界约束非线性方程组的非单调线搜索法
求解非线性方程组的非单调滤子算法
云南 民族 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌｏ Ｙ ｎａ ｎｖｒｔ ｏ ａ ｏａ ｔｓ Ｎ ｔｒｌＳｉ ｃｓＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｆ ｕｎｎ Ｕ ｉ ｓｙ ｆＮ ｔ ｎｌｉ （ ａ ａ ｃ ｎｅ ｄｔ ｎ ｅ ｉ ｉ ｉｅ ｕ ｅ ｉ
问题 ：
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不 同于传 统 的滤 子 准 则 ， 们 在 这 里 利 用 非 单 调 技 术 我 ｍ（ ） ）当且仅 当
收 稿 日期 ：０ ９—１ —３ ． ２ … ， ． ，， ｍ
其 中 ∈ Ｒ 且 Ｃ： ， Ｒ
Ｒ， １２ … ， ． ｉ＝ ， ， ｍ
将指标 集合 分解 为 ２个 集合 Ｓ 和 ｓ 其 中 ． ， ｓ ：＝｛ ，， ， ／ 将上 述 问题转 化为求 解 等式约 束优化 １２ … ｍ｝Ｓ ．
Ｖｏ ．１ Ｎｏ ４ １ ９ ．
Ｊ １２ ０ ｕ ． ０１
ｄｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １ ７ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ６ ２—８ １ ．０ ０ ０ ．０ ｓ ５ ３ ２ １ ．４ ０ ５
求解 非线 性 方 程 组 的 非 单调 滤 子 算 法
黎 维 清 ， 定 国 濮
（ 同济大学 数 学系 ， 上海 ２０ ９ ） ００ ２
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。
下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。
第一种迭代法是逐次缩小区间法。
逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。
算法步骤如下：1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。
2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。
3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。
逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。
第二种迭代法是割线法。
割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。
算法步骤如下：1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。
2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。
3. 重复步骤2，直到满足精度要求。
割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。
弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。
弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。
三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。
在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解
非线性方程组是指当方程中的函数是非线性的时候，由这些方程组成的系统，而求解非线性方程组是数学中一个重要问题。
在解决非线性方程组时，经常需要使用有限元和数值计算方法进行计算。
有限元技术是一种基于方程组本身特性引入有限元形式，并通过显式求解非线性方程组来求解非线性方程组的一种技术。
数值求解方法则是根据已有的步进技术确定一系列步进点，然后在这些步进点上检验和评估函数来求解非线性方程组。
解决非线性方程组的另一种技术是动态及时迭代技术，它的处理原理与数值求解方法类似，但是可以在迭代过程中使用优化策略，从而获得更快、更准确的解答。
动态及时迭代技术综合了有限元技术和数值求解方法的优点，在解决非线性方程组方面特别有效。
另外，还有一种求解非线性方程组的技术，称为拉普拉斯迭代技术。
拉普拉斯迭代技术有效地将非线性方程组转换为一个拉普拉斯矩阵，并以此去迭代求解，可以有效地避免以上技术的计算时长的缺陷，从而达到求解效果。
由于非线性方程组问题的复杂程度远远超过线性方程组，只有充分熟悉这些技术尤其是拉普拉斯迭代技术，根据实际问题制定出一个有效的优化策略，才能求解非线性方程组的问题。
因此，要正确求解非线性方程组的问题，必须要有丰富的数学知识，熟悉这些求解技术，并充分利用它们的优点求出最合适的求解方法。
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
求解非线性方程组的几种方法及程序实现
求解非线性方程组的几种方法及程序实现
求解非线性方程组一直是理论数学和应用数学研究的重点，并采用不同的方法得到准确的结果。
它们可以分为几种类型：
1. 用以绘图的方法解非线性方程组：该方法充分利用结合几何和数理的原理，给出非线性方程组的解，而不用对系数的解的表达式求解手段。
主要是利用可绘图的几何空间分析，它可以帮助理解问题本身，还可以很容易看出非线性方程组的解。
2. 用迭代法求解非线性方程组：这是一种常用的方法，它通过不断迭代收敛求解非线性方程组。
基本思想是通过构造一个迭代函数，其初始值和原始非线性方程组尽可能接近，然后不断迭代收敛求解非线性方程组。
3. 用强调法求解非线性方程系统：这是基于梯度的一种方法，它利用一个概念，即局部线性化，可以降低维数、转化为一个拐点，最后强化搜索全局解。
4. 用牛顿-拉夫逊方法求解非线性方程组：这是一种准确、快速的非线性方程组求解方法，主要利用牛顿迭代法搜索解的收敛性，加上一些拉夫逊的加速策略得到最终的结果。
5. 用幂法求解非线性方程组：幂法也称为指数序列，是一种重要的求解非线性方程组的方法，基本原理是利用指数的累加和误差的减少，从而最终得到非线性方程组的解。
6. 用逐步逼近法求解非线性方程组：逐步逼近法也称为分步变程法，是一种用于求解非线性方程组的简单方法，其基本思想是用不同的参数，在给定的范围内，逐步逼近目标解。
这些方法的程序实现略有不同，可以利用编程语言比如C、Fortran、Python等，编写程序完成求解。
可以采用函数求解、循环求解、行列式求解或者混合的算法等不同的方式实现，甚至可以用深度学习方法求解有些复杂的非线性方程组。
非线性方程组求解
非线性方程组求解非线性方程组在科学、经济等领域中应用广泛，然而，由于非线性方程组的求解困难性，这使得许多问题存在困扰。
非线性方程组求解是一个复杂的过程，在此过程中需要对多种数学技术和算法有深入的了解。
本文就非线性方程组求解这个话题进行了探讨。
一、非线性方程组的定义非线性方程组是指一组包含至少一个非线性方程的方程组。
非线性方程组是一种数据的数学模型，它描述了在特定条件下各个因素之间的相互依赖关系。
非线性方程组的解通常用来预测一个系统的行为，并且是许多数学和科学领域的重要工具。
二、非线性方程组求解的困难性非线性方程组求解的困难性是因为它们存在着多个未知数和多个方程之间的相互依赖关系。
这使得非线性方程组的求解无法通过简单的代数运算来获得，而且通常需要更高级的数学知识和算法。
在许多情况下，非线性方程组可能无法解析地求解，这时需要采用数值方法来求解。
三、非线性方程组求解的方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是最常用的求解非线性方程组的方法之一。
它将非线性方程组看作一组关于未知量的函数，并利用泰勒公式将其逼近为线性表达式。
由于直接求解非线性方程组比较难，牛顿迭代法通常将其转化为求解一系列线性方程组的问题。
2. 非线性迭代法非线性迭代法是一种通过递推计算的方式求解非线性方程组的方法。
具体地说，非线性迭代法会将非线性方程组转化为一组迭代公式，然后通过不断迭代来逼近方程组的解。
3. 二分法二分法是一种通过对非线性方程组的解进行区间逼近来求解的方法。
二分法的基本思路是通过每次将原来的区间对半分来寻找解所在的范围。
四、结语非线性方程组求解是一个重要的数学问题，应用广泛且具有挑战性。
本文主要介绍了三种很常用的求解方法，即牛顿迭代法、非线性迭代法和二分法。
在实际运用中，这些方法可以单独或者联合使用，以求得更准确的解。
简单界约束非光滑方程组的非单调信赖域方法
１ 算 法
与 简单界 约束 非光 滑方程 组 （ ． ） 应 的优化 问题 为 ０１对
ｍｉ （ ｓ ｔ ∈Ｘ， ｎ ｈ ） ．． （． ） １ １
・
其 中 ｈ — Ｒ， （ ： ｈ ）＝ Ｉ ）Ｉ ／ ． Ｉ Ｈ（ Ｉ ２ 在迭 代点 ， 。 记 ＝ （ ） ｇ ｈ ） ， ， ＝ （ ，
ｒｅ ＝ ａ ） ∑ Ｊｐ ， ）一 （ ＋ △． ， ａ ｄ ｍｘ （ ， ￣ （）） ｈｘ ｓ ） ｒ ｛ ｋ（ 一 ， （ ）
其中ｒ ｋ ａｎｊ １ ｝ ｎ ）＝ｒ ／＋ ， ， （ ｉ Ｍ≥０ 是整数， ≥Ａ≥Ｏｐ＝ ，， ｍ 一 ， Ａ ：１ ） Ａ ， ０１…， （） １ ∑ ， 是成功迭
许 多实 际问题 ， 非线性 互 补问题 ， 子约束 变分 不等 式 问题 ， 线性 约束 最优 化 问题 的 Ｋ Ｔ问题 ， 如 盒 非 Ｋ 以及
一
些相 关 问题 都 可 以变 形 为问题 （ ． ） 求 解． 光 滑方 程 组 实 际上 对 这些 问题 提供 了一个 一 般 框 架 ， 得 ０ １来 非 使 近 年来 ， ［ ， ５ 分 别 提 出了非光 滑牛 顿法 、 文 １２，］ 光滑 牛顿 法 和拟牛顿 法 ， ［ １ 提 出了仿 射 尺度 不精 确广 文 １］ 义牛顿 算法 ． 适 当假 设 条件下 ， 些方法 具有 全局 收敛 性和 局部 超线 性 收敛 速度 ． ［ ］ 出了非 单 调投 影 在 这 文 ８提
考虑下 述简 单界约 束 非光滑 方程 组
Ｈ（ ）＝０， ∈Ｘ．
一
（． ） ０ １
其中， Ｘ＝［， ］＝｛ ｚＭ ∈Ｒ ｌ ≤ ≤Ｍ ， ≤ ≤ｎ ｚ １ ｝
集 上．
＜ｌ＜Ｍ ＜＋ （ ≤ｉ ） 函数 Ｈ： Ｒ 一 Ｒ １ ≤ｎ ， Ｕ 定 义 在开
解非线性互补问题的非单调可行SQP方法
ｄ ＋ ≥０
ｓ． ． ｔ
（． ０３ ）
ｌｌ≤Ａ， ＩＩ ｄ
得到搜索方向 ｄ ．
和 所 有 的二 次子 规 划 一样 ，这个 子 问题 可 能 是 不相 容 的 ． 献 ｆ 提 出 一种 Ｓ Ｐ方 文 ６ ］ Ｑ 法 ，通 过 利 用 ＱＰ子 问题 的 Ｋ Ｔ点 获得 可 行 下 降 方 向 ．为 了方 便 起 见 ，在解 问题 （． — ０２ ） 的 时候 ，文 献 『 假 设 点 总是 非 负 的 ．但 我 们 知 道 很 多情 况 下初 始 点是 不 可 行 的 ． ５ １ 受 文 献 『 ６ 启发 ，本 文 提 出一 种 解 非 线性 互 补 问题 的可 行 Ｓ ５］ － ＱＰ方法 ．利用 ＱＰ子 问 题 的 Ｋ Ｔ点得到一个可行下降方 向， 引入一个高 阶校正步以克服 Ｍａａｏ 效应．同 — 并 ｒｔｓ 时 ，算 法 采 用 非 单 调 线 搜 索 技 巧 获得 搜 索步 长 ． １８ ９６年 ，非 单 调 技 巧 由 Ｇｒ ｐ ｉ ｏ等 人 ｐ 在 文 献 ｆ 中提 出 ．基 于 非 单 调 技 巧也 产 生 了很 多 相 关 方 法 ，例 如 非单 调线 搜 索 方 法 ７ ］ ［－１］ 非单调信赖域方法 ［－２ 非单调技巧可以克服搜索步太小的缺 点， ７ ５ １ ２． ６ 】 改善 由线搜
Ｃｈｉ ｅ ｅ Ｌｉ ａ ｙ Ｃｌ ｓ ｉ ｃ ｔ ｏｎ ０２ １ ｎ ｓ ｂｒ ｒ ａ ｓ ｆ ａ ｉ ２ ｉ
２ １ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ｓ Ｓ ｂ ｅ ｔ Ｃｌ ｓ ｉ ｃ ｔ ｏ ０ ０ ６ Ｋ１ ０ ０ Ｍ ｔ ｅ ｔｃ ｕ ｊ ｃ ａ ｓｆ ａ ｉ ｎ ９ Ｃ３ ． ５ Ｏ ｉ
ｒ ｓ ｌｓ ａ ｅ ａ ｓ ｅ ｏ ｔ ｄ ｉ ｈ ｓｐａ ｅ ． ｅ ｕ ｔ ｒ ｌｏ ｒ ｐ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ｐ ｒ Ｋｅ ｙｗｏ ｄｓｃ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ ｏ ｔ ｍ ｉａ ｉ ｎ， ｅ ｕｅ ｔａ ｕ ｒ ｒ ｔｃｐｒ ｇ ａ ｒ ｏ ｓ ｒ ｉ ｅ ｐ ｉ ｚ ｔｏ ｓ ｑ ｎ ｉ ｌ ａ ｄ ａ ｉ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ， ｃ ｉ ｅ ｓ ｔ ｑ ｎｇ ａ ｔｖ ｅ ， ｎ ｎｍｏ ｏ ｏ ｅ ｔ ｃ ｎ ｑ ｅ ｇ ｏ ｌｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｎ ｔ ｎ ｅ ｈ ｉ ｕ ， ｌ ｂａ ｏ ｖ ｒቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｅ ｃ
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
关于非线性方程组Newton解法的研究综述
关于非线性方程组Newton 解法的研究综述作者：谢玉婧 王培一、研究现状非线性代数方程组求解是一个基本而又重要的问题，这是因为在工程实践、经济学、信息安全和动力学等方面有大量的实际问题最终转化为代数方程组。
这一类问题，我们不可能找到它们的解析解，数值解是目前主要的研究方向。
数值解法较为成熟，速度快，但其往往只能求出部分解，而且通常只能求出近似解。
它一般用于解决大型问题。
Newton 法是数值方法求解非线性方程组的一种基本方法。
根据其特点和不足，对Newton 法进行简化和修正。
并且与其他数值解法(如区间法)相结合，形成其他更加完善的求解非线性方程组的方法。
二、问题的提出n 个变量个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:n 112n 212nn 12n f (x ,x ,,x )0f (x ,x ,,x )0f (x ,x ,,x )0=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L M L)1(式(1)中是定义在维欧式空间中开域上的实值函数。
若用向量记,令:)n ,,2,1i )(x x ,x (f n 21i L L =n n R D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=X)(f X)(f )X (f 0)x ,x ,(x f 0)x ,x ,(x f 0)x ,x ,(x f )X (F ,x x x X n 21n 21n n 212n 211n 21M L ML L M 则方程组(1)也可以表示为:0)X (F = )2(其中：，n 0n n R )X (F ,R R :F ,R X ∈→∈n R 为赋值空间。
非线性数值方法种类较多，最常用的是Newton 迭代法。
求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法,目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础,或由它派生而来。
下面首先介绍几种Newton 法及其原理，然后使用Mathwmatica 编写求解程序，最后通过一个计算实例说明几种牛顿法的差异。
高等代数中的非线性方程组 求解方法与案例
高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。
二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。
该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。
三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。
该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。
该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。
1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
非线性方程组求解方法的比较与优化
非线性方程组求解方法的比较与优化非线性方程组的求解在科学计算、工程领域以及其他许多实际问题中扮演着重要的角色。
在实际应用中，往往需要高效准确地求解非线性方程组，以获得所需的结果。
本文将对几种常用的非线性方程组求解方法进行比较，并探讨如何进一步优化这些方法，以提高求解效率。
一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是最常用的非线性方程组求解方法之一。
该方法基于泰勒级数展开，通过迭代逼近非线性方程组的解。
具体而言，给定初始猜测值x0，牛顿法通过以下迭代公式进行求解：x^(k+1) = x^k - [J(x^k)]^(-1) * F(x^k)其中，J(x^k)表示方程组F(x)的雅可比矩阵，F(x^k)表示方程组的值向量。
牛顿法通常具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能出现发散或收敛速度慢的问题。
二、拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）拟牛顿法是对牛顿法的改进和优化。
由于求解雅可比矩阵的逆矩阵相对困难且计算量大，拟牛顿法通过逼近雅可比矩阵的逆矩阵，避免了对逆矩阵的直接求解。
其中，最著名的拟牛顿法是DFP算法和BFGS算法。
DFP算法通过计算Hessian矩阵的逆矩阵的逼近，不断更新该逼近矩阵，以逼近真实的Hessian矩阵的逆矩阵。
BFGS算法同样通过逼近矩阵的更新来求解方程组，但采用了更加复杂的更新策略，相较于DFP算法在某些问题上具有更好的性能。
拟牛顿法通过避免直接计算逆矩阵，一定程度上提高了计算效率，但其迭代过程中的计算相对复杂，因此在实际问题中需要综合考虑。
三、Levenberg-Marquardt算法Levenberg-Marquardt算法是一种解决非线性最小二乘问题的方法，也可用于求解非线性方程组。
该算法基于牛顿法，利用信赖域思想进行调整，以提高求解的稳定性和收敛性。
Levenberg-Marquardt算法通过在牛顿迭代中引入一个参数，将其视为步长的控制因子，从而在迭代过程中实现步长的自适应调整。
非线性方程组的解法
非线性方程组的解法
非线性方程组的解法包括：
（1）近似法。
近似法是根据所给非线性方程组，使用一定的数值方法，建立非线性方程组结果的拟合曲线，以此求解非线性方程组的常用方法，目前有贝塔、拉格朗日近似法和微分近似法等。
（2）多元分割法。
多元分割法根据非线性方程组的参数和变量空间，
将整个运算范围分割成多余小区间，利用各区间中只含有一个未知变
量的简单方程组，将非线性方程组转换成多个一元方程组，再用一次法、弦截法和二分法等算法求解，最终得出整个非线性方程组的解。
（3）迭代映射法。
迭代映射法是通过给定一个初始值，然后利用迭代，反复运算，最终达到收敛点的一种方法，主要包括牛顿法、收敛法、
弦截法、松弛法和隐函数法等。
（4）最小二乘法。
最小二乘法是将非线性方程组表示为残差函数，然
后求解残差函数最小值，获得未知变量的最优解，常用于数值分析中。
（5）特征法。
特征法是采用将非线性方程组表示为线性方程组特征值
和它们关于某一特征量的关系式，利用梯度下降法，最小化残差函数，求解非线性方程组的方法。
以上是非线性方程组的解法的简单综述，它们在一定程度上增加了解决非线性方程组的效率，但并非所有情况都能使用以上求解方法。
正确使用相应的求解方法就可以有效的求解非线性方程组，以便更好的解决实际问题。
新的非单调线搜索规则BFGS算法的全局收敛性
１４ １
郭元 宝 ，黄 炳 家
１ ５卷
是数值表现最好 的拟 牛顿算法之 一． ２０ ， Ｗｅ Ｚｎｘｎ 】 出了一个新 ０６年 ｉ ｅｇｉ［ 给 的拟牛顿方 程并应 用新 的拟牛顿 方程更 新 了 Ｂ Ｇ Ｆ Ｓ型拟牛 顿公 式 ．数 值例
性 ，用数值例调线搜索规 则修正 Ｂ Ｇ 算法： ＦＳ
（） 定正整数 Ｐ Ｖ ｏ∈Ｒ ， ｏ＝Ｉ，￡＞０ ∈（，） ． １给 ，ｘ ｎＢ ｎ ， ０１，０ １∈（，） ０ ０１， ＂ ２＞
求解 问题 （． １ ）的拟 牛顿 算法是 无 约束优 化 问题 中有效 而著 名 的算法 ， １
其 收敛速 度快 ，每次 迭代 不需 要计 算 目标 函数 的 Ｈ ｓ ｎ矩 阵． Ｂ Ｇ 公 式 ｅｅ ｓ ＦＳ
收 稿 日期 ： ２ １ ０ ０年 ３月 ２ 日． ６
１ ．中国石 油大学数学与 计算科学学 院，青岛 ２ ６ ５ ； ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄ Ｃｏ ｕ ａ ｉｎ ｌ ｃｅ ｃ ６ ５ ５ Ｓ ｈ ｏ ｈ ｍａｉ ｎ ｍｐ ｔｔｏ ａ ｉｎ ｅ ｏ Ｍａ ｃ Ｓ
摘 要 本 文 在 Ｚ ａｇＨ．． ｈ ｎ Ｃ 的非 单 调 线搜 索 规 则 的基 础 上 ，设 计 了求解 无 约 束 最优 化 问题 的新 的非 单 调 线 搜 索 Ｂ ＧＳ算 法 ，在 一定 的条 件 下 证 明了 算 法 Ｆ 的 线性 收 敛 性 和超 线 性 收 敛性 分 析 ．数 值 例子 表 明算 法 是有 效 的 ． 关键 词 运筹 学 ，非 线性 规 划 ，非单 调 线 搜 索 ， Ｂ ＧＳ算 法 ，收 敛 Ｆ 学科 分 类 号 （ ／ １ ７ ５９ ） １ ． ＧＢ Ｔ ３ ４ —２ １０７ ４
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
第三章非线性规划无约束问题的最优化方法
x0
0p 0
1.919877 还需要经过10次迭代才
能满足精度要求
0.003070
第三节 牛顿法
3. 牛顿法的缺点： 牛顿法要求初始解离最优解不远，若初始点选得离最优解太
远时，牛顿法并不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。因此， 常将牛顿法与最速下降法结合起来使用。前期使用最速下降法， 当迭代到一定程度后，改用牛顿法，可得到较好的效果。 4. 修正牛顿法 基本思想： 保留了从牛顿法中选取牛顿方向作为搜索方向，摒弃其步长恒 为1的做法，而用一维搜索确定最优步长来构造算法。
2
2
0
2e2 2 3
00 21 0
03
f x3 9
第二节 最速下降法
再从x(3)点 出发，沿x3轴方向e3进行一维搜索：
0 x 3 e3 0
3
00 00 13
f x 3 e3
32
f' 0 x4 x3
3
3
0
3e3 0 0
f x4 0
第二节 最速下降法
因为 x 1
x 4 ，0故.0以1 x(4)点作为新的x(1) ，进行新一轮迭代。
0
1 33 22
f x0
p0
52 5
42
f' x0
p0 5 5 0
22
01
第三节 牛顿法
x1 x0
1 p0 3
2
3
f x1
14
12 2
0
30
12 1 2
2
f x1
所以选取 x* x 1
1 3 作为极小点。 2
第三节 牛顿法
6. 修正牛顿法的缺点： 修正牛顿法虽然比牛顿法有所改进，但也有不足之处：
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２ ０常熟 理工 Fra bibliotek院 学报 （ 自然科 学 版 ）
２０ ０７焦
长， 这扩 大 了方 程组 （ ． ） １２ 的应 用范 围． 最早 的非单 调方 法 由 Ｇ ｐ ｏ Ｌ ｍ ａｉｌ ｉ ｆ ｐ ，ａ ｐ ｒ ｌ ｅ ｏ等人 提 出 ， 结 构如下 ： 其
给定 参数 Ａ ，： 和 ， 中 ０＜Ａ Ａ ， 其 ＜Ａ ， ∈（ １ ， Ｏ ＝ ， ０，） 取 ｔ ２ 负整数 ， 得 使
收 稿 日期 ： ０ ７— ６—１ ２０ ０ ０ 基金项 目：江苏省高校 自然科学基金指 导项 目（ ｏ Ｗ０ ０ ７ ． Ｎ ．Ｙ ６０ ）
作者简介 ： 夏红卫 （９ ８ ） 男 ， 苏金坛人 ， １６ 一 ， 江 常州工学院理学院讲师 ， 士 ， 硕 研究方 向： 非线性优化
维普资讯
与 方程组 （ ． ） １ １ 相关 的最优 化 问题为
ｍｎ ｉ．
Ｓ ． ∈ ．ｔ
１
）
（．） １２
其中 ） ÷ ｝ （） ， ＝ ｝ ｘ ｝ 且 Ｆ
生且 满足 ：
） ｊ（） （） ． ） （） ａ ｂ矩阵． ： Ｔ Ｆｘ ， （ 是Ｆｘ的Ｊ ｏ ， ｃｉ
）Ｉ 分小 ， 停止 ， Ｉ 充 则 且返 回 作为解 ， 则转 步 ３ 否 ． ＝ ＋ ｄ． 中 满 足 Ｗｏｅ 件 ： 其 ｌ条 ｆ
＋ Ｌ ≤ｃ ＋ Ｏｄ ） ＾ ６ ） ｄ （． ） ２ １
步３ ：由 Ｂ Ｇ Ｆ Ｓ方法确定 搜索 方 向 ｄ．
Ｖ 步 ５ 取 叩 ∈［ ， ］ 并令 ： 叩 ，
维普资讯
第 ２ 卷第 １ １ ０期
２０ ０ ７年 １ ０月
常熟理 工学院学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕｎｌ ｆＣ ａｇｈ ｓｔｔ ｏ ｅｈ ０ ｇ（ ａｕａ Ｓｉｎｅ ｏｒａ ０ ｈ ｎｓｕＩ ｔｕｅ ｆ ｃｎｌ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅｃｓ ｎｉ Ｔ ｏ
２ 算 法
算 法 （． ） ２ １ 步 ０ 取 ０ ， ： ∈ 参数 ０ … ≤叩 ≤１０＜ ＜１ Ｊ 且 ＞ ． ≤叩 … ， ＜ ＜Ｄ ， ０
令 Ｃ ： ‰）Ｑ ＝１ｋ＝ ． ｏ ，。 ， ０
步 １ 计算 ｇ ＝Ｖ （ ： ｆ ｘ）
步 ２ 如果 ： 步 ４： 取
＋Ｏ ｄ ） Ｌ ｄ ≥ Ｖ （ ） ｆ ｄ
＋） ／ ｌ １） Ｑ ＋
（． ） ２ ２
（． ） ２ ３
Ｑ ＋ ＝叩 Ｑ ＋１ Ｃ ＋ ＝（ ｌ ； ｌ 叩Ｑ Ｃ ＋
ｋ＝ ： ｋ＋１ 转步 １ ， ．
一，
十Ｏ ／ｄ
对式 （ ． ） １２ 的许 多迭代 方法 是产 生一个 序列 。 ，
＋ Ｉ＝
－ 其 中 川 由 ， － ． 当前方 向 ｄ ， 长 Ｏ ＞ 步 ／ ０产
在单调线性搜索方法 中， Ｏ 的选取满足－ ＋） ／ 厂 ≤ （
） 而在非单调线性搜索方法 中， ， 允许 函数值的增
Ｖｌ １ ｏ ０ ｏ２ Ｎ・ ・ １
０ ２０ ｃ， ７ ’０
界 约束 非线 性 方 程 组 的非 单调 线 搜 索法
夏 红 卫
（ 常州 工学 院 理 学 院 ， 苏 常 州 江 ２３０ ） １０ ２
摘
要 ： 出一种 用非 单调 线搜 索方 法求 解简单 界约 束非 线性 方程组 ， 法采 用不精 确 线搜 索技 巧 ， 提 算 并
１ 引 言
考 虑下 述界 约束非 线性 方程 组
Ｆ ）＝０ ∈ ． （ ， （．） １ １
其 中 ＝｛ ∈ ｚ ｝ ， ∈ ， 。 ｚ＜ ＜＋。 ， ＝ ， ， ｎ Ｆ ＿Ｒ Ｒ ｌ ≤ ｆ Ｒ 一 。＜ ≤ ｌ 。 ｉ １２ …，． ： ＋ 是定义在 上连续可微 的 函数． 求解非线性方程组（． ） １１ 在非线性优化中具有十分重要的地位． 传统的求解方法有牛顿法、 拟牛顿法等． 文 献［＿３ 分别讨论了仿射尺度法和 内点法， １＿ ］ 文献［ ］ ４ 给出了新的 Ｌｖｎ ｅ — ａ ｕｒ 方法 ， ｅｅｂｒ Ｍ ｒ ａ ｔ ｇ ｑ ｄ 文献 ［－８ 讨 ７ ］ 论 了仿 射尺度 内点信 赖域法． 本文在 此基础上提 出求 解 （． ） １１ 的非单调 不精 确线 搜索方 法 ， 文献 ［ ］ 比， 与 ３相 采 用不精确线 搜索技巧 ， 法简单易 于实 现 ， 采用非 单调结构 ， 算 且 放松 了接受 尝试 步的条件 ， 提高 了算法 的计 算效 果， 还将 当前函数最大值 的下降改进 为函数平均值 的下降 ， 在理论上 推广 了算法 的适用 范围．
＋Ｏｄ ） ａ ｔ ≤ ｍｘ ）＋ Ｖ
ｈ， 中 ∈（ ，２ ， 是最 小 的非 其 Ａ。Ａ ）ｈ
） ｄ （． ） １３
ｍ ＝ 并且 ｋ＞ ， ≤ｍ ＜ｍ ｎ ｍ ＋１ Ｍ｝Ｍ 是给定 的整 数． ０ ０， ００ ｉ｛ ￣ ， ，
尽管基于 （． ） １３ 的非单调方法 在许 多场合效果很 好 ， 仍有一 些缺 点 ， 在一些 迭代 中产 生 的好 的 函数 值 但 如 因（．） １３ 式取最大 而被丢失 因此本文 的非单调 线搜索方法将 函数值的最大值下 降改变为 函数平均值下 降．
使 用非单调 结 构 ， 当前 函数 最 大值 的 下降 改进 为 函数 平 均值 的 下 降 ， 广 了算法 的适 用 范 围． 行 了 将 推 进 数 值 试验 ， 结果表 明算 法十分有 效 ． 关键 词 ：界约 束 ； ｌ Ｗｏｅ条件 ； 单调 ； ｆ 非 线搜 索
中图分 类号 ： ２ １ ２ ０ ２ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ：１０ ２ ９ （０ ７ １ ０ ８— ７ ４ ２０ ）０—０ １ ０ ０ ９— ５