极限和连续ppt.
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《函数的极限与连续》课件
初等函数在其定义域内是连续的。
连续性与可导性的关系
1
可导必连续，但连续不一定可导。
2
导数存在与可导性等价，而极限存在与连续性不 等价。
3
左导数存在且等于右导数存在是可导的充分不必 要条件。
03
极限的应用
利用极限求函数值
总结词
利用极限的性质，பைடு நூலகம்过已知的函数值或表达式，推导出其他函数值或表达式的计算方法 。
VS
详细描述
在数学中，证明不等式是一个常见的问题 。利用极限可以证明一些看似难以证明的 不等式。通过将不等式转化为极限的形式 ，我们可以利用极限的性质和不等式的性 质来证明不等式。例如，利用极限可以证 明一些函数的单调性、不等式的等价变换 等。
利用极限求函数的极值
总结词
利用极限的性质和函数的极值定义，求解函 数的极值。
详细描述
函数的极值是函数在某一点附近的局部最大 或最小值。利用极限的性质和函数的极值定 义，我们可以求解函数的极值。通过将函数 在某一点的导数逼近无穷大或无穷小，我们 可以得到该点的极值。这种方法在一些实际 问题中也有应用，例如求解某些物理问题的 极值等。
04
连续性的应用
利用连续性判断函数的单调性
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
连续性与可导性的关系
1
可导必连续，但连续不一定可导。
2
导数存在与可导性等价，而极限存在与连续性不 等价。
3
左导数存在且等于右导数存在是可导的充分不必 要条件。
03
极限的应用
利用极限求函数值
总结词
利用极限的性质，பைடு நூலகம்过已知的函数值或表达式，推导出其他函数值或表达式的计算方法 。
VS
详细描述
在数学中，证明不等式是一个常见的问题 。利用极限可以证明一些看似难以证明的 不等式。通过将不等式转化为极限的形式 ，我们可以利用极限的性质和不等式的性 质来证明不等式。例如，利用极限可以证 明一些函数的单调性、不等式的等价变换 等。
利用极限求函数的极值
总结词
利用极限的性质和函数的极值定义，求解函 数的极值。
详细描述
函数的极值是函数在某一点附近的局部最大 或最小值。利用极限的性质和函数的极值定 义，我们可以求解函数的极值。通过将函数 在某一点的导数逼近无穷大或无穷小，我们 可以得到该点的极值。这种方法在一些实际 问题中也有应用，例如求解某些物理问题的 极值等。
04
连续性的应用
利用连续性判断函数的单调性
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
《连续与极限》课件
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
函数在某区间的连续性
总结词
函数在某区间的连续性是指函数在区间内每一点都连续。
详细描述
如果一个函数在某个区间内的每一点都满足连续的定义，则称该函数在该区间 连续。这是连续函数的区间性质，也是研究连续函数的重要基础。
连续函数的性质
总结词
连续函数的性质包括极限性质、四则运算性质和复合函数性质等。
详细描述
夹逼定理是极限运算中的一种重要定理 ，它指出如果一个数列被两个收敛于同 一极限的数列夹在中间，那么这个数列
也必定收敛于这个极限。
夹逼定理的应用范围很广，可以用来求 解一些较为复杂的极限问题。在应用夹 逼定理时，需要找到合适的夹逼序列，
并证明其收敛性。
夹逼定理在研究函数的极限和连续性等 方面也有着重要的应用。
连续函数具有一些重要的性质，如极限性质，即连续函数的极限值等于函数值；四则运算性质，即两个连续函数 的和、差、积、商仍然是连续函数；复合函数性质，即复合两个连续函数的复合函数仍然是连续函数。这些性质 是研究连续函数的重要基础。
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
函数在某区间的连续性
总结词
函数在某区间的连续性是指函数在区间内每一点都连续。
详细描述
如果一个函数在某个区间内的每一点都满足连续的定义，则称该函数在该区间 连续。这是连续函数的区间性质，也是研究连续函数的重要基础。
连续函数的性质
总结词
连续函数的性质包括极限性质、四则运算性质和复合函数性质等。
详细描述
夹逼定理是极限运算中的一种重要定理 ，它指出如果一个数列被两个收敛于同 一极限的数列夹在中间，那么这个数列
也必定收敛于这个极限。
夹逼定理的应用范围很广，可以用来求 解一些较为复杂的极限问题。在应用夹 逼定理时，需要找到合适的夹逼序列，
并证明其收敛性。
夹逼定理在研究函数的极限和连续性等 方面也有着重要的应用。
连续函数具有一些重要的性质，如极限性质，即连续函数的极限值等于函数值；四则运算性质，即两个连续函数 的和、差、积、商仍然是连续函数；复合函数性质，即复合两个连续函数的复合函数仍然是连续函数。这些性质 是研究连续函数的重要基础。
极限与连续ppt
因为 12 +22 +
n2 =
1 (2n +1)n(n +1) 6
,所以
原式
lim
n
1 n
(
n(n
1)(2n
6n2
1)
)
lim
n
(n
1)(2n 6n2
1)
1
11
lim(1 )(2 )
6 n n
n
1 lim(1 1) lim(2 1) 1 .
6 n
根据定义2.2.1，数列(2.1),(2.2),(2.3),(2.4)是收敛数列， 极限分别为 0，1，0， 1。记为：
lim 1 0, 2 n n
1
lim 32n 1,
lim 1 0,
n
n n
n lim 1. n n 1
根据极限的定义只能通过观察（图像）得到一些简单
同样可以看出,随着 n 的无限增大时, 上述其它数列的
无限变化趋势。
数列（2.3）,即
{1} n
无限地接近常数0；
数列（2.4）,即
{n} n 1
无限地接近常数1；
数列（2.5）,即{2n} 无限增大;
数列（2.6）,即{( 1) n } 不停地在1与-1之间摆动.
前四个数列（2.1）-（2.4）反映了一类数列的一
高等数学D 第2章极限与连续
n
所以 lim nsin 1 lim sin x 1
n
n
x0 x
利用这个结果，可以得到 lim n sin 2 .
2 n
n
刘徽计算了384边形，得到 3.1416
lim sin x 1 蕴含了重要的无理数 .
x0 x 故称为第一个重要极限！
30
函数极限的四则运算法则
即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》中
写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
”.
即数列 1,
1, 2
1 22
,,
1 2n
,
0 (n )
表达物质无限可分，含有极限思想
2
刘徽(三世纪)在其《九章算术注》的“割圆术”中 说“: 割之弥细,所失弥少.割之
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n1
显然 xn1 xn , { xn }是单调增加的;
11
xn
(1
1 )n n
11
1 (1 1 )
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
22
定理3 保号定理 (1)若 lim f ( x) A, 且A 0(或 A 0),
函数的极限函数的连续性PPT教学课件
读名言 悟至理 获启发 利于行
孔子名言
1.君子坦荡荡，小人常戚戚
2.己所不欲，匆施于人
3.三人行，必有我师焉
4.人无远虑，必有近忧 5.与朋友交，言而有信 6.工欲善其事，必先利其器
7.知之者不如好之者， 好之者不如乐之者
8.其身正，不令而行； 其身不正，虽令不从
A.善于向别人学习
B.做人要有忧患意识
“这里才是适合我的孩子居住的地方！”
断织督学
做事必须要有恒心。孟子具有天生的灵性，但也有 一般幼童的贪玩。一天，孟子竟逃学到外面玩了半天。
儿子回家时，孟母不声不响拿起剪刀将织成的锦绢
拦腰剪成两段，就在孟子惊愕不解时，孟母说道： “你的废学，就像我剪断织绢！一个君子学以成名，
你今天不读书，今后永远就只做一些萦萦苟苟的小 事。”孟母用“断织”来警喻“辍学”，指出做事半 途而废，后果是十分严重的。这一幕在孟子小小的心 灵中，留下了鲜明印象，从此孜孜汲汲，日夜勤学不
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
第二章 极限与连续 《经济数学》PPT课件
2.1.2 无穷小与无穷大
在函数的极限中有两个很特殊的量:在自变量的某个变化过程中, 一个是函数的极限为零,另一个是函数的绝对值无限增大.下面介 绍有关的概念.
1)无穷小与无穷大的定义及关系 (1)无穷小. ➢ 定义2-3 在自变量x的某一变化过程中,函数f(x)以零为极限,则
称在该变化过程中,函数f(x)为无穷小量(简称无穷小). • 例如,由于lim(x→0) sin x=0,所以,当x无限趋近于零时,函数sin
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
上述两个问题中,有一个共同的特征:无论是求圆的面积,还是观察新产品使用人数
的变化,实际上我们考虑的是两个变量之间的某种关系,即当一个变量按一定的方式变 得越来越大时,确定另一个变量随之而变的变化趋势.
2. 1. 1 函数的极限
➢ 定义2-1 在自变量x的绝对值无限增大的变化过程中,如果函数y=f(x)的对应
微积分--极限与连续 ppt课件
1 0 ,
x
故 lim1 0. x x
ppt课件
20
例２ 用定义证明:当0 q 1时, limq x 0 x
证 0,0 1, 要使 f ( x) A q x 0 q x ,得x lnq ln .
由于0 q 1,知 l nq 0,于是x l n
lnq 因此取,X ln ,当x X时,有
N定义 :
lim
n
yn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 yn a .
几何解释:
y2
y 1
y N 1
y N 2
y 3
y
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
ppt课件
12
例6
用定义证明lim n
y n
lim (1 n
lnq
f (x) A qx 0 qx
所以,当0 q 1时, limq x 0 x
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21
（二） 当x x0时函数y f ( x)的极限
问题:函数 y f (x) x2在 x 0的过程中,对应
函数值 f (x)将如何表现？
y
O
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x
lim x2 0
x0
22
问题:函数 y f ( x)在 x x0的过程中,对应函数 值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
高三数学函数的极限函数的连续性PPT优秀课件
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在 点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在 点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那 么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
x
lim
x
f(x)x和xlim
f(x)
都存在，且两者相等所以f(x)中的∞既
有+∞，又有－∞的意义，而数列极限
an中的lxim∞ 仅有+∞的意义
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ xx0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， limf(x)a；
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lifm (x ) A ,lig m (x ) B
高等数学第-讲极限与连续PPT课件
极限运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，且等于这两个函数极限的和、 差、积、商。
复合函数的极限运算法则
若函数$y = f[g(x)]$在点$x_0$处的极限存在，且$lim_{x to x_0} g(x) = u_0$，$lim_{u to u_0} f(u) = A$，则$lim_{x to x_0} f[g(x)] = A$。
练习题3
答案解析
利用连续性求极限 lim(x→∞) (√(x^2+1)-√(x^2-1))。
通过运用函数的连续性，可 以将复杂的极限问题转化为 简单的函数值问题，从而求 出极限的值。
一致连续性问题练习题及答案解析
练习题1
练习题2
练习题3
答案解析
证明函数 f(x)=sin(x) 在 R 上 一致连续。
洛必达法则
02
03
等价无穷小替换
对于满足一定条件的两个函数之 比的极限，可以通过求导来简化 计算。
在求解极限过程中，可以将某些 复杂的无穷小量用简单的无穷小 量替换，从而简化计算。
一致连续性问题探讨
一致连续性的定义
对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得 当任意两点x'和x''的距离小于δ时，函数在这 两点的取值之差小于ε。
一致连续性的性质
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（二）连续与间断
1、点连续 lim f (x) f (x0) x x0 在点连续的这一定义中，以下三个
条件要同时满足：
⑴、f(x)在点x0的某一邻域有定义； ⑵、f(x)在点x0有极限； ⑶、f(x)在点x0的极限值等于函数值。
无穷小量与无穷大量的关系是：
xlimx0
f
(x)
0
f (x)
0 xlimx0
1 f (x)
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微积分初步
无穷小量的重要性质：
无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量
如 当 x 时，x12 sin x 是无穷小量
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5、极限的四则运算
对某一极限过程x→○，
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微积分初步
2、间断点 函数的不连续点称为间断点
例：求下列函数的间断点
x2 x 1 1、 f ( x)
x1
2、
f
(
x)
sin
1 x
0
x0 x0
x2 3百度文库 1 x 0
3、 f ( x)
0
x0
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解：1、x=1 （无定义） 2、x=0（极限不存在） 3、x=0（极限值不等于函数值）
的一般方法。
⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，
知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。
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微积分初步
教学重点：
1、函数极限（特别是“0
0
”、 “
”
型）
2、两个重要极限的计算；
3、无穷大、无穷小的概念、性质和
关系。
教学难点：
点连续及间断点的判断。
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一、主要内容归纳：
不存在，不能用极限的除法法则
(3x 1)10 (1 2x)5 25
lim
x
(3x 1)15
35
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微积分初步
1 x 1 2、 lim
x0 sin2x
解： 当 x 0 时分式的分子、分母的极限都
为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需 先将根式有理化
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微积分初步
一数列 { xn } ，若当n无限增大时，xn
无限趋近某个固定常数A，则称当n趋
于无穷时，数列 { xn }以A为极限。
记为
lim
n
xn
A
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2、函数极限
定义：函数 y f ( x)，若当x 趋近于○时， 函数f ( x) 趋近一个确定的常数A，则称x当 趋
于○时，函y数 f ( x) 以A为极限。记为 lim f ( x) A
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（三）极限的计算方法：
l 极限的四则运算法则； l 两个重要极限； l 函数的连续性。
具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件， 否则会在运算中出现错误。
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例 求下列极限
(3 x 1)10 (1 2 x)5
1、 lim x
(3 x 1)15
解：当 x 时分式的分子、分母的极限都
数学基础教程
极限与连续
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微积分初步
教学目的：
⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极 限存在的充分必要条件。
⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系， 知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即
1
lim x sin 0
x0
x
⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限
x2 5x 4
3、、
lim
x4
x2
x
12
解：当时分式的分子、分母的极限都为0，且
（n为自然数）
②、lim n u n lim u n A （n为自然数）
③、limC＝C
（C是常数）
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两个重要极限推广形式
lim sin（）
（ ）0 （ ） 1
(属 “0” 型 ） 0
若limu＝A，limv＝B，则有：
1、lim(u±v) ＝limu±limv＝A±B；
2、lim(u·v) ＝limu·limv＝AB
若v＝c (c是常量)，有lim(cu) ＝climu＝cA；
3、 lim u lim u A，（B 0）。
v limv B
推论：①、limun＝(limu)n ＝An
解： lim f ( x) lim x 0
x0
x0
lim f ( x) lim 1 1
x0
x0
因为在x=0处左右极限不相等，所以在 x=0处极限不存在
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4、无穷小量与无穷大量
以零我极限的变量称为无穷小量；
绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量 称为无穷大量。
（一）函数极限
1、数列极限 按一定规律排列的一串数
x1 , x2， xn
称为数列，记为 { xn } 。第n项称为数列
的通项。数列可看作是定义在正整数集合
上的函数，即 xn f (n)（n=1,2,3……）
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讨论n无限增大时 xn的变化趋势：
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数列极限定义：
lim （） (1 （1）)（） e (属 “1” 型 ）
1
或 lim (1 （）)（） e （ ）0
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注：这里教材中相应公式原 来x的位置，统统被“（）”取 代，它可以是任一有意义的函数， 这时的公式实际比原公式应用更 广。并给学者提供了想象空间， 不具体给出函数形式。
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3、利用连续性求极限
由 lim x x0可知 lim f (x) f (x0) f (lim x)
x x0
x x0
x x0
连续函数极限符号与函数符号可以交换
如
lim
1
ln(1
x)
lim ln(1
1
x) x
x0 x
x0
1
ln lim(1 x) x ln e 1 x0
xo
注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义，
缺一不可；
2、极限过程x→○是指
x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞中的一种。
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3、极限存在的充要条件
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例的、左设右函极数限，f并(x判) 断1x在xxx=00点0 是求否x存=0在点 极限
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（二）连续与间断
1、点连续 lim f (x) f (x0) x x0 在点连续的这一定义中，以下三个
条件要同时满足：
⑴、f(x)在点x0的某一邻域有定义； ⑵、f(x)在点x0有极限； ⑶、f(x)在点x0的极限值等于函数值。
无穷小量与无穷大量的关系是：
xlimx0
f
(x)
0
f (x)
0 xlimx0
1 f (x)
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无穷小量的重要性质：
无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量
如 当 x 时，x12 sin x 是无穷小量
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5、极限的四则运算
对某一极限过程x→○，
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2、间断点 函数的不连续点称为间断点
例：求下列函数的间断点
x2 x 1 1、 f ( x)
x1
2、
f
(
x)
sin
1 x
0
x0 x0
x2 3百度文库 1 x 0
3、 f ( x)
0
x0
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解：1、x=1 （无定义） 2、x=0（极限不存在） 3、x=0（极限值不等于函数值）
的一般方法。
⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，
知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。
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教学重点：
1、函数极限（特别是“0
0
”、 “
”
型）
2、两个重要极限的计算；
3、无穷大、无穷小的概念、性质和
关系。
教学难点：
点连续及间断点的判断。
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一、主要内容归纳：
不存在，不能用极限的除法法则
(3x 1)10 (1 2x)5 25
lim
x
(3x 1)15
35
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1 x 1 2、 lim
x0 sin2x
解： 当 x 0 时分式的分子、分母的极限都
为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需 先将根式有理化
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微积分初步
一数列 { xn } ，若当n无限增大时，xn
无限趋近某个固定常数A，则称当n趋
于无穷时，数列 { xn }以A为极限。
记为
lim
n
xn
A
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2、函数极限
定义：函数 y f ( x)，若当x 趋近于○时， 函数f ( x) 趋近一个确定的常数A，则称x当 趋
于○时，函y数 f ( x) 以A为极限。记为 lim f ( x) A
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（三）极限的计算方法：
l 极限的四则运算法则； l 两个重要极限； l 函数的连续性。
具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件， 否则会在运算中出现错误。
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例 求下列极限
(3 x 1)10 (1 2 x)5
1、 lim x
(3 x 1)15
解：当 x 时分式的分子、分母的极限都
数学基础教程
极限与连续
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教学目的：
⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极 限存在的充分必要条件。
⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系， 知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即
1
lim x sin 0
x0
x
⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限
x2 5x 4
3、、
lim
x4
x2
x
12
解：当时分式的分子、分母的极限都为0，且
（n为自然数）
②、lim n u n lim u n A （n为自然数）
③、limC＝C
（C是常数）
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两个重要极限推广形式
lim sin（）
（ ）0 （ ） 1
(属 “0” 型 ） 0
若limu＝A，limv＝B，则有：
1、lim(u±v) ＝limu±limv＝A±B；
2、lim(u·v) ＝limu·limv＝AB
若v＝c (c是常量)，有lim(cu) ＝climu＝cA；
3、 lim u lim u A，（B 0）。
v limv B
推论：①、limun＝(limu)n ＝An
解： lim f ( x) lim x 0
x0
x0
lim f ( x) lim 1 1
x0
x0
因为在x=0处左右极限不相等，所以在 x=0处极限不存在
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4、无穷小量与无穷大量
以零我极限的变量称为无穷小量；
绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量 称为无穷大量。
（一）函数极限
1、数列极限 按一定规律排列的一串数
x1 , x2， xn
称为数列，记为 { xn } 。第n项称为数列
的通项。数列可看作是定义在正整数集合
上的函数，即 xn f (n)（n=1,2,3……）
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讨论n无限增大时 xn的变化趋势：
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数列极限定义：
lim （） (1 （1）)（） e (属 “1” 型 ）
1
或 lim (1 （）)（） e （ ）0
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注：这里教材中相应公式原 来x的位置，统统被“（）”取 代，它可以是任一有意义的函数， 这时的公式实际比原公式应用更 广。并给学者提供了想象空间， 不具体给出函数形式。
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3、利用连续性求极限
由 lim x x0可知 lim f (x) f (x0) f (lim x)
x x0
x x0
x x0
连续函数极限符号与函数符号可以交换
如
lim
1
ln(1
x)
lim ln(1
1
x) x
x0 x
x0
1
ln lim(1 x) x ln e 1 x0
xo
注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义，
缺一不可；
2、极限过程x→○是指
x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞中的一种。
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3、极限存在的充要条件
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例的、左设右函极数限，f并(x判) 断1x在xxx=00点0 是求否x存=0在点 极限