人教版2017高中数学(选修4-5)1.1不等式.1PPT课件
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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
人教A版高中数学选修4-5 1.1三个正数的算术-几何平均不等式c (共15张PPT)
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！ 3.三个正数的算术--几何平均数
复习：
定理1.如果 a, b R，那么 a 2 b 2 2ab
（当且仅当a b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：a, b R
思考
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均 数与几何平均数的关系，这个不等式能否 推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的 不等式成立呢？
类比、猜想：若a,b.cR,那么
abc 3 abc,当且仅当abc时， 3
等号成立。
如果a,b,cR, 那么a3 b3 c3 3abc
等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．
加等于 定值.
当 2 x1x,x3 2时 ,yma x2 4.7
例2.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四 个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解：设剪去的小正方形的边长为x
则V 其 容1积4 为x:(V a 2 x(xa) (2 ax )22 ,(x0)xa 2)即当剪去的aa2x
4
小正方形边
1 4[4x(a2x 3)(a2x)]32 2 a37长为
a 时 ,铁 6
当且 4x 仅 a2x,当 xa 6时 ,V ma x 2 2 a37积合是的最大容 2 a 3 .
27
课
堂 1 .均 值 定 理 的 应 用 范 围 广 泛 , 要 关 注
小 变量的取值要求和等号能否成立, 还 要 注 意 它 的 变 式 的 运 用 ,如 :
复习：
定理1.如果 a, b R，那么 a 2 b 2 2ab
（当且仅当a b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：a, b R
思考
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均 数与几何平均数的关系，这个不等式能否 推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的 不等式成立呢？
类比、猜想：若a,b.cR,那么
abc 3 abc,当且仅当abc时， 3
等号成立。
如果a,b,cR, 那么a3 b3 c3 3abc
等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．
加等于 定值.
当 2 x1x,x3 2时 ,yma x2 4.7
例2.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四 个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解：设剪去的小正方形的边长为x
则V 其 容1积4 为x:(V a 2 x(xa) (2 ax )22 ,(x0)xa 2)即当剪去的aa2x
4
小正方形边
1 4[4x(a2x 3)(a2x)]32 2 a37长为
a 时 ,铁 6
当且 4x 仅 a2x,当 xa 6时 ,V ma x 2 2 a37积合是的最大容 2 a 3 .
27
课
堂 1 .均 值 定 理 的 应 用 范 围 广 泛 , 要 关 注
小 变量的取值要求和等号能否成立, 还 要 注 意 它 的 变 式 的 运 用 ,如 :
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片 进入:
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
m＋n＝4， ∴ m－n＝－2. m＝1， ∴ n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
本课时考点主要考查不等式的性质，2012年湖南高
考将不等式的性质及函数的单调性结合命题，是高考命题
b(n∈N，n≥2).
[小问题· 大思维]
1．若 x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y， a b ③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤y＞x这五个不等式中， 恒成立的不等式有哪些？
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
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1 d 1 c cd cd 0,因此 1 d 1 c 0.
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 湖南高考)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是 A．① C．②③ B．①② D．①②③ ( )
[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的
应用．
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
f1＝a＋b， ∴ f－1＝a－b.
1 a＝2[f1＋f－1]， ∴ b＝1[f1－f－1]. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10.
法二：设 f(x)＝ax2＋bx， 则 f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b. 令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
2
x 1 2 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)－(x＋1)(x ＋x＋1)＋ (x ＋x＋1) 2 2
2
1 2 1 2 1 ＝ (x ＋x＋1)－ (x ＋x)＝ ＞0， 2 2 2 x 1 2 ∴(x＋1)(x ＋ ＋1)＞(x＋ )(x ＋x＋1)． 2 2
对称性 传递性 可加性 可乘性 乘方 开方 如果 a＞b，那么 b＜a ；如果 b＜a ，那么 a＞b.即 a ＞b⇔ b＜a . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c .即 a＞b，b＞c⇒ a＞c . 如果 a＞b ，那么 a＋c＞b＋c. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc . 如果 a＞b＞0，那么 an ＞ bn(n∈N，n≥2)． 如果 a＞b＞0，那么 a ＞ n n
1 a＝2[f1＋f－1]， ∴ b＝1[f1－f－1]. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10.
法二：设 f(x)＝ax2＋bx， 则 f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b. 令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
2
x 1 2 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)－(x＋1)(x ＋x＋1)＋ (x ＋x＋1) 2 2
2
1 2 1 2 1 ＝ (x ＋x＋1)－ (x ＋x)＝ ＞0， 2 2 2 x 1 2 ∴(x＋1)(x ＋ ＋1)＞(x＋ )(x ＋x＋1)． 2 2
对称性 传递性 可加性 可乘性 乘方 开方 如果 a＞b，那么 b＜a ；如果 b＜a ，那么 a＞b.即 a ＞b⇔ b＜a . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c .即 a＞b，b＞c⇒ a＞c . 如果 a＞b ，那么 a＋c＞b＋c. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc . 如果 a＞b＞0，那么 an ＞ bn(n∈N，n≥2)． 如果 a＞b＞0，那么 a ＞ n n
人教版高中数学选修4-5-1-绝对值不等式ppt课件
备考知考情 1.以选择题的形式考查绝对值不等式， 同时与不等式的性质相 结合． 2.以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、 补运算.
J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 知识点一
识
梳
理
绝对值三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，那么 |a＋b |≤ |a |＋ |b |，当且仅当
答案
C
【规律方法】
两数和与差的绝对值不等式的性质
|a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b | (1) 对绝对值三角不等式定理 |a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |中等号成 立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可强化为 ||a |－ |b ||≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |，它经常用于证明 含绝对值的不等式．
对 知识点一
点
自
测
绝对值三角不等式
1.设 ab>0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________． ①|a＋b |>|a |；② |a＋b |<|b |；③ |a＋b |<|a－b |；④ |a ＋b|>|a |－ |b |.
解析 确． ∵ab>0，∴a，b 同号，∴|a＋b |＝ |a |＋ |b |，∴①和④正
{x|0<x<2}
4．不等式|2 x＋1|－2|x－1|>0 的解集为________ ．
解析
原不等式化为 |2x＋1|>2|x－1|.
两边平方得：4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1) 1 即 12x>3，即 x> 4.
答案 1 {x|x> 4}
人教版高中数学选修4-5-1.1不等式ppt课件
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
用数学式子表示为:
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实 数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的 关系. 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念:
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论：
O
x
1.实数在数轴系。数轴上的点与实数一一 对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ
a a <b
Ｂ
b x
Ｂ
b a >b
Ａ
a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B ，那么，当 点A在点B的左边时， a < b；当点A在点B的右边时， a > b. 关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b，那么a-b是正数； 如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b，那么a-b是负数；反过来也对.
[读教材· 填要点]
1．定理 1 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 等号成立． 2．定理 2(基本不等式) a＋b ≥ 如果 a，b＞0，那么 2 ab，当且仅当 a＝b 时，等 它 时，
号成立．即：两个正数 的算术平均 不小于(即大于或等于) 们的几何平均．
3．算术平均与几何平均
[小问题· 大思维]
a＋b 1．在基本不等式 ≥ ab中，为什么要求 a，b∈(0， 2 ＋∞)?
用数学式子表示为:
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实 数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的 关系. 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念:
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论：
O
x
1.实数在数轴系。数轴上的点与实数一一 对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ
a a <b
Ｂ
b x
Ｂ
b a >b
Ａ
a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B ，那么，当 点A在点B的左边时， a < b；当点A在点B的右边时， a > b. 关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b，那么a-b是正数； 如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b，那么a-b是负数；反过来也对.
[读教材· 填要点]
1．定理 1 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 等号成立． 2．定理 2(基本不等式) a＋b ≥ 如果 a，b＞0，那么 2 ab，当且仅当 a＝b 时，等 它 时，
号成立．即：两个正数 的算术平均 不小于(即大于或等于) 们的几何平均．
3．算术平均与几何平均
[小问题· 大思维]
a＋b 1．在基本不等式 ≥ ab中，为什么要求 a，b∈(0， 2 ＋∞)?
人教A版高中数学选修4-5课件：第一讲 1.1.2不等式(共66张PPT)
主宰自己，永远是一个奴隶。——歌德 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 没有热忱，世间便无进步。 勤奋是学习的枝叶，当然很苦，智慧是学习的花朵，当然香郁。 孤单寂寞与被遗弃感是最可怕的贫穷。 人生最大的挑战没过于战胜自己！ 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰。 成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。 如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。 只要能收获甜蜜，荆棘丛中也会有蜜蜂忙碌的身影。 志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中。 一个华丽短暂的梦，一个残酷漫长的现实。 壮志与毅力是事业的双翼。 壮志与毅力是事业的双翼。 明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
2
x 1 2 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)－(x＋1)(x ＋x＋1)＋ (x ＋x＋1) 2 2
2
1 2 1 2 1 ＝ (x ＋x＋1)－ (x ＋x)＝ ＞0， 2 2 2 x 1 2 ∴(x＋1)(x ＋ ＋1)＞(x＋ )(x ＋x＋1)． 2 2
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
2
x 1 2 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)－(x＋1)(x ＋x＋1)＋ (x ＋x＋1) 2 2
2
1 2 1 2 1 ＝ (x ＋x＋1)－ (x ＋x)＝ ＞0， 2 2 2 x 1 2 ∴(x＋1)(x ＋ ＋1)＞(x＋ )(x ＋x＋1)． 2 2
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
![1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/74f7bc8aad51f01dc281f1e0.png)
例6 已知－3<a<b<1，－2<c<－1， 求证：－16<(a－b)c2<0. 【思路点拨】 要求(a－b)c2的范围，应先 确定a－b及c2的范围与符号．
【证明】 ∵－3<a<b<1， ∴－1<－b<3，－3<a<1， ∴－4<a－b<4. 又a<b，∴a－b<0， ∴－4<a－b<0，∴0<b－a<4. 又－2<c<－1，∴1<c2<4， ∴0<(b－a)c2<16， ∴－16<(a－b)c2<0.
e
e
a－c2>b－d2.
【思路点拨】 已知 e<0，故只需证a－1 c2 <b－1 d2，即只需证(a－c)2>(b－d)2.
【证明】 ∵c<d<0， ∴－c>－d>0. ∵a>b>0， ∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0， ∴b－1 d2>a－1 c2， 又∵e<0，∴b－e d2<a－e c2，
即a－e c2>b－e d2.
变式训练 2 已知 a>b>0，c<d<0，求证： a－b c<b－a d. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又 a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴0<a－1 c<b－1 d，
而 0<b<a，∴a－b c<b－a d.
考点三 利用不等式性质求代 数式的范围
例 2已 a 知 b0 ,cd0 ,求a 证 b. dc
【证明】 ∵－3<a<b<1， ∴－1<－b<3，－3<a<1， ∴－4<a－b<4. 又a<b，∴a－b<0， ∴－4<a－b<0，∴0<b－a<4. 又－2<c<－1，∴1<c2<4， ∴0<(b－a)c2<16， ∴－16<(a－b)c2<0.
e
e
a－c2>b－d2.
【思路点拨】 已知 e<0，故只需证a－1 c2 <b－1 d2，即只需证(a－c)2>(b－d)2.
【证明】 ∵c<d<0， ∴－c>－d>0. ∵a>b>0， ∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0， ∴b－1 d2>a－1 c2， 又∵e<0，∴b－e d2<a－e c2，
即a－e c2>b－e d2.
变式训练 2 已知 a>b>0，c<d<0，求证： a－b c<b－a d. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又 a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴0<a－1 c<b－1 d，
而 0<b<a，∴a－b c<b－a d.
考点三 利用不等式性质求代 数式的范围
例 2已 a 知 b0 ,cd0 ,求a 证 b. dc
人教版高中数学选修4-5 第一讲 一 不等式 (共46张PPT)教育课件
解得：1 5 x1 5
2
2
由上可知，当 x 1 5 或x1 5时，M大于N;
2
2
当
1 2
5
x1 2
5 时，M小于N。
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
当且仅当a b时，等号成立。
探究
观察下图，如果AD=a,BD=b,OC是 斜边AB的中线,你能给出基本不等式的 几何意义吗？
C
A
O
DB
分析
在图中，CD⊥AB,AO=OB,于是OC= 1 AB= 1(a+b),
2
2
因为∠DCA+ ∠A=90o, ∠B+∠A=90o
所以∠DCA= ∠B.
于是Rt△DCA和Rt△DBC相似.
3
当且仅当a=b=c时，等号成立。
推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平 均数不小于它们的几何平均数，
即 当： 且a仅1 当+ aa12=n+a2.=..…+=aann时 ，n a等1a号2 .成..a立n 。
例4 已知x,y,z R+,求证(x+y+z)3≥27xyz
提示 本题涉及三个实数的和积， 可以考虑基本不等式的推广。
1 8
4
由上可知，y的最大值是
1
8
2.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M 与N的大小关系。
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
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2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
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[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
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[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0＞,所c 1以b
,正确.
a＞b ca cb
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24
(3)由 a ＞,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb＞c0且，c所d以>0ac或dd＞a0bd，c＞<0b，或c且accddd＜<0b.c0＜, 0，
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18
【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0, 所以f(x)>g(x). 答案:f(x)>g(x)
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19
2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2 =x2(x-y)-y2(x-y) =(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
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20
因为x>0,y>0, 所以(x-y)2(x+y)≥0, 所以x3+y3≥x2y+xy2.
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21
类型二 不等式性质的简单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
(2)c>a>b>0,则1a
1 b
.
(3)若
,则caada>bcc.b b .
a b 0, 所以 d c
同乘以3 -1da得
高中数学·选修4-5(人教版)课件：第一讲绝对不等式的解法PPT课件
当－3≤x≤3 时，x＋3＋x－3＞3， 即 x＞32，故32＜x≤3.
当 x＞3 时，x＋3－(x－3)＞3，即 6＞3，故 x＞3. 综上所述，所求的解集为xx＞32. 答案：A
4. 不等式|8－x|≥3 的解集为________________． 解析：原不等式化为 x－8≥3 或 x－8≤－3 解得 x≥11 或 x≤5. 答案：{x|x≥11 或 x≤5}
－x，x＜0，
数时，|x|为－x，即 x 的相反数．
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的图象解法和画出函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c(a＜b) 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象 的关键是写出 f(x)的分段表达式．不妨设 a＜b，于是 f(x)
－2x＋a＋b－c，x≤a， ＝b－a－c，a＜x＜b， 这种图象法的关键是合 2x－a－b－c，x≥b，
理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体
现了函数与方程结合、数形结合的思想． 3．几何解法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型 3 绝对值不等式的综合应用(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)设函数 f(x)＝|x＋ a|－ |x－ 1－a|.
所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．
法二：当 x≤－1 时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x －1)≥3，
解得 x≤－32. 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3， 即 2≥3 不成立，无解． 当 x≥1 时，原不等式可以化为 x＋1＋x－1≥3.
所以 x≥32. 综上可知原不等式的解集为{x|x≤－32或 x≥32}． 法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
当 x＞3 时，x＋3－(x－3)＞3，即 6＞3，故 x＞3. 综上所述，所求的解集为xx＞32. 答案：A
4. 不等式|8－x|≥3 的解集为________________． 解析：原不等式化为 x－8≥3 或 x－8≤－3 解得 x≥11 或 x≤5. 答案：{x|x≥11 或 x≤5}
－x，x＜0，
数时，|x|为－x，即 x 的相反数．
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的图象解法和画出函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c(a＜b) 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象 的关键是写出 f(x)的分段表达式．不妨设 a＜b，于是 f(x)
－2x＋a＋b－c，x≤a， ＝b－a－c，a＜x＜b， 这种图象法的关键是合 2x－a－b－c，x≥b，
理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体
现了函数与方程结合、数形结合的思想． 3．几何解法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型 3 绝对值不等式的综合应用(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)设函数 f(x)＝|x＋ a|－ |x－ 1－a|.
所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．
法二：当 x≤－1 时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x －1)≥3，
解得 x≤－32. 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3， 即 2≥3 不成立，无解． 当 x≥1 时，原不等式可以化为 x＋1＋x－1≥3.
所以 x≥32. 综上可知原不等式的解集为{x|x≤－32或 x≥32}． 法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
人教版高中选修4-5《1.1.1不等式的性质》课件(共12张PPT)
• 答案 ②④
源于 练习册 变式训练2
例2
已知
a
b
0
，比较
a a
3 3
b3 b3
与
a b 的大小 ab
2.已知 a≥1,P= ������ + 1 − ������,Q= ������ − ������-1,则 P 与 Q 的大小
关系为( ) A.P≥Q 答案:D
B.P>Q
C.P≤Q D.P<Q
人教A版选修4-5 第一章
1.1不等式的性质
知识回顾
• 1．对于任何两个实数a，b的大小比较
•
a＞b⇔ a－b＞0
；
•
a＜b⇔ a－b＜0
；
• a＝b⇔ a－b＝0 .
ห้องสมุดไป่ตู้
想一想：怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的
数学变形？ 步骤:①作差 ②变形 ③定号 ④下结论
通过分解因式、配方、通分、分母有理化等恒等变形， 转化成若干个因式的乘积或者商的形式
变式 已知 20 x y 30,15 x y 18，求 2x 3y 的取值范围。
【例 4】 已知－π2≤α＜β≤π2.求α＋2 β，α－2 β的取值范围．
知识回顾 • 2．不等式有如下一些基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a ； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c ；
(3)加(减)：a＞b⇒ a＋c＞b＋c ； (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ ac＞bc ；
a＞b，c＜0⇒ ac＜bc ； (5)乘方：a＞b＞0⇒ an＞bn ，n∈N*，且n≥2； (6)开方：a＞b＞0⇒ n a n b ，n∈N*，且n≥2.
又 ������ + 1 + ������>0, ������ + ������-1>0,
源于 练习册 变式训练2
例2
已知
a
b
0
，比较
a a
3 3
b3 b3
与
a b 的大小 ab
2.已知 a≥1,P= ������ + 1 − ������,Q= ������ − ������-1,则 P 与 Q 的大小
关系为( ) A.P≥Q 答案:D
B.P>Q
C.P≤Q D.P<Q
人教A版选修4-5 第一章
1.1不等式的性质
知识回顾
• 1．对于任何两个实数a，b的大小比较
•
a＞b⇔ a－b＞0
；
•
a＜b⇔ a－b＜0
；
• a＝b⇔ a－b＝0 .
ห้องสมุดไป่ตู้
想一想：怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的
数学变形？ 步骤:①作差 ②变形 ③定号 ④下结论
通过分解因式、配方、通分、分母有理化等恒等变形， 转化成若干个因式的乘积或者商的形式
变式 已知 20 x y 30,15 x y 18，求 2x 3y 的取值范围。
【例 4】 已知－π2≤α＜β≤π2.求α＋2 β，α－2 β的取值范围．
知识回顾 • 2．不等式有如下一些基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a ； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c ；
(3)加(减)：a＞b⇒ a＋c＞b＋c ； (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ ac＞bc ；
a＞b，c＜0⇒ ac＜bc ； (5)乘方：a＞b＞0⇒ an＞bn ，n∈N*，且n≥2； (6)开方：a＞b＞0⇒ n a n b ，n∈N*，且n≥2.
又 ������ + 1 + ������>0, ������ + ������-1>0,
人教版高二数学选修4-5课件 不等式和绝对值不等式-1-1
①作差； ②变形； ③判断符号； ④下结论
作商比较法 乘方比较法
同号两数比较 大小，或指数 式之间比较大 小
要比较的两数 (式)一般含根 式
①作商； ②变形； ③判断商与1 的大小关系； ④下结论
①乘方； ②用作差法或 作商法比较大 小
8
比较大小
的大小．
设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B
14
【自主解答】 (1)错误．当c＝0时不成立． (2)正确．∵c2≠0且c2>0，在ca2>cb2两边同乘以c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当a，b，c，d为正数时成 立．
15
1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据 题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举 反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原 则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
21
又13<1b<12， (1)当0≤a<8时，0≤ab<4； (2)当－6<a<0时，－3<ab<0. 由(1)(2)得－3<ab<4. 因此ab的取值范围是(－3,4)．
22
利用性质证明简单不等式
已知c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. 【思路探究】 构造分母关系→构造分子关系→ 证明不等式． 【自主解答】 ∵a>b，∴－a<－b， 又c>a>b>0， ∴0<c－a<c－b，∴c－1 a>c－1 b>0. 又∵a>b>0，∴c－a a>c－b b.
作商比较法 乘方比较法
同号两数比较 大小，或指数 式之间比较大 小
要比较的两数 (式)一般含根 式
①作商； ②变形； ③判断商与1 的大小关系； ④下结论
①乘方； ②用作差法或 作商法比较大 小
8
比较大小
的大小．
设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B
14
【自主解答】 (1)错误．当c＝0时不成立． (2)正确．∵c2≠0且c2>0，在ca2>cb2两边同乘以c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当a，b，c，d为正数时成 立．
15
1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据 题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举 反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原 则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
21
又13<1b<12， (1)当0≤a<8时，0≤ab<4； (2)当－6<a<0时，－3<ab<0. 由(1)(2)得－3<ab<4. 因此ab的取值范围是(－3,4)．
22
利用性质证明简单不等式
已知c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. 【思路探究】 构造分母关系→构造分子关系→ 证明不等式． 【自主解答】 ∵a>b，∴－a<－b， 又c>a>b>0， ∴0<c－a<c－b，∴c－1 a>c－1 b>0. 又∵a>b>0，∴c－a a>c－b b.
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(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )
【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,
所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正确.
【变式训练】1.下列命题中正确的是_________
.
①若a>b>0,c>d>0,那么
a b ; d -b). c ②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a
(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中
条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题 时用处很大.
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号.
(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数
的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______; ac>bc 如果a>b,c<0,那么______. ac<bc (5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2). > (6)开方:如果a>b>0,那么 __ (n∈N,n≥2).
n
a >
n
b
【即时小测】 1.若a<b<0,则下列结论不正确的是 ( )
故不正确.
(4)因为a- 1 <b- 1 ,且a>0,b>0, b a 所以a2b-b<ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<0,
⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a<b,正确.
【方法技巧】
1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.
【方法技巧】作差比较法的四个步骤
【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大
小关系是_________.
【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,
所以f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)
的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然
成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的
正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一
作差法比较大小
【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么?
【知识探究】 探究点 不等式的基本性质
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可 减性. 如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.
2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.
【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义
第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不 等
式
1.不等式的基本性质
【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系
a-b>0 a-b=0 a-b<0
2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔____. b<a (2)传递性:a>b,b>c⇒____. a>c (3)可加性:____⇔a+c>b+c. a>b
2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
因为x>0,y>0, 所以(x-y)2(x+y)≥0,
所以x3+y3≥x2y+xy2.
类型二
不等式性质的简单应用
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以 1 ab 得 1 1 得 1 > 1 ,故正确. a ＞b ， b a ab ab (2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a<c-b 所以
1 1 ＞ 又a& cb
>0, ,正确.
(3)由 a b ,所以 a b >0, ＞ c d c d ad bc＞0， ad bc＜0， ad bc 即 ＞0，所以 或 ＞0，且cd<0, cd 且cd>0或 即ad>bc ad<bc cd cd＜0.
A.a2<b2
B.ab<a2
b a C. 2 A.因为a<b<0, D.| a | |0<-b<-a, b || a b | 【解析】选 所以 a b
故B,C,D都正确,A错误.
2.下列不等式: (1)x2+3>2x(x∈R).
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
“⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不
可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不 同性质的条件.
2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以
把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可
逆的,即a>b⇔a+c>b+c.
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
1 1 . (2)c>a>b>0,则 a b a b . (3)若 ,则cad>bc. a cb a b (4)设a,b 为正实数,若a- <b- ,则a<b. ＞ c d 1 1 a b
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
提示:常用作差比较法.
【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=(m-n)m3-n3(m-n)
=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)
n 2 3 2 m n [(m ) n ], 2 4
2
又m≠n,所以(m-n)2>0, 因为
n 2 3 2 [(m ) n ] 0, 2 故x>y. 4 所以x-y>0,
【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,
所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正确.
【变式训练】1.下列命题中正确的是_________
.
①若a>b>0,c>d>0,那么
a b ; d -b). c ②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a
(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中
条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题 时用处很大.
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号.
(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数
的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______; ac>bc 如果a>b,c<0,那么______. ac<bc (5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2). > (6)开方:如果a>b>0,那么 __ (n∈N,n≥2).
n
a >
n
b
【即时小测】 1.若a<b<0,则下列结论不正确的是 ( )
故不正确.
(4)因为a- 1 <b- 1 ,且a>0,b>0, b a 所以a2b-b<ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<0,
⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a<b,正确.
【方法技巧】
1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.
【方法技巧】作差比较法的四个步骤
【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大
小关系是_________.
【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,
所以f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)
的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然
成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的
正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一
作差法比较大小
【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么?
【知识探究】 探究点 不等式的基本性质
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可 减性. 如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.
2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.
【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义
第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不 等
式
1.不等式的基本性质
【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系
a-b>0 a-b=0 a-b<0
2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔____. b<a (2)传递性:a>b,b>c⇒____. a>c (3)可加性:____⇔a+c>b+c. a>b
2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
因为x>0,y>0, 所以(x-y)2(x+y)≥0,
所以x3+y3≥x2y+xy2.
类型二
不等式性质的简单应用
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以 1 ab 得 1 1 得 1 > 1 ,故正确. a ＞b ， b a ab ab (2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a<c-b 所以
1 1 ＞ 又a& cb
>0, ,正确.
(3)由 a b ,所以 a b >0, ＞ c d c d ad bc＞0， ad bc＜0， ad bc 即 ＞0，所以 或 ＞0，且cd<0, cd 且cd>0或 即ad>bc ad<bc cd cd＜0.
A.a2<b2
B.ab<a2
b a C. 2 A.因为a<b<0, D.| a | |0<-b<-a, b || a b | 【解析】选 所以 a b
故B,C,D都正确,A错误.
2.下列不等式: (1)x2+3>2x(x∈R).
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
“⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不
可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不 同性质的条件.
2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以
把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可
逆的,即a>b⇔a+c>b+c.
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
1 1 . (2)c>a>b>0,则 a b a b . (3)若 ,则cad>bc. a cb a b (4)设a,b 为正实数,若a- <b- ,则a<b. ＞ c d 1 1 a b
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
提示:常用作差比较法.
【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=(m-n)m3-n3(m-n)
=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)
n 2 3 2 m n [(m ) n ], 2 4
2
又m≠n,所以(m-n)2>0, 因为
n 2 3 2 [(m ) n ] 0, 2 故x>y. 4 所以x-y>0,