随机过程基本概念

二 随机过程的有限维分布函数族
∈T}是 设{X(t),t∈T}是S.P. ∈T}
1.一维分布函数 一维分布函数
对任意t∈T, X (t)为一随机变量.称其分布 为一随机变量. 对任意 ∈ 为一随机变量 函数 F (t ; x)=P(X(t) ≤x), x ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数 为随机过程 ∈ 的一维分布函数. 的一维分布函数
一 随机过程的定义
例. 具有随机初始相位的简谐波
X(t) = Acos(ωt +Φ)
其中Ａ 为常数， 服从[0,2 [0,2π 上的均匀分布. 其中Ａ ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布. 1. 每次观察结果是一个变化过程．某次观察时随机 每次观察结果是一个变化过程． 相位Φ (ω ) 随机取某个观测值 φ0 ，则观察到的变化过 程就是 X(t) = Acos(ωt +φ0 ) 2. 对固定的 t0 X(t0 , ω ) ， 是一个随机变量
有限维分布函数族定义
称随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数,二维 ∈T}的一维分布函数, 称随机过程 ∈T}的一维分布函数 分布函数,…,n维分布函数,…, ,…,n维分布函数,…,的全体 分布函数,…,n维分布函数,…,的全体 为随机 过程的有限维分布函数族 有限维分布函数族. 过程的有限维分布函数族
对每一个固定的t, X(t)为一随机变量 为一随机变量(r.v.). t∈T时. ∈T时 对每一个固定的 为一随机变量 ∈T 该随机变量所有可能取值的集合, 该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的 状态空间.记为 中的元素称为状态 状态空间 记为S. S中的元素称为状态 记为 中的元素称为状态. 对每一个确定的ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在 上的普通函 是定义在T上的普通函 对每一个确定的 是定义在 称为为随机过程的一个样本函数 样本函数.也 数. 记为 x(ω0,t), 称为为随机过程的一个样本函数 也 样本函数的图形称为样本曲线 称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线． 轨道或实现 样本函数的图形称为样本曲线．
给定一个随机过程， 注1: 给定一个随机过程，其有限维分布函数族随 之确定。 之确定。 前苏联数学家在1931年证明了： 1931年证明了 注2: 前苏联数学家在1931年证明了：若给定一个 参数集T 参数集T上满足对称性和兼容性的有限维分布函数 则存在一概率空间及定义在其上以T 族，则存在一概率空间及定义在其上以T为参数集 的随机过程， 的随机过程，使得前述的有限维分布函数族即该 随机过程的有限维分布函数族. 随机过程的有限维分布函数族.说明随机过程的分 布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性。 布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性。
有限维分布函数族的性质
对称性 设i1, i2 ,L, in是 L, n的任意一个排列，则 1,2,
F(ti1 , ti2 ,L, tin ; xi1 , xi2 ,L, xin )
= F(t1, t2 ,L, tn ; x1, x2 ,L, xn )
Baidu Nhomakorabea
相容性 设m<n,则 则
F(t1, t2 ,L, tm; x1, x2 ,L, xm ) = F(t1, t2 ,L, tm , tm+1,L, tn ; x1, x2 ,L, xm ,+∞,L+ ∞)
X(t)
X(t) = Acos(ωt + Φ)
样本曲线x 样本曲线 1(t)
状态X(t0)
t0
状态X(t0)
t
样本曲线x2(t)
随机过程定义
为一概率空间,T为一参数集 设(Ω,F,P)为一概率空间 为一参数集 ⊂ 为一概率空间 为一参数集,T R, 均有定义在(Ω,F,P)上的一个 若对每一 t ∈T,均有定义在 均有定义在 上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应,则称 与之对应, 随机变量 ∈ 与之对应 X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(Stac为 上的一个随机过程 上的一个 hastic Processes,简记为 简记为:S.P.) 简记为
4.根据参数集与状态空间离散与否, 4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为 根据参数集与状态空间离散与否
●离散参数,离散状态的随机过程 ● 离散参数,连续状态的随机过程 ● 连续参数,离散状态的随机过程 ● 连续参数,连续状态的随机过程
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
说明随机过程的分布函数族可以完 整描述随机过程的统计规律性。 整描述随机过程的统计规律性。
3. n维分布函数 n维分布函数
对任意固定的t 对任意固定的 1,t2, …,tn∈T, X (t1) ,X (t2),…, X (tn)为n个随机变量.称其联合分布函数 个随机变量. 为 个随机变量 F (t1,t2 ,…,tn ; x1, x2,…, xn) = P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 … X(tn) ≤xn ) x1 x2,…, xn ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数 ∈ 的 维分布函数. 为随机过程
2.二维分布函数 2.二维分布函数
对任意固定的t 对任意固定的 1,t2∈T, X (t1) ,X (t2)为两个随 为两个随 机变量. 机变量.称其联合分布函数 F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 ), x1, x2∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的二维分布函数 的二维分布函数. 为随机过程 ∈ 的二维分布函数
记作 {X(ω,t), ω∈Ω,t∈T}, ∈ ∈ },或 可简记为 {X(t),t∈T},或 X(t). ∈ },
称为参数, T称为参数集或参数空间, t称为参数,一般表 称为参数集或参数空间, t称为参数 示时间或空间. 示时间或空间. 参数集通常有以下形式 参数集通常有以下形式: 通常有以下形式 ⑴ T={0,1,2,…}或 T= {…-2,-1,0,1,2,…} 或 其中a 可以为+∞. ⑵ T=[a,b],其中 可以为－∞, b可以为 其中 可以为－ 当参数集为形式⑴ 当参数集为形式⑴时,随机过程X(t)也称为 随机序列