基于小波分析的机械故障诊断

绪 论

机械故障诊断技术作为一门新兴的科学，自从二十世纪六七十年代以来已经取得了突飞猛进的发展，尤其是计算机技术的应用，使其达到了智能化阶段。现在，机械故障诊断技术在工业生产中起着越来越重要的作用，生产实践已经证明开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。

我国的故障诊断技术在理论研究方面，紧跟国外发展的脚步，在实践应用上还是基本落后于国外的发展。在我国，故障诊断的研究与生产实际联系不是很紧密，研究人员往往缺乏现场故障诊断的经验，研制的系统与实际情况相差甚远，往往是从高等院校和科研部门开始，再进行到个别行业，而国外的发展则是从现场发现问题进而反映到高等院校或科研部门，使得研究有的放矢[1]。

要求机械设备不出故障是不现实的，因为不存在绝对安全可靠的机械设备。因此，为了预防故障和减少损失，必须对设备的运行状态进行监测，及时发现设备的异常状况，并对其发展趋势进行跟踪：对己经形成的或正在形成的故障进行分析诊断，判断故障的部位和产生的原因，并及早采取有效的措施，这样才能做到防患于未然。因此，设各状态监测与故障诊断先进技术的研究对于保证复杂机械设备的安全运行具有重要意义。

关键词：小波分析，故障诊断，小波基选取，奇异性

基于小波分析的机械故障检测

小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理

信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系：

设)(x g 为一光滑函数，且满足条件0g(x) lim ,1x)dx ( g x ==∞→+∞

∞-⎰，不妨设)(x g 为高斯函数，即σσπ2221)(x e x g -=

，令 d x,/x)( dg x)(=ψ由于⎰+∞

∞-=0x)dx (ψ，因此，可取函数x)(ψ

作为基小波。

对函数)(x f 的关于x)(ψ的小波变换可写成

-=-=

⎰+∞∞-dx a x x f a a W f )()(1),(τψτ⎰+∞∞-τd d a )(x f dx x g a )(τ （3-6） 其中， )()1()(a

x g a x g a ττ-=仍为高斯函数，不妨设a >0,则 ⎰∞+∞-=dx x g x f d d

a

a W a f )()(),(τττ （3-7） 积分⎰+∞∞

-dx x g x f a )()(τ可看作是函数f(x)用高斯函数)(x g a τ按尺度a 进行光滑后的结果，当a 很小时,用)(x g a τ对)(x f 光滑的结果对)(x f 的突变部分的位置及形状影响不大，由式(6)可知,小波变换模),(τa W f 与尺度a 下光滑后函数⎰+∞

∞-dx x g x f a )()(τ的此，),(τa W f 的极大值点对应的是⎰+∞

∞-dx x g x f a )()(τ的突变点，当尺度a 较小时, ⎰+∞

∞-dx x g x f a )()(τ的突变点就是)(x f 本身的突变点。这说明小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在一一对应关系。

下面介绍预备定理，它是利用小波变换进行机械故障检测的重要依据。

定理1(预备定理)：对于平稳随机信号)(t x ,其小波变换的均值为0，方差随着尺度因子a 的增大而趋于零。

证明：[])(t x W T E a =E ττψτd t x a )()(-⎰=[]ττψτd t x E a )()(-⎰=x m ττψd t a )(-⎰ (x m 是)(t x 的均值函数)。为了保证逆变换的存在，要求⎰dt t )(ψ=0,则[])(t x W T E a =0。 设)()('t x m t x x +=,其中，)('t x 是零均值平稳随机噪声，则[]2

)(t x W T E a =[]2')(t x WT m WT E a x a +。由于x x a m m W T =ττψd t a )(-⎰=0,则[]2)(t x W T E a =[]

2')(t x WT E a 。噪声)('t x 可以看成白噪声)(t n 驱动的某个线性滤波器的输出。即)()('t h t x =*)(t n ,则)('t x W T a = )(t h *)(t n *a ψ(t)。

设)(ωn S 和n σ2分别是)(t n 的功率谱和方差，)(ωψa 和)(ωH 分别是)(t a ψ,)(t h 的FT,则

[]2')(t x WT E a =ωωωψωπd S H n a )()()(212

2⎰= ωωψωπσd H a n 222)()(2⎰。 （3-8） 令 max =c ))((2ωH ,'c =π

σ22c n , 则[]2')(t x WT E a ωωψd c a 2)(⎰≤=ωωψd a c 2

)(⎰=ωωψd a c 2')(⎰=εa c '

，所以，随着尺度a 的增大，[]2')(t x WT E a 趋于零,也即是[]2

)(t x W T E a 随着a 的增大趋于零。 一般说来，机械设备在正常运转时，系统输出的信号由确定性信号和平稳随机噪声叠加而成，其小波变换是两部分小波变换之和。由上述预备定理，并根据小波奇异性理论的相关结论可知，确定性信号边沿对应的小波变换的模极大值随着尺度因子的增大将增大，或随着噪声的影响缓慢衰减。然而，平稳随机噪声作为平稳随机信号的一种，其小波变换的模极大值将随着尺度因子的增大而迅速衰减。因此，在大尺度下，信号的小波变换的模极大值将主要属于确定性信号的边沿。而机械故障信号的出现对应于确定性信号的边沿。根据这一原理，结合小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在的一一对应关系，可以将信号的故障点与平稳噪声区别开来，实现机械故障的检测。

小波函数的选取

信号奇异点可通过信号的小波变换局部极大值来定位，而奇异性运用该点的Lipschitz 来定量描述。运用该理论来实现信号的奇异性检测，比常规手段更优越。需要注意的是: 选择不同的小波分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小，其检测效果也不一样，因此，选择合适的小波非常重要。在第二章我们介绍了常见的小波函数，以及不同的小波函数的用处，目前没有一定的规则来断定如何选择小波基。

在实际中,Morlet 小波运用领域较广,可以用于信号表示和分类、图像识别、特征提取;墨西哥草帽小波用于系统辨识;对于数字信号往往选择Haar 或Daubechies 作为小波基;另外还有根据小波函数的消失矩来选择小波基波。本文主要是机械故障的诊断，因此选择Daubechies 小波基函数。

Daubechies (db N) 小波系

Daubechies 小波函数中,除了db1 (即Haar 小波) 外,其他小波没有明确的表达式。通常Daubechies 系中的小波基记为db N , N 为序号, 且N = 1 , 2 , ⋯, 10 。

Daubechies 小波的特性:具有正交性、双正交性和紧支集,可以进行连续小波变换