； （2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长。
4 如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ，
交BC 延长线于F ，若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°， ∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数
5、如图：∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由： 因为 ∠1＝∠2
所以 ____∥____ ( ) 因为 ∠1＝∠3
所以 ____∥____ ( )
6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm
A
B C
D
E
第20题图
1
2
B
A E
C
D M
I 19题图
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
7．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（） A．17 B．22 C．17或22 D．13
8．适合条件∠A=1
2
∠B=
1
3
∠C的△ABC是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
10．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
12．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________．
13．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，
∠BDC=80°，求∠C的度数．
第七章
一、1．A；2．A；3．B；4．C；5．B；6．D；7．A；8．D；9．C；10.B
二、11．9；12．三角形的稳定性；13．135；14．1200；15．7:6:5；16．74；
17.a>5；18．720，720，360；19．1400，400；20．6；
21．不能。
如果此人一步能走三米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米多，这与实际情况不符。
所以他一步不能走三米多。
22．小颖有9种选法。
第三根木棒的长度可以是4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm，11cm，12cm。
23．小华能回到点A。
当他走回到点A时，共走1000m。
24．（1）135°；（2）122°；（3）128°；（4）60°；（5）∠BOC = 90°+ 1
2
∠A。