1.4命题的形式及等价关系 教案

第一章：集合与命题
第四节：命题的形式及等价关系
【知识梳理：】
复习巩固：
在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。

命题：表示判断的语句。

真命题：正确的命题。

假命题：错误的命题。

命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？
本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。

例题讲解：
1.1命题
例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？
1.个位数是5的自然数能被5整除；
2.凡直角三角形都相似；
3.上课请不要讲话；
4.互为补角的两个角不相等；
5.你是高一学生吗？
结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。

②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）
[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。

③真命题的确定：作出证明，方法⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧同一法反证法间接证明直接证明 [说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.
1.2：推出关系：
一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表
示，读作“α推出β”。

换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？
解：α⇒β关系成立，但反过来不行。

例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来。

1. α：实数x 满足92
=x ，β：3=x 或3-=x 。

（“α⇔β”）
2. α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）。

（“α⇒β”）
3. α：B A ⊆，β：A B A = 。

（“α⇔β”）
4. α：0=ab ，β：0=a 。

（“β⇒α”）
课堂巩固：
1.判断下列命题的真假
（1）不含任何元素的集合是空集
（2）0是{0,1,2}的真子集
（3）A,B 为两个集合，如果A ∩B=A ，那么B A ≠⊂ 2.用符”号⇔⇐⇒、、”表示下列事件的推出关系：
（1）：αAB C ∆是等边三角形；：βAB C ∆是轴对称图形，
α β；
（2）：α实数x 适合12
=x ；：β1=x ，
α β
课堂练习：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来：
（1） α：x 适合方程0652
=+-x x ，β：3x 2==或x ；
（2） α：3x -=，β：3=x ；
（3） α：B A ⊆，β：B B A = ；
（4） α：集合N M =，β：A N N M =。

2.1：四种命题形式：
1、概念引入
在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。

如果我们把以上命题作以下变化：
（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作
为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。

我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。

并且它们互为逆命题。

（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四
边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。

像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。

并且新命题与原来的命
题互为否命题。

（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四
边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。

像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。

并且新命题与原
来的命题互为否命题。

2、概念形成
由以上例子归纳出四个命题的一般形式：
原命题： βα，那么如果
逆命题： αβ，那么如果
否命题： βα，那么如果 逆否命题：αβ，那么如果
并在四种命题之间的相互关系如下：
例4：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。

命题A ：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；
命题B ：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。

命题A ：
逆命题： 否命题： 逆否命题： 命题B:
逆命题： 否命题： 逆否命题：
巩固练习：
1.写出命题“如果0=a ，那么0=ab ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。

逆命题： 互逆
互逆 逆 逆 否 否
否命题：
逆否命题：
小结：1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

2、原命题为真，它的否命题不一定为真。

3、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

课后作业：
1.写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性。

（1）负数的平方是正数；
逆命题：
否命题：
逆否命题：
（2）全等三角形一定相似；
逆命题：
否命题：
逆否命题：
（3）对顶角相等；
逆命题：
否命题：
逆否命题：
2.2等价命题
如果α⇒β，β⇒α，那么记作βα⇔，叫做α与β等价
例5：已知BD 、CE 分别是ABC ∆的B ∠，C ∠的角平分线，CE BD ≠。

求证：AC AB ≠。

证明：命题条件与结论中有“CE B D ≠”，“AC AB ≠”的不等关系，像这种问题如果直接证明会比较困难，有时候可以考虑去证明原命题的否逆命题。

本列的逆否命题是：已知BD 、CE 分别是ABC ∆的B ∠，C ∠的角平分线，
如果AC AB =，那么CE =B D 。

CE
BD CBE ACB ECB DBC ACB ABC CE BD ACB ABC AC AB =⇒∆≅∆⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=∠=∠∠=∠⇒⎭⎬⎫∠∠∠=∠⇒=BCD CB BC ABC 的平分线、分别是、 因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确
2 1. 320 1 2. 8 35x x x x y x y -+≠≠+≠≠≠例1：判断下列命题的真假：
如果，那么；
如果，则或
巩固练习：
已知BD 、CE 分别是ABC ∆的AC 、AB 边上的中线，且CE BD ≠，求证：AC AB ≠
4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ。