高中数学苏教版必修5： 第1课时等差数列的概念及通项公式

2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式1．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3．等差数列的证明及其应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的概念阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2 等差数列的通项公式阅读教材P37～P38例1的有关内容，完成下列问题．对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.1．若{a n}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则a n＝.【解析】∵a1＝1，d＝3，∴a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2.【答案】3n－22．若{a n}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若a n＝7，则n＝.【解析】∵a1＝2，d＝1，∴a n＝2＋(n－1)×1＝n＋1.由a n＝7，即n＋1＝7，得n＝6.【答案】6[小组合作型]等差数列的判定与证明判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n}中，a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中，a n＝n2＋n.【精彩点拨】作差a n－a n―→代数运算―→利用等差数列定义判断＋1－a n＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意【自主解答】(1)a n＋1性知，这个数列为等差数列．(2)a n＋1－a n＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．1．定义法是判定(或证明)数列{a n }是等差数列的基本方法，其步骤为： (1)作差a n ＋1－a n ； (2)对差式进行变形；(3)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．2．应注意等差数列的公差d 是一个定值，它不随n 的改变而改变．[再练一题]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)，记b n ＝a n ＋1－a n .求证：对任意实数p 和q ，数列{b n }是等差数列．【证明】 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ， ∴b n ＋1－b n ＝(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n ) ＝2p 为一个常数， 故数列{b n }是等差数列.等差数列的通项公式已知数列{a n }是等差数列，且a 5＝10，a 12＝31.【导学号：92862034】(1)求{a n }的通项公式； (2)若a n ＝13，求n 的值．【精彩点拨】 建立首项a 1和d 的方程组求a n ；由a n ＝13解方程得n . 【自主解答】 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由题意可知⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5.(2)由a n ＝13，得3n －5＝13，解得n ＝6.1．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n ＝a 1＋(n －1)d 中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．2．已知数列的其中两项，求公差d ，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n ＝a m ＋(n －m )d .[再练一题]2．已知递减等差数列{a n }前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？【解】 依题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1a 2a 3＝66，∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎨⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5. ∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16， 即等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的第10项．[探究共研型]等差数列的应用探究1 若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋1且a 1＝1，则a 5如何求解？ 【提示】 由a n ＋1＝a n ＋1可知a n ＋1－a n ＝1. ∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2，∴a 5＝52＝25.探究2 某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？【提示】 设第n 排有a n 个座位，由题意可知 a n －a n －1＝2(n ≥2)．又a1＝20，∴a n＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【精彩点拨】分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．【自主解答】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n年的利润为a n，则a n－a n＝－20，n≥2，n∈N*.所以－1每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．[再练一题]3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123...？ (60)距离s(cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？【解】(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.当s＝49 cm时，t＝s9.8＝499.8＝5 s.1．下列数列中是等差数列的为(填序号)．①6,6,6,6,6；②－2，－1,0,1,2；③5,8,11,14；④0,1,3,6,10. 【解析】①②③是等差数列，④不是等差数列．【答案】①②③2．若数列1，a,9是等差数列，则a的值为．【解析】由1，a,9成等差数列可知，a－1＝9－a，∴2a＝1＋9，∴a＝5.【答案】 53．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则a n＝.【解析】由a n＋1＝a n＋2，得a n＋1－a n＝2，∴{a n}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.【答案】2n－14．设数列{a n}的公差为d，则数列a3，a6，a9，…，a3n是数列，其公差为.【导学号：92862035】【解析】a3n－a3(n－1)＝3d.【答案】等差3d5．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【解】用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.。