苏教版推理与证明
苏教版八年级数学知识点总结
苏教版八年级数学知识点总结八年级数学是初中数学中的一项重要内容，对于学生的数学思维能力的培养和数学基础的奠定有着至关重要的作用。
而苏教版八年级数学则是较为常见并被广泛使用的一套教材。
本文将对苏教版八年级数学的知识点进行综述和总结。
一、代数代数是八年级数学的核心内容之一，主要包括：一元一次方程与等式，二元一次方程组，根式与分式，整式，一次函数及其应用等知识点。
1. 一元一次方程与等式一元一次方程指一个未知数为一次的方程，可以表示为ax+b=0 （a≠0），如2x+3=7。
对于一元一次方程，我们需要掌握基本的方程变形、用加减乘除消元、移项变号、去分母等方法来解方程。
同时，还需要理解为什么一元一次方程只有一个解或没有解。
在实际应用中，我们可以将问题转化为一元一次方程，进而解决问题。
比如有一道题目：“一堆苹果，分给a,b,c三人，分完后c 多得a,b两人分的各一半，若原来有21个苹果，则c得到多少个苹果？” 我们根据题意可以写出方程。
设a,b,c三人分别得到x,y,z个苹果，则有：x+y+z = 21;z = (x+y)/2;整理得：x + y - 2z = 0;插入第一个公式可得：x+y = 2z;代入第一个公式得：3z = 21，解得z=7。
所以c得到的苹果数是7个。
2. 二元一次方程组二元一次方程组由两个未知数的一次方程组成，一般写成：ax+by=c;dx+ey=f;我们需要掌握用消元法和代入法解二元一次方程组的基本方法和步骤。
同时还需要理解解出的解集的含义，如有唯一解、无解、无穷解等情况。
在实际应用中，二元一次方程组也有广泛的应用，如数学建模、物理力学等。
例如有一道题目：“使用8个10W和4个20W的灯泡，排成两排，第一排4个，第二排8个，第一排亮的灯泡功率大于等于第二排。
求每只灯有几瓦？” 我们根据题意可以写出方程组。
设第一排4个灯泡中有x个10W的和y个20W的，第二排8个灯泡中有m个10W的和n个20W的，则有：x+y = 4;m+n = 8;10x+20y >= 10m+20n;代入第三个方程可以得到： y>=n；n>=x；m>=y;插入第一个公式可得：n+m = 8-x;插入第二个公式可得：x+2y <= 4;整理可得：5y-2n >=2，解得y=2，n=1。
苏教版高中数学高二PPT 素材 综合法
复复习习回回顾顾
推理
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.
知识点梳理
引例1:如图，四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA. 证明: 连结AC，因为四边形
从推理的格式来看，综合法是从已知条件和学过的 知识为依据，由因导果，即看已知，想可知，逐步推向 未知.
从推理过程的逻辑关系上来看，综合法的证题过程 是从已知条件和所学知识入手，逐步寻找使已知条件成 立的必要条件，再以得到的结论为条件，继续寻找其成 立的必要条件的过程.
再见
又 AE BF（已知），
EO FO. EOC FOD（对顶角相等）
EOC FOD
CE DF.
典型例题
例2 △ABC三边长 a, b, c 的倒数成等差数列.
求证：B 90
证明：因为 ABC的三边的倒数成等差数列， 1 + 1 = 2 .
整理得：a c 2 ,即2ac b(a c). a c b ac b
A 1
4
D
32
ABCD是平行四边形,
C
所以AB//CD，BC//DA.
故1 2，3 4，
由一般性原理
又AC=CA, 所以ABC CDA， 故 AB=CD，BC=DA.
特殊结论
知识点梳理
引例2: 已知a>0,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
三年级下册数学教案-9.2 数学广角——推理丨苏教版
三年级下册数学教案-9.2 数学广角——推理一、教学目标1. 让学生通过观察、操作、猜测等实践活动，培养初步的合情推理能力。
2. 使学生能根据图形的特征，发现图形排列的规律，并应用规律解决相关问题。
3. 培养学生用数学语言表达推理过程的能力，发展数学思维。
二、教学内容1. 图形推理：通过观察一系列图形，找出图形排列的规律，并应用规律进行推理。
2. 数字推理：观察数字序列，找出数字之间的关系，并应用这些关系进行推理。
三、教学重点与难点1. 重点：培养学生通过观察、操作等活动，发现图形和数字排列的规律，并进行推理。
2. 难点：应用发现的规律解决实际问题，并用数学语言表达推理过程。
四、教学方法1. 情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习活动。
2. 探究教学法：鼓励学生通过观察、操作、猜测等方式，自主探究图形和数字排列的规律。
3. 合作学习法：组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和交流能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示一组有趣的图形，引导学生观察并发现图形排列的规律，激发学生学习兴趣。
2. 探究新知：- 图形推理：学生通过观察、操作等活动，找出图形排列的规律，并尝试用数学语言表达推理过程。
- 数字推理：学生观察数字序列，找出数字之间的关系，并应用这些关系进行推理。
3. 巩固练习：设计有针对性的练习题，让学生应用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
4. 课堂小结：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结图形和数字推理的方法和技巧。
5. 课后作业：布置与课堂内容相关的作业，让学生在课后进行巩固练习。
六、教学评价1. 过程评价：观察学生在课堂上的参与程度、合作意识和交流能力，评价学生的学习过程。
2. 结果评价：通过课后作业和测试，评价学生对图形和数字推理知识的掌握程度。
七、教学建议1. 注重学生实践：教学中应注重学生的实践活动，让学生在实际操作中发现规律，培养推理能力。
苏教版中考复习：《代数的推理与证明》课件
∴(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+2a2b2-4abcd+2c2d2=0 ∴(a2 -b2)2+(c2-d2 )+2(ab-cd)2=0
∴ a =b, c =d, ab=cd
即a=b=c=d
∴四边形是菱形
1 1 1 2、已知 0，求证： a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 a b c
(2n 2) 8 16(n 1)
原命题得证
方法二： (n 5) 2 (n 3) 2 n 2 10n 25 n 2 6n 9 16n 16 16(n 1)
原命题得证
典型例题三（条件式证明）
例1、 已 知 a、b、c是ABC的 三 条 边 ， 求证：（ a b c ） - 4a b 0
2 a 例2、若a 2 3a 1 0, 求 4 的值。 2 a a 1
解：方法一：∵a2-3a+1=0 ∴a2=3a-1 a4= (3a-1)2
a2 a2 a2 2 4 2 2 2 a a 1 (3a 1) a 1 9a 6a 1 a 2 1 a2 1b c 0, 求证： 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c a b a b c
解： b c a
b 2 c 2 2bc a 2，即b 2 c 2 a 2 2bc
a b c 0
解： x 3 2x 2 7 x 3 x 2 x 2 7 x( x 2 x) x 2 7
又 x 2 x 1 0
x2 x 1
x 3 2x 2 7 x( x 2 x) x 2 7 x x 2 7
苏教版小学三年级奥数— 逻辑推理
一、拓展提优试题1．把一根15米长的钢管锯成5段，每锯一次用6分钟，一共要用分钟．2．晨晨小朋友发现，自己一共有1角和5角的硬币共20枚，总钱数是8元钱，那么1角的硬币共有多少枚？3．一根长30厘米的铁丝，可以围成种不同的长方形（边长是整厘米数）．4．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个．A．1B．4C．6D．75．祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先4颗红珠，接着3颗黄珠，再2颗绿珠，最后1颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第2000颗龙珠是（）A．红珠B．黄珠C．绿珠D．白珠6．一只大熊猫从A地往B地运送竹子，他每次可以运送50根，但是他从A地走到B地和从B地返回A地都要吃5根，A地现在有200根竹子，那么大熊猫最多可以运到B地（）根．A．150B．155C．160D．1657．动物园的饲养员把一堆桃子分给若干只猴子，如果每只猴子分6个，剩57个桃子；如果每只猴子分9个，就有5只猴子一个也分不到，还有一只猴子只分到3个．那么，有（）个桃子．A．216B．324C．273D．3018．大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）．那么，大正方形的面积是（）平方厘米．A．25B．36C．49D．649．六个数的平均数是24，加上一个数后的平均数是25，加上的这个数是．10．你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25．依据上面的条件，推理出这个密码应该是（）A．25526250B．26650350C．27775250D．28870350 11．有A、B、C、D、E、F六张字母卡片，摆成一行，要求A摆在左端，F摆在右端，有种不同摆法．12．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有人．13．在一道没有余数的除法中，被除数、除数与商三个数的和是103，商是3．被除数是（）A．25B．50C．7514．3个苹果的重量等于1个柚子的重量，4根香蕉的重量等于2个苹果的重量．一个柚子重576克，那一根香蕉（）克．A．96B．64C．14415．传说，能在三叶草中找到四叶草的人，都是幸运之人．一天，佳佳在大森林中摘取三叶草，当她摘到第一颗四叶草时，发现摘到的草刚好共有100片叶子，那么，她已经有颗三叶草．16．小圆有一筐桃子，第一次他吃掉了全部桃子的一半多1个，第二次他又吃掉了剩余桃子的一半少1个，此时筐里还剩下4个桃子，那么这个筐里原有桃子个．17．今年小春的年龄比他哥哥的年龄小18岁，再过3年小春的年龄将是他哥哥年龄的一半，那么小春今年岁．18．在一根绳子上依次穿入5颗红珠、4颗白珠、3颗黄珠和2颗蓝珠，并按照此方式不断重复，如果从头开始一共穿了2014颗珠子，那么第2014颗珠子的颜色是色．19．小明将买来的一筐桔子分别装入几个盘子中，如果每个盘子装10个，则多余2个，如果每个盘子装12个，则可以少用一个盘子，那么买来的一筐桔子共有多少只？20．一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个，如果每天吃4个，不到10天就吃完了，最后一天吃了3个．那么，这些糖果原来有（）个．A．32B．24C．35D．3621．（8分）甲、乙、丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8米，10米，6米长的木棍，要求都按2米的规格锯开，劳动结束后，甲、乙、丙分别锯了24、25、27段，那么锯木棍速度最快的比速度最慢的多锯次．22．50个学生解答A、B两题，其中没答对A题的有12人，答对A题的且没答对B题的有30人．那么A、B两题都答对的有人．23．小胖买了2张桌子和3把椅子，共付110元，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的4倍，每张椅子元．24．99999×77778+33333×66666＝．25．有a，b，c三个数，a×b＝24，a×c＝36，b×c＝54，则a+b+c＝．26．11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，1111111×1111111＝．27．某个码头有一艘渡船．有一天，这艘船从南岸出发驶向北岸，来回送游客，一共202次（来回算做两次），此时，渡船停靠在岸．28．张、李、王三位老师分别来自北京、上海、深圳，分别教数学、语文、英语．根据下面提供的信息，可以推出张老师来自，教；王老师来自，教．①张老师不是北京人，李老师不是上海人；②北京的老师不教英语；③上海的老师教数学；④李老师不教语文．29．一个数与3的和是7的倍数，与5的差是8的倍数，这个数最小的．30．（8分）如图中共有20个三角形．31．张老师将一根木料锯成9小段，每段长4公米．假如将这根木料锯成3公米的小段，一共要锯次．32．李老师将一根长12米的木条锯成4小段，要用12分钟．照这样的锯法，如果将这根木条锯成8小段一共需要用分钟．33．时钟2点敲2下，2秒钟敲完．12点敲了12下，秒可以敲完．34．有A，B，C三人，他们分别是工人、教师、工程师．A的年龄比工人大，C和教师的年龄不同岁，教师的年龄比B小，那么工程师是．35．切一个蛋糕，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，照这样切下去，切5刀最多切成块．36．5个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是．37．已知：1×9+2＝11，12×9+3＝111，123×9+4＝1111，…，△×9+〇＝111111，那么△+〇＝．38．数一数，图中有个三角形．39．妹妹今年18岁，姐姐今年26岁，当两人年龄之和是20岁时，姐姐岁．40．A、B、C、D、E五个盒子中依次有9个、5个、3个、2个、1个小球，第一个同学找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各拿出1个小球放到这个盒子里，第二个同学找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各拿出1个小球放到这个盒子里…；当第199个同学放完后，A、B、C、D、E五个盒子中各有个、个、个、个、个．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：（5﹣1）×6＝4×6＝24（分钟）答：一共需要24分钟．故答案为：24．2．解：8元＝80角，假设全是5角硬币，则1角的有：（5×20﹣80）÷（5﹣1）＝20÷4＝5（枚）；答：1角的有5枚．3．解：长方形的周长＝（长+宽）×2，长与宽的和是：30÷2＝15（厘米），因为15＝1+14＝2+13＝3+12＝4+11＝5+10＝6+9＝7+8，所以可以围成7种不同的长方形．答：可以围成7种不同的长方形．故答案为：7．4．解：根据分析，按题目要求来涂色的话，只有1 种涂法，如图：红色比蓝色多：（1+2+3+4+5+6）﹣（1+2+3+4+5）＝6个．故选：C．5．解：2000÷（4+3+2+1）＝2000÷10＝200（组）商是200，没有余数，说明第2000颗龙珠是200组的最后一个，是白珠．答：从龙嘴里吐出的第2000颗龙珠是白珠．故选：D．6．解：由题意，运四次，去四次回三次，吃掉了5×（4+3）＝35根，则最多可以运到B地200﹣35＝165根，故选：D．7．解：依题意可知：如果每只猴子分6个，剩57个桃子．如果每只猴子分9个，就有5只猴子一个也分不到，还有一只猴子只分到3个证明少了5×9+6＝51；猴子共有（57+51）÷（9﹣6）＝36（只）；桃子共有36×6+57＝273．故选：C．8．解：根据分析，一条阴影部分的面积为10÷2＝5平方厘米．因为都是整数，所以只能为1×5．故，大正方形面积＝（1+5）×（1+5）＝6×6＝36平方厘米．故选：B．9．解：25×7﹣24×6，＝175﹣144，＝31，答：加上的这个数是31．故答案为：31．10．解：（1）四个选项都是8位数；（2）四选项都是25的倍数，C的数字和是35不是3的倍数．排除C；（3）都满足条件；（4）都满足条件；（5）A，D相等不满足条件；（6）B满足条件．故选：B．11．解：4×3×2＝24（种）．答：有24种不同摆法．故答案为：24．12．解：根据题干分析可得：5+5﹣1＝9（人）9×9＝81（人）答：参加广播操表演的共有81人．13．解：因为被除数、除数与商三个数的和是103，商是3，所以被除数+除数＝103﹣3＝100；因为除数＝，所以被除数是：100÷（1+）＝100÷＝75故选：C．14．解：576÷3×2÷4＝384÷4＝96（克）答：一根香蕉96克．故选：A．15．解：（100﹣4）÷3＝96÷3＝32（棵）答：她已经有了32棵三叶草．故答案为：32．16．解：[（4﹣1）×2+1]×2＝7×2＝14（个）答：这个筐里原有桃子 14个．故答案为：14．17．解：18÷（2﹣1）﹣3＝18﹣3＝15（岁）答：小春今年 15岁．故答案为：15．18．解：5+3+4+2＝14（个）2014÷14＝143…12，所以第2014颗珠子是第144周期的第12个，是黄颜色；答：第2014颗珠子的颜色是黄色．19．解：（10+2）÷（12﹣10）＝6（个）12×6＝72（只）答：买来的一筐桔子共有72只．20．解：糖每天吃3个，最少吃11天，最后一天2个，糖至少有10×3+2＝32（个）糖最多吃9天，最后一天吃3个，最多8×4+3＝35个．∴在32，33，34，35这几个数中满足除以3余数是2，除以4余数是3的只有35．故选：C．21．解：甲：8÷2＝4（段）4﹣1＝3（次）3×（24÷4）＝3×6＝18（次）乙：10÷2＝5（段）5﹣1＝4（次）4×（25÷5）＝4×5＝20（次）丙：6÷2＝3（段）3﹣1＝2（次）2×（27÷3）＝2×9＝18（次）18＝18＜2020﹣18＝2（次）答：锯木棍速度最快的比速度最慢的多锯 2次．故答案为：2．22．解：50﹣12﹣30＝38﹣30＝8（人）；答：A、B两题都答对的有8人．故答案为：8．23．解：因为每张桌子的价钱是每把椅子价钱的4倍，所以2张桌子的价钱＝8把椅子的价钱，又因为2张桌子和3把椅子，共付110元，所以8把椅子的价钱+3把椅子的价钱＝110元，1把椅子的价钱＝110÷11＝10元．答：每张椅子10元．故答案为：10．24．解：99999×77778+33333×66666，＝99999×77778+33333×（3×22222），＝99999×77778+（33333×3）×22222，＝99999×77778+99999×22222，＝99999×（77778+22222），＝99999×100000，＝9999900000；故答案为：9999900000．25．解：因为，（a×b）×（a×c）÷（b×c）＝24×36÷54＝16，即a2＝16，所以a＝4，b＝24÷a＝6，c＝36÷a＝9，a+b+c＝4+6+9＝19；故答案为：19．26．解：根据分析可得：1111111×1111111＝1234567654321，故答案为：1234567654321．27．解：在摆渡奇数次后，船在北岸，摆渡遇数次后，船在南岸．202为奇数，则摆渡202次后，小船在南岸．故答案为：南．28．解：因为李老师不是上海人，上海的老师教数学，那李老师只可能教语文或英语，又因为李老师不教语文，所以李老师教英语，李老师不是上海人，北京的老师不教英语，所以李老师是深圳人；张老师不是北京人，只能是上海人，教数学；王老师是北京人，教语文．故答案为：上海，数学，北京，语文．29．解：7×8﹣3＝53．故答案为：53．30．解：根据分析可得，图中有三角形：12+6+2＝20（个）答：图中共有 20个三角形．．故答案为：20．31．解：4×9÷3＝12（段），12﹣1＝11（次），答：需要锯11次．故答案为：11．32．解：根据分析可得，12÷（4﹣1）×（8﹣1），＝4×7，＝28（分钟）；答：将这根木条锯成8小段一共需要用28分钟．故答案为：28．33．解：根据分析可得，2÷（2﹣1）×（12﹣1），＝2×11，＝22（秒）；答：12点敲了12下，22秒可以敲完．故答案为：22．34．解：由C和教师的年龄不同岁，教师的年龄比B小，可知B、C都不是教师，只有A是教师；由A的年龄比工人大，和教师的年龄比B小，说明B不是工人是工程师，所以C是工人；故答案为：B．35．解：当切1刀时，块数为1+1＝2块；当切2刀时，块数为1+1+2＝4块；当切3刀时，块数为1+1+2+3＝7块；…当切n刀时，块数＝1+（1+2+3…+n）＝1+．则切5刀时，块数为1+＝16块；故答案为：16．36．解：1000＝888+88+8+8+8888﹣88＝800故填80037．解：由题意得，1×9+2＝11，12×9+3＝111，123×9+4＝1111，1234×9+5＝11111，12345×9+6＝111111，所以△＝12345，〇＝6，所以△+〇＝12345+6＝12351，故答案为12351．38．解：3+4+1+1+1＝10（个）；故答案为：10．39．解：（20+8）÷2，＝28÷2，＝14（岁）；答：当两人年龄之和是20岁时，姐姐14岁．故答案为：14．40．解：由分析可知：第8个小朋友与第3个重复，即5组一循环；则以此类推：（199﹣2）÷5＝39…2（次）；第199个同学取后ABCDE五个盒子中应分别是：5、6、4、3、2个小球；答：当199个同学放完后，A，B，C，D，E五个盒子中各放5、6、4、3、2个小球．。
苏教版高中数学教材目录【精选文档】
必修一第一章集合1.1集合的含义及其表示1。
2子集、全集、补集1。
3交集、并集第二章函数2。
1函数的概念和图象2.2指数函数2.3对数函数2.4幂函数2。
5函数与方程2。
6函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1。
1空间几何体1。
2点、线、面之间的位置关系1。
3空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2。
2圆与方程2.3空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1算法的含义1.2流程图1.3基本算法语句1。
4算法案例第二章统计2。
1抽样方法2。
2总体分布的估计2。
3总体特征数的估计2。
4线性回归方程第三章概率3.1随机事件及其概率3。
2古典概型3。
3几何概型3.4互斥事件必修四第一章三角函数1。
1任意角、弧度1。
2任意角的三角函数1.3三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1向量的概念与表示2。
2向量的线性运算2.3向量的坐标表示2。
4向量的数量积2.5向量的应用第三章三角恒等变换3。
1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3。
3几个三角恒等式必修五第一章解三角形1.1正弦定理1。
2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理的应用第二章2.1数列2。
2等差数列2.3等比数列第三章3.1不等关系3.2一元二次不等式3。
3二元一次不等式组与简单线性规划3.4《基本不等式》选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1。
2充分条件与必要条件1。
3简单的逻辑联结词1。
4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2。
1椭圆2。
2双曲线2。
3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3。
2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1—2第一章统计案例1。
1回归分析的基本思想及其初步应用1。
2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2。
1合情推理与演绎推理2。
2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3。
2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2—1第一章常用逻辑用语1。
2021年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析
2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23]归纳推理的应用[例1]观察如下图的 "三角数阵〞：记第n行的第2个数为a n(n≥2 ,n∈N*) ,请仔细观察上述 "三角数阵〞的特征,完成以下各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨](1)观察数阵,总结规律：除首|末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2 ,a4－a3 ,a5－a4 ,从而归纳出(3)的结论．[精解详析](1)由数阵可看出,除首|末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首|末两数都等于行数．[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2＝2 ,a3＝4 ,a4＝7 ,a5＝11(3)∵a3＝a2＋2 ,a4＝a3＋3 ,a5＝a4＋4 ,∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通]对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了．1．设[x]表示不超过x的最|大整数,如[5]＝2 ,[π]＝3 ,[k]＝k (k∈N*)．我的发现：[1]＋[2]＋[3]＝3；[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10；[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21；…通过归纳推理,写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右边第|一个数是[n2] ,往后是[n2＋1] ,[n2＋2] ,…,最|后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．答案：[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域?顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?(3)现某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边?解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a) 3 3 2(b) 8 12 6(c) 6 9 5(d)10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2 ,通过观察发现,它们的顶点数V ,边数E ,区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由V＝999 ,F＝999 ,代入上述关系式得E＝1 996 ,故这个平面图形有1 996条边．类比推理的应用[例2] 通过计算可得以下等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加 ,得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n , 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．类比上述求法 ,请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14 ,34－24,44－34 ,…(n ＋1)4－n 4 ,然后将各式相加求解．[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1 , 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1 , 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1 , …(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1. 将以上各式两边分别相加 ,得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎡ (n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·⎦⎤(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2.[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比 ,从而产生解题方法的迁移 ,这是数学学习中很高的境界 ,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第|一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差异．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来 ,也就是要把相关对象在某些方面一致性的模糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ,二维测度(面积)S ＝πr 2 ,观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(外表积)S ＝4πr 2 ,三维测度(体积)V ＝43πr 3 ,观察发现V ′＝S .那么四维空间中 "超球〞的三维测度V ＝8πr 3 ,猜测其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3. 答案：2πr 44．在平面上 ,我们如果用一条直线去截正方形的一个角 ,那么截下一个直角三角形 ,按图所标边长 ,由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体 ,把截线换成如图的截面 ,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ,如果用S 1 ,S 2 ,S 3表示三个侧面的面积 ,S 4表示截面的面积 ,那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比 ,因此所得到的结论为：S 24＝S 21＋S 22＋S 23.答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 23演绎推理的应用[例3] {a n }为等差数列 ,首|项a 1>1 ,公差d >0 ,n >1且n ∈N *. 求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算 ,可由根本不等式转化为对数之和进行运算． [精解详析] ∵{a n }为等差数列 , ∴a n ＋1＋a n －1＝2a n . ∵d >0 ,∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n .∵a 1>1 ,d >0 ,∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛⎭⎫lg a n ＋1＋lg a n －122＝⎣⎡⎦⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎣⎡⎦⎤12lg a 2n 2＝(lg a n )2 , 即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据 ,从集合的观点来讲 ,就是：假设集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的子集 ,那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图 ,棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形 ,B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点 ,且A 1B ∥平面B 1CD ,求A 1D ∶DC 1的值． 要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提) ,侧面BCC 1B 1是菱形(小前提) , 所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提) , B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1＝B (小前提) , 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)． 又面面垂直的判定定理(大前提) ,B 1C ⊂平面AB 1C ,B 1C ⊥平面A 1BC (小前提) , 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,那么DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 根据线面平行的性质定理(大前提) ,因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提) ,所以A 1B ∥DE (结论)． 又E 是BC 1的中点 ,所以D 为A 1C 1的中点 ,即A 1D ∶DC 1＝1∶1. 6．求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数 ,且在定义域上是增函数．证明：y ＝f (x )＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x ＋1 ,所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0 ,即f (－x )＝－f (x ) ,所以f (x )是奇函数． 任取x 1 ,x 2∈R ,且x 1<x 2 ,那么f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1).因为x 1<x 2 ,所以2x 1<2x 2 ,2x 1－2x 2<0 , 所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说 ,合情推理是指 "符合情理〞的推理 ,数学研究中 ,得到一个新结论之前 ,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前 ,合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论 ,再想方法去证明或否认发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面 ,那么k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：k 棱柱增加一条侧棱时 ,那么这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面 ,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥 ,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线 ,那么f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数 ,即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12 ,f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.答案：n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)23．(陕西（高|考）)f (x )＝ x1＋x,x ≥0 ,假设 f 1(x )＝f (x ) ,f n ＋1(x )＝f (f n (x )) ,n ∈N *, 那么f 2 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ,故可猜测f 2 014(x )＝x1＋2 014x . 答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 "分裂〞： 23＝⎩⎨⎧3 533＝⎩⎨⎧791143＝⎩⎨⎧1315 1719….仿此 ,假设m 3的 "分裂数〞中有一个是2 015 ,那么m ＝________. 解析：根据分裂特点 ,设最|小数为a 1 , 那么ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3 ,∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数 ,又452＝2 025 , ∴猜测m ＝45. 验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.答案：45 5．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋3sin 30°·cos 90°＝14；sin 225°＋cos 285°＋3sin 25°·cos 85°＝14；sin 210°＋cos 270°＋3sin 10°·cos 70°＝14.推测出反映一般规律的等式：____________________. 解析：∵90°－30°＝60° ,85°－25°＝60° ,70°－10°＝60° , ∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14.答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14二、解答题6．试将以下演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ,海|王星是太阳系中的大行星 ,所以海|王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热 ,铁是导体 ,所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数 ,函数y ＝2x －1是一次函数 ,所以y ＝2x －1是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ,q 是常数) ,数列1,2,3… ,n 是等差数列 ,所以数列1,2,3 ,… ,n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ,(大前提) 海|王星是太阳系中的大行星 ,(小前提) 海|王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论) (2)所有导体通电时发热 ,(大前提) 铁是导体 ,(小前提) 铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数 ,(大前提) 函数y ＝2x －1是一次函数 ,(小前提) y ＝2x －1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ,q 是常数) ,(大前提)数列1,2,3 ,… ,n是等差数列,(小前提)数列1,2,3 ,… ,n的通项具有a n＝pn＋q的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的,如： "长方形的每一边与其对边平行,而与其余的边垂直〞； "长方体的每一面与其相对面平行,而与其余的面垂直〞,请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中,对角线互相平分；(立体)在平行六面体中,体对角线相交于同一点,且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中,各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中,各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球外表积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最|简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的 "归纳推理思想〞,归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)＋1f(2)－1＋1f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1 , f(3)－f(2)＝8＝4×2 ,f(4)－f(3)＝12＝4×3 ,f (5)－f (4)＝16＝4×4 , …由以上规律 ,可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n , 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ,所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n , 所以当n ≥2时 , f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)] ＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式 ,故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)． (3)当n ≥2时 ,1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ,所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .。
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高中数学新课标苏教版教材目录数学1第1章集合§1.1集合的含义及其表示§1.2子集、全集、补集§1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象§函数的概念和图象§函数的表示方法§函数的简单性质§映射的概念§2.2指数函数§分数指数幂§指数函数§2.3对数函数§对数§对数函数§2.4幂函数§2.5函数与方程§二次函数与一元二次方程§用二分法求方程的近似解§2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步§3.1空间几何体§棱柱、棱锥和棱台§圆柱、圆锥、圆台和球§中心投影和平行投影§直观图画法§空间图形的展开图§柱、锥、台、球的体积§3.2点、线、面之间的位置关系§平面的基本性质§空间两条直线的位置关系§直线与平面的位置关系§平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步§4.1直线与方程§直线的斜率§直线的方程§两条直线的平行与垂直§两条直线的交点§平面上两点间的距离§点到直线的距离§4.2圆与方程§圆的方程§直线与圆的位置关系§圆与圆的位置关系§4.3空间直角坐标系§空间直角坐标系§空间两点间的距离数学3第5章算法初步§5.1算法的意义§5.2流程图§5.3基本算法语句§5.4算法案例第6章统计§6.1抽样方法§6.2总体分布的估计§6.3总体特征数的估计§6.4线性回归方程第7章概率§7.1随机事件及其概率§7.2古典概型§7.3几何概型§7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数§8.1任意角、弧度§8.2任意角的三角函数§8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量§9.1向量的概念及表示§9.2向量的线性运算§9.3向量的坐标表示§9.4向量的数量积§9.5向量的应用第10章三角恒等变换§10.1两角和与差的三角函数§10.2二倍角的三角函数§10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形§11.1正弦定理§11.2余弦定理§11.3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列§12.1等差数列§12.2等比数列§12.3数列的进一步认识第13章不等式§13.1不等关系§13.2一元二次不等式§13.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题§13.4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑联结词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用§3.1导数的概念§3.2导数的运算§3.3导数在研究函数中的应用§3.4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例§1.1独立性检验§1.2线性回归分析第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义第4章框图§4.1流程图§4.2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑连接词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的统一定义§2.6曲线与方程第3章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算§3.2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用§1.1导数的概念§1.2导数的运算§1.3导数在研究函数中的应用§1.4导数在实际生活中的应用§1.5定积分第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.3数学归纳法第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义2-3第1章计数原理§1.1两个基本原理§1.2排列§1.3组合§1.4计数应用题§1.5二项式定理第2章概率§2.1随机变量及其概率分布§2.2超几何分布§2.3独立性§2.4二项分布§2.5离散型随机变量的均值与方差§2.6正态分布第3章统计案例§3.1独立性检验§3.2线性回归分析主要编写人员情况主编单墫副主编李善良陈永高主要编写人员数学与应用数学方面：单墫陈永高苏维宜蒋声丁德成洪再吉许道云孙智伟李跃文王晓谦尤建功秦厚荣唐忠明钱定边傅珏生葛福生夏建国孙智伟汪任观数学教育与数学史方面：李善良赵振威葛军徐稼红周焕山朱家生高中数学教师与教研员：仇炳生冯惠愚张乃达祁建新樊亚东石志群董林伟张松年陈光立陆云泉孙旭东于明寇恒清王红兵卫刚单墫 1943年生，南京师范大学数学系教授，博士生导师，享受政府特殊津贴。
数学一轮复习：推理与证明(苏教版)
3 αcos β= .也可直接写 4 2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)= 3 . 成:sin 4 1 cos 2α 1 cos(2α 60)
β=30°+α,sin2α+cos2β+sin
4
证明:左边=
2 2 = 1 cos 2α 1 cos2αcos 60 sin 2αsin 60 + 2 2 sin α(cos α· cos 30°-sin αsin 30°)
b a ab 224 8 ab 2 a b ( ) 2 1 当且仅当a=b= 时“=”成立. 2 22
题型二
类比推理
【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.
分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以
和向量加以比较. 解 （1）两实数相加后，结果是一个实数,两向量相加后，结 果仍是向量; （2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律, 即a+b=b+a,a+b=b+a, （a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c); （3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即 a+x=0与a+x=0都有惟一解，x=-a与x=-a；
解析： 由题意知: 2 x 2 1 1 1 2 f(x)+f(1-x)= x 1x x x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≨f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]=6 2 3 .2 2
2011年高三苏教版数学二轮复习课件15推理与证明
第 15 讲 │ 规律技巧提炼
综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维 的严谨性极为有用． 把分析法与综合法两者并列起来进行思考， 寻求问题的解答途径方式， 就是人们通常所说的分析、 综合法． 2． 有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时， 可从其反面 进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是“正 难则反”的思想．运用这一数学思想解决问题，往往能收到化 难为易、化繁为简的奇效．反证法就是“正难则反”的一种证 明方法，它不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反 面不正确来说明结论的正确性．因而对于那些“结论的反面” 比结论本身更具体、更明确、更简单的命题，则适宜用反证法 来证．
【答案】 3V K
第 15 讲 │ 要点热点探究
【解析】 在平面中四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离 记为 hi(i＝1,2,3,4)，凭直觉可猜想在空间三棱锥内任一点 Q 到 第 i 个面的距离记为 Hi(i＝1,2,3,4)． 3V (iHi)＝ K . i＝ 1
4
第 15 讲 │ 要点热点探究
第 15 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 合情推理
a － 例 1 已知函数 f(x)＝ 2 (ax－a x)，其中 a>0 且 a≠1. a －1 (1)判断 f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性； (2)比较 f(1)－1 与 f(2)－2、f(2)－2 与 f(3)－3 的大小，由 此归纳出一个更一般的结论，并证明； f1 f2 f2 f3 (3)比较 与 、 与 的大小，由此归纳出一个更 1 2 2 3 一般的结论，并证明．
第 15 讲 │ 规律技巧提炼
为保证探索方向准确及过程快捷， 人们又常常把分析法 与综合法两者并列起来使用， 即常采取同时从已知和结论出 发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合 法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标 为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言 的思维模式可概括为图 7－15－3.
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选
直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明 定义推证过程综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面PAO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．分析法的应用[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b 成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨]因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析]∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c ＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数． 求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。
第六章不等式推理与证明第三节基本不等式课件苏教版课件
解析：x2＋s＋x＋txt＋st＋1＝x＋sx＋x＋t t＋1 ＝(x＋s)＋x＋1 t， ∵8x＋9t＝s，∴9(x＋t)＝x＋s， ∵x>－s，∴x＋s>0，x＋t>0. x2＋s＋x＋txt＋st＋1＝9(x＋t)＋x＋1 t≥6.即最小值为 6.
答案： 6
4．如果log2x＋log2y＝1，则x＋2y的最小值是________．
1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)
(3)ab≤(a＋2 b)2，(a，b∈R)．
(4)(a＋2 b)2 ≤
(2)∵x＞0，y＞0 且 x＋y＝1， ∴ x＋12＋ y＋12 ≤x＋122＋1＋y＋122＋1＝x＋y＋2 1＋2＝1＋21＋2＝2 (当且仅当 x＋12＝1，y＋12＝1， 即 x＝y＝12时取等号)．
证明：∵x＞0，y＞0，来自且 x＋y＝1 ∴(1＋1x)(1＋1y) ＝(1＋x＋x y)(1＋x＋y y)
考点一 利用基本不等式证明不等式
已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝1，求证： (1)1x＋1y≥4. (2) x＋12＋ y＋12≤2.
[自主解答] (1)∵x＞0，y＞0 且 x＋y＝1， ∴1x＋1y＝(x＋y)(1x＋1y) ＝2＋xy＋xy ≥2＋2· xy·xy＝4. 当且仅当xy＝xy，即 x＝y＝12时，等号成立， ∴原不等式成立．
购地总费用 ＝建筑总面积)
[自主解答] (1)依题意得
y＝(560＋48x)＋2
160×10 2 000x
苏教版高中数学选修(1-2)-2.1典型例题：类比推理
类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N *）。
例2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。
分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。
三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。
江苏省2020版高考数学一轮复习第七章数列、推理与证明第38课等比数列课件苏教版
第38课 等比数列
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回归教材 1. (必修 5P49 习题 1 改编)已知数列{an}为正项等比数列，a2＝9，a4＝4，那么数 列{an}的通项公式为 an＝__9_·_23__n－_2_.
(2) 设 bn＝an＋3，证明：数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
【解答】 因为 Sn＝2an－3n，所以 Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 两式相减得 an＋1＝2an＋3(*)， 将 bn＝an＋3 及 bn＋1＝an＋1＋3 代入(*)式，得 bn＋1＝2bn，且 b1＝6， 所以数列{bn}是以 6 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 bn＝6×2n－1， 所以 an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．
(2) 判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 【解答】 {bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． 理由如下：由题知na＋n＋11＝2nan，即 bn＋1＝2bn， 因为 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(3) 求数列{an}的通项公式． 【解答】 由(2)知ann＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
【解析】设等比数列{an}的公比为 q，则 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2＝aa24＝49，又 q>0，所以 q＝23，所以 an＝9·23n－2.
2. (必修 5P48 例 2 改编)已知－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么 b＝___－__3___， a·c＝____9____.
【解析】由等比数列的性质可得 ac＝(－1)×(－9)＝9，b×b＝9，且 b 与奇数项 的符号相同，故 b＝－3.
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2单元测试 第2章推理与证明
第2章过关检测(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分)1．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)等于__________．2．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为：__________.3．根据图中的5个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是__________．5．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )共有__________项，S (2)＝__________.6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知对任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是__________．7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中真命题是__________．8．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出一般的式子是__________．9．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b )2，则p 、q的大小关系是__________．10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线__________上．11．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，数列{a n }必定是常数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r ，s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是__________．12．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，a ij＝2 009，则i ＋j ＝__________.13．在平面上的n 个圆中，每两个圆都相交，每三个圆不交于一点，则它们把平面分成__________部分．14．{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，…，则a 3＝__________.二、解答题(本大题共4小题，满分44分)15．(10分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．16.(10分)已知数列{a n}满足a1＝1，且4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)猜想{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的猜想．17．(12分)下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.18．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大值的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．参考答案1．2 009 解析：令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，所以f (n ＋1)f (n )＝1，所以f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 23．n 2－n ＋1 解析：如设第n 个图中的点数为a n ，则有a 1＝1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝32－2，a 4＝13＝42－3，a 5＝21＝52－4.故a n ＝n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.4．② 解析：①的意思是：如果船不准时起航，那么它就不能准时到达目的港，它的逆否命题是：如果船准时到达目的港，那么它是准时起航．由此可知，①是大前提，②是小前题．5．n 2－n ＋1 1312解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．S (2)＝12＋13＋14＝1312. 6．在证明n ＝k ＋1时，没有用假设n ＝k 时的结论7．③⑤ 解析：“F (k )真⇒F (k ＋1)真”等价于“F (k ＋1)假⇒F (k )假”．8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *) 解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1·2(2＋1)2，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－13(3＋1)2，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－14(4＋1)2，由此可归纳出结论． 9．p ＞q 解析：∵a 2＋b 22≥ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 10.x a 2－yb2＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一)12．60 解析：2 009是正奇数1,3,5，…中的第1 005个，则1 005＝1＋2＋3＋…＋(i －1)＋j ＝(i －1)i2＋j .估算：当i ＝45时，(i －1)i2＝990，j ＝15，所以i ＋j ＝60.13．n 2－n ＋2 解析：n ＝1时，a 1＝2； n ＝2时，a 2＝4＝a 1＋2＝a 1＋2×1； n ＝3时，a 3＝8＝a 2＋4＝a 2＋2×2； n ＝4时，a 4＝14＝a 3＋6＝a 3＋2×3； …a n ＋1＝a n ＋2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a n ＋1＝a n＋2n⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1＋2＝n 2－n ＋2.14．2 解析：由已知a 4a 3＝(a 2＋2)(a 1＋2)＝5×2＝10×1， ∴a 3可能取值1,2,5,10. 若a 3＝1，a 4＝10，从而a 5＝(a 3＋2)(a 2＋2)a 4＝1510＝32，显然a 5不是非负整数，与题设矛盾． 若a 3＝10，则a 4＝1，从而a 5＝60. 但再计算a 6＝35，也与题设矛盾．∴a 3＝2，a 4＝5(或a 3＝5，a 4＝2⇒a 5∉N *，舍去)． 15．证明：假设b 、c 不是异面直线，即b 与c 共面， 设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， ∵a ∥c ，∴α∥γ.又a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 16．解：(1)由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得 a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N ＋)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．③综合①②，猜想对任何n ∈N ＋都成立． 17．解：此命题是真命题．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 要证b 2－ac a ＜3成立，只要证b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，也就是证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即证(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0，∴(a－c)(2a＋c)＞0成立．故原不等式成立．18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除．证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②设n＝k时，f(k)能被36整除．则n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，根据假设3[2(k＋7)·3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除，从而f(k＋1)能被36整除．综上所述，n∈N*时，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然数中的最大数．。
苏教版九上数学教师用书
苏教版九上数学教师用书一、第一章图形与证明在本章中，我们将介绍基础的几何图形，包括线段、角、三角形、四边形等，并重点讨论如何进行几何证明。
这一章旨在帮助学生理解几何图形的性质，掌握基础的证明技巧和方法，培养学生的逻辑推理能力。
二、第二章直角三角形的性质与判定直角三角形是几何学中的重要概念，它具有一系列独特的性质和判定方法。
本章将详细介绍这些性质和判定方法，并引导学生通过实践掌握这些知识。
此外，本章还将介绍三角函数的基础知识，为后续章节的学习打下基础。
三、第三章反比例函数反比例函数是函数的一种形式，它在许多实际问题中都有应用。
本章将介绍反比例函数的基本概念、性质和图像，并通过实例说明其应用。
此外，本章还将介绍函数的增减性和曲线的变化趋势等知识，帮助学生深入理解反比例函数的本质。
四、第四章频数及其分布频数和频数分布是统计学中的基本概念，它们在数据分析中具有重要作用。
本章将介绍频数和频数分布的统计方法，包括计算频数、频率、累计频数和累计频率等。
此外，本章还将介绍如何绘制频数分布表和频数分布直方图等知识，帮助学生理解和应用频数及其分布。
五、第五章命题与证明命题是数学中重要的逻辑概念，证明则是数学中常用的推理方法。
本章将介绍命题的基本概念、性质和判定方法，并通过实例说明如何进行证明。
此外，本章还将介绍反证法、归纳法和数学归纳法等常用的证明方法，帮助学生掌握证明技巧，提高逻辑思维能力。
六、第六章平行四边形平行四边形是几何学中的基础图形之一，它具有许多重要的性质和判定方法。
本章将详细介绍平行四边形的性质和判定方法，并通过实例说明其应用。
此外，本章还将介绍平行四边形的对角线性质等知识，帮助学生深入理解平行四边形的本质。
七、第七章矩形、菱形和正方形矩形、菱形和正方形是平行四边形的特殊形式，它们各自具有独特的性质和判定方法。
本章将分别介绍这三种图形的性质和判定方法，并通过实例说明其应用。
此外，本章还将介绍如何从平行四边形转化到这三种特殊图形等知识，帮助学生掌握相关概念之间的联系和区别。
2019届一轮复习苏教版 13.3 数学归纳法 课件(97张)(江苏专用)
跟踪训练 若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是 过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))(n∈N*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运 用数学归纳法证明：2≤xn<xn＋1<3.
证明
题型三 整除问题
典例 (2017·苏北四市期中)设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2. (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值； 解 ∵n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2， ∴f(1)＝3＋7－2＝8， f(2)＝32＋72－2＝56， f(3)＝33＋73－2＝368.
命题点1 与函数有关的问题 典例 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的 导函数. (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；
解答
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.
解答
命题点2 与数列有关的问题 典例 设a1＝1，an＋1＝ a2n－2an＋2＋b(n∈N*). (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
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证明
(2)若0<c≤
1 4
，证明：数列{xn}是递增数列.
12345678
证明
拓展冲刺练
7.(2015·江苏)已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝ {(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值； 解 Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足： 若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6； 若a＝2，则b＝1,2,4,6； 若a＝3，则b＝1,3,6. 所以f(6)＝13.
【江苏教育版】高中数学选修1-1、2-1高考资料优选教学课件
V
Q O2
F2 F1
M
O1
P
重视节首语的教学
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状象椭圆，把 一个圆压扁了,也象椭圆.它们究竟是不是椭圆?
电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击 波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质 制造的．怎样设计才能精确地制造它们?
• 一、问题情境
• 1．情境：命题的四种形式以及相互之间的 关系，第1．1．1中的图1－1．
• 2．问题：如果命题“若p则q”是真命题， 那么p与q之间是什么关系？
• 二、学生活动 • 1．分别判断下列命题的真假： • (1)“若x＝y，则x2＝y2”； • (2)“若x2＝y2，则x＝y”． • 2．上述命题中，条件和结论之间有什么关系？
在使用过程中掌握常用逻辑用语的用法
引导学生在使用常用逻辑用语的过程中， 掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑 错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容 的准确性、简洁性．帮助学生完善表述方式， 学会使用逻辑用语表达数学内容，进而形成 逻辑地表达自己的思想、判断、推理的能 力．
案例
充分条件和必要条件
选修2对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲 线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进 一步体会数形结合的思想。同时，在学习平面解析几 何初步的基础上，学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲 线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质， 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用．
与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究 曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分 开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其 研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式 化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．
苏教版高中数学选修2-2数学归纳法
数学归纳法
教学目标：
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重点：
了解数学归纳法的原理
教学过程
一、
复习：推理与证明方法 二、 引入新课
1、数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k
≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2、 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题
是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；
(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确
4、例子
例1
用数学归纳法证明：如果{a n }是一个等差数列，那么a n =a 1+(n －1)d 对一切n ∈N *
都成立
例2用数学归纳法证明
例3判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.
证明：①当n=1时，左边＝21 右边＝212111
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，等式成立
②设n=k 时，有k k )21(12
121212132-=＋＋＋＋ 那么，当n=k+1时，有 即n=k+1
根据①②问可知，对n ∈N ＊，等式成立。
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三段论的基本格式
M—P（M是P） （ 是 ） S—M（S是M） S—M（S是M） S—P（S是P） （ 是 ）
大前提） （大前提） 小前提） （小前提） 结论） （结论）
注： 3.三段论推理的依据, 集合的观点来理解: 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 三段论推理的依据 的观点来理解 若集合M的所有元素都具有性质P,S是 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个 P,S 子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
推理
合情推理 归纳 演绎推理
类比 三段论 特殊到 (特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊） 特殊 一般） 特殊到特殊） 一般到特殊）
合情推理与演绎推理的区别:
1 特点
①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的
推理.
2 从推理的结论来看 从推理的结论来看：
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
演绎推理
例1、把“函数 y = x + x + 1的图象是一条抛物线”
2
恢复成完全三段论。
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
函数y = x 2 + x + 1是二次函数
2
（小前提）
所以，函数y = x + x + 1的图象是一条抛物线（结论）
1 同理 EM= AB 2
所以 DM = EM
演绎推理（练习）
练习1：把下列推理恢复成完全的三段论: 练习1 把下列推理恢复成完全的三段论:
（ ）因为ABC三边长依次为3， 5，所以ABC 1 4， 是直角三角形；
（2）函数y = 2 x + 5的图象是一条直线.
（） 1
演绎推理（练习）
3，，，而 5 2 = 4 2 + 3 2 45 （小前提）
合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.
合情推理与演绎推理的相关说明：
演绎推理是证明数学结论、 1 演绎推理是证明数学结论、建立数 学体系的重要思维过程 思维过程. 学体系的重要思维过程. 更多资源 更多资源 数学结论、证明思路的发现 思路的发现, 2 数学结论、证明思路的发现,主要 靠合情推理. 靠合情推理.
三角形是直角三角形, 三角形是直角三角形, ABC中,AD⊥BC,即 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提 ABD是直角三角形 所以△ABD是直角三角形 结论 ABE是直角三角形 同理△ABE是直角三角形 A M B 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提 小前提 ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 斜边AB的中点,DM M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 1 所以 DM= AB 结论 2
一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 （大前提）
ABC 的三边长依次为
ABC 是直角三角形
（ 2） 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 )的图象是一条直线 函数 y = 2 x + 5 是一次函数 函数 y = 2 x + 5的图象是一条直线
ห้องสมุดไป่ตู้
（结论）
（大前提） （小前提） （结论）
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, 3.如图;在锐角三角形ABC中 如图 ABC D,E是垂足,求证AB的中点M D,E的距离相等. D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等. 是垂足 AB的中点 的距离相等 大前提 C 证明: 证明:(1)因为有一个内角是只直角的 E D
例2.已知 已知lg2=m,计算 计算lg0.8 已知 计算 解 （1） lgan=nlga(a>0) ） lg8=lg23 lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10) lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
是合情推 理吗？
演绎推理
从一般性的原理出发， 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理 演绎推理． 下的结论，这种推理称为演绎推理． 注： 演绎推理是由一般 特殊的推理 一般到 的推理； １．演绎推理是由一般到特殊的推理； 三段论”是演绎推理的一般模式； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包 大前提---已知的一般原理； ---已知的一般原理 括 ⑴大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊情况； ---所研究的特殊情况 ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出 结论-----据一般原理， -----据一般原理 的判断． 的判断．
大 前 提 错 误
在证明过程中注明三段论 上是增函数. 练习3:证明函数f(x)=- +2x在 ,1]上是增函数 练习3:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数. 3:证明函数f(x)= 证明: 证明:
满足对于任意x D,若 满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 大前提 成立的函数f(x),是区间D上的增函数. f(x),是区间 成立的函数f(x),是区间D上的增函数. 任取x1,x2 任取x
∈(-∞,1] ∈(-
且x1<x2
,
)=(f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x 因为x1<x2所以 x2-x1>0 因为x 所以x 因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0 因此f(x )<0,即 因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) 所以函数f(x)=- +2x在 ,1]上是增函数 上是增函数. 所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数. f(x)= 结论 小前提
M
a
S
观察与是思考 1.所有的金属都能导电 所有的金属都能导电, 1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 铜是金属, 所以，铜能够导电. 所以，铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 2.一切奇数都不能被2整除, 一切奇数都不能被 (2100+1)是奇数, +1)是奇数 是奇数, 所以， +1)不能被 整除. 不能被2 所以，(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 3.三角函数都是周期函数, 三角函数都是周期函数 三角函数, tan α 三角函数, 所以 tanα 周期函数
练习2. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因; 练习2. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;
(1)整数是自然数, (1)整数是自然数, 整数是自然数 -3是整数, 是整数, -3是自然数; 是自然数; (2)无理数是无限小数, (2)无理数是无限小数, 无理数是无限小数 1 是无限小数, 是无限小数, （ = 0.333） 3 1 是无理数. 是无理数. 3
数学组
复习: 复习:合情推理
归纳推理 类比推理
从具体问 题出发
特殊到 从特殊到一般 特殊到 从特殊到特殊
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观察、 观察、分析 比较、 比较、联想
归纳 类比
提出猜想
观察与是思考
1.所有的金属都能导电, 1.所有的金属都能导电, 所有的金属都能导电 铜是金属, 铜是金属, 铜能够导电. 铜能够导电. 2.一切奇数都不能被 整除, 一切奇数都不能被2 2.一切奇数都不能被2整除, +1)是奇数 是奇数, (2100+1)是奇数, +1)不能被 整除. 不能被2 (2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 3.三角函数都是周期函数, 三角函数都是周期函数 三角函数, tan α 三角函数, tanα 周期函数