平面角与立体角电子教案
多维空间的立体角
多维空间的立体角
立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。
1. 平面角
我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：
dφ=CD ̂r
其中，CD
̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：
CD
̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：
φ=∫
dl
r
B
A
sin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：
ψ=π
2
−θ
φ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙r
r B A
2. 立体角
对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。
设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：
dS⊥=dS∙r r
立体角微元dΩ为：
dΩ=dS∙r r3
曲面对空间的立体角为：
Ω=∫dS∙r r3
S
不难得到，全空间的立体角Ω=4π
下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：
顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)
半球：2π
球面三角形：A+B+C−π
四面体：
对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=1
2
(α+β+γ)，则：
tan Ω
4
=√tan
θ
2
tan
θ−α
2
tan
θ−β
2
tan
θ−γ
2
正方体的一个顶角的立体角为π
2，正四面体的一个顶角为arctan 10√2
立体角理解及应用
立体角
在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。
立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。
通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。
平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。
1、立体角定义与量度
1.1立体角的概念
当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。
而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。
二面角的平面角概念
二面角的平面角概念
二面角是一个立体角，它是由两个平面角所围成的。其中，平面角是指在同一平面内，以同一端点为顶点，将这个端点所在直线分成两部分所形成的角。二面角的顶点在立体角的中心，它是由四个不同的面共同组成的，其中每个面都与三个相邻的面相交，同时每对相邻的面都构成了一个平面角。因此，二面角可以被看作是四个平面角的集合，它同时也具有平面角的一些特性，如大小和方向等。其中，二面角的大小是由它所包含的两个平面角的夹角大小决定的。
平面角与立体角PPT课件
即锥体的“顶角”
对比平面角定义式
d
dS
r dS0
d dl0 dl cos
rr
有定义式:
d
dS0 r2
dS r2
cos
单位：球面度
dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元； 是面元dS与球面元dS0间的夹角。 球冠的表面积公式：S=2πrh，其中r为球半径，h为球冠高。
可得平面角与立体角的关系：
d 2 sind
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闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2π 弧度
l
lr
r l0
闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
S
S
dS0 r2
4π
球面度
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附1.立体角的概念
1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角记做 d
设射线长为r ，
d
线段元dl对某点所张的平面角：
r dl0dl
d dl0 dl cos 单位：弧度
rr
dl0是以r为半径的圆弧 是线段元dl与dl0之间的夹角
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2)立体角
面元dS 对某点所张的角叫做立体角，
关于立体角，续五
关于立体角，续五
3、多面角----球面三角部分关键内容简介
在球面几何-球面三角中，一个基本概念是三面角，三面角的每个面本身所张的平面角称为边，由其余两面限定，而面与面两两之间所夹的平面角称为角，可以推导出，三面角的三个角之和超出180度或πrad，而超出的这部分，正好等于这个三面角所张的立体角，即：Ωt=ε=A+B+C-π——3.1
这是关于立体角的一个重要而基本的关系。通过将多面角分割为若干三面角，可求得多面角所张的立体角。如正n面角可分割为n-2个相同的等腰三面角，故其立体角为：
Ω=（n-2）ε，——3.2
由于在诸ε中多余加入了自分割轴张出的一个轴角（二面角）2π/（n-2），故
ε，=ε-2π/（n-2）——3.3
4、多面体
多面体与立体角关系密切，欲深入了解立体角，从而对“空间”这个哲学、数学概念增加理解，不妨多观察多面体。
4.1. 认识(正)多面体的部分早期历程
长方体以至正方体（正六面体）是人们早就有所了解的多面体，但先后发现5种正多面体，主要应是约公元前500年古希腊人的功劳；据记载，毕达哥拉斯学派已知有正四、六、八面体，特埃特图斯追加了正十二面体和正二十面体。
这5种正多面体首次同时出现，可能是在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，蒂迈欧对苏格拉底所说的一段话里。这段话对正多面体的描述并不很清晰，但5种正多面体却因此被称为柏拉图立体。蒂迈欧神秘地将四种正多面体（除了正十二面体外）与古希腊哲学中的四个原始元素(火、气、水、土)分别联系在一起，而正十二面体被视为以太或宇宙的形态。
稍后，成书于公元前300年左右的欧几里得《几何原本》，在第
空间几何的立体角
空间几何的立体角
立体角是空间几何中重要的概念，用于描述三维物体之间的角度关系。参考欧几里得几何学中平面角的定义，立体角也是通过两个平面
之间的交叉线来确定的。本文将介绍立体角的概念、计算方法以及其
在实际生活和科学研究中的应用。
一、概念
在空间几何中，我们可以定义立体角为两个不共面的射线所夹的角度。具体地说，我们可以通过从一个射线上选取一点，然后与该射线
相交的另一射线还可以由无数种不同位置的点来确定。这样，我们就
可以得到不同的立体角。根据这个定义，可以得出以下结论：
1. 两个相对的直角是等于360度的立体角；
2. 两个形成平面角的直线和两个形成立体角的直线具有相同的夹角。
二、计算方法
为了计算立体角，我们可以使用多种方法，以下是其中两种常用的
方法：
1. 体积法：通过计算立体角所包围的体积来确定其大小。具体地说，我们可以在两个不共面的射线之间构造一个四面体，然后计算该四面
体的体积。该体积就是所求立体角的大小。这种方法需要对几何体的
体积计算有一定的理解和掌握。
2. 广义平面角法：理解和应用平面角的概念和计算方法，可以将其推广到立体角的计算中。通过选取两个不共面的射线上的点，可以构成一个平面角。将这个平面角的两条边替换为另外两个射线，就可以得到一个立体角。通过计算这个立体角对应平面角的大小，即可确定立体角的度数。这种方法更加直观，易于理解和计算。
三、应用
立体角在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。以下是其中的几个例子：
1. 光学：在光学领域中，研究光的传播和反射是非常重要的。当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。折射角的大小与入射角和介质的折射率有关。通过计算折射角对应的立体角，可以进一步研究光的传播和折射规律。
立体角
立体角计算公式
初醒悟
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0引言
光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：
I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。
式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。
但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。
1立体角的定义
将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω=
2r
A
图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ）
2立体角的计算
设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π
不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。
图3 计算示意图
曲面面积计算公式为： A=
⎰⎰
∂∂+∂∂+D
y
z x z 2
2)()(
1dxdy （1） 上半球球面方程为：
Z=2
21y x -- （2）
由
x z ∂∂=221y
x x --- （3）
221y
x y
y z ---=
空间几何中的平面角与立体角
空间几何中的平面角与立体角在空间几何中，平面角与立体角是两个重要的概念。平面角是指由
两条交叉的直线所形成的角度，而立体角则是由多个平面角所围成的
角度。理解和运用这些概念对于解决空间几何问题至关重要。
一、平面角
平面角是平面几何中常见的概念，它是由两条直线在同一平面上的
交叉所形成的角度。对于给定的两条直线，在它们的交点处，可以测
量出一个角度，即平面角。平面角通常用弧度或度来表示。
在平面角中，有一些特殊的角度需要特别注意。例如，当两条直线
互相垂直时，它们所形成的平面角称为直角。直角是平面几何中的基
本角度单位，它的度数为90°，弧度表示为π/2。直角的特殊性使得它
在很多几何问题中具有重要的作用。
此外，在平面角中还有钝角和锐角。当两条直线之间的夹角大于90°时，我们称它为钝角；当夹角小于90°时，我们称之为锐角。钝角和锐角常常出现在各种几何问题中，它们的大小和位置对于问题的解决至
关重要。
二、立体角
立体角是空间几何中的一个重要概念，它是由多个平面角所围成的
角度。在空间中，我们可以将一个角度所围的范围看作是一个三维的
空间区域，这个区域就是立体角。
在计算立体角时，我们通常采用球面角的概念来表示。球面角是一
种特殊的立体角，它是由一个球的表面上的两个交叉弧所形成的角度。对于一个给定的球面角，我们可以根据弧长和球半径来计算它的值。
立体角在空间几何中有着广泛的应用。例如，在物理学中，立体角
可以用来描述辐射场的分布情况；在计算机图形学中，立体角可以用
来计算光线追踪和阴影效果等。了解立体角的概念和计算方法对于解
立体角
对于任意一个四面体OABC,其中O,A,B,C分别为四面体的四个顶点。下面给出一个公式，计算从O点观察三角 形ABC的立体角Ω的方便简单的公式。令α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB(均为各自平面内两条直线的夹角，可以 采用平面三角形的余弦公式计算求得)，。
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任意定向曲面相对于某一个点 P的立体角，即为该曲面投影到以 P为球心的单位球面上的面积。 令为该单位球面上以P为原点的极小面积的位置向量，可以得到以下公式：
立体角的国际制单位是球面度（steradian，sr）。立体角有一个非国际制单位平方度，1sr= (180/π)square degree。
一个完整的球面对于球内任意一点的立体角为4πsr（对于球外任意一点的立体角为0sr）： 这个定理对所有封闭曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依据。
应用
立体角在物理上有相当多的应用： 定义：垂直于给定方向上单位面积、单位时间、在单位立体角中放出的辐射能量 计算的公式：其中A代表面积，Ω代表立体角，λ代表光的波长，Φ代表辐射通量
常见
圆锥球冠
任意四面体
顶角为2的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。 （上面结果由下式得到） 应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的 面积相等。球冠边沿到球冠最低点的距离为 显然，在单位圆中球冠立体角为 当θ=π，立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。当θ=π/2， 球冠变为有着立体角 2π的半球。
光辐射与发光源 立体角
➢整个球面的面积为4πr2, 对于整个空间有
即整个空间等于4 π球面度
4r 2
r2
4Hale Waihona Puke Baidu
▪立体角是平面角向三维空间的推广。在二维空间， 2π角度覆盖整个单位圆。
▪在三维空间， 4π的球面度立体角覆盖整个单位 球面。
从一个球面上去处1球面度立体角的圆锥
球坐标系下微元立体角的几何关系
微小面积
dS r2 sin d d
▪立体角的定义：
一个任意形状的封闭锥
面所包含的空间称为立
Ω
体角，用Ω表示。
以锥体顶点为球心，任意 r为半径作一球面，此锥 体在球面上的截面为S， 则立体角表示为
S r2
S Or
➢ 立体角单位：以锥顶为球心，以r为半径作一圆球， 若锥面在圆球上所截出的面积等于r2，则该立体角为 一个“球面度”（sr）。整个球面的立体角是多少？
则dS对应的立体角为
d sin d d
计算某一个立体角时，在一定范围内积分即可
d
数学 立体三角
数学立体三角
在几何学中，立体三角是指处理空间中的三角形的一种方法。与平面三角形不同，立体三角涉及到三维空间中的形状和体积计算。在本文中，我们将探讨立体三角学的基本概念和应用。
第一部分：立体三角的基本概念
在立体三角中，最基本的概念是三角形的面积和体积。如同平面三角形的面积可以通过底边和高的乘积来计算，立体三角的面积可以通过底面积乘以高来计算。如果一个三棱柱的底面积为A，高为h，那么三棱柱的体积可以表示为V=A*h。同样地，对于其他立体形状如四棱锥、圆柱体等也可以使用类似的方法计算体积。
除了面积和体积，立体三角中还有其他一些重要的概念。例如，立体角是指由来自立体体积边的两个平面三角的边界辐射而成的角。当我们计算立体角时，我们通常使用角度的单位。此外，立体三角还涉及到立体正多面体、球体、圆锥等形状的计算和性质研究。
第二部分：立体三角的应用
立体三角学在现实生活中有着广泛的应用。下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 工程设计：立体三角学在建筑和工程设计中扮演着重要角色。例如，设计师在规划房屋或桥梁时需要计算各个结构的体积以确定材料的用量和强度要求。
2. 地理测量：地理测量领域也常常使用立体三角学。通过测量山脉的高度、河流的深度以及湖泊的面积，地理学家可以更好地理解地球表面的形状和特征。
3. 机械工程：在机械工程中，立体三角学可以应用于零件的设计和装配。通过计算机辅助设计软件，设计师可以确定零件之间的相对位置和相互作用，以确保机器的正常运行。
4. 医学应用：在医学中，立体三角学可用于测量人体器官的体积和形状。例如，医生可以使用立体三角学来计算人脑的体积，这对于诊断疾病和进行手术规划至关重要。
光度学基本单位浅说
光度学基本单位浅说
光度学与光相关的常用量有4个：发光强度、光通量、照度、亮度。
1平面角和立体角
平面角的单位叫弧度，1弧度是半径为1米的圆上，1米长的圆弧对圆心所张的角。
α=L/r
立体角的单位叫球面度（sr），1球面度是半径为1米的球面上，1平方米的球面对球心所张的立体角。
Ω=S/r2
(a)(b)
2光视效能
定义：单位功率上的光通量。符号η，单位名称：lm/w。
通量是人为量，是根据人眼对光的响应而来的。人眼对不同颜色的光的感觉是不同的，此感觉决定了光通量与光功率的换算关系。对于人眼最敏感的555nm的黄绿光。1977年国际计量委员会统一采用频率为540×1012Hz的单色辐射（相当于λ=555nm）的最大光谱光视效能η=683lm/W。其它光视效能与其比值K（λ）
3光度学基本量
3.1 光通量φ（Flux），单位流明(lm)
定义：光源在单位时间内发射出的光量称为光源的发光通量。
φ=P.η
该量是对光源而言，是描述光源发光总量的大小的，与光功率等价。
3.2 光强度Ｉ（Intensity），单位坎德拉（cd）
定义：光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量。
Ι = dΦ/dΩ 1cd＝1lm/1sr
发光强度是针对点光源而言的，或者发光体的大小与照射距离相比比较小的场合。这个量是表明发光体在空间发射的会聚的能力。是对光功率与会聚能力的一个共同的描述。
光通量相当于压力，而发光强度相当于压强。要想被照射点看起来更亮，我们不仅要提高光通量，而且要增大会聚的手段，实际上就是减少能够被光照射到的面积，这样才能得到更大的强度。
灯具光学讲义-2
2 .61 .57 .54 .59 .56 .54 .57 .55 .52 .55 .53 .51 .54 .52 .50 .49 .176
3 .54 .50 .47 .53 .49 .46 .52 .48 .46 .50 .47 .45 .49 .46 .44 .43 .168
4 .49 .44 .40 .48 .44 .40 .46 .43 .40 .45 .42 .39 .44 .41 .39 .37 .160
RCR
COEFFICIENTS OF UTILIZATION FOR ρFC=20
0 .75 .75 .75 .73 .73 .73 .70 .70 .70 .67 .67 .67 .64 .64 .64 .63
1 .68 .65 .63 .66 .64 .62 .63 .62 .60 .61 .60 .59 .59 .58 .57 .56 .182
8 .31 .26 .23 .31 .26 .22 .30 .26 .22 .29 .25 .22 .29 .25 .22 .21 .131
9 .28 .23 .19 .28 .23 .19 .27 .22 .19 .26 .22 .19 .25 .22 .19 .18 .125
Leabharlann Baidu
10 .25 .20 .17 .25 .20 .17 .24 .20 .17 .24 .20 .17 .23 .19 .17 .16 .118
高斯定理推导教程文件
第五版
5-4 电场强度通量 高斯定理
预备知识
L
平面角与立体角
平面角 d
dl r
圆周
d
L
dl r
2r
r
2
立体角 d
dS r2
S
球面
d
dS s r2
4r 2
r2
4
第五章 静电场
1
物理学
第五版
5-4 电场强度通量 高斯定理
点电荷q位于闭合球面中心
Φ e
SE
dS
SEdS
S
q
4
R2
dS
0
q
4 πε0R2
dS
S
q ε0
nE
dS
+
q
R
第五章 静电场
2
物理学
第五版
5-4 电场强度通量 高斯定理
点电荷q在任意闭合曲面内
dS为以 q 为球心的球面面元，设半径为r.
dΦe
E dS
q 4πε0r 2
dS
cos θ
q 4πε0
dS＇ r2
q dΩ
4πε0
Φe
q dΩ S 4πε0
SE dS 0
q
d
E2
+百度文库dS2
dS1 E1
第五章 静电场
多维空间的立体角
多维空间的立体角
立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。
1. 平面角
我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：
dφ=CD ̂r
其中，CD
̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：
CD
̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：
φ=∫
dl
r
B
A
sin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：
ψ=π
2
−θ
φ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙r
r B A
2. 立体角
对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。
设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：
dS⊥=dS∙r r
立体角微元dΩ为：
dΩ=dS∙r r3
曲面对空间的立体角为：
Ω=∫dS∙r r3
S
不难得到，全空间的立体角Ω=4π
下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：
顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)
半球：2π
球面三角形：A+B+C−π
四面体：
对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=1
2
(α+β+γ)，则：
tan Ω
4
=√tan
θ
2
tan
θ−α
2
tan
θ−β
2
tan
θ−γ
2
正方体的一个顶角的立体角为π
2，正四面体的一个顶角为arctan 10√2
立体角、平面角概念在电磁学中的应用
个对 应的电荷元 Ｉ Ｓ 和 Ｉ Ｓ ， Ｔ Ｔ 它们 在 Ｐ点 产生 的合 场强 的 ｄ ｄ
大小为
Ｔ Ｉ Ｓｌ ｄ Ｔ ２ Ｉ Ｓ ｄ
空间曲面 ｓ对某空间点 Ｏ所 张的立体 角为
ｎ ： ： ｄ ｃｓ ｆ ［ ＳｏＯ
ｒ ‘
（ 球面度 ） ２ （）
４ ｒ ０ ４ １ ｒ ８ 仃 ０２ ｒ
２ｅ０
其 中 为顶点 Ｏ到面元 的径矢 ， ０为径矢 与 的之 间
的夹角。当 ０为锐角时 ， 为 正 ， ０为钝 角时 ， 为负 ， 当 ｄ 的正 负取决于面元的法向选取。
２ ２ 证 明均 匀带 电球 面 内部 的场 强处处为零 ． 如图 ３ 在球 面内任选一点 Ｐ 在球面上按 图 ３所示取 两 ， ，
如图 １ 所示 ， 任意 曲面 元 矗 对 于顶点 Ｏ所 张的立 体角
定义 为
：
设 Ｐ为电场 中任一点 ， 由对称性 分析 知 ， Ｐ点 电场强度
掣 ：ｃ ｄＯ ＿ｓ Ｓ ｏ
ｒ ｒ
（ 的场强的 Ｘ分量为 １ ）
Ｉ Ｔ
４７ ｒ０
的方向沿 Ｏ 轴 ， Ｘ 在无限大平 面上取一面元 ， 在 Ｐ点产生 它
中图 分 类 号 ： ４ ０４
文献标志码 ： Ａ
文章 编 号 ： ０ １ ８—６２ （ ０ ８ ０ ０９ ０ ０ ６ ５ ２ ０ ）３— ０ ５— ３
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闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos d l 0 2π 弧度
l
lr
l0 r
闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
S
S
dS0 r2
4π
球面度
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对比平面角定义式
d
dS
r dS0
ddl0 dlcos
rr
有定义Hale Waihona Puke Baidu:
ddS0
r2
drS2 cos
单位：球面度
dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元；
是面元dS与球面元dS0间的夹角。
球冠的表面积公式：S=2πrh，其中r为球半径，h为球冠高。
可得平面角与立体角的关系：
d 2 sind
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附1.立体角的概念
1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角记做 d
设射线长为r ，
d
线段元dl对某点所张的平面角：
r dl0dl
ddl0 dlcos 单位：弧度
rr
dl0是以r为半径的圆弧 是线段元dl与dl0之间的夹角
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2)立体角
面元dS 对某点所张的角叫做立体角，
即锥体的“顶角”