第招 如何判断函数的奇偶性
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。
函数的奇偶性对于函数图像的对称性有着重要的影响，因此掌握函数奇偶性的判断方法对于理解函数的性质至关重要。
本文将介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们需要了解函数的奇偶性的定义。
一个函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。
也就是说，偶函数具有轴对称性，而奇函数具有中心对称性。
接下来，我们来介绍如何判断一个函数的奇偶性。
对于一个给定的函数f(x)，我们可以通过以下几种方法来判断它的奇偶性：1. 代数判断法。
对于一个函数f(x)，我们可以将其展开成幂函数的形式，然后通过代数运算来判断它的奇偶性。
具体来说，如果一个函数可以写成f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ的形式，那么我们只需要判断a₁、a₃、a₅...这些奇次幂的系数是否为0，以及a₀、a₂、a₄...这些偶次幂的系数是否为0，就可以得出函数的奇偶性。
2. 函数图像判断法。
我们知道，奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它的奇偶性。
如果函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。
3. 导数判断法。
对于一个函数f(x)，如果它是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数；如果它是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数。
因此，我们可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。
通过以上方法，我们可以比较准确地判断一个函数的奇偶性。
在实际应用中，我们经常会遇到需要判断函数奇偶性的情况，比如在求函数的积分、解方程等问题中，掌握函数奇偶性的判断方法可以帮助我们更好地解决问题。
判断函数奇偶性的方法
判断函数奇偶性的方法在数学中，我们经常会遇到需要判断函数奇偶性的情况。
函数的奇偶性在解题过程中起着重要的作用，因此掌握判断函数奇偶性的方法对于解题是非常有帮助的。
接下来，我们将介绍几种判断函数奇偶性的方法，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来看一下函数的奇偶性的定义。
一个函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
根据这个定义，我们可以得出判断函数奇偶性的方法。
一种判断函数奇偶性的方法是利用函数的图像。
对于一个函数f(x)，如果它是偶函数，那么它的图像关于y轴对称；如果它是奇函数，那么它的图像关于原点对称。
因此，我们可以通过观察函数的图像来判断函数的奇偶性。
这种方法在一些简单的情况下是比较直观和方便的。
另一种判断函数奇偶性的方法是利用函数的表达式。
对于一个函数f(x)，如果它是偶函数，那么它的表达式中只包含偶次幂的x，例如x^2、x^4等；如果它是奇函数，那么它的表达式中只包含奇次幂的x，例如x、x^3等。
通过观察函数的表达式，我们可以判断函数的奇偶性。
这种方法在一些复杂的情况下是比较有效的。
此外，还有一种判断函数奇偶性的方法是利用函数的导数。
对于一个函数f(x)，如果它是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数；如果它是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数。
因此，我们可以通过求函数的导数来判断函数的奇偶性。
这种方法在一些需要进行具体计算的情况下是比较实用的。
综上所述，判断函数奇偶性的方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行判断。
在解题过程中，掌握这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而更好地解决问题。
希望本文介绍的方法对大家有所帮助，谢谢阅读！。
奇偶函数的判断口诀
奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。
这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。
另外，还可以通过函数的定义来判断。
奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。
此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。
如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。
综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。
究竟如何判别函数的奇偶性附判断方法与8字口诀
究竟如何判别函数的奇偶性?附判断方法与8字口诀
函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？下面是组合教育张老师整理的关于函数奇偶性知识点，希望对考生复习有帮助。
一般地，对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函
数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
(5) 若f(x)=0，既是奇函数，又是偶函数。
说明：
1.奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言；
2.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验期定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义函数奇偶性知识点的全部知识点就分享到这里，更多精彩敬请点击视频查看详解。
函数奇偶性口诀：
内偶则偶，内奇同外。
奇函数+奇函数=奇函数
偶函数+偶函数=偶函数
奇函数*奇函数=偶函数
偶函数*偶函数=偶函数
奇函数*偶函数=奇函数。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法在学习函数的性质时，我们经常会遇到函数的奇偶性判断问题。
那么，什么是函数的奇偶性呢？如何准确地判断一个函数的奇偶性呢？本文将详细介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下函数的奇偶性的概念。
一个函数的奇偶性是指该函数图象关于原点对称的性质。
具体来说，如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，那么我们称该函数为偶函数；如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，那么我们称该函数为奇函数。
接下来，我们将介绍如何判断一个函数的奇偶性。
首先，我们可以利用函数的解析式来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它的解析式中只包含偶次幂的项（如x^2, x^4,等），那么该函数就是偶函数；如果它的解析式中只包含奇次幂的项（如x, x^3,等），那么该函数就是奇函数；如果它的解析式中即包含偶次幂的项，又包含奇次幂的项，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。
其次，我们可以利用函数的图象来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它的图象关于y轴对称，那么该函数是偶函数；如果它的图象关于原点对称，那么该函数是奇函数；如果它的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。
除此之外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它满足函数的奇偶性质，那么我们可以利用函数的性质来进行判断。
例如，对于偶函数，我们有f(x)+f(-x)=0；对于奇函数，我们有f(x)-f(-x)=0。
总之，函数的奇偶性判断方法主要有三种，利用函数的解析式、利用函数的图象、利用函数的性质。
通过这些方法，我们可以准确地判断一个函数的奇偶性。
在实际问题中，我们经常需要根据函数的奇偶性来简化问题的求解过程，因此掌握这一知识点对于我们的学习和工作都是非常重要的。
希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握函数奇偶性的判断方法，同时也希望大家能够在实际问题中灵活运用这一知识点，提高问题的解决效率。
判断函数奇偶性的方法
判断函数奇偶性的方法对于一个给定的函数，我们常常需要判断它的奇偶性。
判断一个函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而更好地解决问题。
在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们具有一些特定的性质和规律。
本文将介绍判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。
其中，D表示函数的定义域。
接下来，我们将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法。
方法一，利用函数图像判断。
对于一个给定的函数，我们可以通过观察它的图像来判断它的奇偶性。
具体来说，如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于坐标轴原点对称，那么这个函数就是奇函数。
例如，对于函数y=x^2，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线，因此它是偶函数；而对于函数y=x^3，它的图像是关于原点对称的曲线，因此它是奇函数。
方法二，利用函数的性质判断。
除了通过观察函数的图像来判断奇偶性外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。
具体来说，我们可以利用函数的定义和性质来进行推导和证明。
以多项式函数为例，我们知道，一个多项式函数可以表示为f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0为常数，n为非负整数。
对于一个多项式函数，如果它满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果它满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。
方法三，利用导数判断。
另外，我们还可以利用函数的导数来判断函数的奇偶性。
具体来说，如果一个函数f(x)是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数；如果一个函数f(x)是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数。
举例说明函数奇偶性的几种判断方法
举例说明函数奇偶性的几种判断方法函数的奇偶性是一种特殊的性质，它指的是函数在关于原点对称的情况下是否具有相同的特征。
具体地说，如果一个函数在关于原点对称的情况下能够保持不变，那么这个函数就是偶函数；如果一个函数在关于原点对称的情况下能够发生“翻转”的变化，那么这个函数就是奇函数。
判断函数的奇偶性是函数分析的基本问题之一，下面将介绍几种常见的方法来判断函数的奇偶性。
一、利用函数图像的对称性利用函数的图像对称性是一种最直观的判断函数奇偶性的方法。
如果一个函数关于 y 轴对称，则该函数为偶函数；如果一个函数关于原点对称，则该函数为奇函数。
例如，函数f(x) = x² 在 x 轴和 y 轴上都有对称轴，但是它关于 y 轴对称，因此是一个偶函数。
而函数g(x) = x³ 在原点有对称轴，但是它不与 y 轴对称，因此是一个奇函数。
利用函数的代数性质也可以判断函数的奇偶性。
对于一个偶函数 f(x)，有 f(x) =f(-x)，也就是说，当 x 变为负数时，函数值不变；而对于一个奇函数 g(x)，有 g(x) = -g(-x)，也就是说，当 x 变为负数时，函数值取相反数。
例如，函数 h(x) = cos x 是一个偶函数，因为它满足 h(x) = cos x = cos(-x) = h(-x)；而函数 i(x) = sin x 是一个奇函数，因为它满足 i(x) = sin x = -sin(-x) = -i(-x)。
三、利用函数的微积分性质四、利用函数的级数表示式利用函数的级数表示式也可以判断函数的奇偶性。
对于一个偶函数 f(x)，它的幂级数展开式只包含偶次幂项，因为所有奇次幂项的系数都是零；而对于一个奇函数 g(x)，它的幂级数展开式只包含奇次幂项，因为所有偶次幂项的系数都是零。
例如，函数 l(x)= e^x + e^-x 是一个偶函数，因为它的幂级数展开式为 l(x) = 2 + x^2/2! + x^4/4!+ …；而函数 m(x) = e^x - e^-x 是一个奇函数，因为它的幂级数展开式为 m(x) = 2x+ x^3/3! + x^5/5! + …。
函数奇偶性怎么判断
函数奇偶性怎么判断在数学中，函数的奇偶性是指函数在自变量的取值范围内对应的因变量的取值情况。
奇函数和偶函数是函数的一种特殊类型，它们具有特定的对称性质。
在函数图像的观察和推导过程中，判断函数的奇偶性是一项重要的工作。
本文将介绍如何判断函数的奇偶性以及相关的数学定理和方法。
一、定义与分类首先，我们来定义奇函数和偶函数。
奇函数：如果对于函数中的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
也就是说，对于奇函数来说，函数值在自变量相反的两个点上取相反的值。
偶函数：如果对于函数中的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
换句话说，对于偶函数来说，函数值在自变量相反的两个点上取相同的值。
需要注意的是，奇函数和偶函数并不是互斥的关系，一个函数既可以是奇函数又可以是偶函数。
二、判断函数奇偶性的方法接下来，我们将介绍几种常见的方法来判断函数的奇偶性。
1. 利用函数的定义进行证明根据奇函数和偶函数的定义，我们可以通过直接代入来进行证明。
如果将一个函数的自变量x替换为-x，然后将替换后得到的表达式与原来的函数表达式进行比较。
如果两者相等，则说明函数是偶函数；如果两者相反，则说明函数是奇函数。
例如，对于函数f(x) = x^3，我们将x替换为-x，得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。
发现f(-x)和-f(x)不相等，因此函数f(x) = x^3是一个奇函数。
对于函数f(x) = x^2，我们将x替换为-x，得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。
发现f(-x)和f(x)相等，因此函数f(x) = x^2是一个偶函数。
2. 利用函数的图像进行观察函数的图像也可以提供一些关于函数奇偶性的线索。
对于奇函数来说，它的图像具有关于原点对称的特点；而对于偶函数，它的图像具有关于y轴对称的特点。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数的图像具有关于原点对称或者关于y轴对称的特点，那么函数就是奇函数或者偶函数。
考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向(解析版)
专题二 函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向 （1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（ ）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D 【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【解析】()()22x f x g x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃【答案】B 【分析】分析出函数()f x 在(),0-∞、()0,∞+上的单调性，以及()()440f f =-=，化简得出()40f x x+>，结合图象可得出关于实数x 的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或44x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．函数2()x x e e f x x -+=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项. 【解析】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()()2x xe ef x f x x-+-==，所以()f x 为偶函数，由此排除CD 选项. ()211101e e f e e+==+>，由此排除B 选项.故选：A4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由①可知函数()f x 为奇函数，由②可知图象关于34x =对称，则函数()f x 为周期函数，周期为3，然后利用周期性可知()21(2020)1log 32f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭解出m 的值. 【解析】由①可知函数()f x 为奇函数，又33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3(3)()2f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 的周期为3，∴2213(2020)(1)log log 322f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭，解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有： ①若()()2f x f a x =-，则函数()f x 图象关于x a =对称；②若函数()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 图象关于点(),a b 中心对称；③若函数()f x 的图象关于点(),a c 中心对称，且关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 为周期函数，周期4T a b =-.5．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（ ） A ．0 B ．-1C ．2D ．1【答案】D 【分析】由奇函数的性质(0)0f =求解即可； 【解析】解：因为(21)2()21x x a f x +-=+定义域为R ，又(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数 所以(0)0f =，即()0(21)20021a f +-==+，解得1a =.所以21()21x xf x ， ()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，即21()21x x f x 是奇函数； 故选：D6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】C 【分析】由已知偶函数及(1)(1)f x f x -=+，得出函数是周期函数，周期为2，由此可得结论． 【解析】解：根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+， 则()()2f x f x -=+，又由()f x 为偶函数， 则有()()f x f x -=，则(2)()f x f x +=， 函数()f x 是周期为2的周期函数， 故(10)(0)2f f ==， 故选：C.7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1()2x f x = B ．()sin f x x = C ．()cos f x x = D ．()||f x x x =-【答案】D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【解析】对于A 选项，函数1()2xf x =是非奇非偶函数； 故A 不正确. 对于B 选项，函数()sin f x x =在定义域内不是减函数，故B 不正确. 对于C 选项，函数()cos f x x =在定义域内不是减函数，故C 不正确.对于D 选项，()||f x x x =-,则()||()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为奇函数.又220()0x x f x x x x x≥⎧-=-=⎨<⎩,当0x ≥时，2()f x x =-为减函数.又()f x 为奇函数，则()f x 在(]0-∞，上单调递减，且()00f = 所以()f x 在R 上单调递减，满足条件，故D 正确. 故选：D8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5 B ．－7C ．5D ．7【答案】A 【分析】令3()g x ax bx =+利用函数的奇偶性计算可得； 【解析】解：因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-，所以()()551615f g -=-+=-+=-故选：A9．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ） A ．最小值－5 B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3【答案】C 【分析】由于()x φ、()g x 为奇函数，得()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数，则()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，即可得()f x 的最值. 【解析】因为()x φ、()g x 为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又()f x 有最大值5， ∴()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1． 故选：C10．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f --> D ．(1)(2)0f f --<【答案】D 【分析】利用函数的单调性可得(1)(2)0f f -<，再利用奇偶性可得答案. 【解析】因为函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，且1212>>， 所以(2)(1)(1)(2)0f f f f >⇒-<， 又因为函数()y f x =是偶函数， 所以(2)(2)f f =-， 所以(1)(2)0f f --<， 故选：D.11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（ ） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1 D ．减函数且最大值是-1【答案】B 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，结合选项判断即可． 【解析】因为函数f （x ）是奇函数，且在[a ，b]上是增函数，故函数在对称区间上单调性相同，即函数在[-b ，-a]上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到(1)(1) 1.f f -=-=- 故选：B12．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（ ）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性及单调性即可比较大小. 【解析】由(2)f x +是偶函数可知函数2()f x x ax b =++关于直线2x =对称，所以(1)(3)f f =， 又该函数图象开口向上，当2x >时单调递增， 故57()(1)()22f f f <<， 故选：A.13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（ ）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性转化为解()2(8)xf f <.【解析】因为(2,)2x x R f x x -=-∈，()()22xx f x f x --=-=-，所以()22xxf x -=-为奇函数，2x y =是增函数，2x y -=是减函数()22x x f x -=-为R 上的增函数，所以()2(8)0x f f +-<等价于()2(8)xf f <，因此28x <，即：3x <. 故选：B.14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（ ） A ．7- B ．7C ．5-D ．5【答案】D 【分析】由奇函数定义可求解 【解析】()33215f -=-⨯+=- ()(3)35f f =--=故选：D15．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据奇函数的定义及充要条件的定义判断. 【解析】 因为()()22xx f x a a =-≠为奇函数，所以()()0f x f x +-=，220x x x x a a ---+-=，()()12102xxx a a ⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦恒成立，()21xa =，12a =， ()22x x f x -=-为R 上的减函数，且()00f =，所以()0f m >，0m <， 因此，“12m <-”是“()0f m >”的充分不必要条件. 故选:B ．16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________. 【答案】12- 【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可． 【解析】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．【答案】8 【分析】由已知求得()()f x g x ---，建立方程组，可求得()3g x x =-，代入可求得答案．【解析】 因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以3232()()()()f x g x x x a x x a ---=-+-+=-++，即32()()f x g x x x a +=-++，又32()()f x g x x x a -=++，所以()3g x x =-，所以()3228g ==-，故答案为：-8．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________． 【答案】(3,0)(0,3)-⋃ 【分析】把()0xf x <转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，利用()f x 的单调性、奇偶性及(3)0f =可解.【解析】由题意(3)(3)0f f -=-=，当0x >时，由()0f x <得03x <<， 根据函数为奇函数，当0x <时，函数单调递增，由()0f x >得30x -<<，所以0()0()0x xf x f x >⎧<⇔⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，解得03x <<或30x -<<．所以不等式的解集为(3,0)(0,3)-⋃． 故答案为：(3,0)(0,3)-⋃ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式.19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．【答案】34- 【分析】由(2)()f x f x +=，得()f x 的周期为2，再判断12log 72+的范围为(1,0)-，再利用奇函数的性质可得1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--，然后代入()21x f x =-中可得结果 【解析】(2)()f x f x +=，()f x 是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--27log 473(21)(1)44=--=--=-．故答案为：34-． 20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________ 【答案】3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，将不等式1(21)0f x -≤+≤，转化为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，利用函数在R 上是增函数求解. 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以()11,002f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以不等式1(21)0f x -≤+≤，即为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为函数在[)0,+∞上为增函数，则在R 上是增函数，所以12102x -≤+≤， 解得3142x -≤≤-，所以不等式的解集为3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，故答案为：3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； （3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）1. 【分析】（1）把2x +看成一个整体证明()()4f x f x +=即可； （2）先求x ∈[-2，0]的解析式，再利用周期性即可； （3）利用周期性即可获解. 【解析】（1）∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. （2）当x ∈[-2，0]时，-x ∈[0，2]， 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，∴f(x)=x2+2x. 又当x ∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x ∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8.（3）f （0）=0，f （2）=0，f （1）=1，f （3）=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）=… =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0， ∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f(2017)= f （0）+f （1）=0+1=1. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f .【答案】15- 【分析】先通过1(2)()f x f x +=可推断函数()f x 是以4为周期的函数，进而可求得(5)(1)f f =，(5)(1)f f -=-；根据1(2)()f x f x +=可求得1(1)(1)f f -=，进而可求得((5))f f .【解析】 1(2)()f x f x +=， 1(22)(1)5(2)f x f f x ∴++===-+，((5))(5)(1)f f f f =-=-，又111(1)(12)(1)5f f f -===--+，1((5))5f f ∴=-.23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-． （I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减． 【答案】（Ⅰ）()f x 为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析； 【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，然后直接利用奇偶性的定义判断； （Ⅱ）直接利用单调性的定义证明； 【解析】（Ⅰ）解：()f x 为奇函数； 证明：因为11(),11f x ax a R x x =++∈+- 所以()f x 的定义域为{|1x R x ∈≠-且1}x ≠， 1111()()()1111f x ax ax f x x x x x -=-++=-++=--+--+-， ∴函数()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明：任取1x ，2(0,1)x ∈，设12x x <，则 212112121212()()()(1)(1)(1)(1)x x x x f x f x a x x x x x x ---=-++--++12121211()[](1)(1)(1)(1)x x a x x x x =-----++121222122(1)()[](1)(1)x x x x a x x +=----．1201x x <<<，122(1)2x x ∴+>，22120(1)(1)1x x <--<，∴1222122(1)2(1)(1)x x a x x +>>--， 1222122(1)0(1)(1)x x a x x +∴-<--．又120x x -<，12()()f x f x ∴>．∴函数()f x 在(0,1)上单调递减；24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.【分析】（1）利用函数的奇偶性求得函数()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性列方程组，解方程组求得()f x 和()g x . 【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦.所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩. （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+， 所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-， 由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.【答案】证明见解析 【分析】对定义域内任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，根据条件可得12()f x x -与21()f x x -的关系，即()f x 与()f x -间的关系，根据奇偶函数定义即可判断．【解析】解：函数()f x 在定义域内是奇函数．因为在定义域内，对任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-， 且满足1212211()()()()()f x f x f x x f x f x +-=-，由于函数()f x 的定义域关于原点对称，x -必与x 同时在定义域内， 同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，且满足：2121121()()()()()()f x f x f x f x x f x f x +-=-=-，即()()f x f x =--，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在定义域内是奇函数．26．()f x =为奇函数，则a 的取值范围【答案】1a ≤- 【分析】先求函数得定义域，再根据奇函数得出恒等式，进而可得结果. 【解析】()f x 定义域为11x -≤≤且0x ≠，()f x 为奇函数，所以()()-==-=f x f x 所以对11x -≤≤且0x ≠，++=---x a a x a a 恒成立 所以+=2+--x a x a a 恒成立()+2221min x a x a x a x a x +-≥⇒-≥⇒≤-=-所以1a ≤- 【点睛】关键点点睛：函数的定义域容易被忽略，本题考查了计算化简能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式. 【答案】①偶函数；②2(),()21f x x g x x =-=+ 【分析】（1）按照定义判断即可；（2）由条件解得22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++，然后解出即可. 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以[][][]()222()()3()()3()()3()F x f x g x f x g x f x g x F x -=---=--=-= 所以[]2()()3()F x f x g x =-是偶函数（2）因为22()3()623f x g x x x +=-+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 所以22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++ 所以可解得2(),()21f x x g x x =-=+28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值【答案】±1 【分析】利用奇函数的定义可得()()f x f x -=-列式，化简可求出a 的值 【解析】解：因为2()2x x af x a-=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x xa aa a----=-++， (2)(2)(2)(2)x x x x a a a a ---+=+-化简得21a =，得1a =±， 当1a =时，21()21x x f x （x ∈R ），此时211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++， ()f x 为奇函数，当1a =-时，21()21x x f x +=-（0x ≠），此时211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，()f x 为奇函数， 所以1a =±29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围． 【解析】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-， 要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-. 30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性； （3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）递增，证明见解析；（3）[]1,3-. 【分析】（1）函数()g x 为奇函数，计算得到()()g x g x -=-得到证明；（2）函数()g x 在()1,+∞上单调递增，设121x x <<，计算()()120g x g x -<得到证明；（3）根据函数的单调性得到不等式2227244m m m m --+≥+，计算得到答案. 【解析】（1）根据题意，()g x 为奇函数，()()21111331111x x x g x f x x x x x x x --⎛⎫=-=++-=-++ ⎪-+-+⎝⎭， 其定义域为{|1x x ≠-且0x ≠且1}x ≠，关于原点对称， 则有()()11111g x g x x x x ⎛⎫-=-++=-⎪-+⎝⎭，则函数()g x 为奇函数； （2）根据题意，函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，设121x x <<，()()121112221111111111g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+++++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121111111x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦，又由121x x <<，则()()120g x g x -<，则函数()g x 在()1,+∞上的单调递增， （3）根据题意，()g x 在()1,+∞上的单调递增，()()3f x g x =+在()1,+∞上的单调递增；又由()()2222271612442121m m m m m m +=-+>+=--+->，， ()()2227244f m m f m m -+≥-+，∴2227244m m m m --+≥+，解可得：13m -≤≤； 即m 的取值范围为[]1,3-. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法函数的奇偶性在数学中是一个重要的概念，它对于函数的性质和图像有着重要的影响。
在学习和应用函数的过程中，我们经常需要判断一个函数的奇偶性。
那么，如何准确地判断一个函数的奇偶性呢？接下来，我们将介绍几种常见的方法，帮助大家更好地理解和掌握函数奇偶性的判断方法。
首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)被称为奇函数，当且仅当对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，当且仅当对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。
其中，D为函数f(x)的定义域。
接下来，我们将介绍几种判断函数奇偶性的方法。
1. 代数判断法。
对于一个函数f(x)，我们可以通过代数的方法来判断它的奇偶性。
具体来说，我们可以计算f(-x)和f(x)，然后比较它们的关系。
如果f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数；如果f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果以上两个关系都不成立，那么函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
举个例子，我们来判断函数f(x)=x^3-x的奇偶性。
首先，我们计算f(-x)和f(x)的值，得到f(-x)=(-x)^3-(-x)=-(x^3+x)，f(x)=x^3-x。
然后我们比较它们的关系，发现f(-x)=-f(x)成立，因此函数f(x)是奇函数。
2. 函数图像判断法。
除了代数判断法，我们还可以通过函数的图像来判断它的奇偶性。
对于一个偶函数，它的图像关于y轴对称；对于一个奇函数，它的图像关于原点对称。
因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它的奇偶性。
举个例子，我们来判断函数f(x)=x^2的奇偶性。
首先，我们画出函数f(x)=x^2的图像，发现它关于y轴对称，因此函数f(x)是偶函数。
3. 导数判断法。
最后，我们介绍一种通过函数的导数来判断奇偶性的方法。
对于一个偶函数，它的导数是奇函数；对于一个奇函数，它的导数是偶函数。
因此，我们可以通过计算函数的导数来判断它的奇偶性。
掌握高考数学中的函数奇偶性与周期性判断技巧有哪些要点
掌握高考数学中的函数奇偶性与周期性判断技巧有哪些要点在高考数学中，对于函数的奇偶性与周期性的判断是非常重要的。
深入理解和掌握这些技巧，有助于我们解题更加高效准确。
本文将介绍一些判断函数奇偶性与周期性的要点，帮助同学们在高考中取得好成绩。
一、函数奇偶性的判断1. 定义法判断奇偶性：如果一个函数满足$f(x) = f(-x)$，则函数为偶函数；如果一个函数满足$f(x) = -f(-x)$，则函数为奇函数。
例如：$f(x) = x^2$是一个偶函数；$g(x) = x^3$是一个奇函数。
2. 图像法判断奇偶性：对于函数$f(x)$，通过绘制它的函数图像，可以观察函数图像的对称性。
如果函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果函数图像关于原点对称，则函数为奇函数。
例如：函数$y=x^4$关于y轴对称，因此是偶函数；函数$y=x^5$关于原点对称，因此是奇函数。
3. 利用导数性质判断奇偶性：若一个函数在定义域内可导，通过观察导数的奇偶性也可以判断函数的奇偶性。
若导数$f'(x)$为奇函数，则原函数$f(x)$为偶函数；若导数$f'(x)$为偶函数，则原函数$f(x)$为奇函数。
例如：函数$f(x) = \sin x$的导函数$f'(x)= \cos x$是奇函数，因此$f(x)$是偶函数。
二、函数周期性的判断1. 定义法判断周期性：若存在正数$T$，使得对于函数$f(x)$的任意$x$都有$f(x+T) =f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中$T$为函数的最小正周期。
例如：函数$f(x) = \sin x$是一个周期为$2\pi$的周期函数。
2. 图像法判断周期性：通过绘制函数的函数图像，可以观察函数图像的重复性。
若函数图像在某个区间内重复出现，则函数是周期函数，其周期可以通过观察重复的区间长度来确定。
例如：函数$f(x) = \cos(2x)$的函数图像在$[-\pi,\pi]$区间内重复出现，因此是一个周期为$\pi$的周期函数。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法函数奇偶性是函数的一个重要特征，用来描述函数图像的对称性。
奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们分别具有关于原点和关于y轴的对称性质。
在数学中，我们通过几种方法来判断函数的奇偶性，包括对函数进行代入法、微积分法以及函数表达式的分析。
首先，我们可以通过代入法来判断函数的奇偶性。
代入法就是将函数中的自变量分别代入正负两个不同的数值，然后比较函数值的正负关系。
具体来说，如果将函数的自变量代入正数和负数后，函数值分别相等，那么这个函数就是一个偶函数。
如果将函数的自变量代入正数和负数后，函数值分别相等但符号相反，那么这个函数就是一个奇函数。
如果函数不满足这两个条件，那么它就是一个既不是奇函数也不是偶函数的一般函数。
举例来说，考虑函数f(x)=x^2-1、我们可以将x分别代入1和-1，即f(1)=1-1=0，f(-1)=(-1)^2-1=0。
因此，我们可以发现它们的函数值相等，所以这个函数是一个偶函数。
再比如，考虑函数g(x)=x^3、我们可以将x分别代入1和-1，即g(1)=1，g(-1)=-1、可以发现它们的函数值相等但符号相反，所以这个函数是一个奇函数。
其次，我们可以通过微积分的方法来判断函数的奇偶性。
微积分的方法是利用函数的导数进行判断。
根据函数的奇偶性质，如果函数是奇函数，则它的导数是偶函数；如果函数是偶函数，则它的导数是奇函数。
这是因为函数的导数描述了函数曲线上的速率变化情况，而奇函数和偶函数的对称性质将反映到它们的变化率上。
以函数的偶奇性质与导数的关系为例，假设函数f(x)是一个奇函数。
那么我们有f'(x)=0，即函数的导数在任意点都等于0。
而0是一个偶数，所以函数的导数f'(x)是一个偶函数。
同理，如果函数f(x)是一个偶函数，那么它的导数f'(x)是一个奇函数。
举例来说，考虑函数h(x)=x^4-x^2、我们可以求出它的导数h'(x)=4x^3-2x。
考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向(原卷版)
专题二 函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向 （1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（ ）A ．5B ．5-C ．3D ．3-2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃3．函数2()x xe ef x x-+=的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．25．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（ ） A ．0B ．-1C ．2D ．16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．47．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1()2x f x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x x x =-8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5B ．－7C ．5D ．79．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ） A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－310．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f -->D ．(1)(2)0f f --<11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（ ） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1D ．减函数且最大值是-112．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（ ）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（ ）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（ ） A ．7-B ．7C ．5-D ．515．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________.17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________． 19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； （3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f . 23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-． （I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减．24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.26．()f x x a a=-+为奇函数，则a 的取值范围27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式.28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性； （3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.。
怎么判断函数的奇偶性
怎么判断函数的奇偶性
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫奇函数。
扩展资料
判断函数奇偶性的方法
1.先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性
2.根据分解的.函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）
3.若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇
4.若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶
5.若f（x）、g(x）都是奇函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇，f(g(x))奇。
第招 如何判断函数的奇偶性e
第11招 如何判断函数的奇偶性？ 判断函数的奇偶性〔有的还牵涉三角函数〕是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例（一） 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法这是最常用的方法.其解法步骤如下：〔1〕确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.假设不是，可判断该函数是非奇非偶函数.假设是，再按以下步骤继续进行.〔2〕在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：〔1〕既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0.〔2〕假设奇函数f(x)在x=0处有定义，那么f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是xxx x f +-•+=11〔 〕. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解(]()()的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=-≤<-≥+-00)(2..1,19,1101122x x x x x x x f f x xx解 当x<0时，-x>0,()()()().)(22x f x x x xx f -=+-=-+--=-∴而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴【例3】2002.北京文三〔22〕f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=•(1) 求f(0)、f(1)的值；〔2〕判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.解〔1〕()()()()()()=•==•+•=•=111.00000000f f f f f f ()()1111f f •+•()f f ∴=,12〔1〕=0.〔2〕f(x)是奇函数.证明如下：()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-•-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=•-=-2. 利用定义的等价命题来判断()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ⇔=--⇔=-+或：当()()()()()()().110是偶函数是奇函数；时，x f x f x f x f x f x f x f ⇔=-⇔-=-≠注意：函数以对数形式或根式形式出现时，可考虑用等价命题来判断.〔如例6证二、证三〕 【例4】1986.上海理一〔15〕函数()()R x x x y ∈++=1lg 2 〔 〕A ．是奇函数，不是偶函数 B.是偶函数，不是奇函数解一 ()()()()=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-x x x x x f 1lg 1lg 22()()xx x x x x ++++-+111lg222=()()()()..1lg 1lg 11lg2122是奇函数x f y x f x x x x xx =∴-=++-=++=++-应选 A.解二 ()()()()()[]=+-+-+++=-+1lg 1lg 22xx x x x f x f ()x x ++1lg 2()x x -+12=lg1=0,()x f ∴3. 假设函数图象易于作出，也可利用奇偶函数的图象特征来判断()()x f x f ⇔为奇函数的图象关于原点对称；()()x f x f ⇔为偶函数的图象关于y 轴对称.注意：有时可根据奇、偶函数图象的对称性简化作图过程. 4. 利用奇、偶函数的运算性质来判断〔1〕奇奇，奇=±偶偶，奇）奇非奇非偶。
如何判断函数的奇偶性
如何判断函数的奇偶性
1、奇函数、偶函数的定义中,首先函数定义域D关于原点对称.它们的图像特点是：奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于X轴对称.即f（-x）＝-f（x）为奇函数,f（-x）＝f（x）为偶函数
2、判断函数的奇偶性大致有下列二种方法：
(1)用奇、偶函数的定义,主要考察f(-x)是否与-f(x) ,f(x) ,相等.
(2)利用一些已知函数的奇偶性及下列准则：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数,也非偶函数；两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数.。
奇偶性的判断方法
奇偶性的判断方法
1、定义法。
用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
2、用必要条件。
具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
3、用对称性。
若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
4、用函数运算。
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数.简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
奇偶性的判断口诀
奇偶性的判断口诀
三角函数是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数奇偶性奇偶性的判断口诀是：内偶则偶，内奇同外。
1
（一）奇偶性定义法
如果对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有
f(-x)=f(-x),则该函数为偶函数,比较典型的就是cosx。
f(-x)=-f(x),则该函数为奇函数,比较典型的就是sinx。
（二）用求和方法判断函数奇偶性
若f(x)+f(-x)=0，则f(x)为奇函数。
若f(x)-f(-x)=0，则f(x)为偶函数。
（三）利用对称性判断函数奇偶性
若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
（四）利用函数运算法判断函数奇偶性
奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
偶函数÷奇函数=奇函数。
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第11招 如何判断函数的奇偶性？ 判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例（一） 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. （2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是xxx x f +-∙+=11（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解(]()()的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=-≤<-≥+-00)(2..1,19,1101122x x x x x x x f f x xx解 当x<0时，-x>0,()()()().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=∙(1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.解（1）()()()()()()=∙==∙+∙=∙=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ∙+∙()f f ∴=,12（1）=0.（2）f(x)是奇函数.证明如下：()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-∙-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=∙-=-2. 利用定义的等价命题来判断()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ⇔=--⇔=-+或：当()()()()()()().110是偶函数是奇函数；时，x f x f x f x f x f x f x f ⇔=-⇔-=-≠注意：函数以对数形式或根式形式出现时，可考虑用等价命题来判断.（如例6证二、证三） 【例4】1986.上海理一（15）函数()()R x x x y ∈++=1lg 2 （ ）A ．是奇函数，不是偶函数 B.是偶函数，不是奇函数 C.即不是奇函数，又不是偶函数 D.即是奇函数又是偶函数 解一 ()()()()=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-x x x x x f 1lg 1lg 22()()xx x x x x ++++-+111lg 222=()()()()..1lg 1lg 11lg2122是奇函数x f y x f x x x x xx =∴-=++-=++=++-应选 A.解二 ()()()()()[]=+-+-+++=-+1lg 1lg 22xx x x x f x f ()x x ++1lg 2()x x -+12=lg1=0,()x f ∴是奇函数.故选A3. 若函数图象易于作出，也可利用奇偶函数的图象特征来判断()()x f x f ⇔为奇函数的图象关于原点对称；()()x f x f ⇔为偶函数的图象关于y 轴对称.注意：有时可根据奇、偶函数图象的对称性简化作图过程. 4. 利用奇、偶函数的运算性质来判断（1）奇奇，奇=±偶偶，奇）奇非奇非偶。
（偶偶，奇偶=⨯=±=±2偶偶，偶=⨯奇.奇偶=⨯【例5】1993.全国文理一（8）F （x ）=()()01221≠∙⎪⎭⎫⎝⎛-+x x f x)()(x f x f 不恒等于零，则是偶函数，且 ( ).A. 是奇函数B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数解一 ()()()()(),.12121221,01221X F X F x F x F x f x x xx=-∙+-=-+=∴≠-+ ()∙+-=-∴--1212x x x f F ()=-x -()()()..,1212A x f x f x F x x 故选是奇函数则-=∙+-解二 设()()()121212121221,01221-+-=-+=-+=-≠-+=---x x x x x xx g x x g = ()()()()()()..,1221A x f x f x g x F x g x g x 是奇函数，选是偶函数，又是奇函数∴∙=∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-5.由两个函数y=(u),u=g(x)复合而成的复合函数，只要y=f(u)与u=g(x)中有一个是偶函数，其复合函数y=()[]x g f 就是偶函数；只有内、外函数均为奇函数时，复合函数()[]x g f y =才是奇函数.（例，见第35招例2）. （二） 函数奇偶性定义和性质的逆用由于函数奇偶性的定义和性质其实是充要条件，因此当已知一个函数式奇函数或偶函数时，也可利用定义或性质来解题（如求函数解析式、函数值、参数取值等）. 【例6】试证函数()111122+++-++=x x x x x f 的图象关于原点对称.证一 从而均有或还是而不论,0,000,122≥+=<>=>+x x x x x x x x()()..011,0122∞+∞-≠+++∴>++，的定义域是对称区间则x f x x x x当x=0时，()(),0010011001022f f ==+++-++=-而当()()()()()=+-++-+∙+++-++=≠1111111102222x x x x x x x x x f x 时，()()(),1111112222222xx x x xx -+=+-+--+()()()().,111122是奇函数x f x f xx xx x f ∴-=-+-=--+-=-因此函数f(x)的图象关于原点对称.证二 ()()()=+++-++÷+-+--+=-≠≠11111111.002222x x x x x x x x x f x f x f x时，()()()()()x f xxx x x x x x x x x x x x ∴-=-=--++-+=-+++++∙+-+--+,1221111111111112222222222是奇函数.则f(x)的图象关于原点对称.说明：要判断一个定义域包含原点的函数f(x)是否为奇函数时，一定要先检验是否有f(0)=0.如果f(0)≠0，则f(x)肯定不是奇函数。
如果f(0)=0.再检验x 0≠时是否有f(-x)=-f(x).【例7】2000.上海文、理一（8）设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图2-6所示的线段AB ，则在区间[1,2]上，f(x)=______.解一 依题意得：当x (),1x 221.2]1,0[-≤-≤-≤≤∴+-=∈时，当时，x x x f 0()()()的偶函数，是周期为又20.222.12x f x x x f x =++--=+-∴≤+-≤ ()()()().21.2x x f x x x f x f x f =≤≤=+-=-=∴时，因此当解二 （数形结合法） ()()，上的图象是线段在是偶函数，AC x f x f ]0,1[-∴ ()的函数，是周期为又2f x ()].2,1[.)(72]2,1[∈=-∴x x x f BD x f ），于是得（如图上的图象时线段在说明：要求哪一区间的解析式就把自变量x 设在这一区间，再利用奇偶性，周期性等题设条件将其转换到已知函数解析式的那个区间山去解决.【例8】1996.全国文理一（15）设f(x)是()()()当上的奇函数，,2,x f x f -=++∞∞-()()等于则时，5.7,10f x x f x =≤≤ （ ）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5解一 由已f(x)是()()()()()5.55.7,2,f f x f x f -=∴-=++∞∞-上的奇函数，且=()()()()()()因此时，,5.05.0,10.5.05.05.105.=∴=≤≤-=-=-=f x x f x f f f ff(7.5)=-0.5.解二 （数形结合法） ()()称，又的图象关于原点中心对是奇函数，x f y x f =∴()()()()[]()()()x f y x f x f x f x f x f x f =-=--=+-=+∴-=+即函数11211,2的图象关于直线x=1轴对称.又当()()x f y x x f x =∴=≤≤,10时，的图象如图2-8所示，于是f(7.5)=-0.5.解三 ()()()()()2,2+-=∴-=+x f x f x f x f x f 是奇函数，又()[]()44+=+--=x f x f ，可见f(x)是周期函数，T=4是它的一个周期.()()则时，当时，当,)(01,)(10x x x f x f x x x f x =--=--=≤≤-∴=≤≤ ()()().5.05.05.0425.7-=-=-⨯=f f f自我检测111. 判断函数f(x)=()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-010001x x x x x 的奇偶性.2. 判断函数f(x)=11log 2+-x x 的奇偶性.3.1990.广东文一卷（16）如果函数y=(a+1)x-(a-2)x 2是奇函数，那么a 的值等于（ ） A.-2 B.-1 C.2 D.14.1994.上海试点校文二（16）已知f(x)(x ，）（是奇函数，05)≠∈f R 则下列各点中，在y=f(x)图象上的点是 （ ）A.（5，f(-5)）B.(-5,-f(5))C.(-5,f(5))D.(5,-f(5))5.2002.上海春文理一（4）设f(x)是定义在R 上的奇函数，若当()则时，,1log )(03x x f x +=≥f(-2)=______.6.已知f(x)=x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∙a x121是偶函数，求a 的值. 答案与提示1.奇2.奇 提示：利用等价命题3.C4.B 提示：图象关于原点对称5.-1 提示：x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=log ()x -136.21提示：利用f(-x)=f(x)。