振动之旋转矢量法(动画)
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法（also known as the rotational vector method）是一种描述简谐振动运动的方法。
这种方法将简谐振动的位移表示为一个旋转矢量，该旋转矢量的大小和方向都随时间变化。
在这种方法中，假设物体在振动过程中绕一个固定轴旋转。
这个固定轴被称为挠度轴，它垂直于振动平面。
振动的位移被表示为从挠度轴指向物体的矢量。
根据简谐振动的性质，位移矢量旋转的角度随时间变化，而角度的变化速率与振动频率相关。
通过将位置矢量的旋转速率与振动频率相关联，可以得到简谐振动的动态方程。
旋转矢量法可以应用于各种简谐振动问题，包括简谐振子、摆线振动等。
通过使用该方法，可以更轻松地分析和计算简谐振动的运动特性，例如位移、速度和加速度等。
此外，该方法还可以用于解决相关问题，如相位差和共振等。
总的来说，简谐振动的旋转矢量法是一种较为直观和简便的分析简谐振动运动的方法，它通过描述位移矢量的旋转来描述振动过程，并可以得到简谐振动的动态方程。
16.3旋转矢量法
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P
A
M
<
x
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P
A
M
<
x
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P M x
A
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 Байду номын сангаас度v 0
]
用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方 便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。 复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用 四、旋转矢量法
旋转矢量法
当t
A
t t
时
0
时
A
o
t
x0 A cos
x0
x
o
x A cos( t )
x
以o 为原点,旋转 矢量 A的端点在 轴 上的投影点的运动为 简谐运动.
2
2
A2 y x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 π
3） 2 1 π 2
2 2
A2 y x A1
y
A2
o
A1
x
x y 2 1 2 A1 A2
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 M 速度v < 0
高二物理竞赛课件：简谐振动的旋转矢量图示法
单摆周期 T与角振幅 m的关系为：
T
T0
1
1 22
sin 2
m
2
1 22
32 42
sin 4
m
2
T0 为 m很小时单摆的周期。
根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到 所要求的任何精度。
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t 0
P
X
x
r
Ar 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向X的夹角
振动相位
M 点在 X 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
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A
O
v0
X
O
v0
X
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
v, a沿X 轴的投
影为简谐运动的速度、 加速度表达式。
M 点:
vm A
am 2 A
23 6 t 0.83s
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几种常见的谐振动
(1) 单摆
一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个 很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。
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单摆受力分析如右图所示，
根据牛顿第二运动定律可得
mg sin
ml
d2
dt 2
q 很小时（小于 5o），可取
sin
d2
dt 2
g
l
2
其中2 g
l
C
l F
of
mg
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单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动，周期
T 2 2 g
l
转角q 的表达式可写为：
m cos(t 0 )
简谐振动 旋转矢量法
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
简谐振动的描述方法有多种∶代数法、曲线表 示法、旋转矢量法、复数法等等。
一、代数法
x Acos(t )
振幅 系统固有角频率 相位 初相位 其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量
二、图示法： （振动曲线）
x Acos(t 0 )
三、复数法
z Aei( t )
由欧拉公式 ei cos i sin
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
振动方程为 x 2cos(5 t 2 )
3
16-4 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 令 Asin A1 sin1 A2 sin2
x2 A2 cos t 2
速度v <0
A
P
x
注意：旋转M 矢量在第 2 象限
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
M
速度v <0
旋转矢量法的原理和应用
旋转矢量法的原理和应用1. 原理介绍旋转矢量法是一种用于描述物体在三维空间中进行旋转的数学方法。
它通过使用矢量的旋转运算来表示物体的旋转姿态。
旋转矢量法基于欧拉角的表达方式，但它使用四元数来进行计算，避免了欧拉角的一些问题，例如万向锁问题。
2. 旋转矢量的表示旋转矢量通常由一个单位四元数表示，该四元数可以表示物体绕任意轴的旋转。
一个旋转矢量可以通过一个轴向量和一个旋转角度来确定。
轴向量定义了旋转轴的方向，旋转角度表示物体绕轴旋转的量。
3. 旋转矢量的计算为了应用旋转矢量进行对象的旋转，需要进行一些数学计算。
首先，需要将旋转矢量转换为一个旋转矩阵。
然后，可以使用该旋转矩阵将对象的顶点或其他坐标进行变换，以实现旋转效果。
4. 旋转矢量的应用旋转矢量法在计算机图形学和游戏开发中得到了广泛应用。
它可以用于实现物体的旋转、旋转动画和摄像机的旋转等效果。
此外，旋转矢量法还可以用于物体的插值和平滑过渡，例如在两个姿态之间进行插值，以实现流畅的动画效果。
5. 旋转矢量法的优势相比于传统的欧拉角表示，旋转矢量法具有以下几个优势： - 万向锁问题：使用旋转矢量法可以避免欧拉角的万向锁问题，使得旋转计算更加稳定和可靠。
- 插值效果：旋转矢量法可以实现更顺滑的插值效果，使得物体在动画中的过渡更加自然。
- 计算效率：由于使用四元数进行计算，旋转矢量法通常比欧拉角计算更快，尤其是在需要进行大量的旋转计算时。
6. 示例应用场景下面是一些示例应用场景，展示了旋转矢量法的一些实际应用： - 3D建模软件：在3D建模软件中，旋转矢量法被用于实现物体的旋转和变换操作，帮助用户进行建模和设计。
- 游戏开发：旋转矢量法在游戏开发中被广泛使用，用于实现游戏角色的旋转、摄像机的控制以及动画的实现。
- 航空航天领域：旋转矢量法可以应用于飞行器的姿态控制，帮助飞行器保持平稳的飞行姿态和准确的导航。
7. 总结旋转矢量法是一种用于描述物体旋转的数学方法，通过使用旋转矢量来表示物体的旋转姿态。
简谐振动的旋转矢量图示.ppt
角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
3、两个谐振动的相位差
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差为 (t 2 ) (t 1) 2 1
采用旋转矢量表示为：
A2
2
A1
1
O
x
例1、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且振
幅相等，当t =0时质点1在x=A/2处向左运动,另一质点
F kx m 2x
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
3 a 0.12 2 cos( 0.5 ) 1.03 m/s2
3
在t =T/4=0.5s时，可得
可得x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
物理-简谐振动的基本特征与旋转矢量图示法
研究简谐振动的重要性
机械振动的分类（从振动形式分） 连续振动、非连续振动； 周期振动、非周期振动…；
最简单、最基本的振动 —— 简谐运动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
机械振动第一讲
简谐振动的基本特征 旋转矢量图示法
一、简谐振动的定义
简谐振动
物体运动过程中，如果离开平衡位置的位 移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数） 的规律随时间变化的运动，称为简谐振动。
三、简谐振动的三个特征量
4、振幅(A)与初相()的确定
设
注意 应根据
的符号确定 的象限范围。
三、简谐振动的三个特征量
讨论：两个同频谐振动的振动步调关系
谐振动1 x1 A1 cos(t 1 )
谐振动2 x2 A2 cos(t 2 )
相位差 (t 2 ) (t 1) 2 1
x
1）若 2 1 0
2
x轴负方向运动，而质点2在-A处。
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差，及 两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
四、简谐振动的旋转矢量图示法
小结：用旋转矢量法求相位或相位差的
O
x
第一步：由质点的位移x的值确定旋转矢量动端投影点 在x轴上的位置；
第二步：过该点作x轴的垂线，与矢量参考圆交于两点； 第三步：由质点振动速度的方向确定旋转矢量的位置。
运动学方程： 2、圆频率（ω）
最小正周期
完成一次全振动所需的时间
振动周期
振动频率 （系统固有）
三、简谐振动的三个特征量
运动学方程：
3、初相（ ）
振动速度 振动加速度
若A与确定：物体在t时刻的（x,v,a） 仅由( t + ) 决定。 称( t + ) 为物体在 t 时刻振动的相位(或)。 t =0 时的相位 ——初相位（或初相）
§3.2 简谐振动的旋转矢量图示【VIP专享】
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得
x (0.08m) cos[(π s1)t π ] 3
2
3
v0 0
π
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x (0.08m) cos[(π s1)t π ]
2
3
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
2
3
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
cos( t ) 1
23 2
t 2 或 4
233 3
又因为第一次到达- 0.04m处时，v 0
即v A sin(t ) 0
23
所以t 2
23 3
t 2s 3
大学物理第三讲：8.1.3旋转矢量法
瞬时对应
1、旋转矢量A的长度为简谐振动的振幅 2、φ为t=0时的相位（初相位） 3、（ωt+φ)为t时刻的相位 4、旋转矢量A作逆时针匀速运动（ω角速度）
5、旋转矢量A的末端在参考坐标轴上的投影点的运动即代表质 点做简谐振动。
二、旋转矢量的长处
1、用旋转矢量A来表示简谐振动的位移
x Acost 当 0时 x t曲线
x/cm
t/s
o
9
三、应用举例
已知两个同方向，同频率的简谐振动如下：
x1 5cos10t / 2 x2 5cos10t
A 50cm
5 / 4或 3 / 4
用计算法求它们合振动的振幅和初相位。
已知：A1 A2 5cm；
x/cm
1 / 2;2
t/s
o 求：1合振动的振幅：A A12 A22 ;
16
谢谢大家！ 欢迎大家多提宝贵意见！
2015.10.10
17
18
合振动的初相位：2 ?
8-18 已知两个同方向、同频率的简谐振动如下： x1 5102 cos(10t 3 / 5) SI x2 6102 cos(10t / 5) SI
（1）求它们合振动的振幅与初相位；
（2）另有一个同方向简谐振动 x3 7 102 cos(10t )SI
问值为何值时， x1 x2的振幅最大？ 问值为何值时， x2 x3的振幅最小？
0.05sin 3 0.06sin
5
0.05cos 3
5
0.06 c os
arctan2.5 1.19rad 6813
5
5
12
（2）已知：
x1 5102 cos(10t 3 / 5) SI x2 6102 cos(10t / 5) SI
旋转矢量法详细讲解
旋转矢量法详细讲解
旋转矢量法是一种常用的三维空间中的旋转变换方法，它可以将一个三维向量绕着某个轴旋转一定的角度，从而得到一个新的向量。
这种方法在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域都有广泛的应用。
旋转矢量法的基本思想是，将旋转变换分解为两个步骤：先将原向量绕着一个固定的轴旋转到一个特定的位置，再将其绕着另一个轴旋转到最终的位置。
这两个步骤可以用两个旋转矩阵来表示，它们的乘积就是最终的旋转矩阵。
具体来说，假设我们要将一个向量v绕着轴n旋转θ角度，那么首先需要将v投影到n所在的平面上，得到一个新的向量v'。
然后，将v'绕着n旋转θ/2角度，得到一个新的向量v''。
最后，将v''再绕着n的负方向旋转θ/2角度，就得到了最终的旋转向量。
旋转矢量法的优点在于，它可以避免旋转矩阵中的奇异性问题，从而提高计算的稳定性和精度。
此外，它还可以方便地进行复合旋转，即将多个旋转变换组合起来进行计算。
需要注意的是，旋转矢量法只适用于绕着固定轴进行旋转的情况，如果需要进行任意方向的旋转，就需要使用四元数或欧拉角等其他方法。
旋转矢量法是一种简单而有效的三维旋转变换方法，它在计算机图
形学、机器人学、航空航天等领域都有广泛的应用。
掌握旋转矢量法的原理和应用，对于进行三维空间中的旋转变换具有重要的意义。
旋转矢量法
旋转矢量法
矢量分析是研究数量物理学中最重要的方法之一，也是数学上最重要的分析工具之一。
矢量是两个平行线段（或者轴），用两个点表示，一个点是矢量的“起点”，另一个点是“终点”。
矢量的长度是从矢量的起点到终点的距离。
此外，矢量具有向量的属性，如方向和向量的场性质。
矢量的分析应用于几何、力学和电磁学等领域。
旋转矢量法（RVM）
旋转矢量法是一种应用于矢量分析的经典方法，它可以用于计算矢量的图形表示，也可以用于计算基本的向量图形。
一般来说，旋转矢量法是一种可以将一个向量从一个坐标系统转换到另一个坐标系统的方法。
原理介绍
旋转矢量法的基本原理是使用两个向量的叉积来旋转一个向量到另一个坐标系统，这两个向量分别称为被旋转矢量和旋转矢量。
如果从一个坐标系(A)旋转到另一个坐标系(B)，则使用被旋转矢量与旋转矢量的叉积，即可计算出旋转矢量在坐标系B中的表达式。
旋转矢量法还可以用来求解向量平面间的夹角和两个向量分量的夹角。
应用
旋转矢量法可用于计算图形学中的位置和方向，也可以应用于机器人、空间分析和三维图形模拟等技术。
此外，旋转矢量法还可以用于解决由向量和仿射变换组成的更复杂的数学问题。
总结
本文简要介绍了旋转矢量法，这是一种矢量分析的经典方法，可以用于计算矢量的图形表示和基本的向量图形，也可以用于解决由向量和仿射变换组成的更复杂的数学问题。
矢量分析方面的必要知识是可以理解旋转矢量法的基础，它需要计算坐标系之间的变换，以及向量的方向和向量的场性质。
在机器人，空间分析和三维图形模拟等技术中，旋转矢量法可以用于计算位置和方向。
简谐振动-旋转矢量法
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
பைடு நூலகம்
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
A2 y
o A1 x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
x
x
A1 o
o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2
若两分振动反相位:
两分振动相互加强
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
A A1 A2
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
4-1-2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解
-A1
的相位角来判断。
1
2
, 2
0
1
3
2
,
2
0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2 1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位 移 ：x(t) Acos(t )
速 度 ：(t) Asin(t )
加 速 度 ：a(t) 2 x(t)
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
dt
2
a(t)
d 2 x(t) dt 2
2 Acos(t
)
2 x(t)
m
加速度与位移成正比而反向
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A
a < 0 a<0 加速
<0 >0 减速
o
x
x
>0 >0 加速
T t
>0 <0 减速
三. 描述简谐运动的特征量 x(t)=Acos( t+)
1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关
波动与光学
第1章 振 动 (Vibration)
生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船， 人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜， 人类自身中的：声带、耳膜、心脏， 不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、
传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动…… 周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。
2.周期T (period) 振动往复一次所需时间 频率v (frequency) 单位时间内的振动次数
简谐振动 旋转矢量法
由欧拉公式
e i cos i sin
简谐振动的运动学函数应是复数 z 的实部
即
x Re[ Ae i ( t ) ]
用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方 便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。 复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用 四、旋转矢 速度v < 0
M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M P
A
x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
P
A
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P M
A
<
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x M
A
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
2 振动方程为 x 2cos(5 t ) 3
16-4 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 x2 A2 cos t 2
合振动
令
A sin A1 sin1 A2 sin 2 A cos A1 cos1 A2 cos 2
解： (1)
A = A +A + 2 A1A2 cos (φ 2 φ 1 )
2 1 2 2
=
(0.05)2+(0.06)2+2×0.05×0.06cos(-π/2)
=0.078m φ 1 + A2 sinφ 2 A 1 sin φ = arc tg φ 1 + A2 cos φ2 A1 cos
p5_2旋转矢量法(动画)要点
用旋转矢量法演示两个同振幅、同频率 的简谐振动的位移，比较相位之差。
[解析]如图所示，当矢量A从初始角度φ开始作角速度为ω的
匀速圆周运动时，其端点M在x轴上的投影点P的坐标为
x = Acos(ωt + φ)点P 的运动就是简谐振动。
如图所示，两个同振幅、同频率的简谐振动方程为
x1 = Acos(ωt + φ1)，x2 = Acos(ωt + φ2) 相位差为Δφ = (ωt + φ2) - (ωt + φ1) = φ2 – φ1。 Δφ的取值在-π到π之间。
如果Δφ > 0，则x2超前x1相位Δφ；
如果Δφ < 0，则x2滞后x1相位 A1 x
当初相位为0º和180º(π)时，两个旋转矢 量和它们在x轴上的投影曲线如图所示。
当初相位为0º和-90º(-π/2)或 270º(3π/2)时，结果如图所示。
x
|Δφ|或x1超前x2相位|Δφ|。 A2 当Δφ = 0时，x1与x2同相；
φ2
φ1 O
O
t
当Δφ = ±π时，x1与x2反相。
当初相位为30º(π/6)和60º(π/3)时，两个旋转 矢量和它们在x轴上的投影曲线如图所示。
当初相位为0º和90º(π/2)时，两个旋转矢 量和它们在x轴上的投影曲线如图所示。
vm ωt+φ
M
an
ω
ωt+φ
A M0 φ
矢量A的大小就是简谐振动的振 幅，端点M的轨迹是参考圆；
O xP x
矢量A作圆周运动的角速度就是简谐振动 的圆频率，其周期就是简谐振动的周期；
矢量A的初始角度就是简谐振动的初相位。
简谐振动旋转矢量表示法
加速度为：
a 2 A cos(t ) 0.12 2 cos( t )
3
第十第一1章3页/振共1动7页
13
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
将t=T/4=0.5s分别代入位移、速度、加 速度的公式，得：
x 0.104m v 0.188m / s
a 1.03m / s2
A
t 时刻
x/m
0.12 0.06 o π0.06 0.12
3
A
起始时刻
第十第一1章4页/振共1动7页
14
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
（2）从初始时刻开始第一次通过平衡位 置的时刻.
通过平衡位置时，x=0，则由位移公式：
0 0.12 cos(t )
3
所以：t (2k 1) , k 1, 2,
x A cos(t )
v A sin(t )
相位 (位相) (t) t
初相位 t 0时，(t)
相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态
（相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
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大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
3
简谐运动表达式为：
x 0.12 cos( t )
3
0.12 0.06 o π0.06 0.12
v0
0,
3
3
A
x/m
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大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
（2）t T / 4 时，质点的位置、速度、加速度
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t
当初相位为30º(π/6)和60º(π/3)时，两个旋转 矢量和它们在x轴上的投影曲线如图所示。
当初相位为0º 和90º(π/2)时，两个旋转矢 量和它们在x轴上的投影曲线如图所示。
当初相位为0º 和180º(π)时，两个旋转矢 量和它们在x轴上的投影曲线如图所示。
当初相位为0º 和-90º (-π/2)或 270º(3π/2)时，结果如图所示。
矢量A的大小就是简谐振动的振 幅，端点M的轨迹是参考圆； 矢量A作圆周运动的角速度就是简谐振动 的圆频率，其周期就是简谐振动的周期； 矢量A的初始角度就是简谐振动的初相位。 O
x
P
x
{范例5.2} 旋转矢量法(动画)
用旋转矢量法演示两个同振幅、同频率 的简谐振动的位移，比较相位之差。
如图所示，两个同振幅、同频率的简谐振动方程为 x1 = Acos(ωt + φ1)，x2 = Acos(ωt + φ2) 相位差为Δφ = (ωt + φ2) - (ωt + φ1) = φ2 – φ1。 Δφ的取值在-π到π之间。 如果Δφ > 0，则x2超前x1相位Δφ； x A1 x 如果Δφ < 0，则x2滞后x1相位 |Δφ|或x1超前x2相位|Δφ|。 A2 φ2 φ1 当Δφ = 0时，x1与x2同相； O O 当Δφ = ±π时，x1与x2反相。
{范例5.2} 旋转矢量法(动画)
用旋转矢量法演示两个同振幅、同频率 的简谐振动的位移，比较相位之差。
[解析]如图所示，当矢量A从初始角度φ标为 vm ωt+φ x = Acos(ωt + φ) M ω 可见：作匀速圆周运动的矢量 an A的端点M在x轴上的投影点P M0 A ωt+φ 的运动就是简谐振动。 φ