高中数学人教A版2003课标版必修2探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共24张PPT)
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_1
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例1;有一堆相同规格的六角螺帽,共重 .已知螺帽的底面六边形边长是12 ,高是10 ,内孔直径是10 ,这一堆螺帽约有多少个(铁的密度 )?
三、锥体的体积
例2:如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
问:从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥?
定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S,高是h,那么它的体积是:
推论:如果圆锥的底面半径是r,高是h,
那么它的体积是:
例3.如图所示,在长方体 中,用截面截下一个棱锥 ,球棱锥 的体积与剩余部分的体积比.
学生类比推理
学生解答教师巡视
学生观察思考
学生归纳结论
板演
提高学生的归纳及推理能力
进一步巩固体积公式
情感态度与价值观:通过本节学习,使学生了解数学家祖暅,增强民族自豪感,体会获得知识的愉悦,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心.
重点
难点
重点:各几何体体积公式的应用.
难点:柱、锥体积公式的导出.
教具
多媒体
环节
教学过程
师生活动
设计
意图
概念
回顾
一、体积的概念:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
性质:长方体的体积等于它的长、宽、高的积.V长方体=abc
导出锥体体积
提高学生的类比学习能力
加强对公式的运用
知能
训练
(1)
练习1:已知边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D,求多面体 的体积.
练习2:已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D求:棱锥 的体积?
学生练习
教师巡视
提高学生解决问题的能力
新知
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
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探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是一种用来计算一些碰撞问题的方法。
它是由荷兰物理学家爱文·伽兹(Awe M. C. J. Gase)在1971年首次提出的。
祖暅原理可以应用于各种情况,包括碰撞、反弹、散射等。
这个原理的基本思想是,根据碰撞前后的动量守恒和能量守恒原理,可以推导出碰撞物体的质量、速度等参数。
柱体、锥体和球体是几何学中常见的三维几何体,它们的体积可以通过数学公式推导得到。
首先来讨论柱体。
柱体是一个具有平行的底面和均匀直径的圆柱形物体。
它的体积可以通过计算底面的面积乘以高度来获得。
具体地说,柱体的体积公式为:V=πr²h,其中r为底面半径,h为柱体的高度。
而锥体是一个具有底面是圆的三角锥形物体。
计算锥体的体积需要先求出底面的面积,再乘以高度的三分之一、锥体的体积公式为:
V=(1/3)πr²h,其中r为底面半径,h为锥体的高度。
最后,球体是一个具有球形的物体。
计算球体的体积需要先求出球的半径,再将半径的三次方乘以π的四分之三、具体地说,球体的体积公式为:V=(4/3)πr³,其中r为球的半径。
以上是关于柱体、锥体和球体的体积计算公式的一些基本介绍。
要具体计算一些物体的体积,需要提供它的底面半径、高度或半径等参数。
同时要注意单位的一致性,确保结果的准确性。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_5
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1 3
S底h
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 l
那么 r R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
圆环面积 S圆环 = R2 l 2
S圆 = S圆环
L
O2
P
r
K
O1
l
BN
l
R
o
o
根据祖日恒原理,这两个几何体的体积相等,即
还有很多以姓名命名的公式或定理,比如呢?
用秦九韶算法求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
欧拉定理:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有
如果三棱锥的底面积是S,高是h,那么
它的体积是 V三棱锥=?
A1
C1 把三棱锥以
△ABC为底面、
B1
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
探究锥体的体积公式 问:一个(斜或正)三棱柱可以分割成几个三棱锥?
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
分成的每个锥体的体积有什么关系?说明理由。
锥体的体积
V锥体
关系 V+F-E=2
探究柱体的体积公式 如图,下面是底面积都等于S,,高都等于 h的任意棱柱,圆柱和长方体,你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗?
V长方体 S底h
从而我们可以得到所有
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》教案_8
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教学设计
观察并动手操作,发现规
律并总结。
重点要理解“任意平面所截,而且截面的面积都相等”这个关键条件。
小实验引入祖暅原理并介绍这位数学家和其他著名的数学家。
利用祖暅原理推导柱体的体积通过化归,自主探究,协助学生深入理解知识,提高认知水平。
利用祖暅原理推导锥体的体积。
关键要想到割补法(教师提示。
学生证明三个锥体体积相等)。
通过类比,自主探究,化归到柱体,从而推导出锥体的体积公式。
利用祖暅原理推导半球的
体积。
关键要想到挖去一个倒立的圆锥(教师提示)。
学生证明圆环的面积与半球的截面面积相等。
通过类比,自主探究,转化到圆柱和圆锥的组合体,从而推导出球体的体积公式。
1.介绍三个特殊的三棱锥
2.典型例子讲解独立思考完成简单的练习
但高考题可通过合作探究
解答,培养空间思维。
1掌握通过三棱锥体
积相等求点到平面的
距离是常用的方法。
2重视几何体外接球
是高考重要考点。
七、板书设计。
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质教师资格证面试试讲教案
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高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课公开课教案教师资格证面
试试讲教案
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_2
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祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积祖暅:另类的“官二代”一、说教材1、教材的内容、地位及编排依据[内容、地位]本节是必修2第一章的“探究与发现”内容,是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究,主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式;通过模型演示,利用祖暅原理,推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习,使学生感受几何体体积的求解过程,初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。
[编排依据]主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般,由浅入深,由易到难,循序渐进”的原则出发,符合学生的认知水平和接受能力.2、教学目标的确定(1)理解祖暅原理的含义,理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法;(2)在发现祖暅原理的过程中,体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法;体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想;(3)在推导棱柱体积公式的过程中,理解从特殊到一般,从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法;掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式;(4)通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果,激发学生的民族自豪感,提高学生学习数学的兴趣.3、教学的重点、难点(1)柱体、锥体、球体的体积公式的探究(2)学生探究能力的培养二、说教法与学法教法:1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.学法:为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了探究性学习法:通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式;四、说教学过程1、教学思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积.其结构图如下:2、案例设计Ⅰ导入课题回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式,并发问:这些公式怎么来的? (设计意图:让学生产生疑问,带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来)Ⅱ探究新知1、祖暅原理的引入通过小实验引入祖暅原理,让学生直观感知祖暅原理的正确性,为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础2.探究柱体的体积公式柱体(棱柱,圆柱)的体积公式:Sh V = S---底面积 h-----高(设计意图:利用祖暅原理把求一般柱体体积转化为求特殊棱柱——长方体的体积,从而推导一般柱体的体积) 3、探究锥体的体积公式①等底等高的棱锥与圆锥体积相同②如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥?锥体的体积Sh V 31=, S---底面积 h-----高 4、探究球体的体积12 3123圆锥圆柱半球V V V -=R R R R V ∙-∙=223121ππ球 332R π=所以球的体积 334R V π=球点评:利用祖暅原理求几何体的体积,关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体Ⅲ课堂小结:1.学生小结: 2.老师小结:本节课的主要内容为祖暅原理及利用原理探究柱体、锥体、球体的体积公式如题,我是这样想的,既然“夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”,如果这样,设圆锥底面半径为r ,高位h ,那么底面为边长2r 的正方形,高位h 的四棱锥体积就是圆锥的4/pi 倍,圆柱和四棱柱也是如此,这样就可以证明圆柱的体积是圆锥的3倍了。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_4
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柱体、椎体、台体、球体的体积1、知识与技能(1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。
(2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
(3)培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。
3、情感与价值通过学习,使学生感受到几何体体积的求解过程,对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
教学重点:运用公式解决问题.教学难点:理解计算公式之间的关系.教学过程与教学内容一、新课导入:提问:对几何体的体积你有哪些认识?①几何体占有空间部分的大小,就是几何体的体积②完全相同的几何体的体积相等③体积相等的几何体叫等积体,等积体不一定形状相同二、讲授新课:小实验:“幂势既同,则积不容异“祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。
1、柱体体积公式①等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng,祖冲之的儿子)原理,教材P30)②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式?→给出柱体体积计算公式:V=Sh( S为底面面积,h为柱体的高)2、锥体体积公式③等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系?等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系?④根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式?锥体的体积计算公式:V= Sh (S 为底面面积,h 为高) 3、台体体积公式⑤台体的上底 面积S’,下底面积S ,高h ,由此如何计算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积?⑥给出台体的体积公式:''1()3V S S S S h =++台 (S ,'S 分别上、下底面积,h 为高)→ ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 (r 、R 分别为圆台上底、下底半径)例3. 一堆铁制六角螺帽,共重11.6kg, 底面六边形边长 12mm ,内空直径10mm ,高10mm ,估算这堆螺帽多少个?( 铁的密度7.8g/cm3)4、球体体积公式设球的半径为R,则球的体积公式为:V=πR 3 例4、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.例5、已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心O 的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm ,求球的体积、表面积.课时小结1.柱体体积公式;2.锥体体积公式;3.台体体积公式;4.球体体积公式。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
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探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是物理学中的一个基本原理,用于描述柱体、锥体和球体的体积关系。
根据祖暅原理,柱体和圆锥的底面积相等时,它们的体积与高度的比相等。
类似地,球体与柱体的底面积相等时,它们的体积与高度的比也相等。
首先,让我们研究一下柱体和锥体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体,底面积为A。
根据祖暅原理,柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个相似的高度为h的圆锥,底面积为A。
根据祖暅原理,圆锥的体积可以用公式V2=(1/3)*A*h表示。
通过比较V1和V2,可以发现V2=(1/3)*V1、也就是说,圆锥的体积是柱体体积的三分之一、这个结论可以很容易地通过几何推导得出。
因此,我们可以得出结论:柱体和圆锥的体积比为3:1现在让我们来探究柱体和球体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体,底面积为A。
根据祖暅原理,柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个半径为r的球体,底面积为A。
根据祖暅原理,球体的体积可以用公式V3=(4/3)*π*r^3表示。
通过比较V1和V3,可以发现V3=(4/3)*π*(r^3)=(π/3)*A*h。
也就是说,球体的体积是柱体体积的π/3倍。
这个结论可以通过解析几何方法或积分计算得出。
因此,我们可以得出结论:柱体和球体的体积比为π/3:1最后-柱体和圆锥的体积比为3:1;-柱体和球体的体积比为π/3:1在实际应用中,这些体积关系可以帮助我们计算各种形状的物体的体积。
例如,如果我们知道柱体的底面积和高度,我们可以用公式V=A*h计算其体积。
同样地,如果我们知道球体的半径,我们可以用公式V=(4/3)*π*r^3计算其体积。
这些公式都是根据祖暅原理得出的。
探究和发现祖暅原理与柱体、锥体和球体的体积关系是一个有趣的数学和几何问题。
通过对这些几何形状的体积进行研究,我们可以更好地理解它们之间的关系,并应用于实际问题中。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_2
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《祖暅原理与球的体积》教学设计一、教材分析本节课的内容选自普通高中课程标准实验教科书(人教A版)数学必修2第一章第三节《球的体积和表面积》第一课时.球体作为一类特殊的旋转体,球的体积的推导过程充满了辩证法,处处体现立体图形与平面图形之间的对照、转换.本节课是学习球的体积的起始课,是在学习了柱体、锥体和台体的体积之后的又一重要内容,根据祖暅原理推出球的体积,也进一步巩固了等体积法在求空间几何体体积中的应用.从知识的应用价值来看,球的体积在生活和科学技术中有广泛的应用,体现了数学与生产和科学技术的紧密联系;在球的体积的推导中所蕴涵的数学思想方法如化曲为直、类比推理等在各种空间几何体的研究问题中都有着广泛的应用.从内容的人文价值来看,球的体积的推导需要学生分析、猜想、实验、计算,有助于培养学生的空间想象能力、逻辑思维和探究精神,是培养学生理性分析和数学能力的良好载体.二、学情分析高一学生在学习本节课内容之前,已经系统地学习了柱体和锥体的体积,并基本掌握祖暅原理在求几何体的体积上的应用,对等体积法有了初步的认识.通过空间几何体的结构特征的学习,学生已经对球体的性质有了一定的了解,具备一定的分析观察与逻辑推理能力,并有强烈的求知欲.三、教学目标1.知识与技能:1)观看几何画板的演示,理解球的体积与球的半径有关;2)类比柱体和锥体的体积公式的推导过程,探究球的体积公式;3)掌握两类基本的关于球的组合体计算问题,能根据已知条件分析组合体的结构特征,从而求出球的体积;2.过程与方法:1)实验探究球体的结构特征,提高观察及概括的能力;2)推导球体的体积公式,进一步渗透祖暅原理,提高观察、类比、分析、计算能力;3)对比两类组合体切、接问题,培养化曲为直、数形结合的思想.3.情感、态度与价值观:1)经历合作探究球的体积的过程,感受旋转体的和谐之美,激发学习兴趣,培养协作、交流能力;2)通过类比锥体、柱体得出球的体积,形成“用联系的观点看数学”的良好习惯;3)通过研究球的性质,培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度.四、教学重难点重点:球的体积公式的推导;难点:关于球的组合体的计算.五、教学策略选择与设计《球的体积》一课教学模式和策略设计旨在对素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究.本课采用开放式课堂教学模式,以学生参与为主,教师启发、点拨的课堂教学策略.具体方法如下:1.讲授法:采用讲述、讲解和讲演结合的方式,引导学生发现并探索球的体积公式,对体积公式的推导进行细致分析与讲解.2.演示法:教师通过多媒体课件和几何画板展示,让学生从图形中直观感知球体的几何特征.3.练习法:通过及时提供相应例题,让学生学以致用,并在运用中加深理解,形成技能与技巧,培养了分析问题、解决问题的能力.六、教学资源与工具设计多媒体教室、几何画板演示课件、flash动画展示、PowerPoint幻灯片课件.【创设情境】观看图片,提出以下问题:【引导】生活中有很多球形的物体,怎样计算球的体积?教师展示生活中常见的球形的物体,启发学生思考如何计算球的体积,进而引出本节课要学习的内容“球的体积公式的推导”回顾祖暅【实验】取几个高与底面半径均为R 的旋转体体积对比,发现3331R V V V R ππ=<<=圆柱半球圆锥【猜想】圆锥圆柱半球V V R V -==332π通过几何画板展示动态图,引导学生分析几何体特征,进而抽象出平面图形,进一步证明猜想【问题】根据祖暅原理,我们如何构造模型? 【步骤】1.给出如下几何模型:2.拿出圆锥和圆柱3.将圆锥倒立放入圆柱4.取出半球和新的几何体作它们的截面,截面图形分别为圆面和圆环.5.计算并比较两个截面的面积 【学生板演】 教师一步步引导学生思考如何构建模型如果截面和平面的距离为h ,那么圆面的半径22h R r -=,圆环面的大圆半径为R ,小圆半径为h ,因此 ()222h R r S -==ππ圆22h R S ππ-=圆环即圆环圆S S =根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即 R R R R V ⋅-⋅=223121ππ球【实验操作】 将圆锥和半球形容器装满蓝色液体,依次倒入圆柱形容器中【结论】圆锥圆柱半球V V V -=【公式】半径为R 的球的体积为 334R V π=将学生分为小组,每个小组自讨在课堂巡视各小组进度【例1】 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求球的体积与圆柱体积之比. 【学生解答】 分析:球内切于圆柱 解:设球的半径为R教师引导学生从分析组合体的特点,将立体图形化。
数学人教版高中一年级必修2 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
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祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
教学的重点和难点
重点:引导学生运用祖暅原理推出柱体、 锥体、球体的体积公式。
难点:运用祖暅原理探究球体体积公式 时,构造“等积体”。理解数学中割补 思维方法 。
教材分析
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
二、学情分析
我校是省级重点中学,学生思维活跃, 知识面广,好奇心和求知欲强,乐于接受 挑战,但部分学生缺乏探究意识和钻研精 神。为适应学生这一特点,调动学生的学 习积极性,满足其学习愿望,本节课采用 以教师为引导,学生为主体的探究学习形 式。
1 2
V球
= R2
R
1
3
R2 R
=
2 3
R3
R 所以
V球 = 34
3
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
回顾小结
说说这节课你有什么收获 和体会?
设计意图
通过学生自 己谈体会谈 收获,发挥 了学生主体 作用。学生 对本节课思 路重新梳理, 进一步巩固
了知识
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
七、教学评价
2. 以感性、直观、突出重点为主,分层设置 问题,突破难点。
3.鼓励学生独立思考,引导学生自主探索、合 作交流。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、创设情境 引入新课
1、把一叠摆放不整齐的作业本放在讲台上。
设计意图
设置问题
提问:你能求出这叠作业本的体积吗? 情 境 , 激 发
提问:能不能把这叠作业本摆放整齐 后再求其体积呢?
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
三、教材处理
根据新课程标准精神,教师可以 对教材进行恰当处理。依照认识规律, 我把本节探究内容调整至体积公式运 用之前,以帮助学生重建先探究再应 用的认知结构。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0
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探究与发现:祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积 一、教学目标1、知识与技能:理解祖暅原理的含义,了解用祖暅原理推导柱体、锥体、球体等几何体体积的方法;2、过程与方法:通过对祖暅原理的探究学习,体会由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法思想;利用模型演示,推导柱体、锥体、球体等几何体体积计算公式;3、情感态度与价值观:通过对祖暅以及祖暅原理的介绍,激发学生的民族自豪感,同时渗透数学文化,提高学生对数学的学习兴趣。
二、学情分析1、认知基础:学生前面已经认识了柱体、锥体、球体等简单几何体,并初步学习了体积公式;大部分学生对于公式仅停留在记忆的层面上,对公式的推导产生疑问和兴趣。
2、认知障碍:高一的学生刚刚接触立体几何,空间想象能力还较弱,不太善于利用空间图形的几何性质推导公式,尤其是球体的体积公式推导。
祖暅介绍三、教学重难点1、重点:祖暅原理以及柱体、球体体积公式的推导2、难点:球体体积公式的推导四、教学过程(一)复习回顾体积公式33431r V Sh V ShV π===球锥柱 提问:这些公式是怎么来的?【设计意图】回顾旧知,通过提问引起学生主动思考,带着疑问进入探究学习。
(二)探究新知活动1:学生自行阅读教材30-32页,初步了解祖暅原理以及公式的推导。
活动2:祖暅原理“幂势既同,则积不容异”①祖暅:祖冲之之子,南北朝时代的伟大科学家,在数学和天文学上都有杰出的贡献,提出祖暅原理,巧妙地解决了柱体、锥体、球体的体积计算。
②原理的含义:“幂”是面积,“势”即是高。
如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等。
师:祖暅原理告诉我们什么呢?有没有同学用自己的话来说说看?(教师提问,学生代表说说自己对祖暅原理的理解)师:这几位同学都说得很好,没错,祖暅原理告诉我们,夹在两个平行平面之间的两个几何体,现在用平行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思
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人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思一、教案设计1.教学目标通过本节课的学习,学生将会: - 了解祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
- 能够使用三视图来描述柱体和椎体的形状特征。
- 熟练掌握柱体和椎体表面积及体积的计算公式,并能够在实际问题中进行运用。
2.教学重点•祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
•柱体和椎体的三视图的绘制。
•柱体和椎体表面积及体积的计算公式及其运用。
3.教学难点•祖暅原理的具体应用及解题方法的讲解。
•柱体和椎体三视图的绘制方法。
4.教学方法•综合授课法;•讲解与练习相结合;•学生合作探究;•图像识别和计算机模拟。
5.教学过程5.1引入新知识通过展示一组物品的照片,如水瓶、柱形饮料广告牌等,引导学生理解并初步掌握祖暅原理的概念和应用。
5.2学生合作探究将学生分成小组,分别探究柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
每个小组将自己的发现、总结和计算结果展示给全班同学。
5.3知识总结和归纳在学生合作探究的基础上,全班共同总结柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
并分享实际问题中的操作技巧和解题方法。
5.4练习训练和答疑解惑在进行了相关练习和实例演练后,学生将进行答疑解惑,讨论疑难问题,并针对性地进行深入讲解。
5.5作业布置老师将按照教学进度和学生的掌握情况,布置相关的作业。
学生可以在完成作业的过程中,进一步巩固所学知识。
二、教学反思1.教学效果评估通过调查问卷的形式,对本课程进行了评估。
调查结果表明,学生们在课堂上有了更好的理解和掌握柱体、椎体及其相关知识点。
此外,学生对于课堂上的分组探究、练习训练等教学方法都持有较高的认可度。
2.优点本节课的优点: - 突出了学生的主体地位,采用学生合作探究和练习训练的教学方法,营造了积极向上的教学氛围。
- 尝试了不同的教学形式,通过展示照片、小组讨论、实际问题演练等方式丰富了教学内容,激发了学生的兴趣和主动性。
高中数学人教A版《 祖暅原理与柱体椎体、球体的体积》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
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高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》省级名师优质课教案比赛获奖教
案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课。
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教材及学情分析
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《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教材及
学情分析
教材分析:
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2003人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。
是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。
本节内容主要是通过数学实验法,利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。
本节内容的设计,一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家,对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣;另一方面通过本节内容的学习,学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式,还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积,可以进一步提高学生们的空间想象能力,也激发了学生强烈的探索欲望,油然而生了民族自豪感。
学情分析:
学习本节内容时学生已经进入高一下学期了,而且这部分学生也是基础较好的学生,他们思维敏捷、善于观察,养成了从多角度思考问题的好习惯,有较强的计算能力和逻辑推理能力。
在将近一年的高中数学学习中,学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程,有较强的动手操作能力,他们善于利用
集体的智慧来解决问题。
在本课的数学学习中,通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程,让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望,激励他们主动分组讨论、合作探究,完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。
可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。
学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和归纳推理的数学思想方法,这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。
人教A版高中数学必修第二册第8章探究课3祖暅原理与柱体、锥体的体积课件
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03
对点训练
1.“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是积相等.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的“椭半球体”和已被挖 去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上,用平行于平面β且与β任意 距离d处的平面截两个几何体,可横截得到一个圆面和一个圆环面, 可以证明S圆=S环总成立.据此,当b=2 cm,a=3 cm时“椭半球 体”的体积是( )
第八章 立体几何初步
探究课3 祖暅原理与柱体、锥体的 体积
01
知识提炼
祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个 平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这 两个几何体的体积相等.
02
典例探究
【典例】 利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时,可以构 造如图②所示的几何体M,几何体M的底面半径和高都为R,其底面 和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d的平面β截 两个几何体得到两个截面,请在图②中用阴影画出与图①中阴影截 面面积相等的图形并给出证明.
[解] 由题图可知,图①几何体为半径为R的半球,图②几何体为底 面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥,与图①截面面积相等 的图形是圆环(如阴影部分). 证明如下: 在图①中,设截面圆的圆心为O1, 易得截面圆O1的面积为π(R2-d 2), 在图②中,截面截圆锥得到的小圆的半径为d,所以,圆环的面积为 π(R2-d 2),所以,截得的截面的面积相等.
A.4π cm3 C.12π cm3
√B.8π cm3
D.16π cm3
√
高中数学人教A版2003课标版必修2探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
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高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT)
先研究半球的体积 思考:
如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢?
高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT)
高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT) 高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT)
高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT)
设有底面积都等于S,高都等于h的两 个锥体(如图:一个棱锥和一个圆锥), 使它们的下底面在同一平面内。你能得 到什么结论?
高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT)
(图中所给数字3单位为厘米)
16 8 3
3
所以该几何体的体积是 16 8 3
3
高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT)
高中数学人教A版2003课标版必修2探 究与发 现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积( 共24张P PT)
例: 如图,是某几何体的三视图。由祖暅原理知:“幂势既 同,则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几 何体满足“幂势同”,求该不规则几何体的体积。(图中所 给长度均为厘米) 解:
V V正方体 -V半个圆柱
23 - 1 12 2
2
8-
所以某不规则几何体的体积是 以8-π立方厘米
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_4
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变题2:
一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面,已知该六棱
9
柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的体积为 8 ,底面周长 为 3,则这个球的体积为___________
反馈训练1:
1.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,一球切
于三棱柱的各侧面,一球过三棱柱的各顶点,则这两个球的 表面积之比为________ 2.球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱的各侧面均相切,则球 O 的表面积为________
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢? (1)先找外接球的球心: 它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点; (2) 再构造直角三角形,勾股定理求解。
二、棱锥与球
典例2:正四面体ABCD的棱长为a, 求其内切球半径r与外接球半径R.
难点突破:如何求正四面体的外接球半径
法1.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破:如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
D
B
O MD
E
难点突破:如何求正四面体的外接球半径
法3.射影定理法
P
A
O
C l 2 h 2R
H
D
B
M
a
F
6a
2a
4
4
6a 12 3a 3
a
a
2
AD 3 a 2
则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球 。
一、棱柱与球
典例1: 有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一 球过正方体的各顶点,求这三个 球的体积之比.
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由祖暅原理可得:
V柱体=Sh 其中S 是柱体的底面积, h是柱体的高。
例: 如图,是某几何体的三视图。由祖暅原理知:“幂势既 同,则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几 何体满足“幂势同”,求该不规则几何体的体积。(图中所 给长度均为厘米) 解:
V V正方体 - V半个圆柱
23 - 1 12 2
.
.
祖暅,字景烁,祖冲之之子, 范阳郡蓟县人(今河北省涞源县 人),南北朝时代的伟大科学家。 祖暅在数学上有突出贡献,他在 实践的基础上,于5世纪末提出 了体积的计算原理。祖暅原理: “幂势既同,则积不容异”。
“势”即是高,“幂”即是面积。
祖暅原理 “幂势既同,则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如 果截得的两个截面的面积总相等,那么这 两个几何体的体积相等。
积。即
1
V锥体 3 sh
例:三个直角三角形如图放置,它们围绕 固定直线旋转一周形成几何体,求出该几 何体的体积(图中的长度单位是厘米)。
先研究半球的体积 思考:
如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢?
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 R3
3
例: 一个正四面体的所有棱长都2 是 厘米, 四个顶点都在同一球面上,求此球的体积。
2
8-
所以某不规则几何体的体积是 以8-π立方厘米
设有底面积都等于S,高都等于h的两 个锥体(如图:一个棱锥和一个圆锥), 使它们的下底面在同一平面内。你能得 到什么结论?
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥?
结论:对于一个任意的锥体,设它的
底面积为S,高为h,那么它的体积应等
于一个底面积为S,高为h的三棱锥的体
祖暅原理
祖冲之父子是 我们中华民族的
骄傲和自豪
祖暅原理的提出要比其他国家的 数学家早一千多年。在欧洲直到17世 纪,才有意大利数学家卡瓦列里提出 上述结论。
祖暅原理 “幂势既同,则积不容异”
设有底面积都等于S,高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长 方体,使它们的下底面在同一平面内。 你能得到什么结论?
课堂练习 某几何体 3
(图中所给数字3单位为厘米)
168 3
3
所以该几何体的体积是 16 8 3
3
课堂小结 总结一下你在本节课中 获得的知识和学习心得 祖暅原理 柱、锥、球的体积公式
布置作业
例:三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直, 且PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。
2、三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于 底面ABC,底面是边长为2的正三角形,求 这个三棱锥外接球的体积。
课后探究 利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
在没找到重新开始的理由前,别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间,我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多,并且穷人没有钱,所以,他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情,别忘了答应自己要去的地方,无论有多难,有多远。分手后不可以做朋友,因为彼此伤害过;不可以做敌人,因为彼此深爱过,所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去,不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱,割舍爱,这种静默才是最深情的告 时光已成过往,是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看,世界上多的不是医师,多的是撒盐的人。这世界,比你不幸的人远远多过比你幸运的人,路要 的那一步很激动人心,但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的,但没有这些脚步,或者耐不住这些平凡枯燥,你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事,往往 都会有乐观的心态,每个人也会有悲观的现状,可事实往往我们只能看到乐观的一面,却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观,也没有人能够忍受悲观,这就是 就会缅怀过去,无论是幸福或是悲伤,苍白或是绚烂,都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变,先改变我自己;要让事情变得更好,先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人,沿着不同的方向,固执的一步步远离,再也没有回去的路。想要别人尊重你,首先就要学会尊重别人。所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,都是 与失去自己的失败比起来,更是微不足道。生命不在于活得长与短,而在于顿悟的早与晚。既不回头,何必不忘。既然无缘,何须誓言。感谢上天我所拥有的,感谢上天 千万条,成功的人生也有千万种,选对适合自己的那条路,走好自己的每段人生路,你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中,是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望,越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你,没有比记忆中更好的风景,所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉,也 满,现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟,惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演,赛场上要尽力拼搏,工作中要任劳任怨,事业上要尽职尽责。 乐,今天的抗争为了明天的收获!积德为产业,强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁,婚姻永远比爱情实惠。爱有两种,一种是抓住,你紧张他也紧张;一种是轻松拖 人无忧,智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了,而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信,而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来,或者装作不知道,万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害,选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心,慢慢通过它,慢慢抵达世界,或者,抵达 我忘记一切,时间不会改变痛,只会让我适应痛。人生不容许你任性,接受现实,好好努力。曾经以为爱情是甜蜜,幸福的,不知道它也会伤人,而且伤的很痛,很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情,请给时间一点时间。蚁穴虽小,溃之千里。多少人要离开这个世间时,都会说出同一句话,这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情,我不相信,途中聚聚散散难舍难分,终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北,却依然固执的喜欢乱走。若是得手,便是随手可丢; 爱情不是寻找共同点,而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开,不带任何声响。我错过了狠多,我总是一个人难过,3、戏路如流水,从始至终,点滴不 未变,终归大海。一步一戏,一转身一变脸,扑朔迷离。真心自然流露,举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开,地上再无演员。 相信自己有福气,但不要刻意拥有;相信 绝眼泪;相信世上有好人,但一定要防范坏人;相信金钱能带来幸福,但不要倾其一生;相信真诚,但不要指责所有虚伪;相信成功,但不要逃避失败;相信缘分,但不 但不要求全责备;相信上帝,但别忘了锁上门。 一个人总要走陌生的路,看陌生的风景,听陌生的歌。最后你会发现,原本费尽心机想要忘记的事情真的就那么忘记了明 每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人;每每又总是在微笑沉醉时看到了现实,想到了伤痛,然后,冷的感觉再也暖和不起来了,如此反复,心,终于累了,现实就 又最终醒来,我正在行走,却找不到方向。 有些人,注定是等待别人的,有些人,注定是被人等的。一件事,再美好,你做不到,也要放弃;一个人,再留恋,不属于你 生命都免不了缺憾,最真的幸福,莫过于一杯水、一块面包、一张床,还有一双无论风雨,都和你十指相扣的手。 有些伤痕,划在手上,愈合后就成了往事;有些伤痕, 轻,也会留驻于心;有些人,近在咫尺,却是一生无缘的生命中,似乎总有一种承受不住的痛;有些遗憾,注定了要背负一辈子。生命中,总有一些精美的情感在我们身 留在了岁暮回首的刹那。 这世界并不是所有的东西都符合想象,有些时候,山是水的故事,云是风的故事;也有些时候,星不是夜的故事,情不是爱的故事,许多人走着 着看着就淡了,许多梦做着做着就断了,许多泪流着流着就干了。人生,原本就是风尘中的沧海桑田,只是,回眸处,世态炎凉演绎成了苦辣酸甜。 正所谓“独乐乐不如众 离开了原主人的手里,并实现了更有意义的价值。此刻,送人玫瑰这定是开心的,得玫瑰者亦如此。即使,手中已没了那朵玫瑰,但是,那份淡淡的清香仍留在我的手中 的,精神却是需要发扬光大的。正悟人生戏,邪悟戏人生。水里火里的舞台,挣扎煎熬的表演。你方唱罢我登台,延续千万年,天地一舞台。人类是主角,万物为道具。 面目。辛辛苦苦,轮回演出,期望完美谢幕。 人最悲哀的,并不是昨天失去得太多,而是沉浸于昨天的悲哀之中。人最愚蠢的,并不是没有发现眼前的陷阱,而是第二次 的,并不是想等的��