九2班圆的有关性质的基础训练

合集下载

人教版九年级数学上册 24.1圆的有关性质同步训练(含答案)

E ，满足 AEC 65 ，连接 AD ，则 BAD
度．
答案：一、选择题
1．（2020•青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上，＝，AC 交 BD 于点 G．若∠COD＝126°，则 ∠AGB 的度数为（）
A．99°
B．108°
解：∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD＝90°，
度数是（）
A．130°
B．140°
C．150°
解：由题意得到 OA＝OB＝OC＝OD，作出圆 O，如图所示，
∴四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
D．160°
6．（2020•眉山）如图，四边形 ABCD 的外接圆为 O ， BC CD ， DAC 35 ， ACD 45 ，则 ADB 的度数为( )
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+ x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+ x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+ x）﹣（20°+ x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°， ∴20°＜∠CED＜40° 故选：C．二、填空题
16．（2020•襄阳）在 O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA ，则弦 BC 所对的圆周角等于 60 或 120 ．解：如图，
上任意一点．则
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
解：连接 OD、OE， ∵OC＝OA， ∴△OAC 是等腰三角形， ∵点 D 为弦 AC 的中点， ∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°， ∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，

圆的有关性质练习及答案(供参考)

1° ° D CB A O圆的有关性质【知识要点】 1．圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

由此得到推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6．圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练】一、选择题1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014•毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（） A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014•珠海）如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（） A 160° B 150° C 140° D 120°4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（） A 、50° B 、80° C 、100° D 、130°5.（2015上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A 、AD ＝BD ；B 、OD ＝CD ；C 、∠CAD ＝∠CBD ；D ∠OCA ＝∠OCB ．6．如图：是小明完成的.作法是：取⊙O 的直径AB ，在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合)，∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必（） A 。

人教版九年级上册数学 24.1圆的有关性质专项训练(附答案)

人教版九年级上册数学24.1圆的有关性质专项训练一、选择题1．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若40∠的度∠=︒，则DBOC 数为()A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒2．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，106∠等于()∠=︒，则CABADCA．10︒B．14︒C．16︒D．26︒3．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．44．如图，AB为O的直径，CD是O的弦，35∠的度数为()∠=︒，则CABADCA．35︒B．45︒C．55︒D．65︒5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°6．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°B．25°C．50°D．100°7．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D9．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是（）A ．24°B ．28°C ．33°D ．48°10．如图，O 中，OC AB ⊥，28APC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．14︒B ．28︒C ．42︒D ．56︒11．如图，E ，F ，G 为圆上的三点，50FEG ∠=︒，P 点可能是圆心的是( )A ．B ．C ．D ．12. 如图，点A 、B 、C 在O 上，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，若40DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为( )A ．140︒B ．70︒C ．110︒D ．80︒13．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则(BC = )A ．2B ．4C ．3D ．2314．如图，四边形ABCD 内接于O ，AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，若BA 平分DBE ∠，5AD =，13CE =，则(AE = )A ．3B ．32C ．43D ．2315．如图，在半径为3的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是( )A ．532B ．33C ．32D ．42二、填空题 16．如图，已知在⊙O 中，半径OA ，弦AB ＝2，∠BAD ＝18°，OD 与AB 交于点C ，则∠ACO ＝度．17．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ °．18．如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的O ，OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，则OD = ．19．如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，100AOC ∠=︒，35OCD ∠=︒，那么OED ∠= ．20．如图，在半径为5的O 中，M 为弦AB 的中点，若4OM =，则AB 的长为．21．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长度为．22．如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，半径OE BC ⊥，连接EA ，EA BD ⊥于点F ．若2OD =，则BC = ．答案：一、选择题1．B．2．C．3．C．4．C．5．D．6．B．7．B．8．D．9．A．10．D．11．C．12.C．13．D．14．D．15．D．二、填空题16．81．17．35°．18．1．19．60 ．20．6．21．3．22．。

人教版九年级上册数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练一、选择题1. 如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2 cm，若铁尖的端点A固定，将铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是()A．1 cm B．2 cm C．4 cm D．π cm2. 如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A．∠B B．∠CC．∠DEB D．∠D3. 与圆心的距离不大于半径的所有点组成的图形是()A．圆的外部(包括边界) B．圆的内部(不包括边界)C．圆D．圆的内部(包括边界)4. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为()A．4 B．5 C．8 D．105. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立．．．的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED.BD ︵＝BC ︵6. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.87.如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF .若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是( )A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°8. P为⊙O 内一点，若过点P 的最长的弦为8 cm ，最短的弦为4 cm ，则OP 的长为( )A ．2 3 cm B. 3 cm C ．3 cmD ．2 cm二、填空题9. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD的距离为________．10. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．11. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.12. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.13. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm ，下雨前水面宽为60 cm ，一场大雨过后，水面宽为80 cm ，则水位上升________cm. 链接听P39例4归纳总结14. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．15. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动(点C ，D 与点A ，B 不重合)，M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P.若CD ＝3，AB ＝8，PM ＝l ，则l 的最大值是________．16. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题17. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD 与AB 相交，D 为AB ︵的中点．(1)求∠ABD 的大小；(2)若AC ＝6，BD ＝5 2，求BC 的长．18. 如图，AB为O的直径，点C在O上．的平分线，与O交于点D；连接OD，交BC于点E(不(1)尺规作图：作BAC写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；(2)探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．19. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】C[解析] 过点P 作弦AB ⊥OP ，连接OB ，如图．则PB ＝AP ，∴AB ＝2BP ＝2OB 2－OP 2.再过点P 任作一条弦MN ，过点O 作OG ⊥MN 于点G ，连接ON . 则MN ＝2GN ＝2ON 2－OG 2.∵OP ＞OG ，OB ＝ON ，∴MN ＞AB ， ∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.5. 【答案】C6. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．7. 【答案】B8. 【答案】A[解析] 设⊙O 中过点P 的最长的弦为AB ，最短的弦为CD ，如图所示，则CD ⊥AB 于点P.根据题意，得AB ＝8 cm ，CD ＝4 cm，∴OC ＝12AB ＝4 cm. ∵CD ⊥AB ， ∴CP ＝12CD ＝2 cm.在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得OP ＝OC2－CP2＝42－22＝2 3(cm)．二、填空题9. 【答案】310. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.11. 【答案】15[解析] ∵OC ⊥OB ，∴∠COB ＝90°.又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝45°.∵OA ＝AB ，OA ＝OB ，∴OA ＝AB ＝OB ， ∴△AOB 是等边三角形，∴∠OBA ＝60°， ∴∠ABC ＝∠OBA －∠OBC ＝15°.12. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.13. 【答案】10或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的弦的距离为40 cm ，到长为80 cm 的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm 或70 cm.14. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA的长为3或73.15. 【答案】34[解析] 如图，当CD∥AB时，PM的长最大，连接OM，OC.∵CD∥AB，CP⊥AB，∴CP⊥CD.∵M为CD的中点，OM过点O，∴OM⊥CD，∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM＝OC.∵⊙O 的直径AB ＝8， ∴半径OC ＝4，∴PM ＝4.16. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫360n m ° [解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx ＝n ×360°，所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m °.三、解答题17. 【答案】解：(1)∵D 为AB ︵的中点， ∴AD ︵＝BD ︵.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＝∠DAB ＝45°.(2)由(1)知AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ＝5 2. 又∵∠ADB ＝90°， ∴AB ＝AD2＋BD2＝10. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB2－AC2＝102－62＝8.18. 【答案】(1)如图所示：(2)OE AC ∥，12OE AC =．理由如下：∵AD 平分BAC ∠，∴12BAD BAC ∠=∠，∵12BAD BOD ∠=∠，∴BOD BAC ∠=∠， ∴OE AC ∥， ∵OA OB =，∴OE 为ABC △的中位线， ∴OE AC ∥，12OE AC =．19. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成立的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°， ∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ， ∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .又∵OC ＝OQ ， ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°，∴∠OCP＝2x＝20°.(3)如图③.∵QO＝QP，∴∠QOP＝∠QPO.∵OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.设∠QPO＝y，则∠OQC＝∠OCQ＝∠QPO＋∠AOC＝y＋30°，∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.。

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练一、选择题1. 如图，☉O的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD的长为()A.6B.3C.6D.122. 2019·葫芦岛如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为()A．70°B．55°C．45°D．35°3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为()A．4 B．5 C．8 D．104. (2019•贵港)如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒5. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.86. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵7. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为()A．70°B．60°C．50°D．40°8. 如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为()A．19 B．16 C．18 D．20二、填空题9.如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是________．10. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A ＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.11. 如图所示，OB，OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点．若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠A＝________°.12. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O 的半径为________．13. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.14. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.15. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________．16. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.链接听P39例4归纳总结三、解答题17. 如图，△ABC的高AD，BF相交于点H，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.求证：DH＝DE.18. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.19.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上(不与点A ，B 重合)，点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E .射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G .设∠GAB ＝α，∠ACB ＝β，∠EAG ＋∠EBA ＝γ. (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似．．数据猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD ＝3，△ABE 的面积为△ABC 的面积的4倍，求⊙O 半径的长．人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵☉O的直径AB垂直于弦CD，∴∠CEO=90°，CE=DE.∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC=3，∴CD=2CE=6，故选A.2. 【答案】B3. 【答案】C[解析] 过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．则PB＝AP，∴AB＝2BP＝2 OB2－OP2.再过点P任作一条弦MN，过点O作OG⊥MN于点G，连接ON.则MN＝2GN＝2 ON2－OG2.∵OP ＞OG ，OB ＝ON ，∴MN ＞AB ， ∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.4. 【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒，∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ．5. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．6. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.7. 【答案】D[解析] ∵∠BOC ＝110°，∴∠AOC ＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠D ＝∠A ＝70°.在△OAD 中，∠AOD ＝180°－(∠A ＋∠D)＝40°.8. 【答案】D[解析] 如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E.∵∠A＝∠B＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD＝DB＝AB＝12，∠ADB＝∠A＝60°，∴OD＝AD－OA＝12－8＝4.在Rt△ODE中，∵∠DOE＝90°－∠ADB＝30°，∴DE＝12OD＝2，∴BE＝DB－DE＝12－2＝10.由垂径定理，知BC＝2BE＝20.二、填空题9. 【答案】 5 【解析】本题考查垂径定理、弦、弦心距的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等内容. 解题思路：过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别是F、G. 连接OD.解图⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB⊥CDOF⊥ABOG⊥CD⇒四边形OFEG是矩形AB＝CD⇒OF＝OG⇒⎭⎬⎫ 矩形OFEG 是正方形⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫CE ＝1ED ＝3 ⇒CD ＝4 AB ⊥CD ⇒GD ＝12CD ＝2⇒EG ＝1 ⇒OG ＝GE ＝1⇒OD ＝OG 2＋DG 2＝12＋22＝ 5.10. 【答案】40 [解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.11. 【答案】50 [解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.12. 【答案】5 [解析] 设圆的半径为x ，则OE ＝x －1.根据垂径定理可知，CE ＝3，由勾股定理可得32＋(x －1)2＝x2，解得x ＝5.故答案为5.13. 【答案】50 [解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.14. 【答案】215 [解析] 连接CE ，则∠B ＋∠AEC ＝180°，∠DEC ＝∠CAD ＝35°，∴∠B ＋∠AED ＝(∠B ＋∠AEC)＋∠DEC ＝180°＋35°＝215°.15. 【答案】(－4，－7)[解析] 过点P作PH⊥MN于点H，连接PM，则MH＝12MN＝3，OH＝OM＋MH＝7.由勾股定理，得PH＝4，∴圆心P的坐标为(－4，－7)．16. 【答案】10或70[解析] 对于半径为50 cm的圆而言，圆心到长为60 cm的弦的距离为40 cm，到长为80 cm的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm或70 cm.三、解答题17. 【答案】证明：连接BE.∵AD，BF是△ABC的高，∴∠FBC＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠FBC＝∠CAD.∵∠CBE＝∠CAD，∴∠FBC＝∠CBE.又∵BD＝BD，∠BDH＝∠BDE＝90°，∴△BDH≌△BDE，∴DH＝DE.18. 【答案】证明：如图，延长AD交⊙O于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD.∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.19. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG ，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD ≌△EGD ，∠EBC ＝∠ECB ，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG ＝45°，β＝∠ACB ＝135°，∴∠ECB ＝45°，∠CEB ＝90°，△ECD 、△BEC 、△A BG 都是等腰直角三角形，由CD 的长，可得出BE 和CE 的长，再由题干条件△A BE 的面积是△ABC 的面积的4倍可得出AC 的长，利用勾股定理在△ABE 中求出AB 的长，再利用勾股定理在△ABG 求出AG 的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG ，∵AG 是⊙O 的直径，∴∠ABG ＝90°，∴α＋∠BGA ＝90°，(1分)又∵四边形ACBG 内接于⊙O ，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分) (2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分) ∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)。

人教版九年级数学上册24.1 圆的有关性质针对训练 (含答案)

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质针对训练一、选择题1. M ，N 是⊙O 上的两点，已知OM ＝3 cm ，那么一定有( )A ．MN ＞6 cmB ．MN ＝6 cmC ．0 cm<MN ＜6 cmD ．0 cm<MN≤6 cm2. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BA C ＝25°，则∠E 的度数为( )A . 45°B . 50°C . 55°D . 60°3. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( )A ．29°B ．31°C ．59°D ．62°5. 如图，在⊙O 中，已知∠OAB ＝22.5°，则∠C 的度数为( )A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°6. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1等于()A．36°B．54°C．72°D．73°7. 如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点(不与点O，A重合)，过点B作OA 的垂线交⊙O于点C.以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD.若BD＝10，BC＝8，则AB的长为()A．8 B．6 C．4 D．28. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C.若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环面积最接近的是()A．10 B．13 C．16 D．199.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )A ．6B ．8C ．5 2D ．5 310. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°二、填空题11. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．12. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.13. 如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝________°.14. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．三、解答题16. 如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF.求证：BF ＝12BD.17. 如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC ＝120°，弦AC ＝2 3，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC.(1)求⊙O 的半径；(2)求证：AB ＋BC ＝BM.18. 如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．19. 如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.20. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质针对训练 -答案一、选择题1. 【答案】D [解析] ∵OM ＝3 cm ，∴⊙O 的半径为3 cm ，∴⊙O 的直径为6 cm ，即⊙O 中最长的弦的长度为6 cm ，∴MN 最长为6 cm ，∴0 cm ＜MN≤6 cm.2. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC ＝105°，∴∠ADC ＝75°，∵＝，∴∠BAC ＝∠DCF ＝25°，∴∠E ＝∠ADC －∠DCF ＝50°.3. 【答案】B [解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.4. 【答案】B5. 【答案】D [解析] ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°，∴∠C ＝180°－12×135°＝112.5°.6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C[解析] 如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AB，垂足为D，则AD＝BD＝2，＝πOC2－πOA2＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π(32－22)∴DC＝2＋1＝3.S圆环＝5π≈15.7.9. 【答案】B[解析] 如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝8.10. 【答案】A[解析] ∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°.∵CD＝CB，∴∠BDC＝∠B＝50°，∴∠BCD＝180°－2×50°＝80°，∴∠ACD＝90°－80°＝10°.二、填空题11. 【答案】40°12. 【答案】40[解析] ∵∠BCD＝180°－∠A＝125°，∠CBF＝∠A＋∠E＝85°，∴∠F＝∠BCD－∠CBF＝125°－85°＝40°.13. 【答案】215[解析] 连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.14. 【答案】15[解析] ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°.又∵OC＝OB，∴△COB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.∵OA＝AB，OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠ABC＝∠OBA－∠OBC＝15°.15. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA 的长为3或73.三、解答题16. 【答案】证明：连接AC.∵AB ＝BE ，F 是EC 的中点，∴BF 是△EAC 的中位线，∴BF ＝12AC.∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB ︵＝BC ︵＋AB ︵，即BD ︵＝AC ︵，∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD.17. 【答案】解：(1)连接OA ，OC ，过点O 作OH ⊥AC 于点H ，如图①.∵∠ABC ＝120°，∴∠AMC ＝180°－∠ABC ＝60°，∴∠AOC ＝2∠AMC ＝120°.∵OH ⊥AC ，∴AH ＝CH ＝12AC ＝3，∠AOH ＝12∠AOC ＝60°，∴∠OAH ＝30°，∴OH ＝12OA.在Rt △AOH 中，由勾股定理，得OH2＋AH2＝OA2，即(12OA)2＋(3)2＝OA2，解得OA ＝2(负值已舍去)，故⊙O 的半径为2.(2)证明：在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE ，如图②.∵∠ABC ＝120°，BM 平分∠ABC ，∴∠MBC ＝∠ABM ＝12∠ABC ＝60°.又∵BE ＝BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴EC ＝BC ＝BE ，∠BCE ＝60°，∴∠BCD ＋∠DCE ＝60°.∵∠ACM ＝∠ABM ＝60°，∴∠ECM ＋∠DCE ＝60°，∴∠ECM ＝∠BCD.∵∠MAC ＝∠MBC ＝60°，∠AMC ＝60°，∴∠MAC ＝∠AMC ＝∠ACM ，∴△ACM 是等边三角形，∴AC ＝MC.在△ACB 和△MCE 中，⎩⎨⎧AC ＝MC ，∠BCA ＝∠ECM ，BC ＝EC ，∴△ACB ≌△MCE ，∴AB ＝ME.∵ME ＋BE ＝BM ，∴AB ＋BC ＝BM.18. 【答案】解：(1)如图①，设点E 是桥拱所在圆的圆心，连接AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点D.根据垂径定理知F 是AB 的中点，D 是AB ︵的中点，DF 的长是桥拱到水面的最大高度，∴AF＝FB＝12AB＝40米，EF＝DE－DF＝AE－DF.由勾股定理，知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2. 设桥拱的半径为r米，则r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.答：桥拱的半径为50米．(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由如下：如图②，由题意，知DE⊥MN，PM＝12MN＝30米，EF＝50－20＝30(米)．在Rt△PEM中，PE＝EM2－PM2＝40米，∴PF＝PE－EF＝40－30＝10(米)．∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．19. 【答案】证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD.∵△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OC，OD分别为Rt△ABC和Rt△ABD斜边上的中线，∴OC＝OA＝OB，OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四点在同一个圆上．20. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．。

《圆有关性质》基础训练题

《圆有关性质》基础训练题班级姓名座号一．选择题（共8小题）1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．12．下列语句中正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜54．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．25．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D 的坐标为（0，2），则⊙C半径是（）A．B．C．D．27．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（）A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°二．解答题（共7小题）9．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．10．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．11．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．12．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长．13．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=16cm，AB=20cm，求BE 的长．14．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，（1）求∠ABD的度数．（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2∴x=2，∴CD=2，故选（C）【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．2．下列语句中正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM=BM，∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，OM====4；此时OM最短，当OM是半径时最长，OM=5．所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选B．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．4．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．2【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP=OE=．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，∴OE==1，同理可得OF=1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，而OE=OF=1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP=OE=．故选B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．5．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】连结OA，OD⊥AB，根据垂径定理得到AD=BD，且OD=3cm，在Rt△AOD 中根据勾股定理计算出AD，然后利用AB=2AD求解．【解答】解：连结OA，OD⊥AB，如图，∴AD=BD，OD=3cm，在Rt△AOD中，OA=5cm，OD=3cm，∴AD==4cm，∴AB=2AD=8cm．故选C．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．6．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D 的坐标为（0，2），则⊙C半径是（）A．B．C．D．2【分析】连接AD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AD是直径，根据等弧所对的圆周角相等，得∠D=∠B=30°，运用解直角三角形的知识即可求解．【解答】解：连接AD．∵∠AOD=90°，∴AD是圆的直径．在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，∴AD==．则圆的半径是．故选B．【点评】此题主要是运用了圆周角定理的推论、解直角三角形的知识．7．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（）A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm【分析】根据垂径定理与勾股定理即可求出答案．【解答】解：连接OC，设OE=3x，EB=2x，∴OB=OC=5x，∵AB=20∴10x=20∴x=2，∴由勾股定理可知：CE=4x=8，∴CD=2CE=16故选（D）【点评】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求出CE的长度，本题属于基础题型．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．二．解答题（共7小题）9．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．【分析】根据垂径定理得到直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理计算出半径的长．【解答】解：如图：连接OA，由OC⊥AB于D，得：AD=DB=AB=4．设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2∴r2=（r﹣1）2+42整理得：2r=17∴r=．所以圆的半径是．【点评】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理求出AD的长，连接OA，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长．10．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．【分析】如图，过点O作OM⊥AB于点M．根据垂径定理得到AM=BM．然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知EM=FM，故AE=BE．【解答】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．又∵OE=OF∴EM=FM，∴AE=BF．【点评】本题考查了垂径定理．平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．11．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．【分析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．【解答】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×16=8cm，CF=CD=×12=6cm，在Rt△AOE中，OE===6cm，在Rt△OCF中，OF===8cm，∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm．答：AB和CD的距离为2cm．【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长．【分析】根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC的长度．根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可．【解答】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，∴BC===8，即BC=8；∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD，∴=，∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×10=5，即BD=5．【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．13．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=16cm，AB=20cm，求BE 的长．【分析】如图，连接OD；由垂径定理求出DE的长度，运用勾股定理列出关于OE的等式，求出OE即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD；∵弦CD⊥AB，且直径AB=20，CD=16，∴OD=10，DE=CE=8，由勾股定理得：OE2=OD2﹣DE2，∴OE=6，BE=10﹣6=4（cm）．【点评】该题主要考查了垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．14．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD是直径，易证△ABD 为直角三角形；∠D=∠C=30°．则BD=2AB=8．【解答】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=30°，∴∠BOA=60°．又∵OA=OB，∴△AOB是正三角形．∴OB=AB=4，∴BD=8．∴⊙O的直径为8．【点评】本题运用了圆周角定理的推论，直径所对的圆心角是直角．正确地作出辅助线是解题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，（1）求∠ABD的度数．（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．【分析】（1）求出∠A的度数，继而在Rt△ABD中，可求出∠ABD的度数；（2）连接AC，则可得∠CAB=∠CDB=30°，在Rt△ACB中求出AB，继而可得⊙O 的半径．【解答】解：（1）∵∠C=45°，∴∠A=∠C=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=45°；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，∴AB=6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的内容是解题关键．。

(完整版)圆的基本性质练习题一

圆的基本性质练习一、看准了再选1．.如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125°2．如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G 且EF ⊥CD ，若∠EOD=40°,则∠DCF 等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20°3.直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是（）Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交4.在⊙O 中，弦AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧AB 的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60°5．如图，⊙O 的半径OA=3，以点A 为圆心，OA 的长为半径画弧交⊙O 于B ，C•则BC=（）． A ．32 B ．33 C ．323 D ．3326．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A ．∠1>∠2>∠3B ．∠3>∠1>∠2C ．∠2>∠1>∠3D ．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O•与点A 不重合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（） A ．0<x ≤2 B ．1<x ≤2 C ．1≤x ≤2 D ．x>28．如图，AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是（）OCFGD EAPBC OA ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角有（）个。

九年级数学圆专题训练

九年级数学圆专题训练摘要：1.圆的概述2.圆的相关概念3.圆的性质4.圆的计算5.圆的应用正文：九年级数学圆专题训练旨在帮助学生深入理解圆的相关知识，提高解决与圆相关的数学问题的能力。

本文将从圆的概述、相关概念、性质、计算和应用五个方面进行讲解。

一、圆的概述圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆可以分为内接圆、外接圆、同心圆等。

二、圆的相关概念1.圆心：圆中心的点。

2.半径：从圆心到圆上任意一点的线段。

3.直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段。

4.弧：圆上任意两点间的部分。

5.圆周角：以圆心为顶点，以两条射线分别与圆相交所构成的角。

6.圆心角：以圆心为顶点，以两条射线分别与圆相交所构成的角。

三、圆的性质1.圆的直径等于半径的两倍。

2.圆周角等于其所对的圆心角的两倍。

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等。

4.在同圆或等圆中，直径所对的圆周角为直角，直径所对的圆心角为平角。

四、圆的计算1.计算圆的面积：圆的面积公式为πr，其中r 为半径。

2.计算圆的周长：圆的周长公式为2πr，其中r 为半径。

3.计算圆弧长：圆弧长公式为θr，其中θ为圆心角的弧度制表示，r 为半径。

4.计算圆扇形的面积：圆扇形的面积公式为(θ/360)πr，其中θ为圆心角的弧度制表示，r 为半径。

五、圆的应用1.解直角三角形：利用圆的性质，可以将直角三角形的斜边作为直径，构造外接圆，从而求解其他边和角。

2.解圆与直线的交点：通过求解圆与直线的交点，可以解决一些实际问题，如求两个圆的交点等。

3.解圆与圆的位置关系：判断两个圆的位置关系，如内含、内切、外切、相交等。

九年数学双基目标训练与解析圆的基本概念和性质二

年班姓名 B ACE DO一、选择题1.下列说法正确的是（）A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．长度相等的弧是等弧D ．过圆心的线段是直径 2.下列语句中，不正确的个数是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；•④经过圆内一定点可以作无数条直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图，⊙O 中，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（• ） A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条第3题第4题4.如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.已知、是同圆的两段弧，且，则弦AB 与CD 之间的关系为（） A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定6. 如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC ，DEOF ，HMNO 均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式正确的是（）A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.c ＞a ＞bD.a=b=c第6题第7题»AB »CD »»2AB CD 5 5-5-5PxyO BA． O二、填空题7.如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，猜想这样的P点一共有 .8.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．9.已知，圆A的周长是圆B的周长的4倍，那么圆A的面积是圆B的面积的倍．10.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的的长度有__ ___关系；的度数有_ ___关系.11.如图，已知⊙O内一点P，过P点的最短的弦在圆内的位置是__ __；过P点的最长的弦在圆内的位置是__ __；并分别将图画出来.12.在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，,3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，……（1）10个圆把平面最多分成个部分；（2）n个圆把平面最多分成个部分.三、解答题13．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．14．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数．15．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC=BD．（1）判断△OCD的形状，并说明理由．（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；B、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的；C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合．故本选项错误；D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．故选B．2.【答案】C；【解析】①直径是弦符合弦的定义正确；②弧是半圆，这句话不对，可能是半圆，也可能使优弧或劣弧；③长度相等的弧是等弧，这句话不符合等弧的定义：能够完全重合的弧，故错误；•④经过圆内一定点只能作一条直径．所以原题不正确. 故②③④都不正确.3.【答案】B；【解析】图中的弦有弦AB、弦BC、弦CE共三条.4.【答案】C；【解析】在弦AB所在直线的两侧分别有1个和两个点符合要求,故选C；5.【答案】B；【解析】把两条弦转化到一个三角形中，由三角形两边之和大于第三边得到.6.【答案】D；【解析】如图，连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM．再根据同圆的半径相等，得a=b=c．故选D；二、填空题7.【答案】12.【解析】每个象限有2个符合要求的点，坐标轴上有4个点，共12个.即：（3，4）、（4，3）、（3，-4）、（4，-3）、（-3，4）、（-4，3）、（-3，-4）、（-4，-3）、（0，5）、（0，-5）、（5，0）、（-5，0）.8.【答案】8cm，10cm；9.【答案】16【解析】设圆A的半径为a，圆B的半径为b．由题意2πa=4×2πb，∴a=4b，∴⊙A的面积：⊙B的面积=π•（4b）2：πb2=16：1．10.【答案】；相等；11.【答案】垂直于过p点的直径的弦；过p点的直径. 如图：12.【答案】（1）92；（2）n2-n+2.【解析】（1）9×10+2=92；（2）（n-1）n+2=n2-n+2.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠AOB=∠1=∠A=20°；（2）∵∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A，∵OB=OE，∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A，∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．14．【答案与解析】解：以A圆心AD长为半径画弧与圆有两个交点D，D' 再连接OD,O D' ；∵AB是⊙O的直径，AB=2，AD=1,∵AD=OD=OA=1，∴△OAD是等边三角形.∴∠DAO=60°.同理可得∠OA D'=60°.∴∠DAC=60°﹣30°=30°；同理可得：∠D' AC=60°+30°=90°；综上所述：∠CAD的度数为30°或90°．15．【答案与解析】（1）△OCD是等腰三角形．如图（1）所示，过点O作OM⊥AB，垂足为M，由圆的对称性有MA=MB．又∵AC=BD，∴AC+MA=BD+MB，即CM=DM．又OM⊥CD，即OM是CD的垂直平分线，∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形．（1）（2）（2）当点C，D在线段AB上时，（1）题的结论还存在.如图（2）所示，同上问，作OM⊥AB，垂足为M，由圆的对称性，得AM=BM．又∵AC=BD，∴CM=AM-AC=BM-BD=DM，∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形．。

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 下列说法中正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，它们所对的弦也相等D．等弦所对的圆心角相等2. 2019·葫芦岛如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为()A．70°B．55°C．45°D．35°3. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1等于()A．36°B．54°C．72°D．73°4. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为()A．6 2 B．3 2 C．6 D．125. 在半径等于5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )A ．60°或120°B ．30°或120°C ．60°D ．120°6. 如图，在⊙O 中，如果AB ︵＝2AC ︵，那么( )A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB ＜2ACD ．AB ＞2AC7. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 38.如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF .若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是( )A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°9. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 310. 甲、乙、丙三个牧民用同样长为l 米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围成面积为S 1的圆形草地，乙牧民围成面积为S 2的正方形草地，丙牧民围成面积为S 3的矩形(不是正方形)草地，则下列结论正确的是( ) A ．S 1＞S 3＞S 2 B ．S 2＞S 1＞S 3 C ．S 3＞S 1＞S 2D ．S 1＞S 2＞S 311. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°12.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC ＝124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°二、填空题（本大题共6道小题）13.如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________．14. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．15. 如图，AB为⊙O 的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD的距离为________．16. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，则∠AOB 的度数为________．17. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．18. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.三、解答题（本大题共3道小题）19. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.20. 如图，AB是⊙O 的直径，AC 是弦，将劣弧AC 沿弦AC 翻折与AB 的交点恰好是圆心O ，作OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接BC ，CD .求证：四边形BCDO 是菱形．21. 如图，点E 是△ABC 的内心，线段AE 的延长线交BC 于点F (∠AFC ≠90°)，交△ABC 的外接圆于点D .(1)求点F 与△ABC 的内切圆⊙E 的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】A[解析] ∵∠A＝22.5°，∴∠COE＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∠CEO＝90°.∵∠COE＝45°，∴CE＝OE.在Rt△COE中，由勾股定理，得CE2＋OE2＝OC2，∴2CE2＝62，解得CE＝3 2，∴CD＝2CE＝6 2.故选A.5. 【答案】A6. 【答案】C[解析] 取AB ︵的中点D ，则AD ︵＝BD ︵＝AC ︵，所以AD ＝BD ＝AC ，而AD ＋BD ＞AB ，所以2AC ＞AB .7. 【答案】C8. 【答案】B9. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB2－OE2＝62－22＝4 2，∴AB ＝8 2.故选B.10. 【答案】D[解析] 本题中甲的草地：2πr ＝l ，r ＝l 2π，S 1＝π·r 2＝l24π；乙的草地：S 2＝l 4×l 4＝l216；丙的草地：设一边长为x ，则S 3＝x (l 2－x )＝－x 2＋l 2x .只有当x ＝l 4时，S 3取得最大值，此时S 3＝l216，但此时矩形为正方形，不符合题意．所以S 1＞S 2＞S 3.11. 【答案】B12. 【答案】C[解析] ∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC ＝2∠IAC ，∠ACB ＝2∠ICA . ∵∠AIC ＝124°，∴∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－2(∠IAC ＋∠ICA )＝180°－2(180°－∠AIC )＝68°.又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°.二、填空题（本大题共6道小题）13. 【答案】 5【解析】本题考查垂径定理、弦、弦心距的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等内容. 解题思路：过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别是F、G. 连接OD.解图⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB⊥CDOF⊥ABOG⊥CD⇒四边形OFEG是矩形AB＝CD⇒OF＝OG⇒⎭⎬⎫矩形OFEG是正方形⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫CE＝1ED＝3⇒CD＝4AB⊥CD⇒GD＝12CD＝2⇒EG＝1⇒OG＝GE＝1⇒OD＝OG2＋DG2＝12＋22＝ 5.14. 【答案】40°15. 【答案】316. 【答案】60°[解析] ∵OA⊥BC，∴AB︵＝AC︵，∴∠AOB＝2∠ADC.∵∠ADC ＝30°，∴∠AOB＝60°.17. 【答案】8[解析] 由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.18. 【答案】8[解析] 连接AD ，如图所示．∵以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ， ∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.又∵OA ＝OB ，∴OD ∥AC ， ∴OD ⊥BE ，∴BM ＝EM ， ∴CE ＝2MD ＝4， ∴AE ＝AC －CE ＝6，∴BE ＝AB2－AE2＝102－62＝8.三、解答题（本大题共3道小题）19. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD. ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵， ∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.20. 【答案】证明：如图，连接AD ，OC .∵OD⊥AC，∴AE＝EC.由翻折的性质，得AC是OD的垂直平分线，∴OE＝DE，∴四边形OADC是平行四边形，∴OA∥CD，OA＝CD.∵OA＝OB，∴OB＝CD，OB∥CD，∴四边形BCDO是平行四边形．又∵OB＝OD，∴四边形BCDO是菱形．21. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.word 版初中数学11 /11(4)B ，C ，E 三点可以确定一个圆．如图②，连接CD .∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD .又由(2)可知ED ＝BD ，∴BD ＝CD ＝ED ，∴B ，C ，E 三点确定的圆的圆心为点D ，半径为BD (或ED ，CD )的长度．。

九年级数学上册圆的有关性质以及相关练习人教新课标版

九年级数学上册圆的有关性质以及相关练习人教新课标版本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.【典型例析】例1.（1）如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，若OE=OF，则（只需写出一个正确的结论）.（2）如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= .[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.[解答]（1）AB=CD或 AB=CD或AD＝BC,直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.1BC（2）由三角形的中位线定理知OD=2[拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用.例2.（1）下列命题中真命题是（）.A.平分弦的直径垂直于弦B.圆的半径垂直于圆的切线C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等（2）如图7.1-3.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）.A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm(3)已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100 ，则圆周角∠BAC的度数是（）.A. 50B.100C.130D.200[特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价.[解答] （1） D （考查对基本性质的理解）.1CD=4，(2)D (过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=2由勾股定理得OM=3，而AB两点到CD的距离和等于OM的2倍)(3)A (由圆周角定理可得)[拓展] 第（2）题中，涉及圆的弦一般作弦心距.例3.圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 .[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.[解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180 ，∴x+3x=180 ，∴ x=45 .∴∠A=45 ，∠ B=90 ，∠C=135 ，∠ D=90 .∴最大角为135 .[拓展]此题着眼于基本性质、基本方法的考查.设未知数，列方程求解是解此类题的基本方法.例4.已知，如图7.1-5 BC为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E.（1）求证：BE•BF=BD•BC（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.[特色] 此题是教材中的习题变形而来，它立意于考查分析、观察、比较、归纳等能力.[解答] （1）连结FC，则BF⊥FC.在△BDF和△BCF中，∵∠BFC=∠EDB=90 ，∠ FBC=∠EBD，∴△BDE∽△BFC，∴ BE∶BC=BD∶BF.即 BF•BE=BD•BC.（2） AE>BD , 连结AC、AB 则∠BAC=90 .∵AF AB , ∴∠1=∠2.又∵∠2+∠ABC=90 ，∠3+∠ABD=90 ，∴∠2=∠3，∠1=∠3，∴ AE=BE.在Rt△EBD中， BE>BD，∴AE>BD.[拓展] 若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG 有相等关系？例5.如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G.（1）求⊙O的半径R；（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90 三者之间的关系式（只需写出一个），并证明你的结论.[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力.[解答] （1）连结OE，则OE⊥AD.∵四边形是矩形，∴∠D=90 , OE∥CD,∴AC=22DC AD +=2268+=10.∵△AOE ∽△ACD ， ∴ OE ∶CD=AO ∶AC ， ∴R ∶6=(10-R) ∶10，解之得： R=415. （2）∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC ， ∵∠EGC=90 +β，∴α =90 +β 或 ∵ β<90 ， α =∠EGC>90 ， ∴ β < 90 < α.[拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角.。

九年级数学下册第27章圆基础训练试题

圆根底训练制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的间隔等于定长的点的集合；二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；〔3〕平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上一共4个定理，简称2推3定理：此定理中一共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD六、1、圆心角定理：同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧等，弦心距等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，那么可以推出其它AD的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或者等弧所对的圆周角相等；同圆或者等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或者直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或者∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：假设三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

2021-2022学年数学人教版九年级上册圆基础提升练(2)圆的有关性质提升练

基础提升练（2）圆的有关性质一、解答题1.如图，四边形ABCD是O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分BDF∠，AE CD⊥于点E.（1）求证：AB AC=.（2）若11DE=，求CD的长.BD=，2二、单选题2.下列关于圆的叙述中正确的是( )A.圆是由圆心唯一确定的B.圆是一条封闭的曲线C.平面内到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆D.圆内任意一点到圆心的距离都相等3.如图，AB为O的直径，弦CD ABBE=，则O的直径为( )⊥于点E，已知16CD=，4A.8B.10C.15D.204.如图，AB,CD是O的直径，AE BD=，若32∠=︒，则COE∠的度数是( )AOEA.32°B.60°C.68°D.64°5.如图，已知AOB COD∠=∠，下列结论不一定成立的是( )A.AB CD= B.AB CD=C.AOB COD≌ D.AOB，COD都是等边三角形6.如图,AB BC，是O的两条弦，AO BC⊥,垂足为D.若O的半径为5,8BC=,则AB的长为( )A.8B.10C.D.7.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O，则:AD AB=( )A.8.如图，在ABC中，90C∠=︒，DCEα∠=，以点C为圆心，BC长为半径的圆分别交AB于点D，交AC于点E，则A∠的度数为( )A.1452α- B.12a C.1452α+ D.1252α+9.如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD∠，则下列结论正确的是( )A.AB AD =B.BC CD =C.AB AD =D.BCA DCA ∠=∠10.如图,已知BC 是O 的直径,半径OA BC ⊥,点D 在劣弧A C 上(不与点A ,C 重合),BD 与OA 交于点E .设,AED AOD αβ∠=∠=,则( )A.3180αβ︒+=B.2180αβ︒+=C.390αβ︒-=D.290αβ︒-=11.如图，在O 中，AB 为直径，80AOC ∠=︒，点D 为弦AC 的中点，点E 为BC 上任意一点.则CED ∠的大小可能是( )A.10°B.20°C.30°D.40°三、填空题12.如图，在半圆O 中，AB 是直径，CD 是一条弦，若10AB =，则COD 面积的最大值是___________.13.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深1ED =寸，锯道长1AB =尺（1尺=10寸）.问这根圆形木材的直径是_________寸.14.如图，在O 中，AB CD =，有下列结论①AB CD =，②AC BD =；③AOC BOD ∠=∠，④AOB 通过旋转能与COD 重合，其中正确的结论有___________（填序号）.15.如图，AB 是O 的弦，半径,//OC AB AC OB ⊥，则BOC ∠的度数为___________.参考答案1.答案：（1）证明：DA 平分BDF ∠，ADF ADB ∴∠=∠.180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC ADF ∠+∠=︒，ABC ADF ∴∠=∠.ACB ADB ∠=∠，ABC ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=.（2）解：如图，过点A 作AG BD ⊥，垂足为G .DA 平分BDF ∠，AE CF ⊥，AG BD ⊥，AG AE ∴=，90AGB AEC ∠=∠=︒.在AED 和AGD 中，AE AG =，AD AD =，90AGD AED ∠=∠=︒，Rt Rt (HL)AED AGD ∴≅，2GD ED ∴==.在AEC 和AGB 中，AE AG =，AB AC =，90AGB AEC ∠=∠=︒，Rt Rt (HL)AEC AGB ∴≅，BG CE ∴=.11BD =，1129BG BD GD ∴=-=-=，9CE BG ∴==，927CD CE DE ∴=-=-=.解析：2.答案：B解析：①圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是“圆面”；②“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上.3.答案：D解析：如图，连接OC .AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E , 182CE CD ∴==.设O 的半径为r ，则OC OB r ==.222OC OE CE =+，即222(4)8r r =-+，解得10r =，O ∴的直径为220r =.故选D.4.答案：D解析：AE BD =，32BOD AOE ∴∠=∠=︒.BOD AOC ∠=∠，32AOC ∴∠=︒，323264COE ∴∠=︒+︒=︒.故选D.5.答案：D解析：AOB COD ∠=∠，AB CD ∴=,AB CD =.OA OB OC OD ===，AOB COD ∴≌，∴选项A, B,C 成立；AOB ∠和COD ∠不一定等于60°，AOB ∴，COD 不一定是等边三角形，∴选项D 不一定成立.故选D.6.答案：D解析：连接OB .0,8904A BC BC BDO BD CD ⊥=∠=︒==，，.在Rt BOD 中由勾股定理，得3,538OD AD OA OD ==∴=+=+=在Rt ADB 中，由勾股定理，得AB ==.故选D.7.答案：B解析：如图，连接OA ，OB ，OD ，过O 作OH AB ⊥于H .由垂径定理得12AH BH AB ==，60AOH BOH ∠=∠=︒，30OAB ∴∠=︒，12OH OA ∴=，AH ∴=，2AB AH ∴=.又AOD 为2等腰直角三角形，AD ∴=，:AD AB ∴=.8.答案：A解析：9090DCE ACB BCD αα∠=∠=︒∴∠=︒-，，.BC DC =，()()1111801809045,222B BCD ∠∠αα∴=-=-+=+190452A B α∴∠=-∠=-.故选A. 9.答案：B解析：ACB ∠与ACD ∠的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，AB 与AD 不一定相等，故选项A,C,D 错误.AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，BC CD ∴=，故B 选项正确.故选B.10.答案：D解析：OA BC ⊥，90AOB AOC ∴∠=∠=︒，909090DBC BEO AED α∴∠=︒-∠=︒-∠=︒-，21802COD DBC α∴∠=∠=-.90AOD COD ∠+∠=︒，180290,290βααβ∴+-=∴-=.故选D.11.答案：C解析：连接AE ，连接OD 分别交圆O 于点M ，N ，连接CM ，如图.80AOC ∠=︒，40AEC ∴∠=︒，40CED AEC AED ∴∠=∠-∠<︒.又点D 为弦AC 的中点，1402COD AOC ∴∠=∠=︒，1202CMN COD ∴∠=∠=︒.CED ∠所对的弧大于CN ，CED CMN ∴∠>∠，即20CED ∠>︒.综上，2040CED ︒<∠<︒，故选C.12.答案：12.5解析：如图，作DH CO ⊥交CO 的延长线于点H .12COD S OC DH =⋅，且DH OD ≤，∴当DH OD =时，COD 的面积最大，此时COD 是等腰直角三角形，90COD ∠=︒，∴面积的最大值为15512.52⨯⨯=.故答案为12.5.13.答案：26解析：本题考查垂径定理、勾股定理.由题意可知.OE AB OE ⊥为O 半径，AD BD ∴==1122AB =尺=5寸.设半径OA OE r ==寸，1ED =寸，(1)OD r ∴=-寸，在Rt OAD 中，根据勾股定理可得222(1)5r r -+=，解得13,r =∴木材直径为26寸.14.答案：①②③④ 解析：在O 中，,AB CD AB CD =∴=，∴①正确；BC 为公共弧，AC BD AOC BOD ∴=∴∠=∠，，∴②正确，③正确；OA OB OC OD AOB COD ===∠=∠，，AOB COD ∴≌，AOB ∴通过旋转能与COD 重合，∴④正确.15.答案：60°解析：设AB 交OC 于点K .OC AB ⊥，.//AK BK AC OB ∴=，CAK OBK ∴∠=∠.又AKC BKO ∠=∠，(ASA)AKC BKO ∴≅，11.,22OK KC OC OB OC OK OB ∴===∴=.在Rt OBK 中，1sin ,30,602OK OBK OBK BOC OB ∠==∴∠=∴∠=.。

九年级数学下册第24章圆集训课堂测素质圆及圆的基本性质习题新版沪科版

19 (12分)如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C， OD交⊙O于点D，点E在⊙O上． (1)若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；解：∵OD⊥AB，∴A︵D＝B︵D. ∴∠DEB＝12∠AOD＝12×54°＝27°.
(2)若CD＝2，AB＝8，求⊙O的半径．解：设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2. ∵OD⊥AB，∴AC＝12AB＝4，∠ACO＝90°. 在 Rt△ AOC 中，AO2＝AC2＋OC2， ∴r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5. ∴⊙O 的半径是 5.
20 (12分)【2021·荆门】如图，在△ABC中，∠BAC＝
90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边
︵
于另一点F，且F是AE的中点，AD是⊙O的一条直径，
连接DE并延长交AB边于M点．
(1)求证：四边形CDMF为平行四边形；
证明：如图，连接DF.
∵∠BAC＝90°，∴FC是⊙O的直径．
沪科版九年级
第24章圆
集训课堂
测素质
圆及圆的基本性质
习题链接
温馨提示：点击进入讲评
1C 2A 3D 4B
5D 6A 7B 8A
答案呈现
9D
10 D 11 60° 12 50°
习题链接
温馨提示：点击进入讲评
13 (0，8)
17
14 AC＝AE
18
15 20°
19
16 4
20
答案呈现
1 如图，在以原点为圆心，2 为半径的⊙O 上有一点 C， ∠COA＝45°，则点 C 的坐标为( C ) A．( 2， 2) B．( 2，－ 2) C．(－ 2， 2) D．(－ 2，－ 2)
11 已知⊙O中最长的弦是12 cm，弦AB＝6 cm，则 ∠AOB＝____6_0_°__．

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 下列说法中正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，它们所对的弦也相等D．等弦所对的圆心角相等2. 2019·葫芦岛如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为()A．70°B．55°C．45°D．35°3. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1等于()A．36°B．54°C．72°D．73°4. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为()A．6 2 B．3 2 C．6 D．125. 在半径等于5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )A ．60°或120°B ．30°或120°C ．60°D ．120°6. 如图，在⊙O 中，如果AB ︵＝2AC ︵，那么( )A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB ＜2ACD ．AB ＞2AC7. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 38.如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF .若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是( )A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°9. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 310. 甲、乙、丙三个牧民用同样长为l 米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围成面积为S 1的圆形草地，乙牧民围成面积为S 2的正方形草地，丙牧民围成面积为S 3的矩形(不是正方形)草地，则下列结论正确的是( ) A ．S 1＞S 3＞S 2 B ．S 2＞S 1＞S 3 C ．S 3＞S 1＞S 2D ．S 1＞S 2＞S 311. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°12.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC ＝124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°二、填空题（本大题共6道小题）13.如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________．14. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．15. 如图，AB为⊙O 的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD的距离为________．16. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，则∠AOB 的度数为________．17. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．18. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.三、解答题（本大题共3道小题）19. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.20. 如图，AB是⊙O 的直径，AC 是弦，将劣弧AC 沿弦AC 翻折与AB 的交点恰好是圆心O ，作OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接BC ，CD .求证：四边形BCDO 是菱形．21. 如图，点E 是△ABC 的内心，线段AE 的延长线交BC 于点F (∠AFC ≠90°)，交△ABC 的外接圆于点D .(1)求点F 与△ABC 的内切圆⊙E 的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】A[解析] ∵∠A＝22.5°，∴∠COE＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∠CEO＝90°.∵∠COE＝45°，∴CE＝OE.在Rt△COE中，由勾股定理，得CE2＋OE2＝OC2，∴2CE2＝62，解得CE＝3 2，∴CD＝2CE＝6 2.故选A.5. 【答案】A6. 【答案】C[解析] 取AB ︵的中点D ，则AD ︵＝BD ︵＝AC ︵，所以AD ＝BD ＝AC ，而AD ＋BD ＞AB ，所以2AC ＞AB .7. 【答案】C8. 【答案】B9. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB 2－OE 2＝62－22＝4 2， ∴AB ＝8 2.故选B.10. 【答案】D [解析] 本题中甲的草地：2πr ＝l ，r ＝l 2π，S 1＝π·r 2＝l 24π；乙的草地：S 2＝l 4×l 4＝l 216；丙的草地：设一边长为x ，则S 3＝x (l 2－x )＝－x 2＋l 2x .只有当x ＝l 4时，S 3取得最大值，此时S 3＝l 216，但此时矩形为正方形，不符合题意．所以S 1＞S 2＞S 3.11. 【答案】B12. 【答案】C[解析] ∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC ＝2∠IAC ，∠ACB ＝2∠ICA . ∵∠AIC ＝124°，∴∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－2(∠IAC ＋∠ICA )＝180°－2(180°－∠AIC )＝68°.又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDE＝∠B＝68°.二、填空题（本大题共6道小题）13. 【答案】 5【解析】本题考查垂径定理、弦、弦心距的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等内容. 解题思路：过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别是F、G. 连接OD.解图⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB⊥CDOF⊥ABOG⊥CD⇒四边形OFEG是矩形AB＝CD⇒OF＝OG⇒⎭⎬⎫矩形OFEG是正方形⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫CE＝1ED＝3⇒CD＝4AB⊥CD⇒GD＝12CD＝2⇒EG＝1⇒OG＝GE＝1⇒OD＝OG2＋DG2＝12＋22＝ 5.14. 【答案】40°15. 【答案】316. 【答案】60°[解析] ∵OA⊥BC，∴AB︵＝AC︵，∴∠AOB＝2∠ADC.∵∠ADC ＝30°，∴∠AOB＝60°.17. 【答案】8[解析] 由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP最大，此时∠P AB＝90°.过点C作CD⊥AB于点D，可求得AB＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.18. 【答案】8[解析] 连接AD ，如图所示．∵以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ， ∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.又∵OA ＝OB ，∴OD ∥AC ， ∴OD ⊥BE ，∴BM ＝EM ， ∴CE ＝2MD ＝4， ∴AE ＝AC －CE ＝6，∴BE ＝AB2－AE2＝102－62＝8.三、解答题（本大题共3道小题）19. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD. ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵， ∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.20. 【答案】证明：如图，连接AD ，OC .∵OD⊥AC，∴AE＝EC.由翻折的性质，得AC是OD的垂直平分线，∴OE＝DE，∴四边形OADC是平行四边形，∴OA∥CD，OA＝CD.∵OA＝OB，∴OB＝CD，OB∥CD，∴四边形BCDO是平行四边形．又∵OB＝OD，∴四边形BCDO是菱形．21. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．。

24.1 圆的有关性质人教版九年级数学上册素养基础达标(含答案)

24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB （2）∵OA =OB∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径弦注意：1.弦和直径都是线段；2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.直径是最长的弦定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。

以A 、B 为端点的弧记作读作“圆弧AB ”或“弧AB ”.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧小于半圆的弧叫做劣弧,如弧优弧大于半圆的弧叫做优弧，如等圆定义;能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧注意：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.3.垂直于弦的直径圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理数学语言：∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，(条件)∴AP =BP ，(结论)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论数学语言：∵CD是⊙O的直径，AP=BP ，AB 不是直径(条件)∴CD ⊥AB ，(结论)弓形中的重要数量关系弦长a ，弦心距d （指圆心O 到弦的距离），弓形高h ，半径r 之间有以下关系：d +h =r ,4.圆心角、弧、弦圆是中心对称图形圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆心角定义顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．弧、弦与圆心角的关系定理数学语言：∵∠AOB =∠COD∴，AB =CD推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．数学语言：∵∴∠AOB =∠COD ，AB =CD 弧、弦与圆心角关系定理的推论推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．∵AB =CD∴∠AOB =∠COD ，（优弧或劣弧）注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.5.圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即：圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角定理的推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补.∠A +∠C =180°，∠B +∠D =180°一．选择题（共10小题）1．如图，是半圆的直径，是的中点，若，则的度数是 A ．B ．C ．D ．2．如图，中，为优弧上一个动点（不与，两点重合），，垂足为，是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是 A ．4B ．C ．6D ．83．如图，中，，，则的度数为A．B．C．D．4．如图，中，弦，相交于点，若，，则等于 A．B．C．D．5．如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为 A．B．C．D．6．如图，是半圆的直径，，在半圆上．若，则的度数为 A．B．C．D．7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为 A．B．C．D．8．如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等，则下列等式正确的是 A．B．C．D．9．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于，两点．点，的度数是，，这样小明就能得到的度数，请你帮忙算算的度数是 A．B．C．D．10．如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是 A．或B．C．D．二．填空题（共8小题）11．如图，量角器外沿上有、两点，它们的读数分别是、，则的度数为．12．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．13．如图，的弦垂直平分半径，若，则的半径为．14．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为．15．如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是．16．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为．17．如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是．18．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为．三．解答题（共8小题）19．如图，中，弦与相交于点，，连接，．求证：（1）；（2）．20．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）21．如图，在中，弦、相交于点，，，求的度数．22．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．23．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．24．已知线段、为的弦，且，求证：．25．如图，点、、、、都在上，平分，且，求证：．26．如图，、、、在上，，，求的周长．24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB（2）∵OA =OB ∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

九2班圆的有关性质的基础训练

人教版九年级数学上册 24.1圆的有关性质同步训练(含答案)

圆的有关性质练习及答案(供参考)

人教版九年级上册数学 24.1圆的有关性质 专项训练(附答案)

人教版 九年级上册数学 24.1 圆的有关性质 课时训练(含答案)

人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 课时训练(含答案)

人教版 九年级数学 上册24.1 圆的有关性质 针对训练 (含答案)

《圆有关性质》基础训练题

(完整版)圆的基本性质练习题一

九年级数学圆专题训练

九年数学双基目标训练与解析圆的基本概念和性质二

人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 课时训练(含答案)

九年级数学上册 圆的有关性质以及相关练习 人教新课标版

九年级数学下册 第27章 圆基础训练 试题

2021-2022学年数学人教版九年级上册 圆 基础提升练(2)圆的有关性质 提升练

九年级数学下册第24章圆集训课堂测素质圆及圆的基本性质习题新版沪科版

最新数学巩固初三年级训练《圆的有关性质》

人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 课时训练(含答案)

24.1 圆的有关性质 人教版九年级数学上册素养基础达标(含答案)

人教版九年级上册数学 24.1圆的有关性质专项训练(附答案)

人教版九年级上册数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

人教版九年级数学上册24.1 圆的有关性质针对训练 (含答案)

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

九年级数学上册圆的有关性质以及相关练习人教新课标版

九年级数学下册第27章圆基础训练试题

2021-2022学年数学人教版九年级上册圆基础提升练(2)圆的有关性质提升练

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课时训练(含答案)

24.1 圆的有关性质人教版九年级数学上册素养基础达标(含答案)