最新北师大九年级数学上册：公式法,十字相乘法
九年级数学上册十字相乘法详解
解:(1) x4 - y4 2 2 2 2 ( x y )( x y )
( x2 y 2 )( x y)( x y)
(2) x4-8x2+16 2 2 ( x 4)
( x 2) ( x 2)
2
2
解：(3) 3ax2+6ax+3a
3a ( x 2 x 1)
2
3a ( x 1)
2
(4) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2)
请直接口答计算结果：
1.(x+2)(x+1)=
x2+3x+2 x2-x-2
2.(x+2)(x-1)= x2+x-2
3.(x-2)(x+1)=
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
一个二次三项式
一个二次三项式
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
因式分解
两个一次二项式相乘的积
P49：如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能 分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p 又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上 的因式分解。
试一试
2
十字相乘法
步骤：
x
x
x 3x 2 ( x 1)( x 2)
新北师大版九年级数学上册知识点
北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
1.2 矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1.3 正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
平行四边形菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分） 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直一个内角为直角（或对角线相等）鹏翔教图3※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程．．．．．．2.2 ．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．．2.3 用公式法求解一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5 一元二次方程的跟与系数的关系2.6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
十字相乘公式法
十字相乘公式法
（最新版）
目录
1.十字相乘公式法的概念
2.十字相乘公式法的应用
3.十字相乘公式法的优点
4.十字相乘公式法的局限性
正文
十字相乘公式法是一种常用的数学计算方法，主要应用于解决乘法运算，尤其是在涉及到两位数相乘时，该方法可以极大地提高计算效率。
首先，我们来了解一下十字相乘公式法的概念。
十字相乘公式法，顾名思义，就是将两个两位数通过十字交叉的方式进行相乘。
例如，我们要计算 23 乘以 45，我们可以将 23 写在上方，45 写在下方，然后通过
十字交叉的方式，将 23 和 45 的每一位相乘，最后将结果相加，就可以得到最终的乘积。
其次，十字相乘公式法广泛应用于各种乘法运算中。
无论是在学校的数学课程中，还是在实际的生活工作中，都可以看到它的身影。
尤其是在涉及到大量的乘法运算时，使用十字相乘公式法可以大大节省时间和精力。
然而，十字相乘公式法也有其优点和局限性。
首先，它的优点在于简单易懂，操作方便。
只需要通过简单的十字交叉，就可以得到乘积，无需进行复杂的计算。
其次，它的局限性在于，只适用于两位数的乘法运算。
对于更大的数字，使用十字相乘公式法会显得非常繁琐，效率也会大大降低。
总的来说，十字相乘公式法是一种简单有效的乘法运算方法，尤其在解决两位数的乘法运算时，可以大大提高计算效率。
7.一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(基础)(北师大版 九年级数学上册)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-； (3) 2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221x ±==±，即121x =+，221x =-．(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x= ∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x 2+x=2； (2) （2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ； （3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37. x== ，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴21213222x-±-±==⨯，∴113 2x--=，2132x-+=．要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0；（3）x（2x+1）=8x﹣3．【思路点拨】用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程.【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x1＝-2，24 3x=-．(2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x1＝1，x2＝-4．（3）去括号，得：2x2+x=8x﹣3，移项，得：2x2+x﹣8x+3=0合并同类项，得：2x2﹣7x+3=0，∴（2x﹣1）（x﹣3）=0，∴2x﹣1=0或 x﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-． 【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=. 5．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．【巩固练习】一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =- 3．一元二次方程2340x x +-=的解是( )A ．11x =；24x =-B ．11x =-；24x =C ．11x =-；24x =-D ．11x =；24x = 4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法） （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法） （3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法． 而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0， ∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)3692x ±-⨯⨯-±==，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13. 【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0， （x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0， ∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】 方程24b ac -的值24b ac -的符号（填＞0，=0，＜0） 1x ，2x 的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）2230x x --=16 ＞0 不等 2210x x -+= 0 =0 相等 2230x x -+=-8＜0不存在(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； ③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．。
北师大版初三(上)数学重点知识点汇总
初三（上）重点知识点汇总第1课 一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式：_________。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-±注意：若b<0，方程无解（2）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：_________________0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程_____________实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点（4）因式分解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。
步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。
注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。
北师大九(上)数学概念及公式(必备)
九（上）数学常用公式及性质一、乘法公式（1）(a＋b)(a－b)＝a2－b2；（2）(a±b)2＝a2±2ab＋b2；（3）a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；（4）(a－b)2＝(a＋b)2－4ab二、特殊的平行四边形1.菱形（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）菱形的性质：①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直；④菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形两条对角线所在的直线。
两条对称轴互相垂直。
菱形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
（3）菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边相等的四边形是菱形。
2.矩形（1）矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的性质：①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；⑤矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（3）矩形的判定:①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。
3.正方形（1）正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质：①它具有矩形和菱形的所有性质；②正方形的四个角都是直角，四条边都相等；③正方形的对角线相等且互相垂直平分④矩形是轴对称图形，它有四条对称轴，也是中心对称图形。
（3）正方形的判定：①对角线相等的菱形是正方形；②对角线垂直的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形。
总之，既是矩形又是菱形的四边形就是正方形 三、一元二次方程1.一元二次方程的一般形式：ax ２＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax ２,bx ,c 分别称为二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．2．解一元二次方程的方法：（1）直接开平方法；形式（x+m ）2=n(n ≥0) （2）配方法；步骤： ①二次项系数化1； ②常数项移到方程的右边；③方程两边都加上一次项系数一半的平方 ④方程写成（x+m ）2=n(n ≥0)的形式； ⑤用直接开平方法求解，并写出方程的根 （3）公式法；一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，它的根是： （4）因式分解（十字相乘）法；把方程化为(X-a)( X-b)=0的形式，那么X-a=0或X-b=0，求出方程的解 3.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，①当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根。
北师大版数学九年级上册知识点归纳
北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形 （一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
九年级数学竞赛资料专题(二)——因式分解的9种方法
因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1、提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式 例一：0322=-x x解：()032=-x x ，01=x ，232=x 这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解a x =时，该式分解后必有一个()a x -因式,这对我们后面的学习有帮助。
2、公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
3、十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积21a a ⋅，把常数项c 分解成两个因数1c ，2c 的积21c c ⋅，并使1221c a c a +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例二： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式()02≠++a c bx ax ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把1a ，2a ，1c ，2c ，排列如下：1a 1c╳2a 2c1221c a c a +按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式c bx ax ++2的一次项系数b ，即1221c a c a +b =，那么二次三项式就可以分解为两个因式11c x a +与22c x a +之积，即 c bx ax ++2()()2211c x a c x a ++=这种方法要多实验，多做，多练。
十字相乘公式法
十字相乘公式法摘要：1.十字相乘公式的定义和原理2.十字相乘公式的应用场景3.十字相乘公式的简单实例演示4.十字相乘公式在数学竞赛和实际生活中的优势5.提高十字相乘公式运用能力的建议正文：十字相乘公式法是一种在数学中广泛应用的技巧，它主要用于解决二次方程的求解和因式分解问题。
其简洁的运算方式和高效率使得它在各种数学场合中都备受欢迎。
十字相乘公式法的原理十分简单，它基于二次方程的一般形式：ax + bx + c = 0。
通过观察系数a、b、c的关系，我们可以利用十字相乘的方法来求解这个方程。
具体操作步骤如下：1.首先，将二次方程的系数按照十字形状排列，即：```a b------c d```2.然后，根据系数之间的关系，填写十字相乘的四个结果：```a b------c de```3.最后，根据填写的结果，我们可以得到方程的解：```a b------c de------0 0```解的形式为：x = (-b ± √(b - 4ac)) / 2a十字相乘公式法不仅在课堂上解决问题，而且在数学竞赛和实际生活中也具有很高的价值。
它能帮助我们快速求解复杂数学问题，提高运算效率。
例如，当我们在生活中需要计算一笔投资的收益时，可以将投资金额、投资时间和收益率看作二次方程的系数，然后利用十字相乘公式求解收益。
要提高十字相乘公式的运用能力，以下几点建议可供参考：1.熟练掌握十字相乘公式的原理和步骤，了解其在数学问题中的应用场景。
2.多做练习，积累经验，提高运算速度和准确性。
3.学会将复杂问题分解为简单问题，善于观察和分析问题之间的关系。
4.参加数学竞赛和活动，锻炼自己的思维能力和解决问题的技巧。
总之，十字相乘公式法是一种实用且高效的数学技巧，掌握它将对我们的学习和生活产生深远的影响。
北师大版九年级数学上册2.3公式法
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)吗 ?
善 知 共 生
教 养 并 举
ax 2 bx c 0 两边都除以a x 2 b x c 0
a a
配方
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
即
b b 2 4ac x 2a 4a 2
1.用公式法解下列方程：
9 17 9 17 （1）2x2-9x+8=0； x1 4 , x2 4
（2）16x2+8x=3.
1 3 x1 , x2 4 4
善 知 共 生
教 养 并 举
这是收获的
时刻，让我
一、由配方法解一般的一元二
们共享学习
的成果
次方程 ax2+bx+c=0 若 b2-4ac≥0 得
b b 2 4ac x 2a
教 养 并 举
2
如果 b2-4ac≥0
善 知 共 生
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
当b2-4ac≥0时，它的根是：
b b2 4ac x 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用 求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
善 知 共 生
教 养 并 举
用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值； （2）求出 b 2 4ac的值；
特别注意:当 b 2 4ac 0 时无解.
b b 2 4ac x （3）代入求根公式： 2a
x2 （4）写出方程的解：x1、
十字相乘
十字相乘法本质是一种简化方程的形式，它能把二次三项式分解因式，但是要务必注意各项系数的符号。
目录∙1术语现状∙2术语概念∙3通俗方法∙4例题解析∙5教学重点∙6教学难点∙7教学原理∙8注意事项∙9具体应用1术语现状十字相乘法[1]是一元二次方程、比例问题解题的主流方式之一，相比其他的解题的方式来说，简单容易上手，但有的地区教材已经不存在十字相乘法了(如：人教初中数学全册、北师大版初中二年级数学全册、沪教版初中一年级数学上册和青岛版初中数学），但仍然能在上述教材使用地区的试卷中见到相关例题。
2术语概念十字相乘法例题解析十字相乘法[2]的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数[3]a分解成两个因数a1,a2的积a1〃a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1〃c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
3通俗方法例：a²x²+ax-42首先，看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a ×+？）×(a ×+？）然后再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。
数学北师大版九年级上册公式法
b b 2 4ac x 2a 当b2-4ac＜0时，原方程无解．
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
例 1 解方程：（1）x2-7x-18=0 （2） 2+1=4x 4x 解：这里 a1, b 7, c 18.
b2 4ac72 4×1×18121,
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a 、b、c 的值。 2、求出 b 4ac 的值，
2
2 特别注意:当 b 4 a c0
时无解
b b2 4 a c 3、代入求根公式 : x 2 a
4、写出方程的解： x 1、 x 2
只要比别人更努力，相信自己一定会成功。
北师大版九年级数学上册第二章《用公式法求解一元二次方程》
பைடு நூலகம்
用公式法求解一元二次方程
临猗县牛杜镇初级中学校
张妮
复习导入 说说：利用配方法解下列一元二次方程的 基本步骤 1.化:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)； 2.移项:把常数项移到方程的右边； 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方，求出方程 的解． （1）2x2（2）9x2+6x+1=0; 9x+8=0; （3）16x2+8x=3.
当 b 4 ac 0 时 , 2 b b 4 ac x . 2 a 2 a
2
w7.定解:写出原方程的解.
2 b b 4 ac 2 x .b 4 ac 0 . 2 a
【结论】
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
九年级数学上册 第二章 2.4.2 用十字相乘法解一元二次方程(新版)北师大版.doc
—————————— 唐玲制作仅供学习交流 ——————————用十字相乘法解一元二次方程学习目标：1. 能用因式分解法（十字相乘法）解一元二次方程；2、 能根据一元二次方程的特征，灵活选择求解一元二次方程的方法。
【学习过程】一、温故知新用因式分解法解下列一元二次方程(1)23=7x x (2) (3(4)=0x x -+） (3)2(1)160x --=(4)4(3(3)0y y --=2）-2 (5) 31=4-4x x x -（） (6)223(5)=25x x --二、自研自探环节我们知道x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝(x －a )(x －b )，那么x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0就可转化为(x －a )(x －b )＝0，请你用上面的方法解下列方程．(1)x 2－3x －4＝0； (2)x 2－7x ＋6＝0； (3)x 2＋4x －5＝0.【互动探索】上面因式分解的特点是什么？一次项系数与常数项有什么关系？【解答】二次三项式x 2－(a ＋b )x ＋ab 的最大特点是x 2项是由x ·x 而成，常数项ab 是由(－a )·(－b )而成的，而一次项是由－a ·x ＋(－b ·x )交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．(1)因式分解，得(x ＋1)(x －4)＝0.于是，得x ＋1＝0或x －4＝0，故x 1＝－1，x 2＝4. (2)因式分解，得(x －1)(x －6)＝0. 于是，得x －1＝0或x －6＝0， 故x 1＝1，x 2＝6. (3)因式分解，得 ＝0. 于是，得 ＝0或 ＝0，故x 1＝ ，x 2＝——————————唐玲制作仅供学习交流——————————【互动总结】1、上面这种因式分解的方法叫做法，在解一元二次方程中经常用到这种方法．2、分解因式的一般方法有、，。
三、合作探究环节：【小对子交流学习】1．解方程：(1)x2－3x－10＝0； (2) x2+5x+6＝0 (3) x2－6x+8＝0(4) x2+2x-3＝0 (5) x2+x－2＝0 (6) 3x2－8x－3＝02．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，求该三角形的周长．四、课堂小结：这节课学到了什么方法?五、课堂巩固解方程(1)x2－2x－15＝0； (2)x2+3x－4＝0； (3)2x2－5x+3＝0；。
数学北师大版九年级上册公式法
一元二次方程的解法----公式法 (1课时)教学目标一、情感态度与价值观1.形成积极参与数学活动的学习态度。
2.在数学学习中获得独立解决问题的成功体验。
二、过程与方法1.经历探索一元二次方程求根公式的过程。
2.体会用公式法解一元二次方程的具体操作步骤。
三、知识与技能1. 会用公式法解一元二次方程。
2. 初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律。
教学重点、难点1. 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程。
2. 难点：用配方法导出一元二次方程的求根公式。
教学过程教学活动11.导入新课形成表象,提出问题在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景解下列一元二次方程:(学生选两题做)（1）0141292=--x x （2）09822=--x x （3）0982=--x x然后让学生仔细观察三题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?教学活动21. 分析问题,探究本质由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程--- 程序化的操作不同之处是方程的根的情况及其方程的根. 进而提出下面的问题: 既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究? 让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.推导过程：)0(02≠=++a c bx ax 因为0≠a ，把方程两边都除以a ，得02=++a c x a b x移项得： a c x a b x -=+2配方得： 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++即22244)2(a ac b a b x -=+ 因为0≠a 当042≥-ac b 时，04422≥-a ac b ，将方程两边开平方，得22442a ac b a b x -±=+。
于是得22442a ac b a b x -±-= )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x这就是一元二次方程的求根公式。
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一元二次解法：（1）公式法
【知识要点】 1．计算方法
一，先将方程变为标准形式)0(02≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。
如何变：
① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算 ② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号
③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数 二，再计算△，当△=042
≥-ac b ，有实数根。
如△＜0，则方程无解
三，根据求根公式，将a,b,c ,
△代入公式，即得：-=
2b x a
±。
【典型例题】 领练：例一
例①4722
=-x x 例②02
122412=+-x x
例③05422
=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(2
2++=--+
例⑤2
(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212
≠=+++-m m mx x m
测试：例二
1，x x 4212
=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x
3，(2)(3)56x x --= 4，022
2
2
=-+-n m mx x
二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。
方程有两个实数根→△≥0 方程有两个相等的实数根→△＝0 方程有两个不相等的实数根→△＞0 方程没有实数根→△＜0 例三，变式训练
①不解方程，请判别下列方程根的情况；
（1）22340t t +-= ; （2）
2
16924x x += ; （3）2
5(1)70y y +-= ; ②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ;
③如果关于x 的方程2
2
2(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .
④已知0,0,p q <<则一元二次方程2
0x px q ++=的根的情况是 ;
⑤已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0,且1
2
x =
是方程的根，则a b +的值为 ______________.
⑥若m =______ （m 为整数），方程2
2
x m x mx m +=-+有整数解.
（2）分解因式法，十字相乘法
【知识要点】
1，分解因式法：将一元二次方程利用因式分解把其变成因式乘积的形式。
① 利用完全平方公式分解（如例一，例二） ② 利用平方差公式分解（如例三，例四）
2，十字相乘法：将二次项，常数项拆开，交叉相乘，结果为一次项的因式分解特殊方法 ① 二次项为1的方程（如例五，例六） 注意：一次项，常数项的符号
② 二次项不为1的方程（如例七，例八） 注意：当数字过大时，应用短除法找因数，
大胆尝试。
领练：例一
例①2
91240x x ++= 例②2
(1)2(1)10x x ---+=
例③22(3)(32)0x x ---= 例④22
4(21)9(2)x x -=-
例⑤2
320x x -+= 例⑥2
2990x x --=
例⑦2
21527x x -=- 例⑧2
5521280x x -+=
测试:例二
1，2
722420x x -+= 2，22(3)4(21)x x +=-
3，01262
=--x x 4，2
34(21)0x
x ++=
5，2
235+750x x -= 6，2(1)2(1)150x x ----=
变式训练：
领练：例2.①如果二次三项式2
2
24x mx m ++-是关于x 的完全平方式，那么
m = .
②若多项式2x px q ++分解因式的结果是()(),x m x n ++则方程2
0x px q ++= 的根为
③在等腰三角形ABC 中8,,BC AB AC =的长是关于x 的方程2
100x x m -+=的两个根,则m = 领练：例3.分别根据下面的条件求m 的值： ①方程2
(2)40x m x -++=有一个根为1-；
③方程2
310mx x -+=有两个不相等的实数根；
④方程2420mx x ++=没有实数根；
⑤方程220x x m --=有实数根.
领练：例4.
①试证：关于x 的一元二次方程2(1)2(2)0x a x a +++-=一定有两个不相等的实数根.
领练：②已知,αβ是关于x 的方程2
0x px q ++=的两个不相等的实数根，且
32230,ααβαββ--+=求证：0,0.p q =<
领练：③已知方程2
(1)(2)x x m --= (m 为已知实数，且0m ≠)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根； (2)一个根大于2，另一个根小于1.
领练：例5.①若两个方程222(1)(3)0x a x a --++=和2
2
2240x ax a a -+-+=中，至少有一个方程有实数根，求a 的取值范围.
领练：②设m 为整数，且440,m <<方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根.
领练：③如图，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分,AD 垂足为,F 交BC 的延长线于点,,,.E BE a CE c DE b ===求证：关于x 的一元二次方程2
20x bx ac -+=有两个相等的实数根.
测试：【课后作业】
1.方程()()1231=+-x x 化为02
=++c bx ax 形式后，a 、b 、c 的值为（ ）
A. 1，–2，–15
B. 1，–2，–15
C. 1，2，–15
D.–1，2，–15 2. 关于x 的方程2
210ax x -+=中，如果0,a <那么根的情况是（ ）
A 两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 3. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A.2
256y y += B.2
5x += 2
20+= D.2
310x -+=
4.方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.有一个实数根 5.关于x 的一元二次方程2
10x kx +-=的根的情况是 （ ） A.有两个不相等的同号实数根 B.有两个不相等的异号实数 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
6.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2
4b ac ∆=-和完全平方公式
2(2)M at b =+的关系是（ ）
A. M ∆=
B. M ∆<
C. M ∆>
D.大小关系不能确定 7.若一元二次方程2
0ax bx c ++=一个根是1，且,a b 满足等式 333+-+-=
a a
b ,
c =_________.
8.关于x 的方程2(21)10kx k x k ++-+=的实根的情况是 .
9.如果关于x 的一元二次方程22(4)60x ax x --+=没有实数根，那么a 的最小整数值是__ 10.若关于x 的二次方程2
8(10)70x a x a --+-=的根互为相反数，求a 的值.。