第招 如何判断函数的奇偶性

第11招 如何判断函数的奇偶性？ 判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例

（一） 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法

这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. （2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是x

x

x x f +-∙

+=11（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解

(]()()

的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=-≤<-≥+-00)(2.

.1,19,1101122x x x x x x x f f x x

x

解 当x<0时，-x>0,()()()

().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22

()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴

【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=∙

(1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.

解（1）()()()()()()=∙==∙+∙=∙=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ∙+∙

()f f ∴=,12（1）=0.

（2）f(x)是奇函数.证明如下：

()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-∙-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=∙-=-

2. 利用定义的等价命题来判断

()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ⇔=--⇔=-+

或：当()()()()()()

().110是偶函数是奇函数；时，

x f x f x f x f x f x f x f ⇔=-⇔-=-≠

注意：函数以对数形式或根式形式出现时，可考虑用等价命题来判断.（如例6证二、证三） 【例4】1986.上海理一（15）函数(

)

()R x x x y ∈++

=1lg 2 （ ）

A ．是奇函数，不是偶函数 B.是偶函数，不是奇函数 C.即不是奇函数，又不是偶函数 D.即是奇函数又是偶函数 解一 ()()()

(

)=-+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+-=-x x x x x f 1lg 1lg 22

()()x

x x x x x ++++-+111lg 22

2

=()

()

()()..1lg 1

lg 11lg

21

2

2

是奇函数x f y x f x x x x x

x =∴-=++-=++=++-

应选 A.

解二 ()()(

)()()[

]

=+-+

-+++

=-+1lg 1lg 2

2x

x x x x f x f ()

x x ++1lg 2

()x x -+12

=lg1=0,()x f ∴是奇函数.故选A

3. 若函数图象易于作出，也可利用奇偶函数的图象特征来判断

()()x f x f ⇔为奇函数的图象关于原点对称；()()x f x f ⇔为偶函数的图象关于y 轴对

称.

注意：有时可根据奇、偶函数图象的对称性简化作图过程. 4. 利用奇、偶函数的运算性质来判断

（1）奇奇，奇=±偶偶，奇）奇非奇非偶。（偶偶，奇偶=⨯=±=±2偶偶，偶=⨯

奇.奇偶=⨯

【例

5】1993.全国文理一（8）F （x ）=()()01221≠∙⎪⎭

⎫

⎝⎛

-+

x x f x

)()(x f x f 不恒等于零，则是偶函数，且 ( ).

A. 是奇函数

B.是偶函数

C.可能是奇函数也可能是偶函数

D.不是奇函数也不是偶函数

解一 ()()()()(),.121

21

221,01

22

1X F X F x F x F x f x x x

x

=-∙+-=-+=∴≠-+ ()∙+-=-∴--1212x x x f F ()=-x -()()()..,121

2A x f x f x F x x 故选是奇函数则-=∙+-

解二 设()()()1

21

212121221,01221-+-=-+=-+=-≠-+=---x x x x x x

x g x x g = ()()()()()()..,1221A x f x f x g x F x g x g x 是奇函数，选是偶函数，又是奇函数∴∙=∴-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-+-