四川省成都七中17级高三数学高考热身考试数学理(含答案)word版

成都七中2017届高考适应性考试数学（理科）试题时间:120分钟 满分:150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． （1）已知全集U =R ，集合{}22M x x =-≤<和{}21,N y y k k Z ==-∈的关系的 韦恩()Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（A ）3个 （B ）2个（C ）1个 （D ）0个（2）圆22:(1)5M x y -+=上点到直线290x y -+=的最短距离为 （A ）0（B ）5（C）（D（3）已知数列{}n a 的满足：21()n na n a *+=-∈N ，若121,2a a ==，则36a a += （A ）3（B ） 9 （C ） 1 （D ）0（4）已知实数,x y 满足220,2,1,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则342z x y =+-的最大值为 （A ）8 （B ）6 （C ）5 （D ）1（5）函数2()23f x x ax =-+在区间[]2,4-的值域为[](),(4)f a f ，则实数a 的取值范围为 （A ）[]2,1- （B ）(]2,1-（C ）(],1-∞ （D ）[]2,2-（6）把cos(2)13y x π=--的图象经过某种平移得到sin(2)2y x π=+的图象，则平移方式可为 （A ）按(,1)6=πa 平移（B ）按(,1)()6=k k Z ππ-∈a 平移（C ）先向右平移3π个单位再向上平移1个单位 （D ）先向左平移6π个单位再向下平移1个单位（7）设,a b R ∈,()212ia b i -+-=（i 为虚数单位）,则limn n nnn a b a b→+∞=-+（A ）1 （B ）1- （C ）1-或1 （D ）不存在 （8）若,2k k Z παβπ+≠+∈，则“sin sin(2)βαβ=+”是“sin 0α=”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90︒，再焊接而成（如图）。

设水箱底面边长为x 分米，则（A ）水箱容积最大为8立方分米 （B ）水箱容积最大为64立方分米 （C ）当x 在()0,3时，水箱容积()V x 随x 增大而增大（D ）当x 在()0,3时，水箱容积()V x 随x 增大而减小（10）在ABC △中，AB BC AB BC -==，则以A B 、为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（A ）221+ （B ）（C ） 21+ （D ）31+（11）将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为（A ）900 （B ）1500 （C ）1800 （D ）1440 （12）已知球O 的表面积为16π，球心O 在大小为3π的二面角l αβ--的内部，且平面α 与球O 相切与点M ，平面β截球O 所得的小圆O '的半径为1，若点P 为圆O '上任意一点， 记M P 、两点在该球面上的球面距离为d ，则下列结论正确的是 （A ）当d 取得最小值时，O P '与OM 所成角为3π（B ）当d 取得最小值时，点P 到平面α（C ）d 的最大值为2π （D ）d 的最大值为53π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．（13）(12)n x +的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为________． （14）抛物线2y =的焦点与双曲线22214m yx-=的右焦点重合，则该双曲线的虚轴长等于________．（15）已知二面角PQ αβ--为3π，A α∈，B β∈，C PQ ∈， R 为线段AC 的中点，6ACP BCP π∠=∠=，2CA CB ==，则直线BR 与平面α所成角的大小为________．（16）下图展示了一个由区间(0,4)到实数集的变换过程：区间(0,4)中的实数对应数轴上的点M （如图1），将线段AB 围成一个正方形，使两端点A B 、恰好重合（如图2）， 再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上，A 点的坐标为(0,4)（如图3），若图3中直线AM 与x 轴交于点(,0)N n ，则点M 的变换结果就是点N ， 记作()f m n =.现给出以下命题：①(2)0f =；②()f x 的图象的对称中心为(2,0)；③()f x 为偶函数；④关于m 的不等式()4f m ≤的解集为}{12m m ≤≤；⑤若数列1(3)()n a f n n*=+∈N ，则{}n a 为等比数列．其中所有正确命题的番号应是 ．三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知向量2(2cos x =m ，(1,sin 2)x =n ，函数()f x =m n ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ， 且b a >，求b a ,的值．（18）（本小题满分12分）如图，正方形ABED 、直角梯形EFGD 、直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，AC DG EF ．且2DA DE DG ===，1AC EF ==. （Ⅰ）求证：四点B C G F 、、、共面； （Ⅱ）求二面角D BC F --的大小；（19）（本小题满分12分）某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是21，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为x 元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额ξ的分布列和数学期望E ξ，并以此测算x 至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？20．（本小题满分12分）已知函数()(1)f x kx k =>，数列{}n a 满足*1=()(2) n n a f a n n -∈≥N 且 （Ⅰ）若*12,1,()n n k a c na n ===∈N ，求数列{}n c 的前项和n T ；（Ⅱ）记12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，对于给定的正整数m ，如果(1)m n mnS S +恒为定值（与n 的变化无关），求k 的值．（21）（本小题满分12分）已知P 是圆16)1(:221=++y x F 上的动点，点)0,1(2F ，线段2PF 的垂直平分线与半径P F 1交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）已知点)23,1(M ，B A ,在曲线E 上，且λ=+（R ∈λ，O 是坐标原点）. ①求直线AB 的斜率；②求证：当MAB ∆的面积取得最大值时，O 恰好为MAB ∆的重心.（22）（本小题满分14分）设函数()l n ()l n (f x x x a x a x =+--其中0,a e >为自然对数的底数，2.71828e ≈.(Ⅰ)当1=a 时，求函数)(x f 的最小值；(Ⅱ)证明：对任意正数12,x x ，都有[]2ln )ln()(ln ln 21212211-++≥+x x x x x x x x ； (Ⅲ)若121=∑=ni ix，证明：2*1ln ln 2(,)nn i i i x x i n =≥-∈∑N .成都七中2017届高考适应性考试数学（理科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）（9）解：设箱底边长为x，则箱高62xh-=，则231(6)(06)2V x x x=-<<，23602V x x'=-=解得0x=（舍），4x=，(0,4)x∴∈时，()V x单增，故选C（10）解：由题知，120ABC∠=︒，设||2AB c=，由余弦定理AC=，由双曲线的定义有||||2CA CB a-=，22c a∴-=，∴e= B（11）解：第一步先将5人分成3组，再全排，有22335353()2C CC A⋅+⋅种，第二步，另两个空房间插空，有24C种，∴总共有22335353()2C CC A⋅+⋅24C=900种，故选A（12）解：球半径2R=,小圆O'的半径为1，∴||OO'=3OPOπ'∴∠=,6POOπ'∴∠=当d取得最小值时 ,//MA O P',O P'与OM所成角为6π,故A错；点P到平面α的距离为2，故B错当d取得最大值时,5236MOPπππ∠=+=,∴d的最大值为53π,故选D.二、填空题：（每小题4分，共16分）（13）16x；（14）（15）4π；(16)①②⑤．（15）（参见高二下B P57,6题第3小题）（16)故选①②⑤三、解答题：（本大题共6小题，共74分）(17) 解：（Ⅰ）22()(2cos(1,sin2)2cosf x x x x x==⋅=m n()cos2122sin(2)16f x x x xπ==+=++m n………4分∴函数()f x 的最小周期22T ππ== ………6分（Ⅱ）31)62sin(2)(=++=πC C f ，∴1)62sin(=+πCC 是三角形内角，∴262ππ=+C ，∴6π=C ………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C ，∴722=+b a ………10分 将32=ab 可得：71222=+aa ，解得：432或=a ∴23或=a ,∴32或=bb a >,∴2=a ，3=b ………12分（18）（Ⅰ）证明：由正方形ABED 、直角梯形EFGD 、直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，易证：AD 、DE 、DG 两两垂直，建立如图的坐标系，则 A （0，0，2），B （2，0，2），C （0，1，2）， E （2，0，0），G （0，2，0），F （2，1，0）(2,1,0)(2,0,2)(0,1,2)BF =-=-(0,2,0)(0,1,2)(0,1,2)CG =-=-∴BF CG =，即四边形BCGF 是平行四边形.故四点B 、C 、F 、G 共面. ………4分也可用几何法：取DG 的中点M,连结FM,BF ，证BF AM CG 即可．（Ⅱ）(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)FG =-=-， 设平面BCGF 的法向量为1(,,)x y z =n ,则1120,2,20CG y z y FG y x ⎧⋅=-=⎪=⎨⋅=-=⎪⎩n n 令则1(1,2,1)=n ， 设平面DBC 的法向量2(,,)x y z =n ；且(2,1,0)BC =- ,(0,1,2)DC =则2220,2,20BC x y y DC y z ⎧⋅=-+=⎪=⎨⋅=+=⎪⎩ 令n n 则2(1,2,-1)=n 1212122cos ,3∙== n n n n n n ，122,arccos 3=n n故二面角2arccos 3D BC F --等于． ………12分（19）解：（I ）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则（法一）4237)(393415242514=++=C C C C C C A P ．（法二）353937()142C P A C =-=． 即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为4237． …………5分 答：选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为4237．（II ）设顾客抽奖的中奖中奖奖金总额为ξ，则ξ=0,,2,3x x x ，于是81)211()211()211()0(=-⨯-⨯-==ξP ， 123113()(1)228P x C ξ==-⨯=，223113(2)(1)()228P x C ξ==-⨯=，1111(3)2228P x ξ==⨯⨯=，∴ 顾客中奖次数的数学期望1331302388882E x x x x ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………10分 设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则32x ≤180，解得x ≤120， 即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．………12分 答：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本． （20）解：（Ⅰ）1=2(2) n n a a n -≥，∴{}n a 为等比数列，公比12,1,q a ==∴12n n a -=，12n n n c na n -== …………3分,22)1(23222112210--⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ①n n n n n n n T 22)1(2)2(22212122⋅+⋅-+⋅-++⋅+⋅=-- ，②①－②得n n n n n T 222221122⋅-+++++=--- ，(1)21n n T n =-⋅+. …………6分 （Ⅱ）∵()(1)f x kx k =>，12a =，且1()n n a f a +=，∴1n n a ka +=．∴数列{}n a 是首项为2，公比为k 的等比数列，∴12n n a k -=． ∴ln ln 2(1)ln n n b a n k ==+-．∵1ln n n b b k --=，∴{}n b 是首项为ln2，公差为ln k 的等差数列． ∴n S 1()(1)[ln2ln ]22n b b n n n k +-==+． …………10分 ∵ (1)[(1)1](1){ln 2ln }(1)[(1)ln 2ln 2ln ]2(1)[ln 2ln 2ln ][ln 2ln ]2m nmnm n m n k S m m n k k mn S m mn k k mn k ++-+++++-==-+-+， 又∵(1)m n mnS S +恒为定值（即与n 的变化无关），∴2ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2ln 0ln (1)ln k k k mn k m n k--=⇒-=+，解得4k =． …………12分（21）解：（Ⅰ）由题意4|||,|||12==P F QF QP ，121112||||||||||4||2QF QF QF QP F P F F ∴+=+==>=由椭圆的定义知，Q 的轨迹是以)0,1(),0,1(21F F -为焦点，半长轴为2，半焦距为1的椭圆，曲线E 的方程为13422=+y x ………4分 （Ⅱ）①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由MA MB OM λ+= 得12122332x x y y λλ+=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x y x ,两式相减得21233243432121-=++⋅-=++⋅-=λλy y x x k AB ………6分 ②设AB 的直线方程为12y x t =-+， 联立222234123012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⇒-+-=⎨=-+⎪⎩ 23(4)022t t ∆=->⇒-<<,212122,3,x x x x t +==-12||AB x =-=P 到直线AB 的距离5|24|t d -=)|2|22MAB S t t ∆=--<< ………8分 求最值的方法一： ()231()(2)(63)224MABSf t t t t ∆==-+-<<，92S ≤用导数法 (此处略)可得max 81()(1)4f t f =-=．29≤∴S ． ………11分方法二：4814)36()2()2()2(41)36()2(41432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-≤+-=∆t t t t t t SMAB29≤∴S 当且仅当t t 362+=-，即1-=t 时取等号 11分 由韦达定理得：12,12121-=+=+∴-==+λx x t x x ,3-=∴λ.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-=++=++=++∴032332333232333230312121λy y x x 故O 是MAB ∆的重心. ………12分（22）解：解：(Ⅰ)1=a 时，)10()1ln()1(ln )(<<--+=x x x x x x f则xxx x x f -=--='1ln)1ln(ln )(；令0)(='x f 得21=x当210<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 在)21,0(是减函数；当121<<x 时，0)(>'x f ，)(x f 在)1,21(是增函数；∴)(x f 在21=x 时取得最小值，即21ln )21(=f ………4分(Ⅱ) ∵[]2ln )ln()(ln ln 21212211-++-+x x x x x x x x12121122121212121222lnln 2ln ln 2ln lnx x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++=+++++ 121122121212122222()(ln ln )2x x x x x x x x x x x x x x +=+++++ 222212211=+++x x x x x x，不妨设b x x x -=+12211（其中10<≤b ），则b x x x +=+12212原式12()[(1)ln(1)(1)ln(1)]2x x b b b b +=--+++ 12()[ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)]2x xb b b b b b +=-++++--2121()[ln(1)ln ]21x x b b b b ++=-+-=]11ln )1)(1)[ln(2(21bb b b b x x -+++-+12(1)()[ln(1)(1)ln ]2(1)b b x x b b b b ++=-++-=1121)1()1(ln )2(-+-++b b b b x x +-+∈≥-+R x x b b b b 2111,,1)1()1( ，0)1()1(ln )2(1121≥-++∴-+b b b b x x 0]2ln ))[ln((ln ln 21212211≥-++-+∴x x x x x x x x]2ln ))[ln((ln ln 21212211-++≥+∴x x x x x x x x ………8分(Ⅲ)证法一：数学归纳法①当1=n 时，由(Ⅱ)知命题结论成立； ②假设当)(,*N k k n ∈=时命题成立；即若12321=+++k x x x x ，则k k k x x x x x x x x 2ln ln ln ln ln 22332211-≥+++ 当)(,1*N k k n ∈+=时，11212321,,,++-k k x x x x x 满足111212321=++++++-k k x x x x x 设11112212122211ln ln ln ln )(+++++++=--k k k k x x x x x x x x x F由(Ⅱ)得]2ln ))[ln((]2ln ))[ln(()(11112122122121-+++-++≥++++--k k k k x x x x x x x x x F1111111212123212212212()ln()()ln()()ln2k k k k k k x x x x x x x x x x x x x ++++++---=+++++-++++ =2ln )ln()()ln()(11112122122121-+++++++++--k k k k x x x x x x x x即)(,1*N k k n ∈+=时命题成立.；由①②可知，2*1ln ln 2(,)nniii x x i n =≥-∈∑N .证法二：若12321=+++n x x x x由(Ⅱ)可得]2ln ))[ln((]2ln ))[ln((2122122121-+++-++--n n n n x x x x x x x x=2ln )()ln()()ln()(2123212122122121n n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++-+++++--- =2ln )ln()()ln()(2122122121-+++++--n n n n x x x x x x x x2ln 2)ln()()ln()(21221243214321-+++++++++≥--n n n n x x x x x x x x x x x x2ln )1(2ln )ln()(23212321---++++++≥≥n x x x x x x x x n n =n 2ln -.……14分附：理科备选题22.已知函数x x x f -+=)1ln()(（Ⅰ）求证：对任意的20,()a f x ax >≤； （Ⅱ）证明：)(,1342312)1ln(*2222N n nn n ∈+++++≤+ ； （Ⅲ）求证：对任意的2221,2()202x x t R e t e x x t ∈-+++-≥.22.解（Ⅰ）只需证明)(x f 的最大值为0即可111)(-+='xx f ， 令0)(='x f ，得0=x ，当01<<-x 时，0)(>'x f ，当0>x 时0)(<'x f0=∴x 是)(x f 唯一的极大值点，故0)0()(max ==f x f ,∴()0f x ≥20,1,0a a ax >>-∴≥ ，从而2()(1)f x ax x ≤>- 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）当1->x 时，2)(x x f ≤，即)1()1ln(2x x x x x +=+≤+令n x 1=得21ln )1ln()11ln(nn n n n +≤-+=+ 1221ln 2ln ≤-∴ 2232ln 3ln ≤- 21ln )1ln(nn n n +≤-+ 由上面n 个不等式相加得)(,1342312)1ln(*2222N n n n n ∈+++++≤+ 9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）当1->x 时 x x ≤+)1ln(，即1≥-x e x []2)()(22)()(22)()(2)(2122222x t t e x t t e x t t e x e x x x x -+-⨯≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-+-=-≤∴ 22222222)(222t x x e t e t tx x t te e x x x x +++-=+-++-=0212)(2222≥-+++-∴t x x e t e x x 14分 21.（本题满分14分）已知函数()ln f x x x x =+．（1）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；（2）若Z k ∈，且()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，求的最大值；（3）当4n m >≥时，证明()()m nn m mn nm >． 22.（1）解：因为()ln 2f x x '=+，所以()12f '=，函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程21y x =-； ……3分（2）由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立， ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-， 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x -'=-=>，()h x 在()1,+∞上单调递增． 因为()()31ln30,422ln20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈． ………5分当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>， 所以函数()ln 1x x x g x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min 001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--． 所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数的最大值是3． ………8分。