广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学(理)试题 Word版含答案

2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．命题人：二高董正林 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试
室号、座位号填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的）
1. 已知a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2
a bi +＝（ ）
A ．54i -
B ．54i +
C ．34i -
D ．34i +
2. 设集合{} 12A x R x =∈-<，{}
2,x
B y R y x R =∈=∈，则A B ＝（ ）
A ．∅
B ．[)0 3，
C ．()0 3，
D ．()1 3-， 3. 函数()2
ln =-
f x x x
的零点所在的区间为（ ） A ．()0 1， B ．()1 2， C ．()2 3， D ．()3 4， 4. 已知m (),2a =-，n ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“m //n ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）
A ．
233
B ．223
C ．6
D ． 7
6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜
寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的
小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。

则不同的搜寻方案有（ ）（第5题图）
A ．40种
B ．70种
C ．80种
D ．100种 7. 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*
n N ∈，都有12n
n n a a +-≤，
232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ）
A ．2014
2
1- B ．20142+1 C ．201521- D ．201521+
8. 已知函数()3
sin f x x x x =--+，当02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，恒有
()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->成立，则实数m 的取值范围（ ）
A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2
⎡⎫-+∞⎪
⎢⎣
⎭
二、填空题（本大题共7小题，其中第9~第13题为必做题，第14~第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分） 9. 右图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数．．．M 的值是___________．
10.
若二项式()
*
1
(n n N x
+∈的展开式中的第5项是常数项，
则n =___________．
11. 若实数x y 、满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≥+-≤022022y x y x x ，则目标函数
y x z +=2的最大值为___________．
12. 已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________．
①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β .
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n . ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β .
④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n .
13. 若不等式2
1x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的范围为__________．
14.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线1C 的参数方程为2211x t t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数且0t ≠），在以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线2C 的极坐标方程
为()4
R π
θρ=
∈，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为__________．
15.（几何证明选讲）如图，PT 切圆O 于点T ,PA 交圆O 于A B 、两点，且与直径CT 交于点D ，若236CD AD BD ===，，，
（第9题图）
则PB =___________． （第15题图）
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分） 已知(
)()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫
=+-->
⎪⎝⎭
的最小正周期为T π=. （1）求23
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.
17. （本小题满分12分）
已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.
（1）若每次取球后都放回．．袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； （2）若每次取球后都不．放回．．袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望
18. （本小题满分14分）
如图，三棱柱111C B A ABC -侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D 为CC 1中点． （1）求证：BD A AB 11平面⊥； （2）求二面角B D A A --1的余弦值．
（第18题图） 19. （本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足13=
2a ，()1
1=22n n a n a --≥，n S 是数列{}n b 的前n
项和，且有
1=12n n S n b n
-+. （1）证明：数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
为等差数列；
（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n
n n
a c
b =，记数列{}n
c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.
20. （本小题满分14分）
已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>， 12F F ，分别是它的左、右焦点，A ()1,0-是
其左顶点，且双曲线的离心率为2e =. 设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于
P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线AP AQ 、分别与直线1
2
=
x 交于M N 、两点，求证：22MF NF ⊥； （3）是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？
若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
（第20题图）
21. （本小题满分14分）
已知函数()()2
ln 0f x x a x x a =--≠.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若0a >，设()11A x y ，，()22B x y ，是函数()f x 图像上的任意两点（12x x <），记
直线AB 的斜率为k ，求证：'1223x x f k +⎛⎫
>
⎪⎝
⎭.
2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷
参考答案
9、 4 10、 6 11、 8 12、 ②④ 13、 (]5-∞， 14、 （2，2） 15、 15 三、解答题：
16. （本小题满分12分）
已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫
=+-->
⎪⎝⎭
的最小正周期为T π=. （1）求23
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.
解：（1）()2cos cos f x x x x ωωω=- ……1分
11
2cos 222
x x ωω=
-- ……2分 1sin 262x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭ ……3分
()y f x = 的最小正周期为T π= ，即：
212π
πωω
=⇒= ……4分 ()1sin 262f x x π⎛
⎫∴=-- ⎪⎝
⎭ ……5分
221
71sin 2sin 13
36262f π
πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯--=-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ ……6分 （2）()2cos cos a c B b C -=
∴由正弦定理可得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ……7分
()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π⇒=+=+=-= ……8分 1
sin 0 cos 2
A B >∴=
()0 3B B ππ∈∴
= ， ……9分 22 033A C B A πππ⎛⎫
+=-=∴∈ ⎪⎝⎭
， ……10分
72666A π
ππ⎛⎫∴-
∈- ⎪⎝⎭， 1sin 2,162A π⎛
⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦ ……11分 ()11sin 21,622f A A π⎛
⎫⎛⎤∴=--∈- ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦ ……12分
17. （本小题满分12分）
已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.
（1）若每次取球后都放回．．袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； （2）若每次取球后都不．放回．．袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望.
解：（1）记事件i A 表示“第i 次取到白球”（*i N ∈），事件B 表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：12341234123412341234=++++B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . ……2分
()()(
)()()()
12341234123412341234P B P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A =++++
4
3
42416466627⎛⎫⎛⎫
=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……4分
()()
11
127
P B P B ∴=-=
……5分 或者：记随机变量ξ表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知1~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
……2分
则()()()041
3
014
412121121011333327
P P P C C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……5分
（2）易知：随机变量X 的取值分别为2，3，4，5 ……6分
()22261
215C P X C ∴===， ()112426123415
C C P X C ==⨯=
()12
243611
435
C C P X C ==⨯=， ()121351151555P X ==---= ……10分
∴随机变量X 的分布列为：
……11分 ∴随机变量X 的期望为：121210
23451515553
EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ……12分 18. （本小题满分14分）
如图，三棱柱111C B A ABC -侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D 为CC 1中点． （1）证明：BD A AB 11平面⊥； （2）求二面角B D A A --1的余弦值．
解法一：（向量法）
（1）取BC 中点O ，连结AO ．取11C B 中点1O ，
AO BC AB AC =∴⊥ 11 OO AO OO ABC ⊥∴⊥ 面
111 AO OO BC O BCC B =∴⊥ 面 故：以O 为原点，以1,,OB OO OA 分别为
,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -. ……2分
则：()()()()
()0,4,2,32,0,0,32,4,0,0,2,2,0,0,211B A A D B - ……3分
()()()
32,4,2,0,2,4,32,4,211-=-=-=∴BA BD AB ……4分 0,0111=⋅=⋅BA AB BD AB ，111,BA AB BD AB ⊥⊥∴． ……6分 1BD BA B =
⊥∴1AB 平面1A BD ． ……7分
（2）设平面AD A 1的法向量为()z y x ,,=．(()12,2,0,4,0AD AA =--=
，
． ,,1AA ⊥⊥ ⎩⎨
⎧==-+-∴0
40
3222y z y x 令1=z 得()
1,0,3-=为平面AD A
1的一个法向量． ……10分 由（1）可知：()
32,4,21-=AB 为平面1A BD 的法向量． ……11分
111cos ,=4n AB n AB n AB ⋅∴<>=-⋅
……13分 二面角B D A A --1是锐角 ∴二面角B D A A --1
的余弦值为为
4
．……14分 解法二：（传统几何法）
（1）取BC 中点O ，连结AO 和O B 1，
AO BC AB AC =∴⊥ 11 CC AO CC ABC ⊥∴⊥ 面
111 AO CC BC C BCC B =∴⊥ 面 ……2分
AO BD ∴⊥ ……3分
在正方形11BCC B 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 由正方形性质知：BD O B ⊥1， ……4分
111 BD AOB AO B O O AB BD
=∴⊥∴⊥ 面………5分
又在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， ………6分
1A B BD B = ⊥∴1AB 平面1A BD ． ……7分
（2）设AB 1与A 1B 交于点G ，在平面A 1BD 中，作D A GF 1⊥于F ，连结AF ， 由（1）得BD A AB 11平面⊥． 11AB A D ∴⊥
11 AB GF G A D AGF ⊥=∴⊥ 面 D A AF 1⊥∴
AFG ∠∴为二面角B D A A --1的平面角． ………10分
在1AA D △中，由等面积法可求得5
5
8=
AF ， ………12分 又222
1
1==
AB AG ，
GF ∴==
………13分
cos 4
GF AFG AF ∴∠=
=
． 所以二面角B D A A --1
的余弦值为4 ……14分
19. （本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足13=
2a ，()1
1=22n n a n a --≥，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且有()21=2n n n S b n
-+
. （1）证明：数列11n a ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
为等差数列；
（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n
n n
a c
b =
，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <. （1）证明：()1121=
2n n n a a n a ---≥ 1111
211
11n n n n n a a a a a ------∴-=-= ……1分 ()()111111111
121111
n n n n n n a a n a a a a ------+∴===+≥---- 即： ()111
1211
n n n a a -∴
-=≥-- ……3分 ∴数列11n a ⎧⎫⎨
⎬
-⎩⎭
是以11
21a =-为首项，1为公差的等差数列. ……4分 （2）解：当2n ≥时，112224221n n n n n n n b S S b b n n ----⎛
⎫⎛⎫
=-=+
-+ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭
……5分 112224211n n n n n b n n b b b b n n n n ----=
-⇒=--， 即：()1221
n n b n
n b n -=≥- ……6分 132412311
2223242......21231n n n n b b b b b n n b b b b n b --⨯⨯⨯⨯∴
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=⋅- ……8分 当1n =时，112b S == ∴2n n b n =⋅ ……9分
（3）由（1）知：()121111
n n n a =+-⨯=+-1+2
1 11n n n a a n n ∴-=∴=++ ……10分
()()1211
12212n n n n n
n a n c b n n n n -+∴=
==-+⋅⋅+ ……12分
()()112111111111 (112222322)
1212n
n i n n n i T c n n n -=⎛⎫⎛
⎫⎛⎫∴==-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑...14分
20. （本小题满分14分）
已知双曲线()22
22100:,x y C a b a b
-=>>， 12F F ，分别是它的左、右焦点，A ()1,0-是
其左顶点，且双曲线的离心率为2e =. 过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于、P Q 两点，设点P 位于第一象限内.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线、AP AQ 分别与直线1
2
=
x 交于、M N 两点，求证：22⊥MF NF ； （3）是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）由题可知：1a = ……1分
2 2c
e c a
=
=∴= ……2分
2
2
2
a b c b +=∴= ∴双曲线C 的方程为：2
2
13
y x -= ……3分 （2）设直线l 的方程为：2=+x ty ，另设：()()1122,,、P x y Q x y
()
2
222131129032⎧-
=⎪⇒-++=⎨
⎪=+⎩
y x t y ty x ty ……4分 1212
22129
3131
-∴+=
=--，t y y y y t t ……5分 又直线AP 的方程为()1
111=++y y x x ，代入12=x ()1131221⎛⎫⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭，y M x ……6分 同理，直线AQ 的方程为()2
211=++y y x x ，代入12=x ()2231221⎛⎫⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭
，y N x ……7分 ()()1222123333 2212
21⎛⎫⎛⎫
∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，-，，-y y MF NF x x
()()()()()121212222
12121212999999441144334439∴⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦
y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y 22229
999931
0912444
4393131⨯-=
+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪
--⎝
⎭t t t t t t
22∴⊥MF NF ……9分
（3）当直线l 的方程为2=x 时，解得()23,P . 易知此时2∆AF P 为等腰直角三角形，其中222
4
π
π
∠=
∠=
，AF P PAF ，即222∠=∠AF P PAF ，也即：=2λ. ……10分
下证：222∠=∠AF P PAF 对直线l 存在斜率的情形也成立.
()
()
1112122
2
222211
11221221
211111⨯
+∠+∠===
=
-∠-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭
tan tan tan PA
PA
y y x PAF k x PAF PAF k x y
y x ……11分
()
2
22211
111 313
-=⇒=- y x y x
()
()()
()()()
11111
22
211111212122122
131
++∴∠=
=
=-
-+--+--tan y x y x y PAF x x x x x ……12分 21
22122
∴∠=-=-
=∠-tan tan PF y AF P k PAF x ……13分 ∴结合正切函数在022πππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,, 上的图像可知，222∠=∠AF P PAF ……14分
21. 已知函数()()2
ln 0f x x a x x a =--≠. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若0a >，设()11A x y ，，()22B x y ，是函数()f x 图像上的任意两点（12x x <），记直线AB 的斜率为k ，求证：'1223x x f k +⎛⎫
>
⎪⎝⎭
.
（1）解：()()2'
2210a x x a
f x x x x x
--=--=> ……1分
（i ）当1
8
a ≤-时，220x x a --≥ 恒成立，即()'0f x ≥恒成立，
故函数()f x 的单增区间为()0+∞，，无单减区间. ……2分 （ii ）当1
08
a -
<<时，()'2020f x x x a >⇒-->，
解得：x x >
<
∵0x >，∴函数()f x
的单增区间为0⎛ ⎝⎭
，+⎫
∞⎪⎪⎝⎭
，
单减区间为⎝⎭
. ……4分 （iii ）当0a >时，由()'
0f x >
解得：x x >
<
. ∵0x >
0≤，∴函数()f x
的单增区间为+⎫∞⎪⎪⎝⎭
，
单减区间为0⎛ ⎝⎭
. ……6分 综上所述：
（i ）当1
8
a ≤-时，()f x 的单增区间为()0+∞，，无单减区间.
（ii ）当1
08a -<<时，()f x
的单增区间为0⎛ ⎝⎭
，+⎫∞⎪⎪⎝⎭
，
单减区间为1144⎛+
⎝⎭
，. （iii ）当0a >时，()f x
的单增区间为+⎫∞⎪⎪⎝⎭
，单减区间为0⎛ ⎝⎭
. ……7分
（2）证明：()'
21a f x x x =-
- ()12'12122+2+23133+2x x x x a f x x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭
由题，()()()()1
2
2
1
21212122
12121212
ln
ln ln 1x a x x a x x x x y y x k x x x x x x x x ------===+-----
则：()()1
12'122121212
ln
2+2+23+33+2x a x x x x x a f k x x x x x x ⎛⎫-=--+ ⎪
-⎝⎭ 1
2121212
ln
33+2x a x x x a
x x x x -=-+
- ……9分 注意到2103x x ->，故欲证'1223x x f k +⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，只须证明：1
21212ln
3+2x a x a x x x x >-. ……10分 因为0a >，故即证：()11
122211112122122
2
31ln
33
ln ln +2+2+2x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>⇔<⇔<-
……11分 令
()1
2
0,1x t x =∈，()()31ln +2t g t t t -=-
……12分 则：()()
()()()
'
2
2
141
9
+2+2t t g t t
t t t --=-
=
> 故()g t 在()0,1上单调递增. 所以：()()10g t g <= ……13分
即：()31ln +2t t t -<，即：121122
31ln +2
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