第七章剪切和扭转

第七章 剪切和扭转
§ 7-1 剪切的概念
在工程实际中，有许多起连接作用的部件，如图17-所示各种常见连接中的螺栓、铆钉、销轴、键，这些起连接作用的部件，称为连接件，它们都是剪切变形的工程实例。

图7—2（a ）所示的铆钉连接中，钢板受力后，通过钢板与铆钉的接触面，将力传递到铆钉上，使铆钉受力如图（b ）所示。

此时，铆钉受到一对垂直于杆轴线、大小相等、方向相反、作用线相距很近而不重合的平行外力的作用。

随着力的逐渐增大，铆钉的上、下两部分将会分别沿着外力的方向移动，从而发生沿着两作用力之间的截面相对错动的变形，这种变形即为剪切变形。

当外力足够大时，铆钉可能会沿着mm 截面被剪断，如图7—2（c ）所示。

在剪切变形中，发生相对错动的面，称为剪切面。

剪切面平行于作用力的方向，介于使连接件产生剪切变形的二力之间。

§ 7-2 连接接头的强度计算
工程上通常采用实用计算方法来分析连接件的强度计算 一、剪切的实用计算 二、挤压实用计算
连接件在受剪切的同时，往往伴随着挤压，如图7—4所示。

作用于挤压面上的力，称为挤压力，用C F 表示。

挤压面积用C A 表示。

挤压力在挤压面上的分布集度称为挤压应力，用C σ表示。

挤压应力的实际分布很复杂。

在实用计算中，假定挤压应力在挤压面上是均匀分布的。

【例7—1】 如图7—5所示铆接钢板的厚度10=δmm ，铆钉直径17=d mm ，铆钉的许用剪
应力
[]τ=140MPa ，许用挤压应力[]320
=C σMPa ，=P 24kN ，试作强度校核。

解：（1）剪切强度校核
由铆钉的受力情况可知，每个铆钉只有一个剪切面，剪力P Q
=，故
=τ8.105=（2C =σ
工程中有很多扭转变形的杆件，如汽车方向盘的轴，当在方向盘平面内用两手施加一个力偶时，轴的下端则受到转向器负载的反力偶作用。

因此，轴会产生扭转变形。

拧自来水开关时，当水龙头已经关上后，若继续拧，则竖向的轴会在手施加的力偶和另一端的约束反力偶的共同作用下产生扭转变形。

杆件扭转时，常常还伴有其它形式的变形，这里只介绍圆轴的扭转变形。

§ 7-4 扭矩的计算 扭矩图
一、外力偶矩 二、扭矩 扭矩图
圆轴在外力偶矩的作用下，将在截面上产生内力。

截面上的内力可用截面法求出。

对该段轴列平衡方程：
∑=0x
m
-m x M =0 得 x M =m
为了使从两段轴上求出的扭矩具有相同的正负号，对扭矩的正负号按右手螺旋法则规定如下：以右手拇指表示截面外法线方向，若扭矩的转向与四指的握向相同则为正；反之为负。

【例7—3】 传动轴如图7—9（a ）所示。

已知其转速为150
min /r ，主动轮输入的功率
44=B N kW ，从动轮输出功率分别为25=A N kW ，19=C N kW 。

试作出此传动轴的扭矩图。

解：传动轴的转动方向与主动轮的外力偶方向相同，从动轮的外力偶转向与轴的转向相反。

各扭矩的转向如图（b ）所示。

（1）计算各轮上的外力偶矩
159015025
9550=⨯
=A m m N ⋅59.1=m kN ⋅ 280115044
9550=⨯=B m m N ⋅8.2=m kN ⋅
121015019
9550=⨯=C m m N ⋅21.1=m kN ⋅
（2）求各段截面的扭矩
沿截面1—1截开，取左侧部分为研究对象，求轮C 至轮B 间截面上的扭矩1x M 。

0=∑m 01
=-C x m M
C x m M =121.1=m kN ⋅
同理可得： A x m M -=259.1-=m kN ⋅
（3）作扭矩图如图（c ）所示
§ 7-5 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时的应力
为了分析圆轴扭转时的应力，必须从研究变形入手，考虑圆轴变形的几何关系、物理关系和静力学关系。

根据以上的实验，可以对圆轴扭转现象作出以下基本假设： （1）扭转的平面假设 （2）相邻横截面的间距不变
图7—13
1.几何关系
2.物理关系
在弹性范围内，由剪切虎克定律可知，剪应力τ与剪应变γ成正比，即由剪应力τ与剪应变γ所表达的物理关系为： γτG =
将式（7—7 a ）代入上式，即得 dx
d G ϕ
ρτρ= 式（77-b ） 3. 静力学关系 二、圆轴扭转时的变形
由前面扭转变形的基本公式)77(c -
p
x
GI M dx d =
ϕ 可得：相距dx 的两横截面间的扭转角
dx GI M d p
x
=
ϕ 则相距l 的两横截面间的扭转角为 ⎰
=l
d ϕϕ=
dx GI M l
p
x ⎰0p
x GI l
M =
即： p
x GI l
M =
ϕ 式（97-） 扭转角ϕ的单位为弧度（rad ），转向与扭矩x M 的转向相同。

当x M 、l 一定时，ϕ与
p GI 成反比。

p GI 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。

【例7—5】 一轴
AB 传递的功率k N 如图7—15所示。

已知30=D mm ，d 解：（1）计算扭矩
轴上的外力偶矩为：
3605
.795509550
=⨯==n N m k 扭矩为： 199==m M x
m N ⋅
（3） 计算极惯性矩
（4）计算应力
【例7—6】 如图7—16所示的实心圆截面轴，直径70=d mm ，第一段的长度4.01=l m ，
第二段的长度6.02=l m ，所受的荷载如图所示。

材料的剪切弹性模量4108⨯=G MPa 。

求轴的
扭转角ϕ。

解：（1）求得两段中的扭矩分别为： （2）计算截面几何参数 （3）计算扭转角
8
6433221110
236101086.0108.04.0106.1-⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-=+=p x p x GI l M GI l M ϕ00085.0-=rad
§ 7-6 圆轴扭转时的强度和刚度条件
一、强度条件
二、刚度条件
【例7—7】 某传动轴如图7—17转速120=n
min /r 解：（1）求内力
95509550
===n N m M k x KN m N ⋅=⋅⨯=41043（2）判断危险截面和危险点（3）计算抗扭截面系数 （4）强度校核
故强度条件满足。

【例7—8】 一电机的传动轴的直径40=d
mm ，最大扭矩204max =x M m N ⋅，许用应力
[]40=τMPa ，剪切模量4108⨯=G MPa ，单位长度许用扭转角[]/2︒=θm 。

试校核此轴的强
度和刚度。

解：（1）计算截面几何参数
（2）计算最大剪应力和最大单位扭转角 （3）强度和刚度校核
[]ττ<max []θθ<max
故强度和刚度条件都满足。

小 结
（1）剪切强度条件：A
Q
=
τ
[]τ≤ （3）扭矩：圆轴扭转变形时，其横截面上的内力偶矩称为扭矩，记为n M 。

轴上某一横截面的扭矩等于这个截面的任意一侧所有外力偶矩的代数和。

扭矩的正负号按右手法则确定。

（4）圆轴扭转时的剪应力：
（5）相对扭转角的计算公式 p
x GI l
M =
ϕ （6）圆轴扭转时的强度条件
（7）圆轴扭转时的刚度条件
第七章练习
一、思考题
7—1 什么是剪切面
7—4 对轴的承载能力考虑，图示圆轮上，三个齿轮怎样布置比较合理
二、填空题
7—1 剪切变形的受力特征为：受有一对垂直于杆件轴线的、大小 、方向 、作用
线相距很近的平行外力的作用。

7—2 对扭矩正负号的规定是右手螺旋法则：以右手拇指表示截面外法线方向，扭矩与四指的握向
时为正值； 时为负值。

三、选择题
7—1 圆环形截面的内径为d ，外径为D ，D
d
=
α，则其对圆心的极惯性矩p I 和抗扭截面模量n W 的公式中，错误的是（ ）：
7—2 关于剪切面上的剪应力分布情况，以下说法错误的是（ ）：
）：
）：
选择题7—4图四、计算题。