信安数学椭圆曲线
信息安全数学基础第7章 椭圆曲线基础-2
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
椭圆曲线密码算法在1985年提出. 从1998年起, 一些国际标准化组织开始了对椭圆曲线密码的标准 化工作, 1998年IEEE-P1363工作组正式将椭圆曲线密 码写入了当时正在讨论制定的“公钥密码标准”的草 稿.
椭圆曲线密码算法在与RSA算法相同安全性的情 况下, 其密钥短较短, 160比特长的密钥相当于RSA算 法密钥长1024比特的安全性, 因而有利于容量受限的 存储设备如智能卡等在安全领域的使用.
《信息安全数学基础》 第7章
一般说来, 基于离散对数问题的密码算法, 都可 以改写为基于椭圆曲线离散对数问题的算法, 比如公 钥密码算法ElGamal, 密钥协商协议Diffie-Hellman算 法, 美国的数字签名算法ECDSA等. 基于椭圆曲线的公 钥密码算法还有中国的SM2, 俄罗斯的数字签名标准 GOST R 34.10-2001算法等. 下面仅介绍椭圆曲线上的 ElGamal密码算法.
《信息安全数学基础》 第7章
•
《信息安全数学基础》 第7章
椭圆曲线——精选推荐
椭圆曲线⼀、概述椭圆曲线加密算法依赖于椭圆曲线理论，后者理论涵盖的知识⽐较深⼴，⽽且涉及数论中⽐较深奥的问题。
经过数学家⼏百年的研究积累，已经有很多重要的成果，⼀些很棘⼿的数学难题依赖椭圆曲线理论得以解决（⽐如费马⼤定理）。
本⽂涉及的椭圆曲线知识只是抽取与密码学相关的很⼩的⼀个⾓落，涉及到很浅的理论的知识，同时也是⼀点⽐较肤浅的总结和认识，重点是利⽤椭圆曲线结合数学技巧阐述加密算法的过程和原理。
本⽂特意构造有⽐较多的实例⽅便理解其过程和原理。
⼆、椭圆曲线椭圆曲线⽅程来源于椭圆积分，后者来最初来源于计算椭圆周长的问题，有⼀段时间的历史了，在欧拉时期就开始研究。
椭圆周长没有精确的初等函数的公式表⽰，只有近似的公式表⽰，精确的椭圆周长可以⽤不定积分表⽰。
现在⼀般将形如如下形式的积分定义为椭圆积分：其中R是其两个参数的有理函数，P是⼀个⽆重根的3或4阶多项式，⽽c是⼀个常数。
椭圆曲线⽅程与P(t)表现形式⽐较相像。
数学上的椭圆曲线⼀般由如下形式给出：椭圆曲线都是关于X轴对称的曲线。
典型的椭圆曲线如：，其图像为：更多的椭圆曲线图像：限定Δ不为零有特殊的意义。
如果判别式Δ(E)等于零，由三次⽅程判别式判定理可知，⽅程x3+ax2+bx+c=0存在⼆重根或者三重根，曲线表现为"⾃相交"或者有“尖点”。
两个典型的例⼦是:在密码学中⽤到的椭圆曲线⽅程⼀般限定为：也即是这⾥的⼆次项系数为0。
三、椭圆曲线算术椭圆曲线上可以定义⼀些很有意思的特殊运算规则。
⼀般来说会定义两种运算：加法和数乘运算。
加法运算是点与点之间的运算；数乘运算基于加法运算，重复的加法运算就是数乘。
1、实数域的加法运算1.1、加法运算的⼏何解释已知椭圆曲线上两个不同的点P和Q，则这两个点之和R=P+Q可以通过如下操作得到：过P、Q两点做直线L，与椭圆曲线相交于第三点，该点关于X轴的对称点即是所求的R点。
椭圆曲线的这种加法运算有⽐较明确的⼏何含义。
椭圆曲线数字签名算法
椭圆曲线数字签名算法椭圆曲线数字签名算法（ECC）是一种用于网络安全的公钥密码学方案，它可以用于证明信息来源的合法性、确保信息不被篡改以及用于保护信息传输。
ECC也被广泛应用于不同的领域，比如：移动通信、安全认证服务、电子支付系统等。
ECSA安全协议使用ECC来构建密钥交换的过程，保证传输的信息不会被第三方所窃取。
一般来说，在ECC中，使用公共密钥算法（PKI）来验证双方的身份以及交换安全的公钥和信息摘要。
ECC的特点可以总结为：安全强度高、比特位短小、计算量小。
ECC的安全原理是使用一个椭圆曲线的模数对消息的摘要求解数值加密，以保证信息的安全性。
椭圆曲线模数加密是一种利用到椭圆曲线上下溢点特性，通过多次加密生成二次零根系统，来达到计算机安全的目的。
椭圆曲线加密算法需要使用双方交换的公钥和私钥，实现用户加密传输数据。
椭圆曲线数字签名算法的过程可以分为以下几步：首先，发送方会根据公钥生成公钥和私钥；其次，发送方会使用私钥生成数字签名；然后，接收方可以通过公钥来验证数字签名的有效性；最后，接收方收到消息及数字签名，并验证其有效性后，就可以放心接收消息。
ECC也代表着计算机安全领域的一个里程碑，它弥补了以往安全技术的不足，并且具有更高的安全性和更低的计算复杂度。
此外，ECC 的非对称性也使它特别适用于网络安全，双方可以通过交换公钥/私钥来保护数据的传输安全。
ECC不仅仅用于数字签名，还可以用于加密和解密，让信息更加安全。
ECC可以用于身份认证，用户只需要提供其公钥和私钥来确认其身份，从而避免了恶意攻击者伪造自己的身份。
另外，ECC也可以用于数据挖掘，即对数据进行分析，发现隐藏的有用信息，从而更好地改进用户体验。
ECC对于网络安全来说具有重要意义，它可以帮助我们加强信息的传输安全性，保证信息的准确性和不可否认性，避免恶意攻击，并加强个人信息的隐私性。
由于ECC的各种优势和显著特点，它已经被广泛应用到移动通信、安全认证服务、电子支付系统、数据挖掘等多个领域，为传输的数据安全提供了保障。
椭圆曲线在信息安全上的应用研究
前面我们说过，由明文加密成一个密文，其实是一个算法的过程，也就是事先确定一个函数，由这个函数将明文加密成密文。下面我们会通过一个典型的例子阐述信息安全与数学的内在联系。
例：设小明准备将明文 传送给小刚，则小刚要做的工作就是解密，既为： ，小明先利用这个算法将明文 加密成密文 ，然后将密文 传送给小刚，小刚拿到密文后，利用密钥讲密文转化为明文，其解密为：
性质二：零元的存在性（这里我们把无穷远点当做零元）： ， 为椭圆曲线 上的任意一点.
性质三：交换律： ， 为椭圆曲线 上任意两点
性质四：可逆元的存在性，在椭圆曲线 上任意一点 ，都可以在椭圆曲线上找到一点 ，使得： .
性质四很好理解，因为椭圆曲线 是关于 轴对称的，所以对于任意一点 ，只需过该点作 的垂线必与椭圆曲线相交于另一点 ，所以
2 有关信息安Hale Waihona Puke 的预备知识2.1密码的基本概念
若要使我们的信息处于安全状态，就必须给我们的信息进行加密，并且加密之后的信息要具有最基本的三个特征，即机密性、真实性和承诺的不可抵赖性。
信息加密的过程就是对信息进行伪装，使得非授权者不能有伪装后的结果还原出原来的信息。
伪装指的是在一个可变参数的控制下，对数据进行可逆的数学变换。
一般可由下图表示：
图2 密码通信系统的基本结构
由上图可知：一个密码体制由明文空间，密文空间、密钥空间、加密算法和脱密算法五个部分组成。
2.2 信息加密的方法
一、移位密码：将原来的文字符按照事先制定的规律进行移位。
例如：
明文：三天后发起总攻。
移位规则：
根据加密移位规则后，得到的密文为：起攻天总发三后。
3 椭圆曲线在信息安全上的应用
高考数学中的椭圆曲线
高考数学中的椭圆曲线在高考数学中，椭圆曲线是常见的一种几何形式，也是数学中经典而重要的一项研究内容。
我们在平面直角坐标系上画出一条椭圆曲线，即可利用其各种性质，解决不同的数学问题。
椭圆曲线的定义椭圆曲线是一个平面上的曲线，其方程形式为y²=x³+ax+b，其中a、b都是实数。
图像是一条对称的曲线，既可以延伸到无限远处，也可以被截断，形成一个封闭的椭圆。
椭圆曲线不仅在数学中有广泛的应用，也在密码学、通信等领域发挥着重要的作用。
椭圆曲线的运用椭圆曲线在数学中的应用非常广泛，例如在代数数论、几何学、数值计算、密码学、通信系统等各个领域中都有应用。
其中，在密码学中应用尤为广泛。
在密码学中，椭圆曲线被应用于密钥交换、数字签名、认证协议等方面。
由于椭圆曲线加密算法具有计算量小、安全性高、效率优越等优点，因此在现代密码学中得到了广泛地应用。
而且，椭圆曲线还有其他不同的应用场景，例如，它被用于图像处理、机器学习和编码理论等领域中。
椭圆曲线的性质椭圆曲线的研究主要涉及到其多个性质，包括极点、切线、切点、曲线斜率等。
下面，我们简单介绍几个椭圆曲线的性质。
1. 椭圆曲线具有对称性，可以沿着x轴、y轴和曲线直径进行对称。
2. 经过曲线中的任意一点，可以找到一条斜率是唯一的切线线。
3. 这条切线与曲线的交点叫做切点，而这个切点与曲线上其他的点，斜率也是相同的。
4. 在椭圆曲线上还存在着一种特殊的点，叫做极点。
每一条椭圆曲线都有两个极点，这两个极点是这条椭圆曲线的对称中心。
椭圆曲线的应用举例椭圆曲线的应用非常广泛，例如在密码学中，就有椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法，椭圆曲线数字签名算法等。
下面，我们以椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法为例，来介绍一下椭圆曲线的应用。
椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法，简称ECDH，是一种密钥交换协议，主要用于无线网络和移动通信系统等领域。
现代密码学08 - 椭圆曲线与IBC
40
CA 与 TA 的区别
CA 公钥证书
ID
绑定
公钥
TA
ID 公钥
产生
私钥
• CA的任务 绑定ID和公钥 (ID不是公钥)
• TA的任务 由ID计算出私钥 (公钥就是ID，或从ID直接 推导而来)
41
扩展阅读
IBS
基于身份的 签名方案
IBE
基于身份的 加密方案
• 窃听到aP, bP, cP
• 但无法计算出 e(P,P)abc
– 原理：BDH问题是计算上困难的
• 当然，为防止中间人攻击，需要加入认证功能，以保证接收到数据的 来源的可靠性。
30
双线性映射技术 支持双线性映射的软件包
• PBC-library – 开发者：Ben Lynn – 注：需要另一个软件包GMP的 支持
• 于是，三人获得相同的密钥K
bP: 来自Bob cP: 来自Carol
29
双线性映射技术
应用举例 （不考）
• 安全性分析 – 攻击者能获得哪些信息？ • 获得系统参数P
• 双线性Diffie-Hellman问题 (BDH) 设 a, b, c∈Z*p 给定 P, aP, bP, cP∈G1 求 e(P,P)abc 是计算上不可行的
17
举例 • y2 = x3 + x mod 23
18
椭圆曲线上的困难问题
• 椭圆曲线密码体制(ECC)建立在椭圆曲线上的困难问题之上 • 基于离散对数、Diffie-Hellman问题的密码方案均可用椭圆曲线实
现 – Diffie-Hellman密钥交换协议（椭圆曲线版） – ElGamal密码体制（椭圆曲线版）
椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用
椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用随着信息技术的发展，信息安全变得尤为重要。
而密码学是信息安全的基础，它研究的是如何让信息安全地传输。
椭圆曲线密码（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种非常重要的密码算法，它的安全强度高、运算速度快，因此受到了广泛的关注和应用。
本文将介绍椭圆曲线密码算法的原理、特点和应用。
一、椭圆曲线密码的基本概念1. 椭圆曲线椭圆曲线是一个在平面上由一组满足特定条件的点构成的集合，这个集合会构成一个曲线。
在密码学中，我们通常会使用表示为y² = x³ + ax + b（其中a、b是常数）的椭圆曲线。
椭圆曲线的基本操作是点的加法、点的乘法和点的倍乘。
点的加法可以定义为一种在椭圆曲线上的几何运算，而点的乘法和点的倍乘则是将点进行反复加法的运算。
2. 椭圆曲线密码算法的原理椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线数学理论的密码算法。
其基本思想是利用曲线上的点作为加密密钥和解密密钥，通过运用多点基数倍算法来实现加密和解密，同时短密码可以提供与RSA算法相同的安全强度。
椭圆曲线密码算法相较其他现代密码算法来说，其密钥长度更短，在加密过程中的运算速度更快。
同时，椭圆曲线密码算法可以保证密钥交换的安全性和绝对保密性，应用于电子商务、移动通信、数字证书等领域。
二、椭圆曲线密码算法的特点1. 安全强度高椭圆曲线密码算法的安全强度比传统的对称加密算法和公钥加密算法要高，即需要更长的密钥才能破解，而使用同长度密钥的情况下，破解椭圆曲线密码算法所需的时间比其他密码算法长得多，同时由于椭圆曲线算法的数学基础更加复杂，因此更难被破解。
2. 运算速度快椭圆曲线密码算法的解密运算速度也比较快，大约只有RSA算法的1/10，这也是它受到广泛应用的原因之一。
因为随着网络带宽和数据通信量的不断增大，加密和解密的运算量也对算法的速度提出了更高的要求。
3. 密钥长度短椭圆曲线密码算法在同样的安全强度下，所需的密钥长度比RSA算法和DH算法要短，这也使得椭圆曲线密码算法可以减少密钥的存储空间和传输开销，同时也有助于减少算法运算的时间，提高其运算速度。
几何知识在信息技术安全领域有哪些应用
几何知识在信息技术安全领域有哪些应用在当今数字化时代，信息技术安全已成为至关重要的领域。
从保护个人隐私到维护国家安全，信息技术安全的重要性不言而喻。
而在这个领域中，几何知识正以一种出人意料却又极为有效的方式发挥着重要作用。
几何知识在密码学中有着广泛的应用。
密码学是信息技术安全的核心组成部分，它致力于保护信息的机密性、完整性和可用性。
其中，椭圆曲线密码体制就是基于椭圆曲线的几何特性构建的。
椭圆曲线是一种特定类型的数学曲线，具有一些独特的性质。
在椭圆曲线密码体制中，利用椭圆曲线上点的运算来实现加密和解密操作。
相比传统的加密方法，如基于大整数分解或离散对数问题的加密算法，椭圆曲线密码体制具有更高的安全性和更小的密钥尺寸，这意味着在相同的安全级别下，使用椭圆曲线密码体制可以大大减少计算量和存储空间。
几何图形的变换在数字水印技术中也扮演着关键角色。
数字水印是一种将标识信息嵌入到数字媒体（如图像、音频、视频等）中的技术，以实现版权保护、内容认证等目的。
通过对原始媒体进行几何变换，如旋转、缩放、平移等，然后在变换后的空间中嵌入水印信息，可以使水印更具鲁棒性，即能够抵抗常见的信号处理操作和恶意攻击。
例如，当图像被旋转或缩放时，基于几何变换的数字水印算法可以通过相应的逆变换来提取水印，从而确保水印的完整性和可检测性。
在网络安全领域，几何知识可以用于构建更有效的网络拓扑结构。
网络拓扑结构决定了网络中节点之间的连接方式，对网络的性能和安全性有着重要影响。
利用几何中的图论知识，可以设计出具有特定性质的网络拓扑，如最小化平均路径长度、提高网络的容错性和抗攻击性。
例如，在分布式网络中，可以基于几何位置信息来确定节点之间的连接关系，使得网络在遭受部分节点故障或恶意攻击时，仍然能够保持正常的通信和服务。
此外，几何知识在生物识别技术中的应用也值得关注。
生物识别技术，如指纹识别、面部识别和虹膜识别等，依靠个体独特的生理特征来进行身份认证。
椭圆曲线运算的verilog实现
椭圆曲线运算的Verilog实现近年来，随着网络安全领域的快速发展，椭圆曲线密码学作为一种重要的加密算法逐渐受到广泛关注。
椭圆曲线密码学以其优越的安全性和高效性成为各种信息安全领域的重要工具，而椭圆曲线运算作为其核心内容之一，受到了越来越多的关注和研究。
本文将针对椭圆曲线运算的Verilog实现展开深入探讨，帮助读者对这一重要的主题有更加全面和深入的了解。
1. 椭圆曲线密码学简介椭圆曲线密码学是建立在椭圆曲线运算基础之上的一种密码学方法。
在椭圆曲线密码学中，椭圆曲线的离散对数问题被用来构建公钥密码系统，并被广泛应用于数字签名、密钥交换、身份验证等领域。
因其所需的密钥长度相对较短，安全性高，运算速度快等优点，椭圆曲线密码学逐渐成为了信息安全领域的热门研究方向。
2. 椭圆曲线运算的基本原理椭圆曲线运算主要包括点的加法、点的乘法、点的倍乘等运算。
在椭圆曲线密码学中，点的加法和点的乘法是常用的运算方式，而点的倍乘则是用于生成公钥和私钥的关键操作。
3. Verilog实现椭圆曲线运算的挑战在实际应用中，椭圆曲线密码学需要在各种硬件评台上进行实现和部署，以满足不同场景下的安全需求。
然而，由于椭圆曲线运算涉及大量的高精度浮点运算和模运算等复杂操作，因此在硬件评台上实现椭圆曲线运算是一项具有挑战性的任务。
Verilog作为一种硬件描述语言，可以用来描述和实现具体的硬件电路，因此在Verilog上实现椭圆曲线运算成为了一种可行的选择。
4. Verilog实现椭圆曲线运算的关键技术要在Verilog上实现椭圆曲线运算，首先需要深入理解椭圆曲线运算的基本原理，并转化为硬件电路。
重点包括点的加法、点的乘法、点的倍乘等运算的转化方法，以及如何利用Verilog语言描述这些操作。
还需要考虑如何优化硬件电路结构，以提高运算速度和减小硬件资源占用。
5. Verilog实现椭圆曲线运算的未来发展随着硬件技术的不断进步，椭圆曲线运算的Verilog实现将会得到更加广泛的应用。
学习解决椭圆曲线问题探索椭圆曲线的性质和计算
学习解决椭圆曲线问题探索椭圆曲线的性质和计算在数学领域中，椭圆曲线是一种重要的研究对象，它具有丰富的性质和广泛的应用。
学习椭圆曲线问题，不仅可以深入了解其基本概念和性质，还可以利用椭圆曲线进行数学计算和密码学应用。
本文将探索椭圆曲线的性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用椭圆曲线。
一、椭圆曲线的定义和基本性质椭圆曲线是在平面上由方程定义的曲线，它是一组满足特定关系的点的集合。
一般来说，椭圆曲线的方程可以写成如下形式：y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是已知的实数参数。
椭圆曲线上的点不仅包括实数点，还包括无穷远点。
在椭圆曲线上，可以进行点的加法和乘法运算，并且满足封闭性、结合律、交换律等性质。
二、椭圆曲线的计算方法1. 点的加法在椭圆曲线上，点的加法运算是通过将两个不同的点相加得到第三个点的操作。
具体而言，在椭圆曲线上选择两个不同的点P和Q，通过一系列的运算得到它们的和点R。
点的加法运算利用椭圆曲线的斜率和交点的特性进行计算，最终得到新的点R。
点P、Q和R之间的关系可以表达为 P + Q = R。
2. 点的乘法通过点的乘法运算，可以将一个点重复相加得到多个点的运算结果。
具体而言，在椭圆曲线上选择一个点P，通过多次进行点的加法运算，可以得到k倍的点kP。
点的乘法运算可以用于求解离散对数问题和椭圆曲线上的离散算法。
三、椭圆曲线的性质和应用1. 奇点和阶在椭圆曲线上，存在一个特殊的点O，称为无穷远点或奇点。
无穷远点可以看作是椭圆曲线的平行线方向上的交点。
每个点在椭圆曲线上的加法运算都会有一个对应的逆元素，即P + (-P) = O。
椭圆曲线的阶定义为椭圆曲线上的点的数量，包括实数点和无穷远点。
2. 椭圆曲线密码学椭圆曲线的离散对数问题是一个重要的数学难题，基于它的计算困难性，椭圆曲线密码学广泛应用于信息安全领域。
椭圆曲线密码学通过利用椭圆曲线上点的加法和乘法运算，构建了一系列强安全的加密算法和数字签名算法，用于保护敏感数据的安全传输和验证身份。
数学《椭圆曲线》课件
3.1.2 例子(续)
例 子 3假定E 被定义为y2 x3 2x 3(mod5)。 如果需要计算(1，4) (1，3)。斜率是
m 1 4 1(mod5)。 31
因此，
x3 m2 x1 x2 2(mod5) y3 m(x1 x3 ) y1 0(mod5)。 这意味着
(1，4) (3，1) (2，0)。 如果需要计算2(1, 4)。斜率是
2 实域上的椭圆曲线
2.1 简化Weierstrass方程
E : y2+a1xy+a3 y=x3+a2 x2+a4 x+a6
(
x,
y)
x
3a12 12a2 36
，y
3a1x 216
a13
4a1a2 24
12a3
E : y2=x3+ax+b
这里 16(4a3 27b2 )
2.2 实域上的椭圆曲线
我们知道解决分解整数问题需要亚指数时间
复杂度的算法，而目前已知计算ECDLP的
最好方法都需要全指数时间复杂度。这意味
着在椭圆曲线系统中我们只需要使用相对于 RSA 短得多的密钥就可以达到与其相同的 安全强度。例如，一般认为160比特的椭圆 曲线密钥提供的安全强度与1024比特RSA密
钥相当。使用短的密钥的好处在于加解密速 度快、节省能源、节省带宽、存储空间。
第十一讲 椭圆曲线
1984年，Hendrik Lenstra提出了依靠椭圆曲 线性质分解整数的精妙算法。这一发现激 发了学者进一步研究椭圆曲线在密码和计 算数论的其它应用。
椭圆曲线密码在1985年分别由Neal Koblitz 和Victor Miller提出。椭圆曲线密码方案为 公钥机制，提供如同RSA一样的功能。但是， 它的安全性依赖不同的困难问题，也就是椭 圆曲线离散对数问题(ECDLP)。
椭圆曲线群
2011/4/13
公钥密码
23
小结
ECC算法*
2011/4/13
公钥密码
24
ＥＮＤ
2011/4/13
公钥密码
25
y xy x ax b mod 2
2 3
2011/4/13
m
公钥密码
6
ECC曲线的定义
无穷远点：
平行线，永不相交 平行线 永不相交? 平行线是不是在很远的地方相交？ 射影平面(上面的点（x,y,z）) 平行直线的交点为无穷远点，记做P∞。 点 所带来的好处是所有的直线都 直线上出现P∞点，所带来的好处是所有的直线都 相交了，且只有一个交点。 与无穷远点相区别把原来平面上的点叫做平常点。
2011/4/13
公钥密码
4
ECC曲线的定义
4 2 0 -2 -4 4
2 3
4 2 0 -2 -4 4
2 3
-1 1
2011/4/13
0
1
2
3
-1 1
0
1
2
5
3
椭圆曲线群
ECC曲线的定义
Fq上的椭圆曲线方程 曲线 :
y x ax b mod q, a, b Fq
2 3
F2m上的椭圆曲线方程:
2011/4/13
公钥密码
20
Fq上的椭圆曲线加密算法
1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲 线上 点，作为基点 线上一点 作为基点G。 2、用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥 K=kG。 3、用户A将Ep(a,b)和点K，G公开。 4、用户 用户B将待传输的明文编码到Ep(a,b) Ep(a b)上一点 上 点M， 并产生一个随机整数r，用户B计算点C1=M+rK； C2=rG C2 rG。(密文是两个点) 6、用户B将C1、C2传给用户A。 7、用户 用户A接到信息后，计算 接到信息后 计算C1-kC2，结果就是点 结果就是点 M。因为 C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
椭圆曲线密码学的基础原理
椭圆曲线密码学的基础原理椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于椭圆曲线数学理论的密码学算法，被广泛应用于信息安全领域。
相比传统的RSA和DSA等公钥密码算法，ECC具有更高的安全性和更小的密钥长度，因此在资源受限的环境下具有独特的优势。
一、椭圆曲线的基本概念椭圆曲线是由满足特定方程的点集构成的曲线，其方程通常表示为y^2 = x^3 + ax + b。
其中，a和b是给定的常数，定义了曲线的形状。
椭圆曲线上的点满足特定的运算规则，包括点的加法、点的倍乘等。
这些运算规则使得椭圆曲线成为一种适合用于密码学的数学结构。
二、椭圆曲线密码学的基本原理椭圆曲线密码学的核心思想是利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和签名等功能。
具体而言，ECC中的加密算法基于离散对数问题，即给定椭圆曲线上的点P和整数n，求解满足nP = O（O为无穷远点）的整数n的问题。
而签名算法则基于椭圆曲线上的点倍乘运算。
三、ECC的优势相较于传统的公钥密码算法，ECC具有以下优势：1. 安全性高：ECC的安全性基于椭圆曲线上的离散对数问题，该问题难度较大，使得破解难度大大增加。
2. 密钥长度短：相同安全级别下，ECC所需的密钥长度远小于RSA等算法，减少了存储和传输的开销。
3. 运算速度快：ECC的运算速度较快，尤其在资源受限的环境下表现出色，如物联网设备和移动设备等。
四、ECC的应用ECC广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 数字签名：ECC可以用于生成和验证数字签名，确保数据的完整性和真实性。
2. 密钥交换：ECC可以用于生成共享密钥，实现安全的密钥交换过程。
3. 加密算法：ECC可以用于对数据进行加密和解密，保护数据的机密性。
五、ECC的发展趋势随着信息技术的不断发展，对安全性和效率的要求越来越高，ECC作为一种高效且安全的密码学算法，具有广阔的发展前景。
未来，ECC有望在云计算、物联网、移动通信等领域得到更广泛的应用。
椭圆曲线密码算法(ECC)安全实现项目
1
自公钥加密问世以来， 学者们提出了许多种公钥加密方法， 它们的安全性都是基于复杂 的数学难题。对某种数学难题，如果利用通用的算法计算出秘钥的时间越长，那么基于这一 数学难题的公钥加密系统就被认为越安全。 根据所基于的数学难题来分类，有以下三类系统目前被国际公认为是安全和有效的。 整数因子分解系统 (代表性的有 RSA) 离散对数系统 (代表性的有 DSA) 椭园曲线离散对数系统 (ECC)
n
来说不超过 155 ） 。我们的 p 取为任意的素数，字长可取为 160 多比特。 （3）关于椭圆曲线的选择：椭圆曲线应选择为“好的” 椭圆曲线，即要求所选择的曲 线即满足安全性要求又满足可用性要求， 通过精心的大量计算， 我们选出一类满足此条件的 曲线。 （4）我们的方法可以做到域位长和阶位长相同。 （5）在 ECC 实施方案上，我们找到了一种不用明文嵌入的方法。 （6）我们研制的 ECC 系统，试验后得出的结论是，密钥为 160 的系统其加解密的速 度比 RSA1024 快约十倍。 武汉大学作为本公司主要股东，全力支持本项目的研发。武汉大学计算中心和信息安 全研究实验室为本项目提供了国内一流的研发环境。 我公司将从三个方向推进本项目产品的研发。三个方向是：理论基础研究、系统软件开 发、应用研发。三个方向分别采用不同的国际先进研究手段和研发工具，以保证公司在理论
4
研究和应用实践两个方面始终处于国际国内领先水平。 5、行业及市场情况
（1）国内外信息安全政策
信息安全问题涉及计算机安全和密码使用， 有关的政策法规也因此而分为计算机安全管 理政策法规和关于密码使用的政策法规。 在信息安全问题出现的早期阶段， 各国立法和管理 的重点集中在计算机犯罪方面。 近几年， 立法和管理的热点转移到对于密码的应用管理方面。 美欧等国对于密码使用的管理政策集中在使用密码进行信息加密和使用数字签名实 施证书授权两个重要方面。主要内容为：政府组织制定技术标准与管理条例；政府鼓励使用 标准商用密码算法； 政府不参与商用密码算法安全产品的商业经营活动； 商用密码信息安全 产品可以经过中性技术权威的评测认证机构进行评测认证 （经过中性机构评测认证的产品有 利于进入市场）；各开发公司使用标准密码算法所开发的安全产品的质量与系统安全性，由 开发者负责，毋须向政府申报批准或由政府组织专家审定。产品完全由市场来检验、选择、 优胜劣汰；标准商用密码算法不一定需要硬件保护。保密的关键在于保护密钥，解密的关键 则在如何得到密钥。 政府限制对不同国家出口不同密钥长度的安全产品， 出口控制标准需执 行美国联邦条例法典和国际武器贸易条例 （ITAR） 关于安全产品出口的规定 （目前已有放松） 。 美国限制对中国和俄罗斯出口密钥长于 40 位的安全产品；目前尚未见有政府限制商用密码 安全产品进口条例的规定。 我国信息安全管理的基本方针是“兴利除弊，集中监控，分级管理，保障国家安全”。 对于密码的管理政策实行“统一领导、集中管理、定点研制、专控经营、满足使用”的发展 和管理方针。 我国的密码管理基本政策是： 全国的商用密码由国家密码管理委员会统一领导， 国家密码管理委员会办公室具体管理。 研制、 生产和经营商用密码必须经国家主管部门批准。 未经国家密码主管部门批准，任何单位和个人不得研制、生产和经销密码产品。需要使用密 码技术手段保护信息安全的单位和部门， 必须按照国家密码管理规定， 使用国家密码管理委 员会指定单位研制和生产的密码， 不得使用自行研制的密码， 也不得使用从国外引进的密码。 （2）信息安全市场分析与预测 整个信息安全产品市场，从应用类型上，可分为防火墙类产品、防攻击类产品、密码类 产品、ＣＡ类产品和访问控制类等产品市场。但以上的产品在技术上均涉及到密码学领域， 密码技术是信息安全产品的核心技术。 信息安全类产品的市场前景非常广阔，可广泛用于政府、金融、证券、计算机网络、电 信、民航、交通、铁路、海关、税务、公检法、交通、农业、电力、工商、军事、水利、钢 铁、石油等行业，另外在各大企业、互联网服务商（ICP 及 ISP）以及个人也有大量顾客。
【推选】椭圆曲线PPT资料
9.3 椭圆曲线的加法原理
运算法则：任意取椭圆曲线E上两点P、Q （若P、Q两点重合，则做P点的切线）做直 线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴 的平行线交于R。我们规定P+Q=R
9.3 椭圆曲线的加法原理
（E,+）构成交换群
封闭 单位元：P+e=P e=O∞，即零元 逆元：P+(-P)=e 交换律：P+Q=Q+P 结合律：P+Q+T=P+(Q+T)
成另一个图形的映射，就叫做射影变换。 P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系 x3≡k2-x1-x2(mod p)
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
概括的说，射影几何学是几何学的一个重 其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1 若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1)
一条直线的无穷远点只有一个，相交直线的无穷远点不同
都存在切线。 3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20；
Fp上的椭圆曲线的加法 交换律：P+Q=Q+P
右边不是椭圆曲线 所以无穷远点： （X：Y：0）
3 椭圆曲线的加法原理
一条直线的无穷远点只有一个，相交直线的无穷远点不同 表示一个点P=(x,y)T 齐次坐标：P=(xz,yz,z) T ；
经过同一无穷远点的所有直线平行 一条直线的无穷远点只有一个，相交直线的无穷远点不同
平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线。 平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。
射影几何——无穷远点
十七世纪真正成为几何学的重要分支
因为C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
openssl 椭圆曲线速度
标题：openssl椭圆曲线速度分析椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）作为一种新兴的加密算法，具有较少的比特数和高强度的特点，因而在信息安全领域备受关注。
而openssl作为常用的加密算法库，其对椭圆曲线加密的支持也是备受瞩目的。
本文将从openssl椭圆曲线加密算法的速度进行分析，以期探讨其在实际应用中的性能表现。
1. ECC算法速度较RSA更快ECC相比于传统的RSA加密算法，在密钥长度相具有更快的加解密速度。
这是因为ECC采用的椭圆曲线运算对比大数分解运算更快速，因而在同样的安全强度下，ECC的性能更高。
而openssl作为一款常用的加密算法库，对ECC算法的支持较为全面，因而其在ECC算法的实现上也具有一定的优势。
2. openssl对ECC算法的支持openssl从1.0.0版本开始就已经支持ECC算法，并且从1.0.2版本开始，openssl的ECC算法性能得到了进一步的优化。
openssl的ECC 实现基于椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）和椭圆曲线Diffie-Hellman密钥交换算法（ECDH），并提供了一系列的API来支持ECC算法的使用。
其在性能和安全性方面都得到了较好的平衡，因而在实际应用中被广泛采用。
3. 性能测试结果为了验证openssl对ECC算法的性能表现，我们进行了一系列的性能测试。
测试环境为一台配置较高的服务器，采用的是最新版本的openssl库。
通过对不同密钥长度和不同曲线参数的测试，我们得出了如下的测试结果：- 在相同的密钥长度下，ECC算法的加解密速度平均比RSA算法快约10～20。
这表明openssl对ECC算法的优化程度较高，能够充分发挥ECC算法的性能优势。
- 在不同曲线参数下，ECC算法的性能表现也有所不同。
一般来说，prime256v1曲线是性能最优的曲线参数，而secp521r1曲线的速度相对较慢。
椭圆曲线的性质
x p + x p + xr = 2 x p + xr = (
所以
)2
xr = (
3x p + p 2 yp
2
)2 − 2 x p
＋ Q=(x'，y')的坐标公式 这样就得到了 P=Q=(xp，yp)时，P○
-7-
x' = (
3x p + p 2yp
2
)2 − 2 x p
2
y' = − y p − (
＋ P=2P=(x'，y') ② P=(-2，3)，求 P○ 已知：方程系数 p=0，q=17，已知 xp=-2，yp=3 可求出 m=2，n=7， x'=8 y'=-23
③ P=(-2，3)，求-P x'=-2 y'=-3
Байду номын сангаас
㈥ 椭圆曲线点的 ○运算的阶的概念 ＋ 椭圆曲线点的○
定义：P 是椭圆曲线 E 上的一点，若存在最小的正整数 n，使得 nP=O∞=0 ，则称 n 是 P 点的阶。当然，不一定存在有限的 n，但我 们感兴趣的是求椭圆曲线 E 上有有限阶的点， 特别是定义在有理数域 上的椭圆曲线。 例如：已知椭圆曲线 E 的方程是：y2=x3+1。在 P=(2,3) 点的切线 斜率为 m=2，而 n=-1，2P=(x'，y') 为
2。阿贝尔群（Abelian Group）
又称交换群或可交换群，是这样一类群 (G, *)： 对任意 a，b 属于 G，满足 a * b = b * a。
-1-
)的概念 3。域(Field Field)
定义：设一个至少含有两个元素的集 F，且定义了两个二元运算， 如加法“+”和乘法“*” ，如满足下列三个条件，则称 F 是一个域。 ⑴ F 的元素关于加法运算“+” ，构成阿贝尔群，设其单位元为 0。 ⑵ F\{0}(不包含 0 的 F)于乘法运算“*” ，构成阿贝尔群。 ⑶ 对于 a, b, c ∈ F 分配率成立。即 (a + b) * c = a * c + b * c c * (a + b) = c * a + c * b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 1985年Miller,Koblitz 独立提出
y2+axy+by=x3+cx2+dx+e • 曲线上的点连同无穷远点O的集合 • 运算定义：
– 若曲线三点在一条直线上,则其和为O – O用作加法的单位：O = -O; P+O = P – 一条竖直线交X轴两点P1、P2，则P1+P2+O=O，于是P1 =
y3=(x1-x3)-y1 (mod p)
其中，如果PQ，则 如果P=Q，则
= =
(y2-y1)/(x2-x1) (3x12+a)/(2y1)
椭圆曲线用于加密
• 找到一个难题： – 考虑等式Q=kP，其中Q、P属于Ep(a,b)，k<p – 已知k和P，计算Q，是容易的 – 已知Q和P，计算k，是困难的
– 针对所有的0<= x <p，可以求出有效的y，得到曲线 上的点(x,y)，其中x,y < p。记为Ep(a,b)
– Ep(a,b)中也包括O
• 加法公式:
– P+O=P
– 如果P=(x,y)，则P+(x,-y)=O，(x,-y)点是P的负点，记
为-P。而且(x,-y)也在Ep(a,b)中
– 如果P=(x1,y1)，Q=(x2,y2)，则 P+Q=(x3,y3)为 x3=2-x1-x2 (mod p)
1078
1200
12000010168 Nhomakorabea768 2108
150
3.81010
1024 31011
205
7.11018
1280 11014
234
1.61028
1536 31016
2048 31020
ECC和RSA性能比较
ECC密钥长度 m
160
RSA密钥长度 1024
MIPS-年 1012
320
5120
1036
600
21000
• 选择Ep(a,b)的元素G,使得G的阶n是一个大素数 – G的阶是指满足nG=O的最小n值
• 秘密选择整数r，计算P=rG，然后 – 公开(p,a,b,G,P)，P为公钥 – 保密r
• 加密M：先把消息M变换成为Ep(a,b)中一个点Pm – 然后，选择随机数k，计算密文Cm={kG,Pm+kP) – 如果k使得kG或者kP为O，则要重新选择k.
• 解密Cm: (Pm+kP)-r(kG)=Pm+krG-rkG=Pm • 加密信息有扩张
椭圆曲线密码的安全性
• 难点: 从P和kP获得k
• 对椭圆曲线研究的时间短
• 椭圆曲线要求密钥长度短,速度快
• 对比: ECC
RSA
*Pollard rho分析方法
Key size
512 MIPS-Yrs
3104
-P2 – 如果两个点Q和R的X轴不同，则画一连线，得到第三点
P1，则Q+R+P1=O，即Q+R=-P1 – 2倍，一个点Q的两倍是，找到它的切线与曲线的另一个
交点S，于是Q+Q=2Q=-S
椭圆曲线密码示意图
有限域上椭圆曲线
• 有限域上椭圆曲线
y2x3+ax+b mod p
p是奇素数,且4a3+27b20 mod p