2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用试题理新人教版
高考数学第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.
高考数学(理科)一轮复习：单元四 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
π 3
∴n· = (n∈N+), ������ 3 ∴ω=6n(n∈N+), ∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6.
6
解析 答案
关闭
2π
π
第四章
知识梳理 考点自测
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
关键能力
必备知识
-9-
1
2
简谐运动对应的函数 f (x)=2sin ������ + ������ |������| < 的图 3 2 像经过点(0,1),则该函数的最小正周期T和初相φ分别 为 .
关闭
由题意知 1=2sin φ,得 sin φ= . 又|φ|< ,得 φ= .
2 6 π π 2
1
函数 f(x)的最小正周期为 T=2π÷ =6.
3
关闭
π
6,
π 6
解析
答案
第四章
考点1 考点2 考点3
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
关键能力
必备知识
-10-
考点 1 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
A. ������π- 4 , ������π + 4 (k ∈Z) B. C. D.
π 3π ������π + 4 , ������π + 4 (k ∈Z) 2π π ������π- 3 , ������π- 6 (k ∈Z) π π ������π- , ������π + (k ∈Z) 12 12
(
π
)
关闭
(5)若函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=2k π+2 (k ∈Z).
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课件：第四章 三角函数与解三角形 4-6 精品
再把
坐标不变)，得到 最后把
π y＝sin2x＋ 上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 π y＝2sin2x＋3 的图象．
2 倍
(横坐标不变)，即可得到
解法二：将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来 1 的 (纵坐标不变)，得到 y＝sin 2x 的图象； 2 π 再将 y＝sin 2x 的图象向左平移 个单位， 6 得到 y＝sin 再将
必考部分
第四章
三角函数与解三角形
§4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考纲展示► 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响． 2． 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型， 会用 三角函数解决一些简单实际问题．
π y＝4sin2x＋ ，x∈R 5
x∈R 的图象上所有点的( C
A．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B．纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 1 C．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 2 1 D．纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 2
[解析]
函数
π y＝4sinx＋5 x∈R ，
考点 1
函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及变换
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 振幅 y＝Asin(ωx ＋φ)(A>0， ω>0) A 周期 频率 1 f＝ ＝ T ω 2π 相位 初相
2π ω T＝______
ωx＋φ ______
φ
2．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个 关键点，如下表所示： x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) φ － ω ____ 0 0 φ π － ＋ ω 2ω π 2 A π－φ ω
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用教师用书1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2016·杭州模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x ＝――――――――――→右移10π10个单位y ＝sin(x －π10)――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)．3．(2016·宁波高三第二次适应性考试)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.答案 2π6解析 根据图象知T ＝π，∴ω＝2，又f (x )图象过点(0,1)，且点(0,1)位于函数图象的递增部分， ∴由2sin φ＝1得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )． 当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z . 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2017·金华十校高三上学期调研)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin(2x －π6)，则φ＝________(0<φ<π2)，再将函数y ＝sin(2x －π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________． 答案π12 y ＝sin(x －π6) 解析 将y ＝sin 2x 中的x 替换为x －π12后得到y ＝sin(2x －π6)，故向右平移π12个单位长度；将y ＝sin(2x －π6)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，则将x 替换为x 2得到y ＝sin(x －π6)．题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵11π12是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例 3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m 2的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．(2016·杭州市学军中学高三5月模拟考试)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案 D解析 由f (x )的周期为π得ω＝2，f (x )＝cos(2x ＋π4)向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝cos 2x 的图象．3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，6∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·绍兴模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，2∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2016·杭州模拟)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10．(2016·邢台模拟)先把函数f (x )＝sin(x －π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈(π4，3π4)时，函数g (x )的值域为________． 答案 (－32，1] 解析 依题意得g (x )＝sin[2(x －π3)－π6]＝sin(2x －5π6)，当x ∈(π4，3π4)时，2x －5π6∈(－π3，2π3)，此时sin(2x －5π6)∈(－32，1]，故g (x )的值域是(－32，1]． 11．(2016·余姚模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为 [k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．(2016·浙江联考)已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13. (2016·余姚模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos 3x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。
2018版高考数学一轮温习 第四章节 三角函数与解三角形 4.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义 理 新人
注意：一般地，若 ω<0，则一般是先利用诱导公式将原式变 形为 y＝－Asin(－ωx－φ)的形式，然后再讨论函数的单调性．
[ 典 题 2] (1)[2017·河 南 洛 阳 调 研 ] 已 知 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则 f(x) 的解析式是( D )
象．
注意：这里的向右平移π6个单位长度，指的是 x－π6，而不是 2x－π6，否则本题易错误地认为应该将函数 y＝sin2x＋π3的图象 向右平移π3个单位长度．
(2)把函数 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，得到函数__y_＝__s_in__2_x_的图象．
[点石成金] 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的求法 (1)求 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－ 2 m， b＝M＋ 2 m. (2)求 ω：确定函数的周期 T，则可得 ω＝2Tπ. (3)求 φ： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知) 或代入图象与直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间 上还是在下降区间上)．
考点 1 函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及变换
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，
ω>0)
振幅 A
周期
2π T＝__ω____
频率
f＝T1＝ ω 2π
相位 初相
_ω_x_＋ __φ_
φ
2．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个
将所得图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 12得到的图象对应的函数解析式为 y＝12sin2x－2π＝－12cos x，故 f(x)＝－12cos 2x.
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用试题
Asin(ωx＋φ)的图象及应用试题理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用试题理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用试题理新人教版基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1。
(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度，则平移后图象的对称轴为（)A.x＝错误!－错误!(k∈Z）B.x＝错误!＋错误!(k∈Z)C。
x＝错误!－错误!(k∈Z) D。
x＝错误!＋错误!（k∈Z）解析由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin错误!，由2x＋错误!＝kπ＋错误!得函数的对称轴为x＝错误!＋错误!(k∈Z），故选B.答案B2。
（2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ）(ω>0，｜φ｜<错误!)在区间错误!上的图象如图所示,则ω，φ的值分别是( )A.ω＝2，φ＝错误! B。
ω＝2，φ＝－错误!C。
ω＝错误!，φ＝错误! D。
ω＝错误!，φ＝－错误!解析由图可知，T＝2错误!＝π,所以ω＝错误!＝2，又sin错误!＝0，所以错误!－φ＝kπ（k∈Z），即φ＝π3－kπ(k∈Z），而｜φ｜<错误!，所以φ＝错误!，故选A。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用学案
学习资料4.4函数y=A sin（ωx+φ)的图象及应用必备知识预案自诊知识梳理1。
y=A sin（ωx+φ）的有关概念2.用五点法画y=A sin（ωx+φ)在一个周期内的简图时，要找出的五个特征点如下表所示3。
由y=sin x的图象得y=A sin（ωx+φ)（A〉0,ω>0)的图象的两种方法y=A sin （ωx+φ）(A>0，ω>0）的图象的作法：（1）五点法:用“五点法”作y=A sin(ωx+φ）的简图，主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z 取0，π2，π，3π2,2π来求出相应的x ，通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。
（2）图象变换法:由函数y=sin x 的图象通过变换得到y=A sin （ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”（即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”）.考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.(1)把y=sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y=sin 12x 。
（ )（2)将y=sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y=sin (2x -π3)的图象。
（ ) (3）函数f (x )=A sin(ωx+φ)（A ≠0)的最大值为A ，最小值为-A.( )（4)如果y=A cos （ωx+φ）的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ）（5）若函数y=A sin （ωx+φ)为偶函数，则φ=2k π+π2（k ∈Z ).( ）2。
若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ）A 。
x=kπ2−π6（k ∈Z ) B 。
x=kπ2+π6（k ∈Z )C 。
x=kπ2−π12(k ∈Z ） D.x=kπ2+π12(k ∈Z )3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=√2(sin 2x+cos 2x )的图象，只需把函数y=2sin 2x 图象上所有的点( )A 。
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及
第4讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 解析 由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，故选A. 答案 A 2.要得到函数cos(21)y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移12 个单位 D.向右平移 12个单位 解析 因为1cos(21)cos(2()2y x x =+=+,所以将cos 2y x =向左平移12个单位,故选C.答案 C3. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D.答案 D4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )． A.π6B.π3 C.π4D.π12解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4.答案 C5． 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析 由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又∵点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴10＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案 A 二、填空题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T2＝22－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2.答案 π28．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案π410．在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析 首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1. (2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．12．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 13．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 14．设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解 (1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2 ＝12－12sin 2x ， 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x . ②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.。
[推荐学习]2018年高考数学总复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用
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第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 答案 B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A.ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝－2π3C.ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝－2π3解析 由图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3，故 选A.答案 A3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a的最小值是π3，选B.答案 B4.(2016·台州模拟)函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A.2B.3C.4D.5解析 函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点.答案 D5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，则g (x )的图象可能是由f (x )的图象( ) A.向右平移2π3个单位得到的B.向右平移π3个单位得到的C.向右平移7π12个单位得到的D.向右平移π6个单位得到的解析 由函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，可得g (x )的图象位于y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为m ，则有17π24－m ＝π4－π8，解得m ＝7π12，故把函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移7π12－π4＝π3个单位，即可得到函数g (x )的图象，故选B.答案B二、填空题6.(2017·金华调研)如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有ω＝________，A ＝________.解析 由题意知水轮每分钟旋转4圈，即每秒旋转2π15 rad ，所以ω＝2π15；又水轮上的最高点距离水面r ＋2＝5(米)，所以y 的最大值A ＋2＝5，A ＝3. 答案2π153 7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________.解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝___________.解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0， 得ω＝143.答案143三、解答题9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0. (1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值.解 (1)当ω＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＋cos π2＝32＋0＝32. (2)f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵2π|ω|＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B.f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D.把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象解析 对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时， 2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错. 答案 C12.(2016·承德一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.(－∞，－2]∪[6，＋∞)D.(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.答案 D13.(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z ).∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.答案π2 14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象.若关于x 的方程g (x )－(2m＋1)＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围.解 (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)通过平移，g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 方程g (x )－(2m ＋1)＝0可看成函数y ＝g (x )和函数y ＝2m ＋1的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个交点，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，为使直线y ＝2m ＋1与函数y ＝g (x )的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个交点，结合函数y ＝g (x )在[0，π2]上的图象，只需52≤2m ＋1<5，解得34≤m <2.即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.15.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<ω<π2的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间.解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又∵0<φ<π2，∴5π6<5π6＋φ<4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .∴g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
[推荐学习]2018年高考数学总复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用
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[推荐学习]2018年高考数学总复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识梳理1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x －φω错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π3π22π＋φ)的图象的两种途径诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )解析 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x . (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为|φ|ω.故当ω≠1时平移的长度不相等. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( )A.2，1π，－π4B.2，12π，－π4C.2，1π，－π8D.2，12π，－π8答案 A3.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.答案 D4.(2017·衡水中学金卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位，所得函数图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，0 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 解析 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，再向右平移π8个单位长度，所得函数的解析式为y ＝sin 2x ， 令2x ＝k π，x ＝k π2(k ∈Z)，故所得函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，(k ∈Z)，故所得函数的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，故选D.答案 D5.(2017·金华调研)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 由题中图象知T ＝π，∴ω＝2，把(0，1)代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得1＝2sin φ，∴sin φ＝12，∵|φ|<π2，∴φ＝π6.答案 2 π66.(必修4P60例1改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.解析 从图中可以看出，从6～14时是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.由图可得A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20.又π8×10＋φ＝2π，解得φ＝3π4， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]. 答案 y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令z ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin z .列表，并描点画出图象：z0 π2 π 3π2 2π y ＝sin z 010 －1y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π30 2 0 －2 0(2)法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象.法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象.规律方法 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【训练1】 设函数f (x )＝cos(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象. 解 (1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表：2x －π3－π3 0 π2 π 32π 53πx 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112描点画出图象(如图).考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.解析(1)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32，所以θ＝π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32.又0＜φ＜π，所以－5π3＜π3－2φ＜π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.(2)由题图可知A ＝2， 法一T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点， 因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案 (1)5π6 (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3规律方法 已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.【训练2】 (2016·全国Ⅱ卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析 由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A.答案 A考点三 三角函数模型及其应用【例3】 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12 ℃，取得最小值8 ℃.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温，由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温.规律方法 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【训练3】如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).(1)求函数h＝f(t)的关系式；(2)画出函数h＝f(t)(0≤t≤12)的大致图象. 解(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y 2，y ＝－2cos θ＋2.又θ＝2π12×t ，即θ＝π6t ，所以y ＝－2cos π6t ＋2，h ＝f (t )＝－2cos π6t ＋2.5. (2)函数h ＝－2cos π6t ＋2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.考点四 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的综合应用【例4】 (2017·杭州质检)已知函数f (x )＝4cosωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间.解 (1)f (x )＝4cos ωx · sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a .又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期为T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3. ∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 规律方法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.【训练4】 已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值.解 (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π) ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是T ＝2π1＝2π.(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1，2]， 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[思想方法]1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化.2.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.[易错防范]1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y＝A sin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝A sin t的值域.。
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件理苏教版
答案
解析
由图可知，T＝2π3－－π6＝π，所以 ω＝2， 由五点作图法可知 2×π3＋φ＝π2，所以 φ＝－π6， 所以函数的解析式为 y＝2sin2x－π6.
4.(2016·南通模拟)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，
解答
引申探究 在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移 π6个单位长度，得到g(x)的图象， 求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心. 解答
由(1)知 f(x)＝5sin(2x－π6)，因此 g(x)＝5sin[2(x＋π6)－π6]＝5sin(2x＋π6). 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的 步骤如下 几何画板展示
|φ| φ ω
知识拓展
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
个φ单位长度而 ω
非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋ π，k∈Z确定；对称中心由 2
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移 π 个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数 6
g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.
思维点拨
规范解答
答题模板
(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期； (2)将f(x)解析式中的x换成x－π ，得g(x)，然后利用整体思想求最值.
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2π .( × ) ω
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2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y ＝
Asin(ωx ＋φ)的图象及应用试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为
( ) A.x ＝k π2－π
6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π
6(k ∈Z ) C.x ＝
k π2－π
12
(k ∈Z ) D.x ＝
k π2＋π
12
(k ∈Z ) 解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移
π
12
个单位长度后得到函数的解析式为y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6
(k ∈Z )，故选B.
答案 B
2.(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π
2
)在区间
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A.ω＝2，φ＝π
3
B.ω＝2，φ＝－2π3
C.ω＝12
，φ＝π
3
D.ω＝12
，φ＝－
2π3
解析 由图可知，T ＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π
3
，故 选A.
答案 A
3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π
6
B.π3
C.π
2
D.
2π3
解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称，所以
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3
，k ∈Z ，
因此正数a 的最小值是π
3
，选B.
答案 B
4.(2016·长沙模拟)函数f (x )＝3sin π
2
x －log 12
x 的零点的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝1
8
.由log 12
x ＝－3，可得x ＝8.在同一
平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π
2
x 和y ＝log 12
x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )
有5个零点.
答案 D
5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，则
g (x )的图象可能是由f (x )的图象( )
A.向右平移
2π
3个单位得到的 B.向右平移π
3
个单位得到的 C.向右平移
7π
12个单位得到的 D.向右平移π
6
个单位得到的
解析 由函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，可得g (x )的图象位于y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为m ，则有
17π24－m ＝π4－π8，解得m ＝7π12，故把函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移7π12－π4＝π
3
个单位，即可得到函数g (x )的图象，故选B. 答案 B 二、填空题
6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋
A cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π
6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月。