数学分析(2)期末试题

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西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)

西华师范大学数学分析（2）期末试题

课程名称数学分析（Ⅱ）适

用

时

间

试卷类别

适用专业、年级、班

应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（

）．

A ．

(1)

n ∞

=−∑B ．n

n ∞

=C ．2

1(1)n

n n

∞

=−∑D ．1

(1)

n n ∞

=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在

它的间断点x 处（）．

A ．收敛于()f x

B ．收敛于

((0)(0))2

f x f x −++C ．发散

D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（

）．A ．有界

B ．连续

C ．单调

D ．存在原函数

4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）

A ．

B ．ln x x

C ．2

1x −

D ．x

5、已知反常积分

20 (0)1dx

k kx +∞

>+∫收敛于1，则k =（）

A ．2π

B ．22π

C ．

D ．

π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n

x x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）

A ．x e

>C ．x 为任意实数

D ．1

e x e

−<

n n a x

∞

=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为

．2、若数项级数1

n n u ∞=∑的第n 个部分和21

n n

S n =

+，则其通项n u =，和S =

．

3、曲线1

y x

与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，1

0()()b

数学分析II期末考试题

=
x2
∫ 3、 I n =
+∞ e−x x n dx (n 是非负整数）
0
4、设 u = f (x 2 + y 2 + z 2 , xyz), f 具有二阶连续偏导数，求 ∂ 2u ∂z∂x
5、求 f (x) = e x 的幂级数展开式
三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例
∑ 2、讨论级数 ∞ cos nx (0 < x < π ) 的绝对和条件收敛性。 np n=1
四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分）
∫x
tf (t)dt
1、 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有 f（x）>0，证明 g(x) = 0
在[0，+∞）上单调增
∫x f (t)dt
0
加
∞
∑ { } 2、设正项级数 xn 收敛， n=1
四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）
x
x
x
∫ ∫ ∫ xf (x) f (t)dt − f (x) tf (t)dt f (x) (xf (t) − tf (t))dt
1、证明： g ' (x) =
0
0
=
0

数学分析2期末考试题库

五．证明： (9+10=19 分 )
1．设级数
an 与
2
bn 都收敛，证明：
b a
2
( an
bn ) 收敛
2
2．若 f ( x) 在 a , b 上连续， f ( x)
0,
f ( x) dx
0, 证明： f ( x)
0， x
a ,b
《数学分析》（二）测试题（ 8）
：三．判断题（正确的打“√” ，错误的打“×” ；每小题 3 分，共 15 分）
1 －1
x dx 1
2
2, 则 f ( x) A, 则 0) 0)
1 0
____________ dx 1 ________ ___________
cos x x
4
cos x x
2 0 4
3. 设 f （ x）
x 1 (x x
x1 0 2
(x dt
,则
f ( x 1) dx
4 . 求 lim
x 0
1 x
F ( x) dx
） 5. 若 f ( x）在 a, b 上连续， x ） 6. 若） 7. 若
a, b , 则
f ( t ) dt
f (x )
2
则（ a n＋ bn）必发散 a n收敛， bn发散，
a n 收敛，则

北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及其答案

5 3 ⎛2 3 ⎛ ⎞ 4 1 1 ⎞ 1 2 3 2 ⎜ x 2 − x 2 − x3 + x4 ⎟ = ⎟dx = = ∫⎜ − − + x 2 x x 2 x ⎜3 ⎟ ⎜ ⎟ 5 3 2 ⎠ 30 0⎝ ⎝ ⎠ 0 G G G G G 4．设向量场为 A = (2 z − 3 y ) i + (3 x − z ) j + ( y − 2 x ) k ，试求 rot A ． G G G i j k G G G G ∂ ∂ ∂ = 2 i + 4 j + 6k 解： rot A = ∂x ∂y ∂z 2 z − 3 y 3x − z y − 2 x
解方程，得唯一驻点 ( x 0 ,
= −4(2α 2 − β 2 ) < 0 ． 2 2 所以，二元函数 z = 3 x + 4 y − α x − 2α y − 2 β xy 在点 ( x0 , y0 ) 处取得极大值，也即最大值． 3α − 2 β 4α − 3β 因此，要使鱼产量最大，甲种鱼应放万尾，乙种鱼应放万尾． 2 2 2α − β 2 (2α 2 − β 2 )
并且函数 f ( x ) = x 在区间 [0, 有
l ] 满足收敛定理的条件，并且延拓后的函数在区间 [0, π ) 上连续，因此
f ( x ) = x = 2∑
n =1
∞

数学分析(2)期末试题集(填空题)

一、不定积分问题

1．设x x ln 为()x f 的一个原函数,则积分()='⎰2e e dx x f x 12

12--e

e .

解: 由原函数概念可得()2ln 1ln x x x x x f -='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=,因此()()2

1,0e e f e f -==,于是积分

()()()121ln 12

--=

-=-='⎰⎰

e e x

dx x f x xf dx x f x e e

e e

e e e

. 2. 已知()x f 的一个原函数为x x sin ,设0≠a ,则=⎪⎭⎫

⎝⎛⎰dx a x f C a x x a +⎪⎭

⎫ ⎝⎛sin 2 .

解

C a x x a C a x a x a a x d a x f a dx a x f +⎪⎭

⎫

⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰

sin sin 2.

3. 已知2

1x x f =⎪⎭

⎫

⎝⎛',则()=x f C x

. 4. 已知()x f '的一个原函数为2

sin x ,常数0≠a ,则()=

+'⎰

dx b ax f ()()C b ax a

b ax +++2

cos 2. 5. 设()0,1ln >+='x x x f ,则()=x f C e x x

++ .

⎰=dx x arctan

()C x x x +-+arctan 1

(注:用分部积分法⎰⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛+-

-=x d x x x dx x 111arctan arctan ) 7.

⎰=+-+dx x x x 13652()

数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，

共32分）

1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ） A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数

2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-a a

a dx x f dx x f 0

)(2)( B 、0)(=⎰-a

a dx x f

C 、

⎰⎰

-=-a

dx x f dx x f 0

)(2)( D 、)(2)(a f dx x f a

=⎰-

3、下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A 、

⎰

1dx x

B 、 ⎰

∞

1dx x

C 、 ⎰+∞

sin xdx D 、⎰

-1

dx x 4、级数

∑∞

n n

收敛是

∑∞

n n

部分和有界且0lim =∞

→n n a 的（ c ）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充分必要条件

D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A 、

0arcsin xdx ⎰

B 、1

ln e

dx x x ⎰ C 、

-⎰

D 、10sin x dx x ⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）

A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；

B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则 )(dx x f b

a ⎰存在；

C 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在]

,[b a 上必可积；

D 、若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。 7、下列命题正确的是（ d ）

2010级数学分析2期末试题

一、填空题（每小题2分，共26分）

1、函数155345++-=x x x y 在]1,1[-上的最大值为，最小值为。

2. 利用定积分定义得=-∑=∞→n i n i n 1

2241lim 。

3. 若点)2,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ， =b 。

4．若级数∑∞

=1n n a 收敛，则=∞→n n a lim 。

5．设集合⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=+N n n S n 1)1(]1,0[ ，则集合S 的所有聚点之集为。

6、积分⎰1

02dx x a 当时收敛，级数∑-p n n

)1(当时条件收敛。

7、=⎰-1

132tan xdx x 。

8、⎰+=)1()(x e dx x f x ，则=)(x f 。

9、曲线)(x f y =，],[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为

=S 。

10、函数列一致收敛的柯西准则为。

11、=+--⎰dx x x x 3

252 。 12、设]1,1[-∈x ，则=⎰∑∞=-x n n dt n

t 0121

。

13、函数x e 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式为

=x e 。

二、计算下列积分（每题6分，共18分）

1、

⎰xdx x arctan ； 2、

⎰-10221dx x x ； 3、⎰-40

22dx x x 。

三、判断下列反常积分和级数的敛散性，（每题6分，共24分） 1、dx x x ⎰+∞+12)1ln(； 2、dx x

x ⎰103arctan ； 3、 ∑∞

=-1!)2(n n n n n ； 4、∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11)21(n n n 。四、证明题（第1题12分，第2、3题各10分，共32分）

数学分析(二)期末试题

《数学分析（二）》期末试题

一、选择题（共20分） 1、

x dx

d b a

⎰

sin =（） A 、2

sin sin

b - B 、2

cos cos a

b - C 、2

sin

D 、0

2、下列积分中不是非正常积分的是( ) A 、 dx x

⎰+∞

11 B 、dx

⎰-1

11 C 、dx x

⎰

-4

11 D 、dx

x ⎰-2

)

1(1

3、若任意的),(b a x ∈，有0)0(,0)(>''>'f x f 则)(x f 在),(b a 内是（） A 、单调增加的凸函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调减少的凸函数 D 、单调增加的凹函数

4、c

x dx x f x

+='⎰

2)(ln 1且1)0(=f ，则=)(x f （）

A 、122+x

B 、x 2ln 2

C 、22x

D 、c x +2ln 2

5．下列级数中条件收敛的是（） A 、∑

sin n x B 、1

)

1(+-∑n n n

C 、∑+

-]11)

1[(n

D 、n

2sin

)

1(∑-

6、曲线1)1(3--=x y 的拐点是（）

A 、)0,2(

B 、)1,1(-

C 、)2,0(-

D 、无拐点 7、若级数∑∞

=+0)1(n n

u 收敛，则=∞

→n n u lim （

）。

A 、1

B 、-1

C 、0

D 、不存在。 8、设)(x f 为连续函数，则dt

t f dx

d x

⎰

)(=（）

A 、)()(22

x f x xf

B 、)(22

x xf C 、)(x f D 、)()21(x f x -

数学分析2期末试题

γ3
γ1
γ2
i = 1, 2.
∫
lim
ωi = 0,
R→+∞ γ2
i = 1, 2.
第 1 页/共 2 页
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx,
0
S
∫ =
+∞ sin (x2)
dx
0
四、（15 分）设 M 是如下曲面： {
M = (x, y, z) ∈ R3
} x2 + y2 + z2 = 1,
M
第 2 页/共 2 页
(R, R)
γ3
γ2
O
γ1 R x
ω1、ω2 是如下的微分形式：
ω1 =ey2−x2 (cos (2 x y) dx + sin (2 x y) dy) , ω2 =ey2−x2 (sin (2 x y) dx − cos (2 x y) dy) .
i) 求证： ii) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi,
数学分析（2）期末试题卷 A 2015.06.30
一、（15 分）设 I ⊆ Rn、J ⊆ Rm 是两个非退化闭区间，K 是 I × J 中的紧集。对于 x ∈ I，定义 Kx = {y ∈ J | (x, y) ∈ K}。求证：若 K 是 Lebesgue 零测集，则对于几乎所有的 x ∈ I，Kx 是 J 中的 Lebesgue 零测集。

数学分析(2)期末试题参考答案

解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
χK (x,
y)
在
I
×J
上
Riemann ∫
可积，且有
I×J χK (x, y)dxdy = 0。根据 Fubini 定理，
积分
F (x)
= ∫
J χK (x, y)dy
几乎处处存在。在 ∫
F (x)
不存在的地方随意规定一
lim
R→+∞
I (R)
=
lim
R→+∞
∫R
0
ey2
dy
eR2
=
lim
R→+∞
2
eR2 R eR2
= 0.
∫
∫
iii) 由 i)、ii) 可知 lim
R→+∞
γ3
ωi
=
lim
R→+∞
γ1 ωi (i = 1, 2)，其中
lim
∫
ω1
∫ =
+∞
( cos
( 2
t2
)
+
sin
( 2
t2))
dt,
R→+∞ ∫γ3 lim
0，则有
(∫ R−ε ∫ R )

数学分析(2)期末试题集(证明题部分)

.
由定积分的性质,可知 ,且
,
于是
.
再由连续函数的介值定理可知, ,使得
,
即有
.
只需再证 ,使即可.为此将上述等式移项改写成为
,
注意到为上的连续函数,由第2题的结论知, ,使得
,又 ,因而 .所以结论成立.
4.证明:若在上连续,且 , ,则 , .
证(反证法)若存在使得 .因为在点连续,由连续函数的局部保号性,得,存在且 ,对任意的 ,有 .
证(1) ,
故是偶函数;
(2)
其中在与之间.
考虑上式右端两个因子之积:当时, ,即有 ;当时, ,同样有 ;当时, ,也就是说,在上有 ,所以, 单调不减.
20.设在上连续,在内可导,且 ,记 ,
(1)求 ;
(2)求证: ,使得 ;
(3)求证: ,使得 .
(1)解 ;
(2)证:因为 ,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理, ,使得 ,即 ;
(3)证:由 ,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理, ,使得 ,即 .
21.设在上连续, ,证明: .
证由积分中值定理得到
,
由在上连续, ,则有 ,所以,
.
22.设在上连续,且 ,证明: .
证应用分部积分法,注意到 ,并由积分中值定理得到

数学分析2试题B及答案(

xn 3n
cos(n
x2 )(x [0, 2])
，求 lim x1
f
(x)
一、一、1、解：
1
x
dx 2e 2 2
0 ex
0
2、解： f (x) ln x ln(1 x 1) (1)n (x 1)n1 , x (0, 2]
n0
n 1
3、解： lim lim f (x, y) lim lim f (x, y) 0, lim f (x, y) 0
(1)n 3n
n0
3 4
fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
5、求极限： lim 0
x0
x
6、求 y sin x, 0 x 所围平面区域绕 x 轴旋转所得立体的体积。
二、判断级数、反常积分、函数列的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、一致收敛）（5 分×4=20 分）

大一第二学期数学分析期末试题

数学分析-2样题(一)

1.(4分) 级数1n n u ∞

=∑收敛的必要条件是 lim 0;n n u →∞

2. (4分) 级数1

1(1)

n n n

∞

-=-∑为（ A ）.

A.绝对收敛;

B. 条件收敛;

C.发散;

D. 收敛性不确定. 3. (4分)

幂级数1(1)

n n

n n ∞

-=-∑( D ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1

R =

一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰ 2. x e dx -⎰

3. ln 0

⎰

4. 20

sin 1cos x x

dx x

π+⎰

二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0b

f x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.

三. (10分)证明20

sin 0x

dx x

>⎰

. 四. (15分)证明函数级数0

(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.

五. (10分)将函数,0

(),0x x f x x x ππππ

+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.

六. (10分)

设22

0(,)0,0

xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩

证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;

(3) (,)f x y 在(0,0)可微.

七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?

数学分析期末试题

数学分析2期末试题

课程名称数学分析Ⅱ 适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业

一、单项选择题每小题3分;3×6＝18分

1、下列级数中条件收敛的是．

A ．1(1)n

n ∞

=-∑ B ． 1n n ∞

= C ． 21(1)n n n

∞

=-∑ D ． 11(1)n

n n ∞=+∑

2、若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数; 则f 的傅里叶Fourier 级数在

它的间断点x 处．

A ．收敛于()f x

B ．收敛于1

((0)(0))2

f x f x -++

C ．发散

D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是．

A ．有界

B ．连续

C ．单调

D ．存在原

函数

4、设()f x 的一个原函数为ln x ;则()f x '=

A ． 1x

B ．ln x x

C ． 21

- D ． x e

5、已知反常积分2

0 (0)1dx

k kx +∞>+⎰收敛于1;则k =

A ． 2

B ．22π

C ． 2

D ． 24π

6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛;则

A ． x e <

B ．x e >

C ． x 为任意实数

D ． 1e x e -<< 二、填空题每小题3分;3×6＝18分

1、已知幂级数1n n n a x ∞

=∑在2x =处条件收敛;则它的收敛半径为．

2、若数项级数1

n n u ∞=∑的第n 个部分和21

n n

S n =

+;则其通项n u = ;和S = ． 3、曲线1

《数学分析II》期末试卷+参考答案

《数学分析（II ）》试题

2004.6

一．计算下列各题：

1．求定积分∫

+e x x dx 12)ln 2(；

2．求定积分； ∫−222),1max(dx x

3．求反常积分dx x x ∫

∞++021ln ；

4．求幂级数()

∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；

5．设，求du 。

yz x u =

二．设变量代换可把方程⎩

⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。

三．平面点集(){}⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n

是否为紧集？请说明理由。

四．函数项级数n n

n n x x n +⋅−∑∞

=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。 ]1,0[

五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和

)arctan(2

1)2(20x dt t x tf x =−∫

。求。 ∫21)(dx x f

六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和

22)]

([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。

七．设如下定义函数：

dt t t x f x x t

1sin 21)(2

∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。 1>x 判别级数∑∞=2)

(1n n f 的敛散性。

八．设∫=4

0cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。求级数的和。 ∑∞

数学分析(2)试题及答案

（十六）数学分析2考试题

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2

分，共20分）

1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数

2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（） A ⎰⎰=-a a

a dx x f dx x f 0

)(2)( B 0)(=⎰-a

a dx x f

⎰⎰

-=-a

dx x f dx x f 0

)(2)( D )(2)(a f dx x f a

=⎰-

3、下列广义积分中，收敛的积分是（） A

⎰

1dx x

B ⎰

∞

1dx x

C ⎰+∞

sin xdx D ⎰

-1

dx x 4、级数

∑∞

n n

收敛是

∑∞=1

n n

部分和有界且0lim =∞

→n n a 的（）

A 充分条件

B 必要条件

C 充分必要条件

D 无关条件 5、下列说法正确的是（） A ∑∞

=1n n

和

∑∞

n n

收敛，

∑∞

n n

n b

a 也收敛 B

∑∞

n n

和

∑∞

n n

发散，

∑∞

=+1

)(n n n

b a

发散

∑∞=1

n n

收敛和∑∞

n n

发散，

∑∞

=+1

)(n n n

b a

发散 D ∑∞=1

n n a 收敛和∑∞

n n b 发散，

∑∞

n n

n b

a 发散

6、

)(1x a

n n

∑∞

=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（）

A )()('1'x a x a

n n

=∑∞

= B a （x ）可导

⎰∑⎰

=∞

n b