【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:2.1.2 第2课时 离散型随机变量的分布列习题课
高中数学选修(A版)2-3课后习题答案
F 炉■象■ r >—可活 1.2 (SB 27 35 > A 蛆 5^+4A1^5X6O-H4X 12=348!AJ 十AJ 十Aj 十N =4+12+24十趴=6心Gs =45S|(2) C^S Q =(3^Q = 1 313 4001 5CH 蜀d L CT 』C :n . 十 E M £t A ::!-A : = (n*l )A :-A :=MA : = rt T A :-i i<a±L )! _ H ! _ (♦+1)—* 项 _ 3T 十】)m 妇 P-i )「 加 ki ‘ 4. 由于4列火车答不棚同,所以停放的方法与场序有关,有A ; = l 6S0〔种)不同的停法.5. Ai=2+.6. 由于书架是单层的,所以问题相当于00个元素的金排列,有幡种不同的推法.7-可以分三拒完成:第一澄.安排4个音乐节目.共有用衿排法,第二步.安排蹄昭节目,共有Aj 种排法'第三步,安排曲艺节目.共有用种排法,所以不同的排法有A : ♦ A :* AJ=288 (神).&由于IT 个不同元素的全排列共有,H 个.而汜玄%所以由井个不同的数值可以以不同的瑚序彩成其 余的每一行,并且任就两I 行的顺序都不同.I 为使每一行那不重复,m 可以取的髭大值是由.9. H )由于圆上的任意3点不共线,圆的弦的端点没有廉序,所以共可以画赫,=45《条)不同的弦* {2)由于三角形的厦点没有廉序.所以可成画的圆内接三角形有C\ = 】20 (个L10. (1)凸五边形有$个IK 点,任意2个顶点的连线段中.除凸五也形的过外都是对免段.所以共有 MAtt a-s-5(条)t(跄同H )的理m 初得对角线为亡一村=知也(条).本嘶采用问接法更方便.IL 由于四雅人民币的面值都不相同,磁成的画值与顺序无关.所以可以分为四类面傲,分别曲】罪, 金米.3雅,4雅人民币组成,抹有不同的面ifiC!十CI 十U+C1-1S (ft ).12. (!)由“三个不共线的点确定一个平面七 所晚定的平面勺点的顾序无关.所以共阿浦定的平面敷 是 G =56 F由于四面体由四个匝点唯一确定,而与四个点的顺序无关.所以共可琳定的即面体个数屋 cu=Zia13. (D 由于匮出的人没有地位检异.所以是抿合问魄.不同方法数是Q = 10»<2>由于礼物互不相同.与分送的膜序有关系•所以是排列问题.不同方渣致是.秘=60,<3)由于5个人中每个人都有3种透拎,而且选择的时间肘别人没有馅响,所以是一个"可直宣排列•何购・不同方法数是3s -243,(4)由于只瓷取出元素,而不必等虐顺序,所以可以分两步取元素;第一步.从泰合A 中取.有 法,舞二步,从集皆E 中取,有冗垠法.所以共有取法时:种.■ 第(3)题是“可靠复排列”何JK.怛可以用分步乘楚计牧原理解决.14. 由于只旻选出要做的题目即可,所以是组合问飓,另外,可以分三步分别从第】, 2. 3鹿中选题. 不同的选法*1■数有目,G ・G = M ・h (D (Z) Z. Cl)(3)(4) X (1)is. rtif选出的人的地缺没有弟:岸.所以姑组合问翳,cu a *q-w»W共命2人可以从剩下的T人中任怠选择,所以共有CJ-Z】<W)选注1〈3)用闭接成.在W人透I人的法法中.把外甲和女乙摩不在内的去棹.就得到符合条件的监法数为。
2014-2015学年高中数学选修2-3 第2章 随机变量及其分布第二章2.1.2(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
小结
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两点分布中只有两个对应的结果,因此在解答此类问题
时,应先分析变量是否满足两点分布的条件,然后借助概率的 知识,给予解决.
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跟踪训练 1 设某项试验成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ
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方法二
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间接法
由分布列的性质,得 P(X≥2)=1-P(X<2)=1-[P(X=0)+P(X=1)] 1 4 37 =1-210+35= . 42
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2.1.2
【学习要求】
离散型随机变量的分布列(二)
1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.
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2.理解两点分布和超几何分布. 【学法指导】 两点分布是常见的离散型随机变量的概率分布, 如某队员在 比赛中能否胜出,某项科学试验是否成功,都可用两点分布 来研究.在产品抽样检验中,一般采用不放回抽样,则抽到 次品数服从超几何分布;在实际工作中,计算次品数为 k 的 概率,由于涉及产品总数,计算比较复杂,因而,当产品数 较大时,可用后面即将学到的二项分布来代替.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.两点分布,如果随机变量 X 的分布列为
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X P
0 1-p
1 p
则称离散型随机变量 X 服从 两点分布 .
填一填·知识要点、记下疑难点
2.一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其 n- k Ck C M N-M 中恰有 X 件次品,则 P(X=k)= ,k=0,1,2,…, Cn N m, 其中 m=min{M, n}, 且 n≤N, M≤N, n, M, N∈N*,
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件
2 y2 x 1 , 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6,
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2
2 x (2)①双曲线C1: y 2 1,左顶点 A( 2 ,, 0) 渐近线方程: 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x , y 2x , 4 解方程组 得 y 1, y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点,经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案:②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ,所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程,可解得 b 1 , P( 6 , 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5[(x1+x2)2-4x1x2]=16 将①式代入②,解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 , ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2
高中数学人教A版选修2-3练习:1.2.2.2 组合的综合应用 Word版含解析
学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·中山高二检测)圆上有10个点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为()A.720B.360C.240D.120【解析】确定三角形的个数为C310=120.【答案】 D2.某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告.要求最后必须播放奥运广告,且2个奥运广告不能连续播放,则不同的播放方式有()A.120种B.48种C.36种D.18种【解析】最后必须播放奥运广告有C12种,2个奥运广告不能连续播放,倒数第2个广告有C13种,故共有C12C13A33=36种不同的播放方式.【答案】 C3.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种【解析】均为奇数时,有C45=5种;均为偶数时,有C44=1种;两奇两偶时,有C24·C25=60种,共有66种.【答案】 D4.(2016·青岛高二检测)将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子里,每个盒内放一个球,恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为()A.120 B.240C.360 D.720【解析】先选出3个球有C310=120种方法,不妨设为1,2,3号球,则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种.这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法,故共有120×2=240种方法.【答案】 B5.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同的组合方法种数为()A.C25C26B.C25A26C.C25A22C26A22D.A25A26【解析】分两步进行:第一步,选出两名男选手,有C25种方法;第二步,从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对,有A26种.故有C25A26种.【答案】 B二、填空题6.某单位有15名成员,其中男性10人,女性5人,现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是________.【解析】按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则需从10名男性中抽取4人,5名女性中抽取2人,共有C410C25=2 100种抽法.【答案】 2 1007.某球队有2名队长和10名队员,现选派6人上场参加比赛,如果场上最少有1名队长,那么共有________种不同的选法.【解析】若只有1名队长入选,则选法种数为C12·C510;若两名队长均入选,则选法种数为C410,故不同选法有C12·C510+C410=714(种).【答案】7148.现有6张风景区门票分配给6位游客,若其中A,B风景区门票各2张,C,D风景区门票各1张,则不同的分配方案共有________种.【解析】6位游客选2人去A风景区,有C26种,余下4位游客选2人去B 风景区,有C24种,余下2人去C,D风景区,有A22种,所以分配方案共有C26C24 A22=180(种).【答案】180三、解答题9.α,β是两个平行平面,在α内取四个点,在β内取五个点.(1)这些点最多能确定几条直线,几个平面?(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥?【解】(1)在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所确定直线才能达到最多,此时,最多能确定直线C29=36条.在此条件下,只有两直线平行时,所确定的平面才最多.又因为三个不共线的点确定一个平面,故最多可确定C24C15+C14C25+2=72个平面.(2)同理,在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所作三棱锥才能达到最多.此时最多能作C34C15+C24C25+C14C35=120个三棱锥.10.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子;(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球.【解】(1)每个小球都有4种方法,根据分步乘法计数原理,共有46=4 096种不同放法.(2)分两类:第1类,6个小球分3,1,1,1放入盒中;第2类,6个小球分2,2,1,1放入盒中,共有C36·C14·A33+C26·C24·A24=1 560(种)不同放法.(3)法一按3,1,1,1放入有C14种方法,按2,2,1,1,放入有C24种方法,共有C14+C24=10(种)不同放法.法二(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板,将6个球分成四位,共有C35=10(种)不同放法.[能力提升]1.(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【解析】分两类进行分析:第一类是万位数字为4,个位数字分别为0,2;第二类是万位数字为5,个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2A34个偶数;当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有C13A34个偶数.故符合条件的偶数共有2A34+C13A34=120(个).【答案】 B2.如图1-2-1,A,B,C,D为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共有________种.图1-2-1【解析】四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥,其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求,如桥AC,BC,BD符合要求,而围成封闭三角形不符合要求,如桥AC,CD,DA,不符合要求,故共有C36-4=16种不同的建桥方案.【答案】163.(2016·孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中,若把顶点A,B,C,D,E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有________种. 【导学号:97270020】【解析】若用三种颜色,有C15A34种染法,若用四种颜色,有5·A44种染法,则不同的染色方法有C15A34+5·A44=240(种).【答案】2404.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?【解】(1)先排前4次测试,只能取正品,有A46种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有C24A22=A24种测法,再排余下4件的测试位置,有A44种测法.所以共有不同测试方法A46·A24·A44=103 680种.(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有不同测试方法C16·C34·A44=576种.。
2014-2015学年 高中数学 人教A版选修2-3 排列组合二项式课后作业
第一章 计数原理§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)一、基础过关1.某班有男生26人,女生24人,从中选一位同学为数学科代表,则不同选法的种数有( ) A .50 B .26 C .24 D .6162.已知x ∈{2,3,7},y ∈{-3,-4,8},则x ·y 可表示不同的值的个数为( )A .8B .12C .10D .9 3.某班小张等4位同学报名参加A 、B 、C 三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A 小组,则不同的报名方法有( ) A .27种B .36种C .54种D .81种 4.如图,一条电路从A 处到B 处接通时,可构成线路的条数为()A .8B .6C .5D .35.张华去书店,发现3本好书,决定至少买其中1本,则购买方式共有________种.6.4名学生参加跳高,跳远,游泳比赛,4人都来争夺这三项冠军,则冠军分配的种数有________. 二、能力提升7.植树节那天,四位同学植树,现有3棵不同的树,若一棵树限1人完成,则不同的植树方法种数有( ) A .1×2×3 B .1×3 C .34 D .43 8.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )A .56B .65C .5×6×5×4×3×22D .6×5×4×3×29.如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.10. 如图是某校的校园设施平面图,现用不同的颜色作为各区域的底色,为了便于区分,要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有6种不同的颜色可选,问有多少种不同的着色方案?11.已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )表示平面上的点(a ,b ∈M ), (1)P 可以表示平面上的多少个不同点? (2)P 可以表示平面上的多少个第二象限的点? (3)P 可以表示多少个不在直线y =x 上的点?12.设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),a ∈{1,2,3,4,5,6,7},b ∈{1,2,3,4,5},这样的椭圆共有多少个?三、探究与拓展13.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法?§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)一、基础过关1.火车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有( )A .510种B .105种C .50种D .500种 2.已知集合M ={1,-2,3},N ={-4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ( ) A .18 B .17 C .16 D .10 3.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是( )A .25B .20C .16D .124.某城市的电话号码,由六位升为七位(首位数字均不为0),则该城市可以增加的电话部数是________.5.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A ,B ,C ,所得经过坐标原点的直线有________条.6.从1,2,3,4,7,9六个数中,任意两个不同数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数为________. 二、能力提升7.如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A ,B ,C ,D ,E ,F ,如果某个焊接点脱离,整个电路就会不通,现发现电路不通了,那焊接点脱落的可能性共有( ) A .63种 B .64种 C .6种 D .36种 8.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,则这样的四位数有()A .36个B .18个C .9个D .6个9.A ={-1,0,1},B ={2,3,4,5,7},若f 表示从集合A 到集合B 的映射,那么满足x +f (x )+xf (x )为奇数的映射有________个.10.用数字1,2,3可以写出多少个小于1 000的正整数?11.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想先选定吉利号18,然后从01至17中选3个连续的号,从19至29中选2个连续的号,从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把符合这种要求的注全买下,至少要花多少元钱?12.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的选择?三、探究与拓展13.已知集合A ={a 1,a 2,a 3,a 4},集合B ={b 1,b 2},其中a i ,b j (i =1,2,3,4,j =1,2)均为实数.(1)从集合A 到集合B 能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合A 为定义域,集合B 为值域的不同函数?习题课 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、基础过关1.如图,小圆点表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可沿不同的路径同时传递,则单位时间传递的最大信息量是()A .26B .24C .20D .19 2.已知x ∈{1,2,3,4},y ∈{5,6,7,8},则xy 可表示不同值的个数为( )A .2B .4C .8D .153.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a ,b )的坐标,能够确定不在x 轴上的点的个数是( ) A .100B .90C .81D .724.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( ) A .48B .18C .24D .365.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( )A .24种B .30种C .36种D .48种6.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,如图是一种填法,则不同的填写方法共有()A .6种B .12种C .24种D .48种二、能力提升7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有________种.8.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有______种不同的取法.9.某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人,其中甲、乙两人不能参加生物竞赛.则不同的选派方法共有________种.10.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对. 11.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形个数是多少?12.从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,任取3个不同的数作为抛物线方程y =ax 2+bx +c 的系数,如果抛物线经过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条?三、探究与拓展13.(1)从5种颜色中选出三种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上染一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,求不同的染色方法总数.(2)从5种颜色中选出四种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上染一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,求不同的染色方法总数.§1.2 排列与组合 1.2.1 排列(一)一、基础过关1.A 67-A 56A 45等于( )A .12B .24C .30D .36 2.18×17×16×…×9×8等于( )A .A 818B .A 918C .A 1018D .A 1118 3.若x =n !3!,则x 等于( )A .A 3nB .A n -3nC .A n 3D .A 3n -3 4.与A 310·A 77不等的是( ) A .A 910B .81A 88C .10A 99D .A 1010 5.若A 5m =2A 3m ,则m 的值为( )A .5B .3C .6D .76.计算:2A 59+3A 699!-A 610=________; (m -1)!A n -1m -1·(m -n )!=________. 7.若A m n =17×16×15×…×5×4,则n =________,m =________.8.若n ∈N *,且55<n <69,则(55-n )(56-n )…(68-n )(69-n )用排列数符号表示为________. 二、能力提升9.将5本不同的数学用书放在同一层书架上,则不同的放法有 ( ) A .50 B .60 C .120 D .90 10.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A .8B .24C .48D .12011.有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招聘一名新员工,且3名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有________种不同的招聘方案(用数字作答).12.若2<(m +1)!A m -1m -1≤42,则m 的解集是________. 13.判断下列问题是否为排列问题:(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同); (2)选2个小组分别去植树和种菜; (3)选2个小组去种菜; (4)选10人组成一个学习小组;(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员; (6)某班40名学生在假期相互通信.三、探究与拓展14.两名老师和两名学生合影留念,写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法,并回答共有多少种?1.2.1 排列(二)一、基础过关1.把4个不同的黑球,4个不同的红球排成一排,要求黑球、红球分别在一起,不同的排法种数是 ( ) A .A 88B .A 44A 44C .A 44A 44A 22D .以上都不对 2.6个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法总数为( ) A .A 33 B .A 36 C .A 46D .A 443.某省有关部门从6人中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个地区调研十二五规划的开局形势,要求每个地区只有一人,每人只去一个地区,且这6人中甲、乙两人不去A 地区,则不同的安排方案有 ( ) A .300种 B .240种 C .144种D .96种4.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )A .A 88A 29 B .A 88A 210 C .A 88A 27D .A 88A 265.5人站成一排,甲必须站在排头或排尾的不同站法有______种.6.从0、1、2、3这四个数中选三个不同的数作为函数f (x )=ax 2+bx +c 中的参数a 、b 、c ,可组成不同的二次函数共有________个. 二、能力提升7.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20 000大的五位偶数共有 ( )A .48个B .36个C .24个D .18个 8.五名男生与两名女生排成一排照相,如果男生甲必须站在中间,两名女生必须相邻,符合条件的排法共有( )A .48种B .192种C .240种D .288种9.5名大人要带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头、尾,则共有________种排法(用数字作答). 10.3个人坐8个位置,要求每人的左右都有空位,则有______种坐法.11.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有________种.12.7名班委中有A 、B 、C 三人,有7种不同的职务,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从A 、B 、C 三人中选两人担任,有多少种分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选A 、B 、C 三人中的一人担任,有多少种分工方案?三、探究与拓展13.用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数? (3)能组成多少个比1 325大的四位数?1.2.2 组合(一)一、基础过关1.下列计算结果为21的是( ) A .A 24+C 26B .C 77 C .A 27D .C 272.下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合;②5个队进行单循环足球比赛的分组情况;③由1,2,3构成两位数的方法;④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法. A .①③ B .②④ C .①②D .①②④3.已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线,则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( ) A .3B .4C .12D .24 4.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有( )A .A 310种B .C 310种 C .C 310A 310种D .30种5.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( )A .36种B .48种C .96种D .192种 6.组合数C r n (n >r ≥1,n 、r ∈Z )恒等于( )A .r +1n +1C r -1n -1B .(n +1)(r +1)C r -1n -1C .nr C r -1n -1D .n r C r -1n -1二、能力提升7.已知集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={1,2}.若集合M 满足B M A ,则这样的不同的集合M 共有( ) A .12B .13C .14D .158.集合A ={x |x =C n 4,n 是非负整数},集合B ={1,2,3,4},则下列结论正确的是( ) A .A ∪B ={0,1,2,3,4} B .A B C .A ∩B ={1,4}D .A B9.设x ∈N *,则C x -12x -3+C 2x -3x +1的值为________.10.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________. 11.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m 个不同的积;任取两个不同的数相除,有n 个不同的商,则m ∶n =________12.已知集合A ={0,2,4,6,8},从集合A 中取出两个元素组成集合B ,试写出所有的集合B .三、探究与拓展13.第20届世界杯足球赛将于2014年夏季在巴西举办,共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,问这届世界杯总共将进行多少场比赛?1.2.2 组合(二)一、基础过关1.凸十边形的对角线的条数为( )A .10B .35C .45D .90 2.在直角坐标系xOy 平面上,平行直线x =m (m =0,1,2,3,4),与平行直线y =n (n =0,1,2,3,4)组成的图形中,矩形共有( ) A .25个B .100个C .36个D .200个3.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为( ) A .14B .24C .28D .484.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 ( ) A .232B .252C .472D .4845.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有___种.6.某运动队有5对老搭档运动员,现抽派4个运动员参加比赛,则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________. 二、能力提升7.编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有( ) A .60种 B .20种 C .10种 D .8种8.已知圆上9个点,每两点连一线段,所有线段在圆内的交点有( )A .36个B .72个C .63个D .126个 9.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排两名学生,那么互不相同的分配方案共有( ) A .252种B .112种C .20种D .56种10.空间有10个点,其中有5个点共面(除此之外再无4点共面),以每4个点为顶点作一个四面体,一共可作________个四面体.(用数字作答)11.在某次数字测验中,记座号为n (n =1,2,3,4)的同学的考试成绩为f (n ).若f (n )∈{70,85,88,90,98,100},且满足f (1)<f (2)≤f (3)<f (4),则这4位同学考试成绩的所有可能有________种.12.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加; (5)甲、乙、丙三人至少1人参加.三、探究与拓展13.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图所示的九个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下依次增大.当3,4固定在图中位置时,所填写空格的方法有()A .6种B .12种C .18种D .24种习题课 排列与组合一、基础过关 1.若C 7n +1-C 7n =C 8n ,则n 等于 ( ) A .12 B .13 C .14 D .15 2.C 03+C 14+C 25+C 36+…+C 1720的值为( ) A .C 321B .C 320C .C 420D .C 421 3.5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 ( )A .480种B .240种C .120种D .96种4.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,不同的选法有 ( ) A .C 310种 B .A 310种 C .A 27·A 13种 D .C 27·C 13种 5.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 ( )A .300B .216C .180D .1626.下面给出了4个式子:①C n +2m +2=C n +2m +1+C n +1m +1; ②C n +1m +1=C n +1m +C nm ;③C n -1m -1=C n -1m -2+C n -2m -2;④C m n =C m n -1+C m -1n -1.其中正确式子的代号为________(将正确的代号全填上). 二、能力提升7.房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,至少开一个灯用以照明,则不同的开灯方法种数为 ( ) A .32B .31C .25D .108.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( )A .12种B .18种C .36种D .54种 9.将0,1,2,3,4,5这六个数字,每次取三个不同的数字,把其中最大的数字放在百位上排成三位数,这样的三位数有( ) A .40个B .120个C .360个D .720个10.某公司为员工制定了一项旅游计划,从7个旅游城市中选择5个进行游览.如果M 、N 为必选城市,并且在游览过程中必须按先M 后N 的次序经过M 、N 两城市(M 、N 两城市可以不相邻),则不同的游览线路种数是( ) A .120B .240C .480D .60011.某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该公司不同的投资方案种数是________种.(用数字作答) 12.要从7个班中选10人参加数学竞赛,每班至少1人,共有多少种不同的选法?13.赛艇运动员10人,3人会划右舷,2人会划左舷,其余5人两舷都能划,现要从中选6人上艇,平均分配在两舷上划浆,有多少种不同的选法?三、探究与拓展14.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法? (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?§1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理一、基础过关1.(x +2)6的展开式中x 3的系数是( )A .20B .40C .80D .160 2.⎝⎛⎭⎫2x -12x 6的展开式的常数项是( )A .20B .-20C .40D .-40 3.若(1+2)4=a +b 2 (a 、b 为有理数),则a +b 等于( )A .33B .29C .23D .19 4.在(1-x )5-(1-x )6的展开式中,含x 3的项的系数是 ( ) A .-5 B .5C .-10D .105.(x -2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A .840B .-840C .210D .-210 二、能力提升6.设S =(x -1)3+3(x -1)2+3(x -1)+1,则S 等于( )A .(x -1)3B .(x -2)3C .x 3D .(x +1)3 7.(1+2x )3(1-3x )5的展开式中x 的系数是( )A .-4B .-2C .2D .48.在⎝⎛⎭⎫3x 2-12x 3n 的展开式中含有常数项,则正整数n 的最小值为( )A .4B .5C .6D .79.若(1-2x )5的展开式中,第2项小于第1项,且不小于第3项,则x 的取值范围是( )A .x <-110B .-110<x ≤0C .-14≤x <110D .-14≤x ≤010.(1+x +x 2)(x -1x)6的展开式中的常数项为________.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x +23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等,求x 的一次项系数.12.设a >0,若(1+ax 12)n 的展开式中含x 2项的系数等于含x 项的系数的9倍,且展开式中第3项等于135x ,求a 的值.三、探究与拓展13.已知f (x )=(1+2x )m +(1+4x )n (m ,n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36,求展开式中含x 2项的系数最小值.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、基础过关1.已知(a +b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n 等于 ( )A .11B .10C .9D .82.已知⎝⎛⎭⎪⎫x +33x n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于( )A .4B .5C .6D .7 3.(x -1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A .-2 048B .-1 023C .-1 024D .1 0244.(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n 的展开式中各项系数和为( )A .2n +1 B .2n -1 C .2n +1-1 D .2n +1-25.若⎝⎛⎭⎫x +1x n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为 ( )A .10B .20C .30D .1206.(1+2x )n 的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,展开式中二项式系数最大的项为第____项. 二、能力提升 7.在⎝⎛⎭⎪⎫1x +51x 3n 的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则中间项系数是( ) A .330 B .462 C .682 D .7928.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第______行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 19.已知(1+2x )100=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 100(x -1)100,求a 1+a 3+a 5+…+a 99的值.10.已知(1+3x )n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中二项式系数最大的项.11.设(1-2x )2 011=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2 011·x 2 011 (x ∈R )(1)求a 0+a 1+a 2+…+a 2 011的值; (2)求a 1+a 3+a 5+…+a 2 011的值; (3)求|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 2 011|的值.三、探究与拓展12.已知(3x +x 2)2n 的展开式的系数和比(3x -1)n 的展开式的系数和大992,求⎝⎛⎭⎫2x -1x 2n 的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.习题课 二项式定理一、基础过关1.已知C 0n +2C 1n +22C 2n +…+2n C n n =729,则C 1n +C 3n +C 5n 的值等于( ) A .64 B .32 C .63 D .31 2.233除以9的余数是( ) A .1 B .2 C .4 D .83.(1-x )5+(1-x )6+(1-x )7+(1-x )8的展开式中x 3项的系数是( )A .74B .121C .-74D .-1214.若(1+a )+(1+a )2+(1+a )3+…+(1+a )n =b 0+b 1a +b 2a 2+b 3a 3+…+b n a n ,且b 0+b 1+b 2+…+b n =30,则自然数n 的值为( ) A .3B .4C .5D .65.若(x +3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a +b )10的展开式中二项式系数的和,则n 的值为( ) A .15B .10C .8D .56.(x +2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为________.二、能力提升7.(1+2x )2(1-x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7,则a 1-a 2+a 3-a 4+a 5-a 6+a 7等于( ) A .32B .-32C .-33D .-31 8.(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数是( )A .-4B .-3C .3D .49.已知(1+x +x 2)⎝⎛⎭⎫x +1x 3n 的展开式中没有..常数项,n ∈N *,且2≤n ≤8,则n =________. 10.求证:32n +2-8n -9 (n ∈N *)能被64整除.11.已知⎝⎛⎭⎪⎫x +23x n的展开式的前三项系数的和为129,试问这个展开式中是否有常数项?有理项?如果没有,请说明理由;如果有,求出这一项.12.在二项式⎝⎛⎭⎫12+2x n 的展开式中, (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.三、探究与拓展13.若等差数列{a n }的首项为a 1=C 11-2m5m-A 2m -211-3m (m ∈N *),公差是⎝ ⎛⎭⎪⎫52x -253x 2n 展开式中的常数项,其中n 为7777-15除以19的余数,求数列{a n }的通项公式.章末检测一、选择题1.若A 3m =6C 4m ,则m 等于( )A .9B .8C .7D.62.男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有 ( ) A .2人或3人 B .3人或4人 C .3人 D .4人3.若100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( )A .C 16C 294 B .C 16C 299 C .C 3100-C 394D .C 3100-C 2944.已知集合M ={1,-2,3},N ={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,第一、第二象限不同点的个数是( ) A .18B .16C .14D .10 5.三名教师教六个班的数学,则每人教两个班,分配方案共有( )A .18种B .24种C .45种D .90种 6.在(1-x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n 中,若2a 2+a n -5=0,则自然数n 的值是( ) A .7 B .8 C .9 D .107.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5个电子邮件,发送的方法的种数为 ( ) A .8 B .15 C .243 D .125 8.设(2-x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,则|a 1|+|a 2|+…+|a 6|的值是( )A .665B .729C .728D .639.将A ,B ,C ,D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球且A ,B 不能放入同一个盒子中,则不同的放法有( ) A .15种B .18种C .30种D .36种10.(x 2+2)⎝⎛⎭⎫1x 2-15的展开式的常数项是 ( )A .-3B .-2C .2D .311.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人,后排6人),若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )A .C 28A 23B .C 28A 66C .C 28A 26D .C 28A 2512.设n ∈N *,则7C 1n +72C 2n +…+7n C nn 除以9的余数为( )A .0B .2C .7D .0或7二、填空题13.⎝⎛⎭⎫2x -1x 6的二项展开式中的常数项为______.(用数字作答)14.8次投篮中,投中3次,其中恰有2次连续命中的情形有________种.15.5个人排成一排,要求甲、乙两人之间至少有一人,则不同的排法有________种.16.某药品研究所研制了5种消炎药a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,4种退烧药b 1,b 2,b 3,b 4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知a 1,a 2两种药必须同时使用,且a 3,b 4两种药不能同时使用,则不同的实验方案有________种. 三、解答题17.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x +3x 2n 展开式中的倒数第三项的系数为45,求:(1)含x 3的项; (2)系数最大的项.18.利用二项式定理证明:49n +16n -1(n ∈N *)能被16整除.19.已知(1-2x +3x 2)7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 13x 13+a 14x 14.(1)求a 0+a 1+a 2+…+a 14; (2)求a 1+a 3+a 5+…+a 13.20.一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?21.已知(1-2x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n (n ∈N *),且a 2=60.(1)求n 的值;(2)求-a 12+a 222-a 323+…+(-1)n a n2n 的值.22.用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面三个小题.(1)若数字允许重复,可以组成多少个不同的五位偶数;(2)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数;(3)若直线方程ax +by =0中的a 、b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字,则直线方程表示的不同直线共有多少条?。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列学案 新人教A版选修2-3-新
2.1.2 离散型随机变量的分布列1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程,并能简单的运用.,1.离散型随机变量的分布列(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,以表格的形式表示如下:X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:①p i≥0,i=1,2,…,n;(1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样,离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X=x i)=p i,i=1,2,…,n 和图象表示.(2)随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2.两个特殊分布(1)两点分布X 0 1P 1-p p若随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称X 服从两点分布,并称p =P (X =1)为成功概率.(2)超几何分布一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n -kN -MC n N,k =0,1,2,…,m ,即X 0 1 … mPC 0M C n -0N -MC n NC 1M C n -1N -MC n N…C m M C n -mN -MC n N其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量X 服从超几何分布.(1)超几何分布的模型是不放回抽样. (2)超几何分布中的参数是M ,N ,n .(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题,往往由差异明显的两部分组成.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.( ) (2)在离散型随机变量分布列中,在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积.( )(3)在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为1.( ) (4)超几何分布的模型是放回抽样.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A.ξ -1 0 1 P0.30.40.4B.ξ 1 2 3 P0.40.7-0.1C.ξ -1 0 1 P0.30.40.3D.ξ 1 2 3 P0.30.10.4答案:C若随机变量X 服从两点分布,且P (X =0)=0.8,P (X =1)=0.2.令Y =3X -2,则P (Y =-2)=________. 答案:0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人,其中O 型血的有15人,A 型血的有10人,B 型血的有12人,AB 型血的有8人.将O ,A ,B ,AB 四种血型分别编号为1,2,3,4,现从中抽1人,其血型编号为随机变量X ,求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1,2,3,4. P (X =1)=C 115C 145=13,P (X =2)=C 110C 145=29,P (X =3)=C 112C 145=415,P (X =4)=C 18C 145=845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i =1,2,…)以及每个取值所表示的意义. (2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P (X =x i )=p i (i =1,2,…). (3)写出分布列.(4)根据分布列的性质对结果进行检验.抛掷甲,乙两个质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记底面上的数字分别为x ,y .设ξ为随机变量,若x y 为整数,则ξ=0;若x y为小于1的分数,则ξ=-1;若x y为大于1的分数,则ξ=1. (1)求概率P (ξ=0); (2)求ξ的分布列.解:(1)依题意,数对(x ,y )共有16种情况,其中使x y为整数的有以下8种: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2), 所以P (ξ=0)=816=12.(2)随机变量ξ的所有取值为-1,0,1. 由(1)知P (ξ=0)=12;ξ=-1有以下6种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),故P (ξ=-1)=616=38;ξ=1有以下2种情况:(3,2),(4,3),故P (ξ=1)=216=18,所以随机变量ξ的分布列为ξ -1 0 1 P381218探究点2 离散型随机变量的分布列的性质设随机变量X 的分布列P (X =k5)=ak (k =1,2,3,4,5).(1)求常数a 的值;(2)求P (X ≥35);(3)求P (110<X <710).【解】 (1)由P (X =k5)=ak ,k =1,2,3,4,5可知,∑k =15P (X =k5)=∑k =15ak =a +2a +3a +4a +5a =1,解得a =115.(2)由(1)可知P (X =k 5)=k15(k =1,2,3,4,5),所以P (X ≥35)=P (X =35)+P (X =45)+P (X =1)=315+415+515=45. (3)P (110<X <710)=P (X =15)+P (X =25)+P (X =35)=115+215+315=25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围,还可以检验所求分布列是否正确.(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的,所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X =k )=ck (k +1),k=1,2,3,4,c 为常数,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<X <52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析:选B.由题意c 1×2+c 2×3+c 3×4+c4×5=1,即45c =1,c =54, 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<X <52=P (X =1)+P (X =2) =54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2+12×3=56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率.(2)记取得1号球的个数为随机变量X ,求随机变量X 的分布列.【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球,基本事件总数n =C 36=20,取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P =620=310. (2)由题意知X =0,1,2,3.P (X =0)=C 33C 36=120,P (X =1)=C 13C 23C 36=920,P (X =2)=C 23C 13C 36=920,P (X =3)=C 33C 36=120,所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P120920920 1201.[变问法]在本例条件下,记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列. 解:由题意知η=0,1,服从两点分布,又P (η=1)=C 25C 36=12,所以随机变量η的分布列为η 0 1 P12122.[变条件]将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球,每次抽取1个球”其他条件不变,结果又如何?解:(1)取出3个球颜色都不相同的概率P =C 13×C 12×C 11×A 3363=16. (2)由题意知X =0,1,2,3. P (X =0)=3363=18,P (X =1)=C 13×3×3×363=38. P (X =2)=C 23C 13×3×363=38, P (X =3)=3363=18.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P18383818求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布. (2)在超几何分布公式中,P (X =k )=C k M C n -kN -MC n N ,k =0,1,2,…,m ,其中,m =min{M ,n },且0≤n ≤N ,0≤k ≤n ,0≤k ≤M ,0≤n -k ≤N -M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布,只要代入公式即可求得相应概率,关键是明确随机变量X 的所有取值.(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛,文学院推荐了2名男生,3名女生,理学院推荐了4名男生,3名女生,文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训,由于集训后学生水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛,记X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列.解:(1)由题意,参加集训的男、女学生各有6人,参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为:C 33C 34C 36C 36=1100,因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为:1-1100=99100.(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,X 表示参赛的男生人数, 则X 的可能取值为:1,2,3.P (X =1)=C 13C 33C 46=15,P (X =2)=C 23C 23C 46=35,P (X =3)=C 13C 33C 46=15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则P (ξ=0)等于( )A .0 B.13 C.12D.23解析:选B.设P (ξ=1)=p ,则P (ξ=0)=1-p . 依题意知,p =2(1-p ),解得p =23.故P (ξ=0)=1-p =13.2.(2018·昆明质检)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,则P (X =4)的值为( ) A.1220 B.2755C.27220D.2125解析:选C.X =4表示取出的3个球为2个旧球1个新球,故P (X =4)=C 23C 19C 312=27220.3.随机变量η的分布列如下η 1 23 4 5 6 P0.2x0.350.10.150.2则x =________,P (η≤3)=________. 解析:由分布列的性质得0.2+x +0.35+0.1+0.15+0.2=1,解得x =0.故P (η≤3)=P (η=1)+P (η=2)+P (η=3)=0.2+0.35=0.55. 答案:0 0.554.某高二数学兴趣小组有7位同学,其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛,求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P (ξ<2). 解:由题意可知,ξ的可能取值为0,1,2,3. 则P (ξ=0)=C 04C 33C 37=135,P (ξ=1)=C 14C 23C 37=1235,P (ξ=2)=C 24C 13C 37=1835,P (ξ=3)=C 34C 03C 37=435.所以随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P13512351835435P (ξ<2)=P (ξ=0)+P (ξ=1)=135+1235=1335.知识结构深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1),还可以利用性质②求出分布列中的某些参数,也就是利用概率和为1这一条件求出参数. 2.超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数,只要知道N 、M 和n 就可以根据公式:P (X =k )=C k M C n -kN -MC n N 求出X 取不同值k 时的概率.学习时,不能机械地去记忆公式,而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义., [A 基础达标]1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X ,则X 所有可能取值的个数是( ) A .5 B .9 C .10D .25解析:选B.号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9种.2.随机变量X 所有可能取值的集合是{-2,0,3,5},且P (X =-2)=14,P (X =3)=12,P (X=5)=112,则P (X =0)的值为( )A .0 B.14C.16D.18解析:选C.因为P (X =-2)+P (X =0)+P (X =3)+P (X =5)=1,即14+P (X =0)+12+112=1,所以P (X =0)=212=16,故选C.3.设随机变量X 的概率分布列为则P (|X -3|=1)=A.712 B.512C.14D.16解析:选B.根据概率分布列的性质得出:13+m +14+16=1,所以m =14,随机变量X 的概率分布列为所以P (|X -3|=1)=P (X =4)+P (X =2)=12.故选B.4.若随机变量η的分布列如下:则当P (η<x )=0.8A .x ≤1 B .1≤x ≤2 C .1<x ≤2D .1≤x <2解析:选C.由分布列知,P (η=-2)+P (η=-1)+P (η=0)+P (η=1)=0.1+0.2+0.2+0.3=0.8, 所以P (η<2)=0.8,故1<x ≤2.5.(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球,其中白球5个,分别编号1,2,3,4,5;红球3个,分别编号1,2,3,现从袋子中任取3个小球,它们的最大编号为随机变量X ,则P (X =3)等于( )287C.1556 D.27解析:选D.X =3第一种情况表示1个3,P 1=C 12·C 24C 38=314,第二种情况表示2个3,P 2=C 22·C 14C 38=114,所以P (X =3)=P 1+P 2=314+114=27.故选D. 6.随机变量Y 的分布列如下:则(1)x =________(3)P (1<Y ≤4)=________.解析:(1)由∑6i =1p i =1,得x =0.1. (2)P (Y >3)=P (Y =4)+P (Y =5)+P (Y =6)=0.1+0.15+0.2=0.45. (3)P (1<Y ≤4)=P (Y =2)+P (Y =3)+P (Y =4)=0.1+0.35+0.1=0.55. 答案:(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表,其中a ,b ,c 成等差数列,且c =ab .则这名运动员得3分的概率是________. 解析:由题意得,2b =a +c ,c =ab ,a +b +c =1,且a ≥0,b ≥0,c ≥0, 联立得a =12,b =13,c =16,故得3分的概率是16.68.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,则P (X =2)=________.解析:设10个球中有白球m 个,则C 210-m C 210=1-79,解得:m =5.P (X =2)=C 25C 15C 310=512.答案:5129.设离散型随机变量X 的分布列为:试求:(1)2X +1的分布列; (2)|X -1|的分布列.解:由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m =1, 所以m =0.3. 列表为:(1)2X +1的分布列为:(2)|X -1|10.从集合{1,2,3,4,5}中,等可能地取出一个非空子集.(1)记性质r :集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r 的概率; (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ,求X 的分布列. 解:(1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A . 基本事件总数n =C 15+C 25+C 35+C 45+C 55=31.事件A 包含的基本事件是{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4},事件A 包含的基本事件数m =3.所以P (A )=m n =331.(2)依题意,X 的所有可能值为1,2,3,4,5. 又P (X =1)=C 1531=531,P (X =2)=C 2531=1031,P (X =3)=C 3531=1031,P (X =4)=C 4531=531,P (X =5)=C 5531=131.故X 的分布列为11.已知随机变量ξ只能取三个值x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,13 C .[-3,3]D .[0,1]解析:选B.设随机变量ξ取x 1,x 2,x 3的概率分别为a -d ,a ,a +d ,则由分布列的性质得(a -d )+a +(a +d )=1,故a =13,由⎩⎪⎨⎪⎧13-d ≥013+d ≥0,解得-13≤d ≤13.12.袋中装有5只红球和4只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得3分,取到1只黑球得1分,设得分为随机变量ξ,则ξ≥8的概率P (ξ≥8)=________. 解析:由题意知P (ξ≥8)=1-P (ξ=6)-P (ξ=4)=1-C 15C 34C 49-C 44C 49=56.答案:5613.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本,称出它们的质量(单位:g),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求质量超过505 g 的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y 为质量超过505 g 的产品数量,求Y 的分布列. 解:(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12(件).(2)随机变量Y 的可能取值为0,1,2,且Y 服从参数为N =40,M =12,n =2的超几何分布,故P (Y =0)=C 012C 228C 240=63130,P (Y =1)=C 112C 128C 240=2865,P (Y =2)=C 212C 028C 240=11130.所以随机变量Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313028651113014.(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X 表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量X 的分布列;(3)计算介于20分到40分之间的概率.解:(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A , 则P (A )=C 35C 12C 12C 12C 310=23.(2)由题意,知X 的所有可能取值为2,3,4,5, P (X =2)=C 22C 12+C 12C 22C 310=130, P (X =3)=C 22C 14+C 12C 24C 310=215, P (X =4)=C 22C 16+C 12C 26C 310=310, P (X =5)=C 22C 18+C 12C 28C 310=815. 所以随机变量X 的分布列为则P (C )=P (X =3)+P (X =4)=215+310=1330.。
人教版A版高中数学选修2-3:2.1.1 离散型随机变量(3)
4.二项分布的均值: 若X~B(n,p),则EX=np
例3.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选 项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答 案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分.学生甲 选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个 选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次英语单 元测验中的成绩的均值.
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则称 EX=x1 p1+x2 p2+…+xi pi+… 为X的均值或数 学期望,数学期望又简称为期望.
2.离散型随机变量的均值的性质: E(aX+b)=aEX+b
3.两点分布的均值: 若X服从两点分布,则EX=p
4.二项分布的均值: 若X~B(n,p),则EX=np
六、布置作业
方法二:先求解解答一个选择题的得分的均值,再 乘以20即可.
思考7:甲同学一定能得90分吗?
90分代表什么呢?
四、针对性训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ= 2.4 .
(2)若η=2ξ+1,则Eη= 5.8.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
3、 一个袋子里装有大小相同的3 个红 球和2个黄球,从中有放回地取每次一个, 共取5次,则取到红球次数的期望 是 3.
五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算: 1.离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2
在某些方面的类似特征.
【知识拓展】类比推理的基本逻辑形式及适用前提
(1)类比推理的基本逻辑形式
A类事物具有性质a,b,c,d
B类事物具有性质a′,b′,c′
所以B类事物可能具有性质d′.(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相
似或相同)
(2)类比推理的适用前提 ①两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相 似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推 断另一类对象也可能具有的特性. ②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.
知识点2
类比推理
类比推理的三个特点
(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研
究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
(2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、
向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的
问题及其研究方法.
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定
2.合情推理
观察 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过_____、 含 _____ 、_____, 然后提出 分析、比较、_____, 联想再进行_____ 归纳 类比 义 _____ 猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推 理是指“合乎情理”的推理 过 程 从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比
2.方法一:图(1)中的圆圈数为12-0,图(2)中的圆圈数为22-1, 图(3)中的圆圈数为32-2,图(4)中的圆圈数为42-3,图(5)中的 圆圈数为52-4,„, 故猜测第n个图形中的圆圈数为n2-(n-1)=n2-n+1. 方法二:第2个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向两个方向, 共有2×(2-1)+1个圆圈; 第3个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向三个方向,每个方
人教a版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
人教版高中数学选修2~3 全册章节同步检测试题目录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3二项式定理第1章《计数原理》测试(1)第1章《计数原理》测试(2)第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2二项分布及其应用第2章测试(1)第2章测试(2)第2章测试(3)第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应用第3章练习 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第3章《统计案例》测试(1)第3章《统计案例》测试(2)第3章《统计案例》测试(3)1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1.一件工作可以用2种方法完成,有3人会用第1种方法完成,另外5人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选法的种数是( )A.8 B.15 C.16 D.30答案:A2.从甲地去乙地有3班火车,从乙地去丙地有2班轮船,则从甲地去丙地可选择的旅行方式有( )A.5种 B.6种 C.7种 D.8种答案:B3.如图所示为一电路图,从A 到B 共有( )条不同的线路可通电( )A.1 B.2 C.3 D.4答案:D4.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是( )A.25 B.20 C.16 D.12答案:C5.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则李芳有( )种不同的选择方式( ) A.24 B.14 C.10 D.9答案:B6.设A ,B 是两个非空集合,定义{}()A B a b a A b B *=∈∈,,|,若{}{}0121234P Q ==,,,,,,,则P *Q 中元素的个数是( )A.4 B.7 C.12 D.16答案:C二、填空题7.商店里有15种上衣,18种裤子,某人要买一件上衣或一条裤子,共有 种不同的选法;要买上衣,裤子各一件,共有 种不同的选法.答案:33,2708.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有 种行车路线.答案:129.已知{}{}0341278a b ∈∈,,,,,,,则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 .答案:1210.多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项.答案:1011.如图,从A →C ,有 种不同走法.答案:612.将三封信投入4个邮箱,不同的投法有 种.答案:34三、解答题13.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同.(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?解:(1)549N =+=种;(2)5420N =⨯=种.14.某校学生会由高一年级5人,高二年级6人,高三年级4人组成.(1)选其中1人为学生会主席,有多少种不同的选法?(2)若每年级选1人为校学生会常委,有多少种不同的选法?(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动,有多少种不同的选法?解:(1)56415N =++=种;(2)564120N =⨯⨯=种;(3)56644574N =⨯+⨯+⨯=种15.已知集合{}321012()M P a b =---,,,,,,,是平面上的点,a b M ∈,. (1)()P a b ,可表示平面上多少个不同的点?(2)(),可表示多少个坐标轴上的点?P a b解:(1)完成这件事分为两个步骤:a的取法有6种,b的取法也有6种,∴P点个数为N=6×6=36(个);(2)根据分类加法计数原理,分为三类:①x轴上(不含原点)有5个点;②y轴上(不含原点)有5个点;③既在x轴,又在y轴上的点,即原点也适合,∴共有N=5+5+1=11(个).1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1.从集合{ 0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ,b 组成复数a bi +,其中虚数有( )A .30个B .42个C .36个D .35个答案:C2.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有( )A .4种B .5种C .6种D .7种答案:A3.如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ,B ,C ,D 中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )A .72种B .48种C .24种D .12种答案:A4.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )A .10种B .52种 C.25种 D.42种答案:D5.已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈,,,,,|,则B 的子集的个数是( ) A.4 B.8 C.16 D.15答案:C6.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数为( )A.25 B.26 C.36 D.37答案:C二、填空题7.平面内有7个点,其中有5个点在一条直线上,此外无三点共线,经过这7个点可连成不同直线的条数是 .答案:128.圆周上有2n 个等分点(1n >),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .答案:2(1)n n-9.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置,每个穿孔位置可穿孔或不穿孔,则每排可产生种不同的信息.答案:25610.椭圆221x ym n+=的焦点在y轴上,且{}{}123451234567m n∈∈,,,,,,,,,,,,则这样的椭圆的个数为.答案:2011.已知集合{}123A,,,且A中至少有一个奇数,则满足条件的集合A分别是.答案:{}{}{}{}{}13122313,,,,,,,12.整数630的正约数(包括1和630)共有个.答案:24三、解答题13.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3410大的四位数有多少个?解:本题可以从高位到低位进行分类.(1)千位数字比3大.(2)千位数字为3:①百位数字比4大;②百位数字为4:1°十位数字比1大;2°十位数字为1→个位数字比0大.所以比3410大的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140(个).14.有红、黄、蓝三种颜色旗子各(3)n n>面,任取其中三面,升上旗杆组成纵列信号,可以有多少种不同的信号?若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子,可以有多少种不同的信号?若所升旗子颜色各不相同,有多少种不同的信号?解:1N=3×3×3=27种;227324N=-=种;33216N=⨯⨯=种.15.某出版社的7名工人中,有3人只会排版,2人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从7人中安排2人排版,2人印刷,有几种不同的安排方法.解:首先分类的标准要正确,可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准,按照被选出的人数,可将问题分为三类:第一类:2人全不被选出,即从只会排版的3人中选2人,有3种选法;只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步计数原理知共有3×1=3种选法.第二类:2人中被选出一人,有2种选法.若此人去排版,则再从会排版的3人中选1人,有3种选法,只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法;若此人去印刷,则再从会印刷的2人中选1人,有2种选法,从会排版的3人中选2人,有3种选法,由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法;再由分类计数原理知共有6+12=18种选法.第三类:2人全被选出,同理共有16种选法.所以共有3+18+16=37种选法.1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷一.选择题:1.一个三层书架,分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中取出一本,则不同的取法共有()(A)37种(B)1848种(C)3种(D)6种2.一个三层书架,分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中取出语文、数学、英语各一本,则不同的取法共有()(A)37种(B)1848种(C)3种(D)6种3.某商业大厦有东南西3个大门,楼内东西两侧各有2个楼梯,从楼外到二楼的不同走法种数是()(A) 5 (B)7 (C)10 (D)124.用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有()(A)265个(B)232个(C)128个(D)24个5.用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有()(A)265个(B)232个(C)128个(D)24个6.3科老师都布置了作业,在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有()(A)43种(B)34种(C)4×3×2种(D)1×2×3种7.把4张同样的参观券分给5个代表,每人最多分一张,参观券全部分完,则不同的分法共有()(A)120种(B)1024种(C)625种(D)5种8.已知集合M={l,-2,3},N={-4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()(A)18 (B)17 (C)16 (D)109.三边长均为整数,且最大边为11的三角形的个数为()(A)25 (B)36 (C)26 (D)3710.如图,某城市中,M、N两地有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进,则从M到N 不同的走法共有()(A)25 (B)15 (C)13 (D)10二.填空题:11.某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本,买其中一种有种方法;买其中两种有种方法.12.大小不等的两个正方形玩具,分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6,则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有种.13.从1,2,3,4,7,9中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数和真数,可得到个不同的对数值.14.在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中,与正八边形有公共边的有个.15.某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊,现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用,要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色,如图所示,相邻两块颜色不同,则不同颜色的书写方法共有种.三.解答题:D CB A16.现由某校高一年级四个班学生34人,其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选二人做中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?17.4名同学分别报名参加足球队,蓝球队、乒乓球队,每人限报其中一个运动队,不同的报名方法有几种?[探究与提高]1.甲、乙两个正整数的最大公约数为60,求甲、乙两数的公约数共有多个?2.从{-3,-2,-1,0,l,2,3}中,任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c(a≠0)的系数,如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,这样的抛物线共有多少条?3.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?综合卷1.A 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.D 8.B 9.B 10.B11.30;300 12.513.17 14.40 15.1801. 2排列与组合1、 排列综合卷1.90×9l ×92×……×100=( )(A )10100A (B )11100A (C )12100A (D )11101A 2.下列各式中与排列数mn A 相等的是( )(A )!(1)!-+n n m (B )n(n -1)(n -2)……(n -m) (C )11m n nA n m --+ (D )111m n n A A --3.若 n ∈N 且 n<20,则(27-n )(28-n)……(34-n)等于( ) (A )827n A - (B )2734n n A -- (C )734n A - (D )834n A -4.若S=123100123100A A A A ++++,则S 的个位数字是( )(A )0 (B )3 (C )5 (D )85.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) (A )24个 (B )30个 (C )40个 (D )60个6.从0,l ,3,5,7,9中任取两个数做除法,可得到不同的商共有( ) (A )20个 (B )19个 (C )25个 (D )30个7.甲、乙、丙、丁四种不同的种子,在三块不同土地上试种,其中种子甲必须试种,那么不同的试种方法共有( )(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )96种8.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有( )(A )6种 (B )9种 (C )18种 (D )24种9.有四位司机、四个售票员组成四个小组,每组有一位司机和一位售票员,则不同的分组方案共有( )(A )88A 种 (B )48A 种 (C )44A ·44A 种 (D )44A 种10.有4位学生和3位老师站在一排拍照,任何两位老师不站在一起的不同排法共有( ) (A )(4!)2种 (B )4!·3!种 (C )34A ·4!种 (D )35A ·4!种11.把5件不同的商品在货架上排成一排,其中a ,b 两种必须排在一起,而c ,d 两种不能排在一起,则不同排法共有( )(A )12种 (B )20种 (C )24种 (D )48种 二.填空题::12.6个人站一排,甲不在排头,共有 种不同排法.13.6个人站一排,甲不在排头,乙不在排尾,共有 种不同排法.14.五男二女排成一排,若男生甲必须排在排头或排尾,二女必须排在一起,不同的排法共有 种.15.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球,分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中,但红口袋不能装入红球,则有种不同的放法.16.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各一本,共有种不同的送法;(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各一本,共有种不同的送法.三、解答题:17.一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单(1)前4个节目中要有舞蹈,有多少种排法?(2)3个舞蹈节目要排在一起,有多少种排法?(3)3个舞蹈节目彼此要隔开,有多少种排法?18.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?(5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法?综合卷1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.D 11.C12.600 13.504 14.480 15.9616.(1) 60;(2) 12517.(1) 37440;(2) 4320;(3) 1440018.(1) 4320;(2) 14400;(3) 14400;(4) 36000;(5) 7202、组合 综合卷一、选择题:1.下列等式不正确的是( ) (A )!!()!mn n C m n m =- (B )11mm n n m C C n m++=-(C )1111m m n n m C C n +++=+ (D )11m m n n C C ++= 2.下列等式不正确的是( )(A )m n m n n C C -= (B )11m m mm m m C C C -++=(C )123455555552C C C C C ++++= (D )11111m m m m n n n n C C C C --+--=++3.方程2551616x x x CC --=的解共有( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个4.若372345n n n C A ---=,则n 的值是( )(A )11 (B )12 (C )13 (D )145.已知7781n n n C C C +-=,那么n 的值是()(A )12 (B )13 (C )14 (D )15 6.从5名男生中挑选3人,4名女生中挑选2人,组成一个小组,不同的挑选方法共有( )(A )3254C C 种(B ) 3254C C 55A 种(C ) 3254A A 种(D ) 3254A A 55A 种7.从4个男生,3个女生中挑选4人参加智力竞赛,要求至少有一个女生参加的选法共有( )(A )12种 (B )34种 (C )35种 (D )340种8.平面上有7个点,除某三点在一直线上外,再无其它三点共线,若过其中两点作一直线,则可作成不同的直线( )(A )18条 (B )19条 (C )20条 (D )21条9.在9件产品中,有一级品4件,二级品3件,三级品2件,现抽取4个检查, 至少有两件一级品的抽法共有( )(A )60种 (B )81种 (C )100种 (D )126种10.某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路,共有6个焊点,若其中某一焊点脱落,电路就不通.现今回路不通,焊点脱落情况的可能有( ) (A )5种 (B )6种 (C )63种 (D )64种 二.填空题:11.若11m m n n C xC --=,则x= .12.三名教师教六个班的课,每人教两个班,分配方案共有 种。
2014-2015学年下学期高二数学(人教版选修2-3)模块综合检测 Word版含答案
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.(2014·烟台高二检测)6个学校的师生轮流去某个电影院观看电影《同桌的你》,每个学校包一场,则不同的包场顺序的种数是( )A .720B .480C .540D .120解析:选A.因为是轮流放映,故不同的包场顺序有A 66=720(种). 2.(2014·郑州高二检测)(1-x )4(1-x )3的展开式中x 2的系数是( ) A .-6 B .-3 C .0 D .3解析:选A.(1-x )4(1-x )3=(1-4x +6x 2-4x 3-x 4)(1-3x 12+3x -x 32),x 2的系数是-12+6=-6.3.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A 不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A .24B .48C .72D .120解析:选C.A 参加时有C 34·A 12·A 33=48(种),A 不参加时有A 44=24(种),共72种.4.已知随机变量ξ服从正态分布N (3,σ2),则P (ξ<3)等于( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析:选D.由正态分布的图象知,x =μ=3为该图象的对称轴,则P (ξ<3)=12.5.(2014·福州高二检测)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析:选C.由题意,取出的3个球必为2个旧球,1个新球,故P (X =4)=C 23C 19C 312=27220.6.设A =37+C 27·35+C 47·33+C 67·3,B =C 17·36+C 37·34+C 57·32+1,则A -B 的值为( ) A .128 B .129 C .47 D .0解析:选A.A -B =37-C 17·36+C 27·35-C 37·34+C 47·33-C 57·32+C 67·3-1=(3-1)7=27=128,故选A.7.一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:①X 表示取出的最大号码;②Y 表示取出的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是( ) A .①② B .③④ C .①②④ D .①②③④解析:选B.依超几何分布的数学模型及计数公式,也可以用排除法.8.若(1-5x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9,那么|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|的值是( ) A .1 B .49 C .59 D .69解析:选D.由(1+5x )9与(1-5x )9展开式系数可知|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|=(1+5×1)9=69.9.随机变量ξ服从二项分布ξ~B (100,0.2),那么D (4ξ+3)的值为( ) A .128 B .256 C .64 D .1 024 解析:选B.因为D (ξ)=100×0.2×0.8=16,所以D (η)=D (4ξ+3)=16D (ξ)=16×16=256. 10.抛掷两枚骰子,则在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点的概率是( ) A.13 B.118 C.16 D.19解析:选A.设“至少有一枚出现6点”为事件A ,“两枚骰子的点数不同”为事件B . 则n (B )=6×5=30,n (AB )=10,所以P (A |B )=n (AB )n (B )=13.11.已知(ax +1)2n 和(x +a )2n +1的展开式中含x n 的项的系数相同(a ≠0为实数,n ∈N *),则a 的取值范围是( )A .a =1B .a >1C .0<a <1D .a ≥1解析:选C.(ax +1)2n 展开式中含x n 的项的系数为C n 2n a n ,(x +a )2n +1展开式中含x n 的项的系数为C n +12n +1·a n +1,所以C n +12n +1a n +1=C n 2n a n,所以a =C n 2n C n +12n +1=n +12n +1,所以0<a <1.因此答案选C.12.从0,2,4中取一数字,从1,3,5中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是( )A .36B .48C .52D .54 解析:选B.第1类:0,2,4中选0,第1步:从2个位置中选1个位置放入0,共有C 12种, 第2步:从1,3,5中选2个数字放入其余两个位置,共有A 23种,由分步乘法计数原理知共有C 12·A 23=2×3×2=12种方法. 第2类:0,2,4中没有选0, 第1步:从2,4中选1个,有C 12种,第2步:从1,3,5中选2个,有C 23种, 第3步:3个数排列有A 33种,由分步乘法计数原理知共有C 12C 23A 33=2×3×6=36种方法. 由分类加法计数原理知三位数的个数为12+36=48(个).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.(2014·湖州检测)已知离散型随机变量X 的分布如表所示,E (X )=0,D (X )=1,则a +b =________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧512+a +b +c =1,-512+b +2c =0,(-1)2×512+12·b +22·c =1,即⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =712,b +2c =512, ∴a +b =12b +4c =712,答案:1214.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布,平均成绩为500分.已知P (400<X <450)=0.3,则P (550<X <600)=________.解析:由图可以看出P (550<X <600)=P (400<X <450)=0.3.答案:0.315.若⎝⎛⎭⎫2x 3+1x n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于__________. 解析:若⎝⎛⎭⎫2x 3+1x n 的展开式中含有常数项,设T r +1=C r n (2x 3)n -r ·⎝⎛⎭⎫1x r为常数项,即3n -7r2=0,当n =7,r =6时成立,最小的正整数n 等于7. 答案:716.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程y ^=3-5x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加5个单位;③线性回归方程y ^=b ^x +a ^必过(x -,y -);④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;⑤在一个2×2列联表中,由计算得K 2=13.079,则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________.解析:由方差的性质知①正确;由线性回归方程的特点知③正确;②④⑤均错误. 答案:3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)有0,1,2,3,4,5共6个数字. (1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数;(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数. 解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类: 第一类,0在个位时有A 35个;第二类,2在个位时有A 14A 24个;第三类,4在个位时有A 14A 24个;由分类加法计数原理知,共有四位偶数A 35+A 14A 24+A 14A 24=156(个). (2)五位数中5的倍数可分为两类;第一类,个位上的数字是0的五位数有A 45个,第二类,个位上的数字是5的五位数有A 14A 34个.故满足条件的五位数有A 45+A 14A 34=216(个).18.(本小题满分12分)已知(x 23+3x 2)n 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x =1,则展开式中各项系数和为(1+3)n =22n ,又展开式中二项式系数和为2n ,∴22n -2n =992,n =5.(1)∵n =5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项,∴T 3=C 25(x 23)3(3x 2)2=90x 6,T 4=C 35(x 23)2(3x 2)3=270x 223.(2)设展开式中第r +1项系数最大,则T r +1=C r 5(x 23)5-r (3x 2)r =3r C r 5x 10+4r 3,∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r -1C r -153r C r 5≥3r +1C r +15⇒72≤r ≤92, ∴r =4,即展开式中第5项系数最大,T 5=C 45(x 23)(3x 2)4=405x 263.19.(本小题满分12分)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析.下面是该生7次考试的成绩.(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少,并根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生学习数学、物理的合理建议.解:(1)x =100+-12-17+17-8+8+127=100,y =100+-6-9+8-4+4+1+67=100;∴s 2数学=9947=142, ∴s 2物理=2507. 从而s 2数学>s 2物理,∴物理成绩更稳定.(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到b ^=∑i =17x i y i -7 x y∑i =17x 2i -7x2=497994=0.5,a ^=y -b ^x =100-0.5×100=50.∴回归方程为y ^=0.5x +50.当y =115时,x =130,即该生物理成绩达到115分时,他的数学成绩大约为130分. 建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高.20.(2014·高考辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望E (X )及方差D (X ).解:(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”,A 2表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P (A 1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6. P (A 2)=0.003×50=0.15,P (B )=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P (X =0)=C 03(1-0.6)3=0.064, P (X =1)=C 13·0.6(1-0.6)2=0.288, P (X =2)=C 23·0.62(1-0.6)=0.432, P (X =3)=C 33·0.63=0.216, 分布列为因为X ~B (3,0.6)0.6×(1-0.6)=0.72.21.(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x +12n 的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求n 的值.(2)设⎝⎛⎭⎫x +12n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n . ①求a 5的值;②求a 0-a 1+a 2-a 3+…+(-1)n a n 的值; ③求a i (i =0,1,2,…,n )的最大值.解:(1)由题意,得C 0n +14×C 2n =2×12×C 1n , 即n 2-9n +8=0,解得n =8或n =1. 又n ≥2,∴n =8.(2)①T r +1=C r 8x 8-r ⎝⎛⎭⎫12r,令8-r =5,得r =3,∴a 5=7.②取x =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8=1256.③设第r +1项的系数最大,则⎩⎨⎧12r C r 8≥12r +1C r +18,12r C r 8≥12r -1C r -18,即⎩⎨⎧18-r ≥12(r +1),12r ≥19-r ,解得2≤r ≤3.又r ∈N ,∴r =2或r =3,∴a i (i =0,1,2,…,8)的最大值为7.22.(本小题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.解:(1)由频率分布直方图知(0.006×3+0.01+x +0.054)×10=1,解得x =0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12,成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50=3.因此ξ可能取0,1,2三个值.P (ξ=0)=C 29C 212=611,P (ξ=1)=C 19·C 13C 212=922,P (ξ=2)=C 23C 212=122.ξ的分布列为故E (ξ)=0×611+1×922+2×122=12.。
【成才之路】高中数学 2.1.1 第2课时类比推理同步测试 新人教A版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 第2课时类比推理同步测试新人教A版选修2-2一、选择题1.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了,则猜想该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸n边形的内角和是(n-2)·180°(n∈N*,且n≥3)A.①②B.①③④C.①②④D.②④[答案] C[解析] ①是类比推理;②④是归纳推理,∴①②④都是合情推理.2.(2013·华池一中期中)平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a,类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A.43a B.63aC.54a D.64a[答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a,由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”,方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明.3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结论:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③垂直于同一条直线的两个平面互相平行;④垂直于同一平面的两个平面互相平行,则其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.③④D.①④[答案] B[解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知,②③是正确的结论.4.(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c;类比这个结论可知:四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,内切球的半径为r ,四面体P -ABC 的体积为V ,则r =( )A .VS 1+S 2+S 3+S 4B .2VS 1+S 2+S 3+S 4C .3VS 1+S 2+S 3+S 4D .4VS 1+S 2+S 3+S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P -ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4,将三角形面积公式中系数12,类比到三棱锥体积公式中系数13,从而可知选C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ,∴V =13S 1r+13S 2r +13S 3r +13S 4r ,∴r =3V S 1+S 2+S 3+S 4. 5.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若a ,b ∈R ,则a -b >0⇒a >b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b >0⇒a >b ”; ②“若a ,b ,c ,d ∈R ,则复数a +b i =c +d i ⇒a =c ,b =d ”类比推出“若a ,b ,c ,d ∈Q ,则a +b 2=c +d 2⇒a =c ,b =d ”;③若“a ,b ∈R ,则a -b =0⇒a =b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b =0⇒a =b ”.其中类比结论正确的个数是( )A .0B .1C .2D .3[答案] C[解析] 在实数集中,a >b ⇔a -b >0,但在复数集中,不全为实数的两个数不能比较大小,如a =2+i ,b =1+i ,有a -b =1>0,但a >b 不成立;∵a 、b 、c 、d ∈Q ,∴a -c ,b -d ∈Q ,∵a +b 2=c +d 2,∴(a -c )+(b -d )2=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a -c =0b -d =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =cb =d,故②正确;由复数相等的定义知,若a =x 1+y 1i(x 1、y 1∈R ),b =x 2+y 2i(x 2、y 2∈R ),则由a-b =(x 1-x 2)+(y 1-y 2)i =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1-x 2=0y 1-y 2=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1=x 2y 1=y 2,∴a =b ,故③正确.6.由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则: ①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”;②“(m +n )t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”; ③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c =a ·(b ·c )”; ④“t ≠0,mt =xt ⇒m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”; ⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”; ⑥“ac bc =a b ”类比得到“a ·cb ·c =ab”. 其中类比结论正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4[答案] B[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确,③④⑤⑥都不正确,故应选B. 二、填空题7.设f (x )=12x +2,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)的值为________.[答案] 3 2[解析] 本题是“方法类比”.因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加,亦即首尾相加,那么经类比不难想到f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)],而当x 1+x 2=1时,有f (x 1)+f (x 2)=12x 1+2+12x 2+2=22+x 1+2x 22x 1+2x 2+2x 1+x 2+2=22+x 1+2x 22x 1+2x 2+22=12=22,故所求答案为6×22=3 2.8.在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n <19,n ∈N *)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n }中,若b 9=1,则有等式________成立.[答案] b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n (n <17,n ∈N *)[解析] 解法1:从分析所提供的性质入手:由a 10=0,可得a k +a 20-k =0,因而当n <19-n 时,有a 1+a 2+…+a 19-n =a 1+a 2+…+a n +a n +1+a n +2+…+a 19-n ,而a n +1+a n +2+…+a 19-n =-2na n +1+a 19-n2=0,∴等式成立.同理可得n >19-n 时的情形.由此可知:等差数列{a n }之所以有等式成立的性质,关键在于在等差数列中有性质:a n+1+a 19-n =2a 10=0,类似地,在等比数列{b n }中,也有性质:b n +1·b 17-n =b 29=1,因而得到答案:b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n (n <17,n ∈N *).解法2:因为在等差数列中有“和”的性质a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n <19,n ∈N *)成立,故在等比数列{b n }中,由b 9=1,可知应有“积”的性质b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n (n<17,n ∈N *)成立. (1)证明如下:当n <8时,等式(1)为b 1b 2…b n =b 1b 2…b n b n +1…b 17-n , 即:b n +1·b n +2…b 17-n =1.(2) ∵b 9=1,∴b k +1·b 17-k =b 29=1. ∴b n +1b n +2…b 17-n =b 17-2n9=1.∴(2)式成立,即(1)式成立;当n =8时,(1)式即:b 9=1显然成立; 当8<n <17时,(1)式即:b 1b 2…b 17-n ·b 18-n ·…b n =b 1b 2…b 17-n ,即:b 18-n ·b 19-n …b n =1(3) ∵b 9=1,∴b 18-k ·b k =b 29=1, ∴b 18-n b 19-n ·…·b n =b 2n -179=1,∴(3)式成立,即(1)式成立.综上可知,当等比数列{b n }满足b 9=1时,有:b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n (n <17,n ∈N *)成立.9.已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,前n 项积为T n ,类比等差数列的性质,填写等比数列的相应性质(m ,n ,k ,w ∈N *).[n 1n m m n k w ,则a m ·a n=a 2w T n ,T 2n T n ,T 3nT 2n构成等比数列 三、解答题10.先解答(1),再根据结构类比解答(2).(1)已知a 、b 为实数,且|a |<1,|b |<1,求证:ab +1>a +b .(2)已知a 、b 、c 均为实数,且|a |<1,|b |<1,|c |<1,求证:abc +2>a +b +c . [解析] (1)ab +1-(a +b )=(a -1)(b -1)>0.(2)∵|a |<1,|b |<1,|c |<1,据(1)得(ab )·c +1>ab +c , ∴abc +2=[(ab )·c +1]+1>(ab +c )+1=(ab +1)+c >a +b +c .[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构,通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出:(ab )·c +1>ab +c 是关键.用归纳推理可推出更一般的结论:a i 为实数,|a i |<1,i =1、2、…、n ,则有:a 1a 2…a n+(n -1)>a 1+a 2+…+a n .一、选择题11.下列类比推理恰当的是( )A .把a (b +c )与log a (x +y )类比,则有log a (x +y )=log a x +log a yB .把a (b +c )与sin(x +y )类比,则有sin(x +y )=sin x +sin yC .把(ab )n与(a +b )n类比,则有(a +b )n=a n+b nD .把a (b +c )与a ·(b +c )类比,则有a ·(b +c )=a ·b +a ·c [答案] D[解析] 选项A ,B ,C 没有从本质属性上类比,是简单类比,从而出现错误. 12.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB →⊥AB →时,其离心率为5-12,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A .5+12B .5-12C .5-1D .5+1[答案] A[解析] 如图所示,设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),则F (-c,0),B (0,b ),A (a,0), ∴FB →=(c ,b ),AB →=(-a ,b ), 又∵FB →⊥AB →,∴FB →·AB →=b 2-ac =0, ∴c 2-a 2-ac =0,∴e 2-e -1=0,∴e =1+52或e =1-52(舍去),故应选A.13.(2013·辽师大附中期中)类比三角形中的性质: (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质:(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A .(1) B .(1)(2) C .(1)(2)(3) D .都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确.二、填空题14.(2014·阜阳一中模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2n -1=(2n -1)a n .由类比推理可得:在等比数列{b n }中,若其前n 项的积为P n ,则P 2n -1=________.[答案] b 2n -1n[解析] 将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2n -1=(2n -1)a n .所以类比可得:在等比数列{b n }中,若其前n 项的积为P n ,则P 2n -1=b 2n -1n.15.(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理:设△ABC 的两边AB ⊥AC ,D 是A 点在BC 上的射影,则AB 2=BD ·BC .拓展到空间,在四面体A -BCD 中,DA ⊥平面ABC ,点O 是A 在平面BCD 内的射影,类比平面三角形射影定理,△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________.[答案] S 2△ABC =S △OBC ·S △DBC[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积,将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长,类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC =S △OBC ·S △DBC .16.在以原点为圆心,半径为r 的圆上有一点P (x 0,y 0),则圆的面积S 圆=πr 2,过点P 的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.在椭圆x 2a +y 2b=1(a >b >0)中,当离心率e 趋近于0时,短半轴b 就趋近于长半轴a ,此时椭圆就趋近于圆.类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆=________.类比过圆上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程,则过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点P (x 1,y 1)的椭圆的切线方程为________.[答案] πabx 1a 2·x +y 1b2·y =1 [解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时,椭圆趋近于圆,此时a ,b 都趋近于圆的半径r ,故由圆的面积S =πr 2=π·r ·r ,猜想椭圆面积S 椭=π·a ·b ,其严格证明可用定积分处理.而由切线方程x 0·x +y 0·y =r 2变形得x 0r 2·x +y 0r2·y =1,则过椭圆上一点P (x 1,y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x +y 1b2·y =1,其严格证明可用导数求切线处理.三、解答题 17.点P ⎝⎛⎭⎪⎫22,22在圆C :x 2+y 2=1上,经过点P 的圆的切线方程为22x +22y =1,又点Q (2,1)在圆C 外部,容易证明直线2x +y =1与圆相交,点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12在圆C 的内部.直线12x +12y =1与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P (a ,b )与圆x 2+y 2=r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗?[解析] 点P (a ,b )在⊙C :x 2+y 2=r 2上时,直线ax +by =r 2与⊙C 相切;点P 在⊙C 内时,直线ax +by =r 2与⊙C 相离;点P 在⊙C 外部时,直线ax +by =r 2与⊙C 相交.容易证明此结论是正确的.18.我们知道:12= 1, 22=(1+1)2=12+2×1+1, 32=(2+1)2=22+2×2+1, 42=(3+1)2=32+2×3+1, ……n 2=(n -1)2+2(n -1)+1,左右两边分别相加,得n 2=2×[1+2+3+…+(n -1)]+n∴1+2+3+…+n =n n +2.类比上述推理方法写出求12+22+32+…+n 2的表达式的过程. [解析] 我们记S 1(n )=1+2+3+…+n ,S 2(n )=12+22+32+…+n 2,…S k (n )=1k +2k +3k +…+n k (k ∈N *).已知13= 1, 23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1, 33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1, 43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1, ……n 3=(n -1)3+3(n -1)2+3(n -1)+1.将左右两边分别相加,得S 3(n )=[S 3(n )-n 3]+3[S 2(n )-n 2]+3[S 1(n )-n ]+n .由此知S 2(n )=n 3+3n 2+2n -3S 1n3=2n 3+3n 2+n 6=n n +n +6.。
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.2空间向量与垂直关系》课时提升作业(含答案解析)
课时提升作业(二十六)空间向量与垂直关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确【解析】选C.因为n1·n2=2〓(-3)+(-3)〓1+5〓(-4)≠0,所以n1与n2不垂直,又≠≠,所以α与β相交但不垂直.2.(2014·青岛高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直【解析】选C.建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.3.(2014·丹东高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )A.(1,-1,1)B.C. D.【解析】选B.对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,则·n=·(3,1,2)=0,故B正确,验证可知C,D均不满足·n=0.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.ACB.BDC.A1DD.A1A【解析】选B.如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),E(,,1),所以=(,-,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1),所以·=0,所以⊥,即CE⊥BD.5.(2014·桂林高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.6.下列命题中,正确命题的个数为( )①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,a与α共面,则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.命题①中平面α,β可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题②③④正确.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).【解析】m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.所以l与α相交但不垂直.答案:相交但不垂直8.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若⊥,⊥,则点P的坐标为.【解析】因为=(-1,-1,1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由·=0,·=0,得则x=,z=-,所以P.答案:9.(2014·长春高二检测)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是. 【解析】由于·=-1〓2+(-1)〓2+(-4)〓(-1)=0,·=4〓(-1)+2〓2+0〓(-1)=0,所以①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·广州高二检测)用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.【解析】已知:如图,α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ.求证:l⊥γ.证明:设平面α,β,γ的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则a·e=0,b·e=0.因为a,b与e不共面,故存在实数x,y,z,使c=x a+y b+z e.因为a⊥c,b⊥c,所以即因为α与β相交,所以a与b不共线,所以所以方程组有惟一解所以c=z e,即c∥e,从而有l⊥γ.11.(2014·上海高二检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=,M是AD 中点,N是B1C1中点.(1)求证:NA1∥CM.(2)求证:平面A1MCN⊥平面A1BD1.【证明】以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.所以B(,1,0),A1(,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0),M,N.(1)=,=.所以=,所以NA1∥CM.(2)方法一:=(,1,-1),=(0,1,1),=,所以·=0+1-1=0,·=1-1+0=0,所以D1B⊥MN,D1B⊥CM,又MN∩CM=M,所以D1B⊥平面A1MCN,又D1B⊂平面A1BD1,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.方法二:=(,0,0),=(,1,-1),=(0,1,1),=.设平面A1MCN的法向量为n=(x,y,z),所以取n=(,1,-1).设平面A1BD1的法向量为m=(x1,y1,z1),所以取m=(0,1,1),因为n·m=(,1,-1)·(0,1,1)=0+1-1=0,所以n⊥m,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.【变式训练】在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:平面GEF⊥平面PBC.【证明】如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是=(3,0,0),=(1,0,0),故=3,所以PA∥FG.而PA⊥平面PBC,所以FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBC.【一题多解】如解析建立的空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0). 所以=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),则有n⊥,n⊥.所以令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0,所以n⊥,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直,所以平面GEF⊥平面PBC.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则△ABC是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.=(-3,-2,-5),=(-1,4,-1),则·=-3〓(-1)-2〓4+5=0.所以⊥,故△ABC为直角三角形.又||≠||故选C.2.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量s=( )A.(0,1,-1)B.±C.(0,,-)D.±(0,,-)【解析】选B.直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=〒.3.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).因为·=0,·=0.所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.4.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,①·≠0;②AB⊥DC;③BD⊥AC;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.建立以D为坐标原点,以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴的空间坐标系,设斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1)则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0), =(-1,0,0)从而有·=0+0+1=1,故①错误,·=0,故②正确,·=0,故③正确,易知平面ADC的一个法向量为向量=(-1,0,0),平面ABC的法向量设为n=(x,y,z),由·n=x-z=0,·n=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),·n=-1,故④错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·上海高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与直线OQ垂直,则x 的值为.【解析】由题意得⊥.所以cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以2cos2x-cosx=0.所以cosx=0或cosx=.又x∈[0,π],所以x=或x=.答案:或6.(2014·南京高二检测)已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点)则E点的坐标为. 【解题指南】先设点E在AB上的位置,利用垂直关系建立与E点坐标有关的方程,求出点E.【解析】=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·银川高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M,N分别在面对角线AD′和面对角线BD上,并且=.求证:MN⊥AD.【证明】设正方体棱长为1,==λ,=a ,=b ,=c ,则=-=+-=+λ-λ=a +λ(b -a )-λ(b +c )=(1-λ)a -λc 且a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0, 所以·=b ·[(1-λ)a -λc ]=(1-λ)b ·a -λb ·c =0, 所以⊥,所以MN ⊥AD.【变式训练】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,M 为四边形ABCD 的中心.求证:对A 1B 1上任一点N,都有MN ⊥AP.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),P , M ,N(1,y,1).所以=,=.所以·=(-1)〓+0〓+〓1=0,所以⊥,即对A 1B 1上任意一点N 都有MN ⊥AP.8.(2014·广州高二检测)如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为2的正方形,O 为AC 与BD 的交点,BB 1=,M 是线段B 1D 1的中点.(1)求证:BM ∥平面D 1AC. (2)求证:D 1O ⊥平面AB 1C.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则点O(1,1,0),D1(0,0,),所以=(-1,-1,),又点B(2,2,0),M(1,1,),所以=(-1,-1,),所以=,又因为OD1与BM不共线,所以OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC,BM⊄平面D1AC,所以BM∥平面D1AC.(2)连接OB1.因为·=(-1,-1,)·(1,1,)=0,·= (-1,-1,)·(-2,2,0)=0,所以⊥,⊥,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,所以D1O⊥平面AB1C.【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.【解题指南】思路一:EF⊥AB1,EF⊥B1C得EF⊥平面B1AC;思路二:求平面B1AC的法向量n证明∥n从而EF⊥平面B1AC.【证明】设=a,=b,=c,则=+=(+)=(+)=(+-)=(-a+b+c).因为=+=a+b,所以·=(-a+b+c)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b|2-|a|2+0+0)=0.所以⊥,即EF⊥AB1.同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解1】设正方体的棱长为2,以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).所以=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).所以·=(-1,-1,1)·(0,2,2)=(-1)〓0+(-1)〓2+1〓2=0,·=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解2】同一题多解1得=(0,2,2),=(-2,2,0),=(-1,-1,1). 设平面B1AC的法向量n=(x,y,z),则·n=0,·n=0,即取x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),所以=-n,所以∥n,所以EF⊥平面B1AC.。
高中数学人教A版选修2-3练习:1.2.1.2 排列的综合应用 Word版含解析.doc
存量房资金管理制度一、总则为规范存量房资金管理,保障利益相关方的合法权益,提高存量房资金使用效率,特制定本管理制度。
二、适用范围本管理制度适用于所有涉及存量房资金管理的单位和个人,包括但不限于开发商、物业公司、业主委员会等。
三、资金保管1.存量房资金应单独建立专用账户进行保管,不得挪作他用。
2.存量房资金专用账户必须在合法金融机构开立,严格按照相关法律法规进行操作。
3.开发商、物业公司等主体应当对存量房资金定期进行审计,并向相关部门报告审核结果。
四、资金使用1.存量房资金只能用于维修、改造、装修等相关费用,严禁将资金用于其他用途。
2.对于业主委员会管理的存量房资金,必须经过业主大会或者委托代表大会的审议和通过后方可使用。
3.存量房资金使用必须严格按照合同或协议约定的方式和用途进行,不得私自挪用或变相使用。
五、资金监管1.政府有关部门应当加强对存量房资金的监管,制定相关政策和规章,确保存量房资金使用的合法合规。
2.建立存量房资金监督机构,负责对存量房资金的监督、检查和指导。
3.对于发现存量房资金违法违规使用的情况,监管机构应当及时处理并追究相关单位和个人的责任。
六、信息公开1.存量房资金使用情况应当及时向业主委员会和业主公开,确保资金使用的透明度和公正性。
2.业主委员会应当定期向所有业主公布存量房资金的支出情况和使用情况。
3.存量房资金相关的账目、审计报告等文件应当公开透明,接受相关部门和业主的监督和检查。
七、违规处理对于存量房资金使用中发现的违规行为,应当依法依规进行处理,包括但不限于责令停止违规行为、罚款、追究法律责任等。
八、附则1.本管理制度的解释权归存量房资金监督机构和政府相关部门所有。
2.本管理制度自xxxx年xx月xx日起施行。
3.存量房资金管理制度应根据实际情况不断完善和调整,政府和相关部门应加强对存量房资金管理的监管,确保资金使用的合法合规。
2014-2015学年_高中数学_人教A版选修2-2_ 第二章2.1.1(二)
去分析问题,研究当条件变化时,问题的本质
本 课 时 栏 目 开 关
有哪些不同,有哪些变化,如本题中平面图形 中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的 距离.平面图形中的面积类比三棱锥中的体 积,进而计算出结果.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1(二)
跟踪训练 1 在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2”.拓 展到空间(如图),类比平面几何的勾股定理,研究三
本 课 时 栏 目 开 关
弦不等,距圆心较近的弦 截面圆面积不等,距球心较近的 ____________________________ 较长
截面圆面积较大 ________________
以点 P(x0,y0,z0)为球心,r 为半 以点 P(x0,y0)为圆心,r ____________________________ 2 径的球的方程 为 ( x - x ) 为半径的圆的方程为(x- ____________________________ 0 + (y -
x0) +(y-y0) =r
2 2 2
2 2 2 y ) + ( z - z ) = r 0 0 _______________________
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1(二)
例1
如图所示,面积为 S 的平面凸四边
形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4), 此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距 a1 a2 a3 离记为 hi(i=1,2,3,4),若 = = = 1 2 3 a4 2S =k,则 h1+2h2+3h3+4h4= k , 4 类比以上性质, 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记 为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距 S 1 S2 S3 S4 离记为 Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =K,则 H1+ 1 2 3 4 2H2+3H3+4H4 等于多少?
2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业:1.3.3
第一章 1.3 1.3.3一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数f (x )=x +2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤-π2,0上的最小值是( ) A .-π2B .2C .π6+ 3D .π3+1解析: f ′(x )=1-2sin x , ∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,0, ∴sin x ∈[-1,0],∴-2sin x ∈[0,2]. ∴f ′(x )=1-2sin x >0在⎣⎡⎦⎤-π2,0上恒成立, ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤-π2,0上单调递增. ∴f (x )min =-π2+2cos ⎝⎛⎭⎫-π2=-π2. 答案: A2.函数y =ln xx 的最大值为( )A .e -1B .eC .e 2D .103解析: 令y ′=1-ln xx 2=0,则x =e当x ∈(0,e)时,y ′>0,当x ∈(e ,+∞)时,y ′<0. ∴当x =e 时y 取最大值1e ,故选A.答案: A3.已知f (x )=2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )A .-37B .-29C .-5D .以上都不对解析: ∵f ′(x )=6x 2-12x =6x (x -2), ∵f (x )在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数, ∴当x =0时,f (x )=m 最大.∴当m =3,从而f (-2)=-37,f (2)=-5. ∴最小值为-37.故选A. 答案: A4.下列关于函数f (x )=(2x -x 2)e x 的判断正确的是( ) ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}; ②f (-2)是极小值,f (2)是极大值; ③f (x )没有最小值,也没有最大值. A .①③ B .①②③ C .②D .①②解析: 由f (x )>0得0<x <2,故①正确. f ′(x )=(2-x 2)e x , 令f ′(x )=0,得x =±2, 当x <-2或x >2时,f ′(x )<0. 当-2<x <2时,f ′(x )>0. ∴x =-2时,f (x )取得极小值,当x =2时,f (x )取得极大值,故②正确. 当x →-∞时,f (x )<0, 当x →+∞时,f (x )<0.综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图).∴函数f (x )有最大值无最小值,故③不正确. 答案: D二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f (x )=1x +1+x (x ∈[1,3])的值域为________.解析: f ′(x )=-1(x +1)2+1=x 2+2x (x +1)2,所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立,即f (x )在[1,3]上单调递增,所以f (x )的最大值是f (3)=134,最小值是f (1)=32.故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤32,134.答案: ⎣⎡⎦⎤32,1346.设函数f (x )=12x 2e x ,若当x ∈[-2,2]时,不等式f (x )>m 恒成立,则实数m 的取值范围是________.解析: f ′(x )=x e x +12x 2e x=e x 2·x (x +2), 由f ′(x )=0得x =0或x =-2.当x ∈[-2,2]时,f ′(x ),f (x )随x 的变化情况如下表:min 要使f (x )>m 对x ∈[-2,2]恒成立, 只需m <f (x )min ,∴m <0. 答案: m <0三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知函数f (x )=x 3-ax 2+3x ,x =3是函数f (x )的极值点,求函数f (x )在x ∈[1,5]上的最大值和最小值.解析: 根据题意,f ′(x )=3x 2-2ax +3,x =3是函数f (x )的极值点,得f ′(3)=0, 即27-6a +3=0,得a =5. 所以f (x )=x 3-5x 2+3x .令f ′(x )=3x 2-10x +3=0,得x =3或x =13(舍去).当1<x <3时,f ′(x )<0,函数f (x )在[1,3)上是减函数; 当3<x <5时,f ′(x )>0,函数f (x )在(3,5]上是增函数.由此得到当x =3时,函数f (x )有极小值f (3)=-9,也就是函数f (x )在[1,5]上的最小值;又因为f (1)=-1,f (5)=15,即函数f (x )在[1,5]上的最大值为f (5)=15.综上,函数f (x )在[1,5]上的最大值为15,最小值为-9. 8.设函数f (x )=ln x +ln(2-x )+ax (a >0). (1)当a =1时,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12,求a 的值.解析: 函数f (x )的定义域为(0,2),f ′(x )=1x -12-x+a .(1)当a =1时,f ′(x )=-x 2+2x (2-x ),所以f (x )的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2).(2)当x ∈(0,1]时,f ′(x )=2-2xx (2-x )+a >0,即f (x )在(0,1]上单调递增,故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)=a ,因此a =12.尖子生题库☆☆☆(10分)已知函数f (x )=-23x +13x +ln x 在⎣⎡⎦⎤14,2上存在x 0使得不等式f (x 0)-c ≤0成立,求c 的取值范围.解析: 在⎣⎡⎦⎤14,2上存在x 0,使得不等式f (x 0)-c ≤0成立,只需c ≥f (x )min , 由f ′(x )=-23-13x 2+1x=-2x 2-3x +13x 2=-(2x -1)(x -1)3x 2, ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫14,12时,f ′(x )<0,故f (x )在⎝⎛⎭⎫14,12上单调递减;当x ∈⎝⎛⎭⎫12,1时,f ′(x )>0, 故f (x )在⎝⎛⎭⎫12,1上单调递增;当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0, 故f (x )在(1,2)上单调递减. ∴f ⎝⎛⎭⎫12是f (x )在⎣⎡⎦⎤14,2上的极小值. 而f ⎝⎛⎭⎫12=13+ln 12=13-ln 2,f (2)=-76+ln 2, 且f ⎝⎛⎭⎫12-f (2)=32-ln 4=ln e 32-ln 4, 又e 3-16>0,∴ln e 32-ln 4>0,∴在⎣⎡⎦⎤14,2上f (x )min =f (2), ∴c ≥f (x )min =-76+ln 2.∴c 的取值范围为⎣⎡⎭⎫-76+ln 2,+∞.。
人教A版选修2-3-(下)高二第二次考试.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2014-2015学年度(下)高二第二次考试数学试题(文科)2015.05一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1. 全集U =R ,集合{10}A x x =+<,{30}B x x =-<,那么集合=⋂B A C u )(( ) A.{13}x x -≤< B.{13}x x -<<C.{1}x x <-D.{3}x x >2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3S =6,1a =4,则公差d 等于 ( ) A .1 B .35C .2-D .3 3. 在ABC ∆中,3=AB ,1=AC , 30=∠B ,ABC ∆的面积为23,则=∠C ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 75 4. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是A .1--=x yB .xe y = C .)1ln(+=x y D .)2(+-=x x y5.已知双曲线222211x y a a -=-(0)a >的离心率为2,则a 的值为 A.22B.12C.13D.336. 设定义在R 上的奇函数)(x f 满足)0(4)(2>-=x x x f ,则0)2(>-x f 的解集为A .(4,0)(2,)-+∞B .(0,2)(4,)+∞C .(,0)(4,)-∞+∞D .(4,4)-7. 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位,所得到的函数图象关于y 轴对称,则ϕ的一个可能取值为A .43π B .4π C .0 D .4π- 8. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题: ① 若α⊂m ,A l =⋂α,点m A ∉,则l 与m 不共面;② 若m 、l 是异面直线,α//l ,α//m ,且l n ⊥,m n ⊥,则α⊥n ; ③ 若α//l ,β//m ,βα//,则m l //;④ 若α⊂l ,α⊂m ,A m l =⋂,β//l ,β//m ,则βα//, 其中为真命题的是 A .①③④ B .②③④ C .①②④ D .①②③ 9. 在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ,cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2C.21D.32 10. 已知()(),5,3,6,4==OB OA 且OB AC OA OC //,⊥,则向量OC 等于( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 D.⎪⎭⎫⎝⎛-214,72 11.已知抛物线C :x y 82=的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若QF PF 3=,则QF = A .25 B . 38C . 3D . 6 12. 设x x f lg )(=,若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点,则实数a 的取值范围是 A. lg 2lg ,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ B .10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . lg 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .lg 20,2⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.)13.已知变量x ,y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为____________.14. 正项等比数列{}n a 中,42=a ,164=a ,则数列{}n a 的前9项和等于 .15. 已知椭圆C :2211612x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ,Q ,线段MN 的中点在C 上,则||||PN QN += ________________.16.定义:如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<,满足ab a f b f x f --=)()()(0,则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”,0x 是它的一个均值点,例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数,则实数m 的取值范围是 __________________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 中,13,a =481a =*()n ∈N .(Ⅰ)若{}n b 为等差数列,且满足2152,b a b a ==,求数列{}n b 的通项公式;Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n b a =,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.(本题12分)某校卫生所成立了调查小组,调查 “ 按时刷牙与患龋齿的关系” ,对该校某年级700 名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:按时刷牙且不患龋齿的学生有60 名,不按时刷牙但不患龋齿的学生有100 名,按时刷牙但患龋齿的学生有 140 名. (1) 能否在犯错概率不超过 0.01 的前提下,认为该年级学生的按时刷牙与患龋齿有关系? (2) 4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集, 另一组负责数据处理,求工作人员甲分到“ 负责收集数据组” 并且工作人员乙分到“ 负责数据处理组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为矩形,DA ⊥平面ABE ,2AE EB BC ===,BF ⊥平面ACE 于点F ,且点F 在CE 上。
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选修2-3 第二章 2.1 2.1.2 第2课时
一、选择题
1.已知随机变量X 的分布列为:P (X =k )=1
2k ,k =1、2、…,则P (2<X ≤4)=( )
A .3
16
B .14
C .116
D .516
[答案] A
[解析] P (2<X ≤4)=P (X =3)+P (X =4) =123+124=316
. 2.某射手射击所得环数X 的分布列为
A .0.28
B .0.88
C .0.79
D .0.51
[答案] C
[解析] P (ξ>7)=P (ξ=8)+P (ξ=9)+P (ξ=10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 3.已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=i )=i
2a (i =1,2,3),则P (ξ=2)=( )
A .19
B .16
C .13
D .14
[答案] C
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a +22a +32a =1,∴6
2a =1,即a =3,
∴P (ξ=2)=1a =1
3
.
4.袋中有10个球,其中7个是红球,3个是白球,任意取出3个,这3个都是红球的概率是( )
A .1120
B .724
C .710
D .37
[答案] B
[解析] P =C 37·
C 03C 310=724
.
5.一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:
①X 表示取出的球的最大号码;②Y 表示取出的球的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是( ) A .①② B .③④ C .①②④ D .①②③④
[答案] B
[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式,或用排除法.
6.用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数,这些数能被2整除的概率是( ) A .15
B .14
C .25
D .35
[答案] C
[解析] P =2A 44A 55=2
5.
二、填空题
7.从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的概率分布为:
[答案] 15 35 1
5
8.随机变量ξ的分布列为:
则ξ[答案]
815
9.从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试,则在选出的3名同学中,至少有一名女同学的概率是______.
[答案] 5
6
[解析] 从10名同学中选出3名同学有C 310种不同选法,在3名同学中没有女同学的选法有
C 36种,∴所求概率为
P =1-C 36
C 310=56
.
三、解答题
10.(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2013年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况,随机抽取了40名本校学生作为样本,统计他们在该月30天内健康上网的天数,并将所得的数据分成以下六组:[0,5],(5,10],(10,15],…,(25,30],由此画出样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数;
(2)现从这40名学生中任取2名,设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数,求Y 的分布列.
[解析] (1)由图可知,健康上网天数未超过20天的频率为(0.01+0.02+0.03+0.09)×5=0.15×5=0.75,
所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0、1、2.
P (Y =0)=C 230C 240=2952;P (Y =1)=C 110C 1
30C 240=513;P (Y =2)=C 210
C 240=352
.
所以Y 的分布列为:
一、选择题
11.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ=k )=c
k (k +1),k =1、2、3、4,其中c 是常数,则
P ⎝⎛⎭⎫12
<ξ<5
2则值为( ) A .23
B .34
C .45
D .56
[答案] D
[解析]
c 1×2+c 2×3+c 3×4+c 4×5
=c ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+⎝⎛⎭⎫14-15 =45c =1.∴c =54
. ∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<5
2=P (ξ=1)+P (ξ=2) =54⎝⎛⎭⎫11×2+12×3=56
. 12.将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为m 和n ,则函数y =2
3mx 3-nx +1在[1,
+∞)上为增函数的概率是( )
A .12
B .56
C .34
D .23
[答案] B
[解析] 由题可知,函数y =2
3mx 3-nx +1在[1,+∞)上单调递增,所以y ′=2mx 2-n ≥0
在[1,+∞)上恒成立,所以2m ≥n ,则不满足条件的(m ,n )有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)共6种情况,所以满足条件的共有30种情况,则函数y =2
3mx 3-nx +1在[1,+∞)上单
调递增的概率为P =3036=5
6
,故选B.
13.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P (ξ=1)=16
45
,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为( )
A .10%
B .20%
C .30%
D .40% [答案] B
[解析] 设10件产品中有x 件次品,则P (ξ=1)=C 1x ·C 110-x
C 2
10=x (10-x )45=1645,∴x =2或8. ∵次品率不超过40%,∴x =2, ∴次品率为2
10=20%.
二、填空题
14.已知离散型随机变量X 的分布列P (X =k )=k
15,k =1、2、3、4、5,令Y =2X -2,
则P (Y >0)=________.
[答案]
1415
[解析] 由已知Y 取值为0、2、4、6、8,且P (Y =0)=115,P (Y =2)=215,P (Y =4)=
3
15=15,P (Y =6)=415,P (Y =8)=515.则P (Y >0)=P (Y =2)+P (Y =4)+P (Y =6)+P (Y =8)=14
15
. 15.一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量ξ,则P (ξ>1)=________.
[答案] 12
[解析] 依题意,P (ξ=1)=2P (ξ=2),P (ξ=3)=1
2P (ξ=2),P (ξ=3)=P (ξ=4),由分布列
性质得
1=P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4), 4P (ξ=2)=1,∴P (ξ=2)=14,P (ξ=3)=1
8.
∴P (ξ>1)=P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4)=1
2.
三、解答题
16.盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张,从盒子中任取3张卡片,每张卡片被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字,求:
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率; (2)随机变量ξ的概率分布.
[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A ,则P (A )=
C 35C 12C 12C 12
C 3
10=23
. (2)由题意ξ可能的取值为2、3、4、5,
P (ξ=2)=C 22C 12+C 12C 2
2
C 3
10=130, P (ξ=3)=C 24C 12+C 14C 22
C 3
10=215, P (ξ=4)=C 26C 12+C 16C 22
C 3
10=310, P (ξ=5)=C 28C 12+C 18C 22
C 3
10=815
. 所以随机变量ξ的分布列为:
17.设(1)记“使得m +n =0成立的有序数组(m ,n )”为事件A ,试列举A 包含的基本事件; (2)设ξ=m 2,求ξ的分布列.
[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查分类与整合思想、化归与转化思想.
解题思路是先解一元二次不等式,再在此条件下求出所有的整数解.解的组数即为基本事件个数,按照古典概型求概率分布列.
(1)由x 2-x -6≤0得-2≤x ≤3, 即S ={x |-2≤x ≤3}.
由于m 、n ∈Z ,m 、n ∈S 且m +n =0,所以A 包含的基本事件为: (-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于m 的所有不同取值为-2、-1、0、1、2、3, 所以ξ=m 2的所有不同取值为0、1、4、9.
且有P (ξ=0)=16,P (ξ=1)=26=13,P (ξ=4)=26=13,P (ξ=9)=16.
故ξ的分布列为:。