高等数学向量与空间解析几何第5章

合集下载

高等数学向量代数与空间解析几何题【精选文档】

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

高等数学第5讲空间直线及其方程

与直线
2 3
x x

2 8
y y

z z

23 18

0 0
的夹角的余弦为__________；
3、直
线

x x

y y

3z 0 z0
和平面
x

y

z

1

0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面的法向量为 n (A, B,C )
则直线与平面夹角满足
︿ sin cos( s , n )
ns L

sn sn

Am Bn C p m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L

D1 D2
0 0
对称式
参数式

x y

x0 y0
m n
t t
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1

y
y1 n1

z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2

y
y2 n2

z
z2 p2
,
L1 L2
比例，所以对于任何一个值，方程(3)的系数：
A1 A2、B1 B2、C1 C2不全为零，从而方程(3)表示

向量与空间解析几何

向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中的重要分支，它们是研究空间中点、直线、平面等几何对象的数学工具。

向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。

空间解析几何则是利用向量的概念，通过坐标系和代数方法来研究空间中的几何问题。

本文将从向量的定义、运算、坐标表示以及空间解析几何的基本概念和应用等方面进行详细介绍。

一、向量的定义和运算向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。

向量的定义如下：定义1：向量是具有大小和方向的量，用一个有向线段来表示。

向量的大小称为向量的模，用符号 a 表示，方向则由有向线段的方向确定。

向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，用符号a和b表示。

向量的表示方法有多种，如箭头表示法、坐标表示法、分量表示法等。

向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。

其中，向量的加法和减法定义如下：定义2：向量的加法：设向量a和b的始点相同，则向量a+b的终点为向量a的终点和向量b的终点的连线的终点。

定义3：向量的减法：设向量a和b的始点相同，则向量a-b的终点为向量a 的终点和向量-b的终点的连线的终点。

向量的数乘定义如下：定义4：向量的数乘：设k为实数，则向量ka的模为k · a ，方向与向量a 的方向相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

向量的点乘定义如下：定义5：向量的点乘：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则向量a·b=a1b1+a2b2+a3b3。

向量的点乘有很多重要的性质，如交换律、分配律、结合律等，这些性质在空间解析几何中有着重要的应用。

二、向量的坐标表示向量的坐标表示是空间解析几何中的重要概念，它将向量与坐标系联系起来，使得向量的运算可以通过代数方法来进行。

在三维空间中，我们通常采用右手坐标系来表示向量，其中x轴、y轴和z轴分别垂直于彼此，并且满足右手定则。

[专题]北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.docx

习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。

高等数学教材下册目录

高等数学教材下册目录第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义1.1.2 常用的数列极限1.1.3 函数极限的定义1.1.4 常用的函数极限1.2 极限运算法则1.2.1 有界函数的极限1.2.2 极限的四则运算法则1.2.3 极限的复合运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的定义1.3.2 间断点与间断类型1.3.3 切线与连续函数的性质第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 罗尔中值定理2.2 常用函数的导数与微分2.2.1 幂函数与指数函数的导数2.2.2 对数函数与反三角函数的导数 2.2.3 反函数与隐函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 微分法的应用2.4 凹凸性与曲线的形状2.4.1 凹凸性的判定条件2.4.2 拐点与曲率第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与原函数3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本积分公式与换元法3.2.3 分部积分法与定积分求值3.3 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用 3.3.1 牛顿—莱布尼兹公式的表述3.3.2 定积分的物理应用3.4 定积分的近似计算3.4.1 零散数据的近似积分计算3.4.2 定积分上和下的近似计算第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与解4.1.2 初等函数与初等微分方程4.1.3 常见的一阶微分方程4.2 可分离变量与线性微分方程4.2.1 可分离变量的微分方程4.2.2 线性微分方程的解法4.2.3 齐次和非齐次线性微分方程4.3 高阶线性微分方程4.3.1 高阶线性微分方程的解法4.3.2 常系数与非齐次线性微分方程 4.4 变量可分离与齐次微分方程4.4.1 变量可分离的微分方程4.4.2 齐次微分方程的解法4.5 常见微分方程的物理与几何应用 4.5.1 指数增长模型与对数增长模型 4.5.2 简谐振动与受阻振动4.5.3 驻点与稳定性分析第五章：向量与空间解析几何5.1 空间直角坐标系与向量的基本概念 5.1.1 空间直角坐标系的建立5.1.2 空间向量的定义与运算5.1.3 向量的数量积与数量积的几何应用 5.2 空间中的直线和平面5.2.1 空间中直线的方程及性质5.2.2 空间中平面的方程及性质5.3 空间曲面与二次曲线5.3.1 空间曲面的分类与方程5.3.2 二次曲线的分类与方程5.3.3 曲面与曲线的几何应用5.4 空间解析几何的应用5.4.1 空间几何的物理与工程应用5.4.2 空间几何的计算机图形学应用第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义与取值空间6.1.2 多元函数的极限与连续6.1.3 多元函数的偏导数6.2 多元函数的方向导数与梯度6.2.1 多元函数的方向导数6.2.2 多元函数的梯度与最速上升方向 6.3 多元复合函数与隐函数6.3.1 多元复合函数的求导法则6.3.2 多元隐函数的求导法则6.3.3 多元隐函数的微分与线性近似 6.4 多元函数的极值与条件极值6.4.1 多元函数的极值与极值判定条件 6.4.2 多元函数的条件极值与约束条件 6.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6.5.1 多元函数的二阶泰勒公式6.5.2 误差估计与局部线性化第七章：重积分7.1 重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算与重要定理7.2 二重积分与坐标变换7.2.1 极坐标系下的二重积分 7.2.2 广义换元公式与坐标变换 7.3 三重积分的概念与计算7.3.1 三重积分的定义与性质 7.3.2 直角坐标系下的三重积分 7.4 三重积分与坐标变换7.4.1 柱面坐标系下的三重积分 7.4.2 球面坐标系下的三重积分 7.5 重积分的应用7.5.1 重心、质心与形心7.5.2 质量、质心与转动惯量 7.5.3 重积分的物理与几何应用第八章：曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质8.1.1 曲线积分的定义与性质 8.1.2 第一类曲线积分的计算 8.1.3 第二类曲线积分的计算8.2 曲线积分的应用8.2.1 质量、质心与转动惯量8.2.2 流量与环量8.3 曲面积分的概念与性质8.3.1 曲面积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的计算与重要定理 8.4 曲面积分的应用8.4.1 曲面的质量与曲面的质心8.4.2 流量与散度定理8.4.3 曲面积分的物理与几何应用第九章：无穷级数与傅里叶级数9.1 无穷级数的概念与性质9.1.1 数项级数的收敛性判定9.1.2 幂级数的收敛域与求和9.1.3 函数展开成级数9.2 函数项级数的点态与一致收敛性 9.2.1 函数项级数的定义与性质9.2.2 函数项级数的收敛定理9.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开9.3.1 傅里叶级数的定义与性质9.3.2 傅里叶级数的收敛定理9.4 傅里叶级数的应用9.4.1 周期信号与频谱分析9.4.2 偏微分方程的分离变量法此为《高等数学教材下册》目录，供参考学习之用。

高等数学下教材目录

高等数学下教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的定义与性质1.2 极限的概念与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算2.2 导数的性质与应用2.3 高阶导数与泰勒展开2.4 微分的概念与计算第三章：一元函数的极值与最值3.1 极值的概念与判定3.2 求解函数的最值问题3.3 约束条件下的极值与最值第四章：定积分与不定积分4.1 定积分的定义与性质4.2 定积分的计算方法4.3 不定积分的定义与计算4.4 牛顿-莱布尼兹公式与定积分的应用第五章：多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数的定义与计算5.3 隐函数与全微分第六章：重积分与曲线积分6.1 重积分的概念与性质6.2 重积分的计算方法6.3 曲线积分的概念与计算6.4 格林公式与环流量的应用第七章：无穷级数与幂级数7.1 数列的极限与收敛性7.2 级数的收敛与发散7.3 幂级数的收敛半径与求和第八章：常微分方程8.1 一阶常微分方程的概念与解法8.2 高阶常微分方程与线性微分方程8.3 定解条件与常微分方程的应用第九章：向量与空间解析几何9.1 向量的运算与性质9.2 空间中直线与平面的方程9.3 点、直线与平面的位置关系第十章：多元函数的微分学10.1 方向导数与梯度10.2 二元函数的极值与最值10.3 二重积分的计算方法第十一章：多元函数的积分学11.1 三重积分的计算方法11.2 曲面积分的概念与计算11.3 散度与斯托克斯公式以上为《高等数学下》教材的目录。

该教材主要介绍了高等数学的核心概念、理论与计算方法。

通过学习本教材，读者将深入理解函数与极限的关系、导数与微分的应用、极值与最值的求解、定积分与不定积分的计算、多元函数与偏导数的定义等知识点。

同时，本书也探讨了重积分与曲线积分、无穷级数与幂级数、常微分方程的解法与应用、向量与空间解析几何、多元函数的微分学与积分学等内容。

读者通过系统学习本教材，将能够掌握高等数学相关领域的基本理论与方法，为进一步学习与研究提供坚实的基础。

考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）

82 第五章向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1．加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2．数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3．数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积（ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。

高等数学A-第5章-6-4(5.4 平面与空间直线(2))

例 2 求过点 M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
高等数学A
第5章空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
5.4 平面与空间直线
两直线的夹角习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1

向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)

1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；

3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式

高等数学大学所有教材目录

高等数学大学所有教材目录第一章：微积分- 微积分原理- 函数与极限- 导数与微分- 奇偶函数与对称性- 极值与最值- 微分中值定理- 泰勒展开与近似计算- 不定积分与定积分- 曲线的长度与曲面的面积- 定积分的应用第二章：向量代数与空间解析几何- 向量的概念与运算- 向量的数量积与夹角- 向量的叉积与混合积- 直线与平面的方程与位置关系- 空间曲线与曲面的方程与位置关系- 向量代数与几何应用第三章：多元函数与一元关系- 多元函数的极限与连续性- 偏导数与全微分- 多元函数的极值与最值，凹凸性- 隐函数与显函数及其导数- 多元复合函数的导数- 多元函数的泰勒展开与近似计算- 一元关系与参数方程第四章：多元函数微分学- 多元函数的向量表示与全微分- 多元函数的极值问题- 二元函数的二阶偏导数与极值- 一元函数的高阶导数与极值问题- 隐函数的高阶导数与极值问题- 多元函数的泰勒展开- 多元函数的空间曲线与曲面第五章：重积分- 重积分的概念与性质- 重积分的计算方法- 重积分的应用- 重积分的计算应用- 曲面的面积与曲线的长度- 曲面积分与曲线积分- 重积分的物理应用第六章：曲线积分与曲面积分- 曲线的参数方程- 参数方程下的曲线积分- 向量场与曲线积分- 曲面的参数方程- 参数方程下的曲面积分- 向量场与曲面积分- 曲线积分与曲面积分的物理应用第七章：常微分方程与初值问题- 一阶常微分方程- 高阶常微分方程- 线性常微分方程组- 二阶线性常微分方程的求解- 高阶线性常微分方程的求解- 常微分方程的物理应用第八章：级数与幂级数- 数列与级数的概念- 收敛与发散的判断- 正项级数与比较判别法- 交错级数与绝对收敛- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛域和展开式- 幂级数的求和与逐项求导第九章：傅里叶级数与傅里叶变换- 周期函数与傅里叶级数- 傅里叶级数的性质- 傅里叶级数的收敛性- 傅里叶级数的展开系数- 傅里叶级数的奇偶性和对称性- 傅里叶变换与傅里叶反变换- 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换第十章：线性代数- 矩阵与向量空间- 线性方程组与矩阵求逆- 特征值与特征向量- 正交矩阵与对角化- 复数域与线性变换- 内积空间与正交变换- 非线性方程组与迭代法总结：高等数学大学所有教材的目录涵盖了微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数与一元关系、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程与初值问题、级数与幂级数、傅里叶级数与傅里叶变换、线性代数等重要内容。

高等数学向量代数与空间解析几何总结

{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的夹角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |

高等数学试题库

第一章函数、极限与连续一、判断题:1．极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在。

（）2．如果)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在且相等，则)(lim 0x f x x →存在。

（）3．如果函数)(x f 在0x 处既左连续且右连续，则)(x f 在0x 连续。

（） 4．如果)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 连续。

（）5．如果函数)(x f 在0x 连续，则)(lim 0x f x x →存在。

（）6．极限 2200limy x xyy x +→→存在。

（）7．如果)(x f 在()b a ,内连续，则)(x f 在()b a ,内必有最大值和最小值。

（） 8．如果)(x f 在[]b a ,内连续，则)(x f 在[]b a ,内必有最大值和最小值。

（） 9．极限 ()e x xx -=-→1lim 0。

（）10．极限21946853lim 2323=-++-∞→x x x x x 。

（）二、填空题:1．函数1)3ln(2222-++--=y x y x y 的定义域是。

2. 函数4192222-++--=y x y x y 的定义域是。

3.若⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f 。

4. 函数 x y 2sin ln =的复合过程是。

5. 一切初等函数在其内都是连续的。

6. 设arctgx x y 2-=，则)(lim x y x --∞→= 。

7. 如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m = 。

8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，则)(lim 1x f x →= 。

9. 函数11)(2+-=x x x f 的间断点是。

《高等数学》向量代数和空间解析几何

a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面的平面.
o
y
3、空间曲线（1）空间曲线的一般方程

航空工业高等数学教材

航空工业高等数学教材《航空工业高等数学教材》摘要：航空工业高等数学教材是为航空工业领域的学生定制的一本数学教材。

本教材以航空工业领域的需求为导向，涵盖了高等数学的基础知识，并结合了航空工业的实际应用，旨在帮助学生建立良好的数学思维和解决实际问题的能力。

第一章前言航空工业高等数学教材是专门为航空工业领域的学生编写的一本教材。

随着航空工业的飞速发展，对数学知识的需求也越来越高。

本教材致力于将数学理论与航空工业实践相结合，全面介绍高等数学的基础知识，帮助学生在未来的工作中能够灵活运用数学知识解决实际问题。

第二章微分学2.1 极限与连续航空工业中的许多问题都需要用到极限和连续的概念。

本章将详细介绍数列极限、函数极限和连续函数的性质，并通过航空领域的实例来帮助学生理解和应用相关知识。

2.2 导数与微分导数是微分学的重要概念，也是航空工业中常用的数学工具。

本节将重点介绍导数的定义、计算方法和常见性质，并结合航空工业中的实际问题进行应用。

第三章积分学3.1 不定积分积分是微分学的重要补充，对于航空工业领域的学生来说，掌握积分的概念和计算方法至关重要。

本章将介绍不定积分的定义、性质和计算方法，并通过航空工业的案例进行实际应用。

3.2 定积分与航空工业定积分在航空工业中有着广泛的应用。

本节将从航空工业的角度介绍定积分的概念和计算方法，并通过解决实际问题来展示其重要性。

第四章微分方程航空工业中很多问题都可以用微分方程来描述和求解。

本章将介绍常微分方程的基本概念和解法，并通过航空工业的案例来帮助学生理解和应用微分方程。

第五章向量代数与空间解析几何向量代数和空间解析几何是航空工业中常用的数学工具。

本章将详细介绍向量的概念、运算规则和几何表示方法，并结合航空工业的实际问题进行应用。

第六章多元函数微分学航空工业中的许多问题需要用到多元函数微分学的知识。

本章将介绍多元函数的概念和性质，重点讲解偏导数、全微分和导数的应用，并通过航空工业的案例进行实际演练。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

证
M1M 2 M 2M3
7 4 1 3 2 1
2 2
2
14 ，
5 7 2 1 3 2
2 2
2
6， 6，
M 3 M1
4 5 3 2 1 3
组成了空间直角坐标系.
z 竖轴
z
原点O
y 纵轴
x
O
y
横轴 x
图5-2
图5-3
5
一、空间直角坐标系
第五章向量与空间解析几何
三条坐标轴中的两条可确定一个平面称为坐标面：xOy, yOz, zOx 平面，它们把空间分成了八个卦限，在 xOy 面上逆时针依次为Ⅰ、Ⅱ、III、IV 卦限，下面依次为 V、VI、VII、Ⅷ表示，如图 5-4 所示.
记为 M x, y, z .
z
z y x ▲▲▲
图5-5
7
一、空间直角坐标系
第五章向量与空间解析几何
反之，已知一有序数组 x 、 y 和 z ，我们可以在 x 轴、 y 轴和 z 轴上分别取坐标为 x 的点 P ，坐标为 y 的点 Q ，坐标为 z 的点 R ，过三个点分别作垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴的三个平面，它们相交于一点 M ，这 M 即为以 x 、 y 和 z 为坐标的点，所以通过直角坐标系，我们建立了空间点 M 与有序数组 x 、 y 和 z 的一一对应关系，见图 5-6.
4、自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量.
4
一、空间直角坐标系
第五章向量与空间解析几何
过空间一个定点 O ，作三条互相垂直的数轴（见图 5-2），它们都以 O 为原
点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）、统称坐标轴. 其正向符合右手规则（见图 5-3）. 这样的三条坐标轴就
2 2
2
即 M 2 M 3 M 3 M1 ，因此该三角形是等腰三角形.
11
一、空间直角坐标系
第五章向量与空间解析几何
例 2 在 z 轴上求与两点 A 4,3,1 和 B 3,5, 2 等距离的点.
解设所求点的坐标为 M 0,0, z ，由 AM BM ，即
在 y 轴上： z x 0 ，点的坐标为 Q(0, y,0) ；
z B(0,y,z) r M y Q(0,y,0) A(x,y,0)
在 z 轴上： x y 0 ，点的坐标为 R(0, 0, z ) .
C(x,0,z) O x P(x,0,0)
图5-6
9一、空间直角坐标系 Nhomakorabea第五章向量与空间解析几何
z z 2 M
1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
.
z1
M2
图5-7
x
▲▲▲
x2
x1 O
y1
y2 y
10
一、空间直角坐标系
第五章向量与空间解析几何
例 1 证明以点 M1 4,3,1 、 M2 7,1,2 及 M3 5,2,3 为顶点的三角形是等腰三角形.

2

0 4 0 1 z 7
2 2 2
3 0 5 0 2 z ，
2 2
得z
14 ，因此所求点的坐标为 M 0, 0, 14 . 9 9
1、向量的表示：以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段表示的向量记为 M1M 2 ，有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图 5-1），如 a 或 a .
e M1 a M2
图5-1
3
课前导读
2、向量的模：向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作 a ， M1M 2 .模为 1 的向量称为单位向量，记作 e . 模为 0 的向量称为零向量，记作 0 . 零向量的方向可以看作是任意方向. 3、向径：以原点 O 为始点，向一点 M 引向量 OM ，这个向量叫做点 M 对于点 O 的向径，记作 r ，即 r OM .
设 M1 x1, y1, z1 、 M 2 x2 , y2 , z2 为空间两个点（见图 5-7），通过 M 1 、 M 2 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以 M 1 、 M 2 为对角线的长
方体，由此可得 d M1M 2
即
2
2 2 2 2 d M1M 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 ，
第五章向量与空间解析几何
Advanced mathematics
第五章
向量与空间解析几何
高等数学
1
第五章向量与空间解析几何
第五章
内容导航
第一节向量及其运算第二节平面及其方程第三节直线及其方程第四节曲面与曲线
2
课前导读
既有大小又有方向的物理量称为向量. 在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向.
z
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ Ⅰ
0
图5-4
Ⅷ
▲▲▲ x
y
Ⅵ Ⅴ
6
一、空间直角坐标系
第五章向量与空间解析几何
对于空间一点 M ，过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴，它们 x 轴、 y 与 x 轴、 y 轴和 z 轴的交点依次为 P 、 Q 和 R （见图 5-5），这三点在轴和 z 轴上的坐标为 x 、 y 和 z ，则这组有序数 x 、 y 和 z 称为点 M 的坐标，
R z r O x P M y Q
8
图5-6
一、空间直角坐标系
我们先来看几个特殊点的坐标：在 xOy 平面上： z 0 ，故对应点的坐标为 A( x, y,0) ；
第五章向量与空间解析几何
在 yOz 平面上： x 0 ，故对应点的坐标为 B(0, y, z) ；在 zOx 平面上： y 0 ，故对应点的坐标为 C ( x,0, z) . 在 x 轴上： y z 0 ，点的坐标为 P( x,0,0) ； R(0,0,z)