2014年东南大学线性代数A期末试卷
线性代数与解析几何__东南大学(4)--07-08-3线性代数期末考试试卷A
=
�2 � �0
0 1
� �，若 �
AB
是对称矩阵，则
x
=
2．
矩阵
A
=
�4 � �3
7 5
� �的逆矩阵 �
A-1
=
； ；
纪
3． 若 3ﾴ 3 矩阵 A 的特征值是1, 2, -1 ，则 A 的伴随矩阵 A* 的行列式 A* =
；
律
4． 齐次线性方程组 x + 2 y - 5z = 0 的一个基础解系是
2． 假 设 A, B 都 是 s ﾴ n 矩 阵 。 若 A + B 的 秩 r( A + B) = n ， 证 明 ： 矩 阵 M = AT A + BT B 的特征值均大于零。
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页
（C）
�-2 � �0
-01� � �；
（D）
�0 � �3
1� 2 � �
效
封
3．
假设
A,
B
分别是
s
ﾴ
s
和
n
ﾴ
n
矩阵，则分块矩阵
�O ��B
A O
��的行列式是（ �
）
（A） A B ； （B） - A B ； （C） (-1)s+n A B ； （D） (-1)sn A B 。
密
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3． 得分：
）
作
（A） X = A-1B-1C ；
（B） X = CA-1B-1 ；
弊
（C） X = A-1CB-1 ；
（D） X = B-1CA-1 。
学号
线
此 答
2．
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
2014线性代数A卷答案
20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。
8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ）， （2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分） 证毕。
2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立， （2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分） 故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。
线性代数与解析几何__东南大学(5)--08-09-3线性代数期末考试试卷A
2. 假 设 A = (aij )nﾴn 是 n ﾴ n 实 对 称 矩 阵 ， li (1 ﾣ i ﾣ n) 是 A 的 特 征 值 。 证 明 ：
n
nn
� �� li2 =
ai2j 。
i =1
i=1 j=1
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秩相同，并且， b3 可以由a1,a2 线性表示。求参数 m, n 的值。
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1. 当参数 a 满足什么条件时，齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解？ 2. 当 Ax = 0 有非零解时，求其基础解系。
2. （10%）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 - 4x1x2 + 3x22 + 4x2 x3 + kx32 ， g(z1, z2 , z3 ) = z1z3 。 1. 求一可逆线性变换 x = Cy 将 f 化成标准型。 2. 问：当参数 k 满足什么条件时，存在可逆线性变换将 f 变成 g ？
弊
；
7. 如果 2 阶矩阵 A 的特征值是 2 和 3，则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值是
；
此 答 卷
�1 -1 1 �
8.
若 2 是 A = ����-x3
4 -3
y 5
����的二重特征值，且
A
相似于对角阵，则
(
x,
y)
=
；
无
9. 如果二次型 x12 + tx22 + 4tx1x2 是正定的，则参数 t 满足条件
满足条件
；
场
2.
设
k
>
0
，向量 a
=
(k, 0,
k )T
2014线代期末
一、单项选择（请将正确选项填写在后面的括号中，每小题 3 分，共 15 分）
1．
设矩阵 A
1 0 3 0
0 2 0 4
2 0 4 0
1003 ，则行列式 2 A 的值为
（A） 320
（B） 320
（C） 40
（D） 40
【
】
（A） 必可由 , , 线性表示 （B） 必可由 , , 线性表示
（C） 必可由 , , 线性表示 （D） 必不可由 , , 线性表示
4．
设矩阵 A
1 x
3
1 4
3
1 y
5
有
3
个线性无关的特征向量，
2
是二重特征值，
则 x 和 y 依次为
【
】
（A） 2, 2 （B） 2, 2 （C） 3, 1 （D） 1, 3
四、（12 分） 取何值时，线性方程组
(22x1()5x12) xx22
2x3 4x3
1 2
2x1 4x2 (5 )x3 1
有唯一解、无解、无穷多解？并在有无穷多解时，求其结构解.
五、（12 分）设有直线 L
:
3xxyy3z
与点
1
M
(1,0,1)
.
（1）求 L 的对称式方程； （2）求点 M 到直线 L 的距离.
【
】
2．
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1896
a d g
b e h
c f i
0 0 1
0 1 0
1 0 0
2015
=
【
】
（A）
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准
![2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准](https://img.taocdn.com/s3/m/00b9ae22ed630b1c59eeb567.png)
2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。
线代期末考试A卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。
2013-2014(1)线性代数课程试卷A卷答案
2013--2014第一学期线性代数课程试卷（期末）（A 卷）参考答案与评分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设n 阶方阵B A ,等价，则（ C ）（A ） B A = （B ）B A ≠ （C ）0≠A 则必有0≠B （D ） B A -= 2.对矩阵54⨯A ，以下结论正确的是（ B ）（A ）A 的秩至少是4 （B ）A 的列向量组线性相关 （C ）A 的列向量组线性无关 （D ）A 中存在4阶非零子式 3．A 是n m ⨯矩阵，R(A)= m<n, 则下列正确的是( D )（A ）A 的任意m 个列向量线性无关 （B ）A 的任意一个m 阶子式必不为零 （C ）A 经过初等行变换必可化为)0,(m E 的形式（D ）齐次线性方程组AX=0有无穷解4.设二次型323121232221321222444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则( C )（A ）f 的秩为1 （B ）f 的秩为2 （C ）f 为正定二次型（D ）f 为负定二次型 5. 若三阶方阵A 的三个特征值为1，2，-3,属于特征值1的特征向量为T )1,1,1(1=β,属于特征值2的特征向量为T )0,1,1(2-=β，则向量T )1,0,2(21--=--=βββ（ D ） （A ）是A 的属于特征值1的特征向量 （B ）是A 的属于特征值2的特征向量 （C ）是A 的属于特征值-3的特征向量 （D ）不是A 的特征向量 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为__负____。
7. 设A 是3×3矩阵，2-=A ，把A 按列分块为],,[321ααα=A ，其中 j α)3,2,1(=j 是A 的第j 列，则________6___,3,21213=-αααα。
8.X 和Y 是nR 中的任意两个非零向量，记TY X A =，则矩阵A 的秩是___1___.9. 若n 元线性方程组有唯一解，且其系数矩阵的秩为r ，则r 与n 的关系必为__r =n___.10. 设向量空间{}R x x x x x W T∈=21121,)3,2,(，则W 的维数等于__2__ _。
线性代数与解析几何__东南大学(27)--2013-2014-2《几何与代数A》试题参考解答
B)
=
2,
可见
B
的
Jordan
标准形为
� � �00
2 0
00 � � �.
�2 1 0�
所以 A 的 Jordan 标准形为 � � �00
2 0
0 0
� � �,
最小多项式为(
2)2.
七. (14 分)求正交变换 x = Qy 把二次型 f(x) = a(x12 + x22 + x32) + 2(x1x2 + x1x3 x2x3)化
八. 证明题(每小题 5 分, 共 10 分) 1. 设1, 2 为矩阵 A 的两个线性无关的特征向量, 证明: 1 + 2 为 A 的特征向量当且仅
当1, 2 对应于 A 的同一个特征值. 证明: ()设 A1 = 11, A2 = 22, A(1 + 2) = (1 + 2),
于是有t = x = (1 Tx) = (1 tT) = (1 4t),
进而有t = 1 4t, 即(+4)t = 1. 可见 4, 此时 t = (+4)1.
当 4 且 0 时, 存在唯一的 x = (+4)1满足(1 Tx) = x.
2 1
� � �得
A1
=
� � �31
2 1
� � �;
� � �AA
E O
E O
O E
� � �经初等行变换化为
� � �OE
O E
O E
A1 E
� � �,
第3页共7页
�0 0 3 2 �
可见 B1 = � � �OE
A1 E
线性代数与解析几何__东南大学(6)--09-10-3线性代数期末考试试卷A
2 1 0
3 2 1
� ����，
B
=
�1 ��2
0 -1
1 0
��，求矩阵 �
X
使得
XA
-
B
=
2
X
。
�a 2 3 �
3. (12%)根据参数 a 的值，讨论矩阵 A = ����11
2a -2
-3 3a
����的秩。
共4页
第2页
4.
(14%)若方程组 (I )
:
￬ ￭￮2
x1 + x2 x1 + 3x2
姓名
学号
线
东南大学考试卷(A 卷)
课程名称 适用专业
线性代数 非电类专业
考试学期 考试形式
09-10-3 闭卷
得分 考试时间长度
120 分钟
题号
一
二
三
四
五
六
七
得分
1. （30%）填空题（ E 表示 n 阶单位矩阵， O 表示 n 阶零矩阵）：
1.
若 对 任 意 3 维 列 向 量 h = (x, y, z)T ， 矩 阵
a 1
���的特征值都大于零，则参数
a
的取值范围是
。
9.
若矩阵
A
=
�1 ��2
2 1
���与
B
=
�1 ��3
3 k
���合同，则参数
k
的取值范围是
。
10.
已知
2ﾴ
2
矩阵
A,
P
满足
P-1 AP
=
�1 ��0
0 2
��。 �
若
P
线性代数2014-2015-2-线性代数A卷答案
2014-2015-2线性代数A 卷答案及评分标准—————————————————————————————一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设D C B A ,,,是同阶方阵，E ABCD =，则（B）（A ）E ABDC =（B ）E CDAB =（C ）E ACBD =（D ）EBACD =2.设向量组I ：321,,ααα可由向量组II ：21,ββ线性表示，则（C ）（A ）向量组II 必线性相关（B ）向量组II 必线性无关（C ）向量组I 必线性相关（D ）向量组I 必线性无关3.设A 是n (3≥n )阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（C ）（A ）A A A n 1**||)(-=（B ）A A A n 1**||)(+=（C ）A A A n 2**||)(-=(D)A A A n 2**||)(+=4.设A 是n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,αα是非齐次方程b Ax =的两个不同的解，则b Ax =的通解是（A ）（A ）121)(ααα+-k （B ）21αα+k （C ）121)(ααα++k （D ）221)(ααα--k 5.设A 是n 阶矩阵，P 是n 阶正交矩阵，且AP P B T =，则下列结论错误的是（D ）（A ）A 与B 相似（B ）A 与B 等价（C ）A 与B 有相同的特征值（D ）A 与B 有相同的特征向量二、填空题（每小题3分，共15分）6．设三阶方阵A 的三个特征值是1,1,2，则=--|6)2(|1*A A 4.7.设矩阵A 满足E A =3，则1)(-+E A =_____22E A A +-____.8.设三阶矩阵),,(321ααα=A ，且1||=A ，则|),,(|13321ααααα-+=____1___.9.已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 1 31 42 2 1a 的列向量组线性相关，则a =_____1-___.10.设21,λλ是实对称阵A 的两个不同的特征值，T 2T 1),2,1(,)1,1,1(a ==ξξ为对应的特征向量，则a =___3-______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11.若矩阵AB 是可逆矩阵,则矩阵B A ,均是可逆矩阵（√）.12.若n 阶行列式中元素为0的个数大于n n -2，则此行列式必为0（√）.13.若同阶矩阵B A ,均是正交矩阵，则矩阵AB 必为正交矩阵（√）.14.若向量组321,,ααα线性相关，则向量组133322211 , ,ααβααβααβ+=+=+=无关（×）.15.若A 是23⨯矩阵，且非齐次方程组b Ax =对应齐次方程组0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解（×）四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式 a ba a ab a a a a a b aa b a D =的值.解；原行列式把第二行，第三行，第四行均加到第一行得a b a a a b a a a a a b a a b a D ==ba a a ab a a a a b a ba b a b a b a ++++3333-------------------5分 b a a a a b a a a a a b b a 1111)3(+==3))(3( 0000000 001111)3(a b b a ab a b a b b a -+=---+---10分17.利用初等变换求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5 2 30 1 21 0 1A 的逆矩阵.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1 0 0 5 2 30 1 0 0 1 20 0 1 1 0 1),(E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1 0 0 5 2 30 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~12r r ---4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1 0 3 2 2 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 13~13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1 2 7 2 0 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~23r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1 2 7 2 0 01 1 5 0 1 00 0 1 1 0 1~32r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----÷1/2 1 7/2 1 0 01 1 5 0 1 01/2 1 5/2 0 0 12~313r r r 所以A 的逆矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1/2 1 7/2 1 1 5 1/2 1 5/2 .---------------------------------10分18．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解.解：两个方程组有公共解即合起来的大方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++12040203213221321321a x x x x a x x ax x x x x x 有解,即),()(b A R A R =.---------------------------------------------------------------------------3分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112104102101112 a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11000)2)(1(0001100111~ a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)2)(1(0001 10001100111~a a a a a 当1=a 或2=a 时有公共解.----------------------------------------------------------------6分（1）当1=a 时，,2),()(==b A R A R 对应的方程组的通解为Rk k x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,1 0 1（2）当2=a 时，,3),()(==b A R A R 对应的方程组的唯一解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1 0x .---10分19.求向量组T 3T 2T 1)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(-==-=ααα，T 4)2,2,4(-=α的秩，并求出一个极大无关组.解：对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321ααααA 施加初等行变换，化成行阶梯型得----3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321ααααA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0 0 0 0 1 2 1 04 9 3 1~10 20 10 0 6 12 6 04 9 3 1~所以向量组的秩为2.------------------------------------------------------------------------------7分又因为任意两个向量都是线性无关的，所以我们可以选取21,αα为一个极大无关组.--------------------------------------------------------------------------10分20.设三阶实对称阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值.若,)0,1,1(T 1=αT 2)1,1,2( =α都是A 的属于6的特征向量.(1)求A 的另一个特征值及所有对应特征向量（2）求矩阵A .解：(1)因为三阶实对称阵A 的秩为2，所以332136||0λλλλ===A ，所以03=λ.----2分不妨设对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213x x x α，则由于属于不同特征值的特征向量正交，所以⎩⎨⎧=++=+02032121x x x x x ，其非零解是0,111≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k x --------------------------------5分（2）取,1113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 1 1 01 1 11 2 1,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0 6 63211 λ λλAP P 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 1/3 1/3 1/32/3 1/3 1/31 1 00 6 6 1 1 01 1 11 2 10 6 61P P A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4 2 22 4 22 2 4.------10分五、证明题（每小题5分，共10分）21.已知A 为n 阶矩阵，且A A =2，证明.)()(n E A R A R =-+证明：令E A B -=，所以0=AB 从而n E A R A R ≤-+)()(--------------------------3分又因为)()())((B R A R B A R +≤-+，从而)()()(E A R A R E R n -+≤=.因此.)()(n E A R A R =-+------------------------------------------------------------5分22.已知矩阵B A B A +,,均是可逆矩阵，证明矩阵11--+B A 必可逆.证明：因为1111111111)(----------+=+=+=+B A B A AB A BB A EB E A B A --------------4分所以矩阵11--+B A 必可逆.--------------------------------------------------------------5分。
东南大学几何与代数线性代数01到10期末试卷
01-02学年第二学期一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ；100()Tαβ= ；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110111001101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。
试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线2221x y z x y z+-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
2013-2014-2-线性代数A卷答案及评分标准(1份)
, m 是线性无关的向量组.
km m .……………………………（3 分）
, m) 左乘上式两端，得
不妨设向量为列向量，则以 iT (i 1, 2,
.0 ………………………（5 分） ki T , ) i i k ( i i i 因 i ，故 (i , i ) 0 ，从而必有 ki 0 (i 1, 2, 于是， 1 , 2 ,
…...................………………（4 分）
…………………………（5 分） ………………………...…（6 分） ………………...…………（8 分）.
1 , 2 是一个最大无关组；
（2）3 1 2 , 4 1 2
2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组 , , 证： 设有 k1 , k2 ,
1 1 1 x
.
1
1 1 x 1 1 0 x 0 1 1 1
解: D
1 1 1 x 0 0 0
=x
1 x 1
……………（2 分）
0 x x
= x x 0 x ………………………… …（5 分）
=x
0 0 x
= x( x)
0 x x 0
= x 4 ………………………............………………（8 分）
A卷
2013—2014 学年第二学期 《线性代数》期末试卷
答案及评分标准
专业班级 _____________________ 姓 学 名 _____________________ 号 _____________________ 应用数学系 2014 年 6 月 8 日
东南大学2014学年上学期工科数学分析期末考试卷(A卷)
共 4 页 第 1 页南大学2014学年上学期工科数学分析期末考试卷（A 卷） 课程名称 考试学期 得分 适用专业 工科类 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 1．函数1()2d (0)x F x t x ⎫=->⎪⎭⎰的单调增加区间为 ； 2．已知2060arctan()d lim 1t t x ax x t →=⎰，则a = ； 3．曲线32635y x x x =-++上的拐点是 ； 4．曲线323(2)x y x =+的斜渐近线的方程是 ； 5．二阶常系数线性非齐次微分方程265e x y y y '''+-=的特解形式是*y = ； 6．设θ是常数，0x ∀>，若0ln d ln 2x x t t x θ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰，则θ= ； 7．240sin d x x π=⎰ ； 8．设21()cos d x f x t t =⎰，则10()d f x x =⎰ ； 9．用M ε-语言叙述极限lim ()x f x →-∞存在的Cauchy 收敛准则 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10．300sind lim (1cos )x x t tt x x →-⎰ 11. ()240(1)sin(1)d x x x x --⎰共 4 页 第 2 页12．已知()f x 的一个原函数为(1sin )ln x x +，求()d xf x x '⎰.13．设220sin ()2d ,()1xx t f x t p x ax bx c t+=+=+++⎰，求常数a 、b 、c ，使得 (0)(0),(0)(0),(0)(0)p f p f p f ''''''===.14。
x ⎰共 4 页 第 3 页 三（15）．（本题满分8分）求微分方程sin 2e x y y x ''+=+满足初值条件01x y ==， 00x y ='=的特解.四（16）．（本题满分7分）设函数()f x 定义在区间[0,)+∞上，恒取正值，若对(0,)x ∀∈+∞，()f x 在[0,)+∞上的积分平均值等于(0)f 与()f x 的几何平均值，试求()f x 的表达式.五（17）．（本题满分6分）1与(ln 1+的大小，并给出证明.共 4 页 第 4 页六（18）．（本题满分7分） 对参数,p q ，讨论反常积分0d 1p qx x x +∞+⎰的敛散性，并给出证明.七（19）．（本题满分6分）设()f x 在区间[0,2]上连续可导，(0)(2)0f f ==，求证：2002()d max ()x f x x f x ≤≤'≤⎰.。
20140109线代期末试题(AA)(答案)
注：E 表示单位矩阵，A表示矩阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，T A 表示矩阵A 的转置，*A 表示矩阵A 的秩，()Tr A 表示矩阵A 的迹.一．（填空题（每小题4分，共20分）1. 设三阶矩阵A 的一个特征值为1-，并且秩()2,20R A E E A -=-=，则()Tr A =________. 答案： 22. 设1111,11213a a A B a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦是三阶非零矩阵，且0AB =，则0AX =的通解是________________________. 答案：[]1,1,0Tk -，其中k 为任意常数.3. 已知A 为三阶矩阵，1231002,2,4311ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为非齐次线性方程组123AX ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个解向量，则()R A =________.答案：()1R A =.4.设矩阵20121304A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦可对角化，则=x ________. 答案=x 2. 5. 假设二次型()()()()22212312323123,,2233f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++正定，则a 的取值为________. 答案：1a ≠.二． 选择题（每小题3分，共15分） 1. 设ij n nA a ⨯⎡⎤=⎣⎦为非零矩阵，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足ij ij a A =，则（ D ）.（A ）()0R A = （B ）()1R A = （C ）()1R A n =- （D ）()R A n = 2. 设123,,ααα和123,,βββ为两个六维向量组，若存在两组不全为零的数,,a b c 和,,k l m 使得()()()()()()1231230a k b l c m a k b l c m αααβββ++++++-+-+-=，则（ C ）.厦门大学《线性代数A 》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2014.01.09（A ）123,,ααα和123,,βββ都线性相关 （B ）123,,ααα和123,,βββ都线性无关 （C ） 11223311223,,,,,αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性相关 （D ）11223311223,,,,,αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性无关 3．设123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，则0AX =的另一个基础解系为（ B ） （A ） 13131,,ααααα-+ （B ）112123,,αααααα+++（C ）12312122,2,αααααααα+++-++ （D ） 1223312,,2ααααααα+---4. 设A 为n 阶实对称矩阵, P 为n 阶实可逆矩阵, α是A 的属于特征值λ的特征向量,则矩阵()1TP AP-的属于特征值λ的特征向量是 （ C ） .（A ） P α （B ） 1P α- （C ） TP α（D ） ()1TPα-5. 设=a b A c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则下列条件中 ① 0A < ② 0bc > ③ ()1R A = ④ ()2R A = 是A 与对角矩阵相似的充分条件是（ A ）（A ） ①,② （B ） ②,③ （C ） ① , ③ （D ） ②, ④三. (10分) 已知4维列向量组123,,ααα的秩为2，且满足123-2+4=0ααα.矩阵[]1234,,,αααα=A , 其中4123=2+2αααα+. 求线性方程组 12AX αα=-的通解.解 由向量组123,,ααα的秩为2，且满足123-2+4=0ααα可知向量组()231312,,,αααααα或；或为该向量组的最大无关组，又4123=2+2αααα+，故向量组()231312,,,αααααα或；或也是向量组1234αααα，，，的最大无关组，因此1234αααα，，，的秩为2，即 ()()1234,,,2R A R αααα==.由123-2+4=0ααα可得1231224040A ααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由4123=2+2αααα+可得1234122+2-=021A αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，即121122,4201ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦是0AX =的两个线性无关的解，由()2R A =可是0AX =的通解为1122,X c c ββ=+其中12,c c 为任意常数.显然121100A αα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1100η⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为12AX αα=-的一个特解，因此12AX αα=-的通解为1122X c c ββη=++，其中12,c c 为任意常数.四. （15分）设向量组[]11,1,1,2,T α=[]23,4,25,7,T a a a α=+++[]34,6,8,10,Tα=[]42,3,23,5Ta α=+.（I ）求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组；（II ） 若[]0,1,3,Tb β=不能由1234,,,αααα线性表出，试求,a b 的值； （III ） 若任意4维向量γ均可由1234,,,,ααααβ线性表示，试求,a b 的值. 解 设11223344x x x x ααααβ+++=，对[]1234,,,,ααααβ施以初等行变换，有[]123413420134201463101211,,,,12582330224213271050121a a a a a a ab a b ααααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦134200121100021100001a a b ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦， （I ）当112a a ≠≠-且时，()1234,,,3R αααα=，它的一个最大无关组为124,,ααα（或134,,ααα，或234,,ααα）.当12a =时，()1234,,,2R αααα=，它的一个最大无关组为12,αα（或13,αα，或14,αα）. 当1a =-时，()1234,,,3R αααα=，它的一个最大无关组为134,,ααα（或234,,ααα）. （II ） 方程组11223344x x x x ααααβ+++=无解，也就是β不能由1234,,,αααα线性表 出，此时条件为1=2a 或1b ≠. （III ）任意4维向量γ均可由1234,,,,ααααβ线性表示充分必要条件是()1234,,,,4R ααααβ=，即12a ≠且1b ≠.五．(15分) 已知A 是3阶实对称矩阵，其特征值是[]12312,1,1,1,0Tλλλα====是属于2λ=的特征向量.（I ）求矩阵A ；（II ）若[]1,5,2Tβ=，并n A β.解 （I ）设1λ=的特征向量是[]123,,Tx x x ，由于A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故12x x +=0，解的[][]231,1,0,0,0,1TTαα=-=是属于1λ=的线性无关的特征向量.令[]123,,P ααα=，则1211P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 从而12110211031011111011101302210011002002A P P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(II) 1211nnA P P ββ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦110211013221110111053222001100222nn n ⎡⎤⎡⎤⋅-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.六.(15分) 设三元二次型222123122313222T X AX x ax x x x x x ax x =+++--的正、负惯性指数都是1. （I ）求a 的值，并用正交变换化二次型为标准型；（II ）如35B A A E =-+，求二次型TX BX 的规范形.解 二次型矩阵是111111a A a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.由于()2R A p q =+=，所以()()2120A a a =--+=. 若1a =，则()1R A =，不合题意，舍去.若2a =-，此时112121211A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 由特征多项式 ()()11212133,211A E λλλλλλλ--=---=--+--得出A 的特征值为0, 3，-3，满足条件，故2a =-.当3λ=时，由()30A E X -=，得特征向量1101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 当3λ=-时，由()30A E X +=，得特征向量2121α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 当0λ=时，由()00A E X -=，得特征向量3111α-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。