第二章梁的弹塑性弯曲及

(16)
2、残余曲率
若弯矩完全卸到零， 若弯矩完全卸到零，即
∆M = −M∗
K0 = 1 M∗ − 残余曲率的表达式 Ke Me ∗/ M 3 − 2M e
(17)
卸载后的残余曲率与未卸载时的曲率之比： 卸载后的残余曲率与未卸载时的曲率之比：
M∗ 3 − 2 M∗ , K / K = 1− Me Me
* 其中K =
(18)
Ke
与 M*之间的关系有式（13）和（14）给出 之间的关系有式（13） 14） ξ
*
说明： 说明： 1.在弹性区的残余应力仍保留原来的符号。 1.在弹性区的残余应力仍保留原来的符号。 在弹性区的残余应力仍保留原来的符号 2.卸载时， 2.卸载时，应力变化最大的部位在梁的最外层 卸载时
一、基本关系
b
M y
h
Mx
z y
图 1
在图示的矩形截面梁中，如取x轴为中心线，y轴指向梁 在图示的矩形截面梁中，如取x轴为中心线， 的挠度方向，梁的受力状态对称与x 平面时。 的挠度方向，梁的受力状态对称与x-y平面时。 由平面假设， 由平面假设，截面上的正应变为
ε = Ky +ε0 为曲率， 的函数。 其中 K 为曲率， 和 ε0 都是 x 的函数。 K ∂2w 小变形情形下 K =− 2 (2)
第二章 梁的弹塑性弯曲及梁和刚架的 塑性极限分析
§ 2.1 § 2.2 § 2.3 § 2.4 § 2.5 § 2.6 § 2.7 § 2.8 矩形载面梁的弹塑性纯弯曲 横向载荷作用下梁的弹塑性分析 强化材料矩形载面梁弹塑性纯弯曲 超静定梁的塑性极限载荷 用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷 极限分析中的上下限定理 最轻结构的极限设计 弯矩和轴向力同时作用的情形
说明应力分布与y 说明应力分布与y成比例
在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大， 在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服 所对应的弯矩和曲率为
bh2 σs M = Me = 6
(8)
——弹性极限弯矩 ——弹性极限弯矩
2σs 2εs Ke = = Eh h
(9)
——弹性极限曲率 ——弹性极限曲率 则（6）式的无量纲形式可写为
M / Me = K / Ke
(6' )
三、弹塑性阶段
考虑 M > Me 的情形 设弹塑性区交界处的 y值 为 ± y0
h 2
−σs
−σs
ζh2
y0 = ζh/ 2,
σs
Me < M < M s 图 2
σs
M = Ms
有
EKy, 当y ≤ y0 当y0 ≤ y ≤ h / 2 σ = σs −σs 当− y0 ≥ y ≥ −h / 2.
w (x) = 1
4 (Lx 3 3 3
) Ke (0 ≤ x ≤ L). 3
1 2
(22)
L 中的曲率可由下式给出： 区间 3 ≤x ≤L中的曲率可由下式给出： 2
dw 3 x - 2 = K = (1- )Ke dx 2 L
利用x=3/L处的连接条件， 利用x=3/L处的连接条件，得 x=3/L处的连接条件
O
1
2
3
4
M/Me=1.48
5 K / Ke
图 3
1、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其 表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段， 中间部分仍处于弹性阶段， 平截面” 中间部分仍处于弹性阶段，“平截面”的变形特性限制了外层 纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态， 纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态， 梁的曲率完全由中间弹性部分控制。 梁的曲率完全由中间弹性部分控制。
0 *
或：
3 0 * 3 Ke + 1 Ke , K / K = 1− 2 K∗ 2 K∗
适用： 适用：
2σ s Ms > M ≥ e 或： K ≥ e = M K Eh
*
*
当
K* ≤Ke 时， 显然有
K0 = 0
3、残余应力
EK∗y− M y= 1 (Me −ζ*M*) y, 0≤y≤ζ*h/ 2, J Jζ 0 = σ M* y, ζ∗h/ 2≤ y≤h / 2, σ s − J
§2.1 矩形截面梁的弹塑性纯弯曲
关于梁的两个假定（材料力学） 关于梁的两个假定（材料力学） ： ① 平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。 平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。 ② 截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影 截面上正应力对变形的影响是主要的， 响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力σ和正应变ε 响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力σ和正应变ε 之间的关系。 之间的关系。
——式中挠度以指向轴的方向为正。 ——式中挠度以指向轴的方向为正。 式中挠度以指向轴的方向为正 截面上的轴力和弯矩为
∂x
N = b∫
wk.baidu.com
h/ 2 −h/ 2σ (x, y)dy,
h/ 2 −h / 2 yσ (x, y)dy
(3)
(4)
M = b∫
——式中 ——式中b和h分别为矩形截面的宽度和高度
考虑梁的纯弯曲问题，故（3）式中轴向力为零，N=0， 考虑梁的纯弯曲问题， 式中轴向力为零，N=0， 无关。 而（4）式的弯矩 M 与 x 无关。
与通常的铰有两点区别： 与通常的铰有两点区别： 1.通常的铰不承受弯矩 ； 1.通常的铰不承受弯矩 2.通常较两侧的梁段可在两个方向作相对 2.通常较两侧的梁段可在两个方向作相对 转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于 转动， 卸载。 卸载。
三、梁的挠度
1、梁处于弹性状态 P ≤ P e
K(x) M(x) = = −(1− x )( P ), Ke Me L P e
+
−σ s
M* σs Me +
+
-
+
-
=
-
σs
M* − σs Me 图 4
4.如卸载到零以后再施加反向弯矩， 4.如卸载到零以后再施加反向弯矩，则开始时的 如卸载到零以后再施加反向弯矩 响应仍是弹性的， 响应仍是弹性的，当△M满足 ∆M σs +( )σ s = -σ s 或 ∆M = -2Me Me 外层纤维开始反向屈服, 外层纤维开始反向屈服,即弯矩的变化范围不大 Me时 结构将是安定的。 于2Me时，结构将是安定的。
三、卸载时的残余曲率和残余应力 1、卸载规律
——在卸载时M~K之间应服从弹性规律 在卸载时M~K之间应服从弹性规律
弯矩的改变量和曲率的改变量之间的关系： 弯矩的改变量和曲率的改变量之间的关系： ∆M ∆K = Me Ke 应力的改变量： 应力的改变量： ∆M
∆σ = (∆K)Ey = (
J
) y.
2.2横向载荷作用下梁的弹塑性分析 § 2.2横向载荷作用下梁的弹塑性分析
一、梁的弹性极限载荷
研究矩形截面的理想弹塑性悬臂梁，在端点受集中力作用 研究矩形截面的理想弹塑性悬臂梁， 梁的弯矩： 梁的弯矩：
P A B M x Me Ms L x
M( x) = -(L- x)P
当P增至
2
（） 19
Me bh P= = σs e L 6L
即 d w = (1− x )( P )Ke L P dx2 e dw(0) 以及端条件 w(0) = =0 dx 可得 x2 − x3 )( P )Ke. w(x) = ( 2 6L P e
特别地
2
x 当P = P时， = L处 e
w L) = δe = (
2 L 3
Ke.
1、梁处于弹塑性状态
P < P≤ P e s
1 2
ζ ( x) = 3 − 2 P (1− x / L)
P e
(0 ≤ x ≤ ξ )
(20)
ζ (x) = (3x / L) .
L 中的曲率可由下式给出： 区间 0 ≤x ≤ 中的曲率可由下式给出： 3
利用端条件，得 利用端条件，
d 2w L 1 Ke - 2 = K = - ζ = -( ) 2 Ke dx 3x
二、弹性阶段
将
σ = Eε = E(Ky + ε0) 由 N =0 得 ε0 = 0
(5) 代入（3）、（4） ）、（4
(6)
h M = 2bEK∫ 0 / 2 y2dy = EJK
1 3 J = bh ——截面的惯性矩 12 说明弯矩和曲率之间有线性关系
代入式（ 代入式（5）
σ = M y,
J
(7)
根部的弯矩
M = -Me
X=0截面的最外层纤维开始屈服 X=0截面的最外层纤维开始屈服
ξ
ζ (x)
x
P 称为弹性极限载荷 e
图 5
二、塑性状态
1、塑性极限载荷
P > P 时，梁的弯矩分布仍服从（19）式。 梁的弯矩分布仍服从（19） e
设开始进入塑性状态的截面在 x = ξ 处，则有
M( x) = -(L-ξ )P = - Me
Ms / Me = 1.5 当变形限制在弹性变形的量级时， 当变形限制在弹性变形的量级时， 圆形截面 Ms / Me =16/ 3π ≈1.7; 材料的塑性变形可以使梁的抗弯 能力得到提高。 能力得到提高。 Ms / Me ≈1.27; 薄圆管
工字梁
3、 K = 5Ke
M =1.48Me
矩形截面梁
Ms / Me约为 .07 1
1 w2(x) = 1 − ( x )3 + 3( x )2 + ( x ) − 27 L2Ke, ( L ≤ x ≤ L) (23) 4 L L L 3
[
]
其中
L ≤x ≤L 3
w2(L) = δs = 20 L2Ke = 20δe. 自由端的挠度为： 自由端的挠度为： 27 9
可见，弹塑性变形与弹性变形是同数量级的。 可见，弹塑性变形与弹性变形是同数量级的。
M/ Me
2、 M
ζ
0
，
1.5 1
A
B
，
M
塑性极限载荷， 塑性极限载荷，
3 Me = σs bh2 M = Ms = 2 4
(15)
O
1
2
3
4
M/Me=1.48
ζ
5 K/ Ke
图3
在y=±0处上下纤维的正应力从 处上下纤维的正应力从+σs跳到 ，出现了正应 跳到-σs， ± 处上下纤维的正应力从 跳到 力的强间断。 力的强间断。
x 位于 0 ≤ < ζ ( x) 的各截面上均有部分区域进入屈服状态， 的各截面上均有部分区域进入屈服状态， 其弹塑性交界位置ζ (x)
P (1− x / L) ζ ( x) = 3 − 2 P e
1 2
(0 ≤ x ≤ ξ )
(20)
在 x = 0 处， ζ (0) = (3- 2P / P ) e 当ζ (0) = 0 时，M(0) = -Ms
1 2
3 P = P = Ps 2 e
Ps 称为塑性极限载荷
即梁根部的整个截面都进入塑性流动阶段 与 P 相应的 s
ξ 值可由
L ξ= 3
(L-ξ )Ps = Me
2、塑性铰
塑性铰：弯矩达到了塑性极限弯矩， 塑性铰：弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地
增长，就好像一个铰那样。 增长，就好像一个铰那样。
P A B M x Me Ms L x
弹塑性梁段 0 ≤ x ≤ ξ
K = (signM) 1 (14) K 3 2M / M e e
弹性梁段 ξ ≤ x ≤ L
M / Me = K / Ke
当
1 2
(6' )
ξ
ζ (x)
x 图 5
P = P = 3 P时ξ = L / 3, s 2 e

考虑 M < 0 的情形
K = (signM )Ke /ζ
（11）式也可写为 11）
M Me
(12)
= 1 3 − (Ke / K)2 2
[
]
(6' )
(13)
(14)
或
K = (signM ) 1 . Ke 3− 2 M / Me
对比弹性解
M / Me = K / Ke
M / Me
1.5 1
A
B
截面上的弯矩： 截面上的弯矩： M( y0 ) = 2b y0 y ⋅ ( y )σsdy + h/ 2 y ⋅σsdy ∫ 0 ∫ y0 y0
或
Me (3−ζ 2) (0 ≤ ζ ≤ 1). M(ζ ) = 2
K = Ke /ζ
(11)
（10）式中，对应于y=y0的应力为σ=σs，故 10）式中，对应于y=y 的应力为σ=σ
当载荷P先加到P 然后又卸载到零时， 当载荷P先加到P，然后又卸载到零时，自由端 的残余挠度？ 的残余挠度？
13 2 δ = L Ke 54
0 s
§2.3 强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲
一般强化材料: 一般强化材料:
σ = Eε[1−ω(ε)],
h y= 2
由
M* M* yh = σs J 2 Me
和
M* 1< ≤ .5 1 Me 得 M* σ 0 h = σ s (1) <0 Me 2
外层的正应力改变了符号但未出现 反向屈服 3.当再次施加的正向弯矩值不 3.当再次施加的正向弯矩值不 超过M* M*时 梁将呈弹性响应。 超过M*时，梁将呈弹性响应。