指对数运算及指数对数函数专题
(指对幂函数)专题复习
(指对幂函数)专题复习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN指对幂函数一、 指对数运算 【知识点】 1、指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a _____)(=s r a ______)(=r ab)1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm ，2、 对数计算公式：)0,0,10(>>≠>M N a a 且（1） 指对数互化：N a x =_______⇔（2） _____1log =a _____log =a a ______log =n a a ______log =n a a （3） _____log log =+N M a a _____log =n a M_____log log =-N M a a _____log =M m a（4） 换底公式：_____log =b a （常用：a bb a lg lg log = a b ba log 1log =）【练习一】 指对数的运算 1、计算下列各式的值 （1）3log 9log 28 （2）)]81(log [log log 345（3）2log 4log 3log 432⋅⋅ （4）)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-（5）74log 217+14log 501log 2log 235log 55215--+2、解下列方程（1）2327log x = （2）0)(log log 25=x3、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===二、 指数函数和对数函数的图像和性质 【知识点】注意：指数函数a =y 与对数函数x y a log =互为反函数，则它们的图象关于_____________对称 【练习二】指对数函数的图像与性质题型一、求函数经过的定点1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、3)2(log )(f ++=x x a )10(≠>a a 且过定点_____________ 题型二、指对数函数的图像 1．函数)1(log 21-=x y 的图象是（ ）2．在同一坐标系中画出函数y ＝l og a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )．题型3 、函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性） 1、x 6log 21y -=函数的定义域为_____________2、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为3、函数23)(+=x x f 在区间[1-，2]上的值域为________________4、函数y ＝xx+-22log 2的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称5、已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(f 3x x x x x ，则f(f(91))=_________6、已知函数)1(log )(f +=x x a ,)1(log )(x x g a -=)10(≠>a a 且 （1）请判断函数)()(f x g x +的奇偶性并证明 （2）求使0)(f >x 成立的x 的取值范围7、已知函数2()131x f x =-+.（1）求函数()f x 的定义域，并证明函数f (x )在其定义域上都是增函数. （2）判断)(x f 的奇偶性（3）解不等式()2(31)230f m m f m -++-<.【练习三】利用单调性解不等式（注意定义域）1．不等式1622<-+x x 的解集是 ．2．若2log 13a <，则a 的取值范围是__________________________________3．不等式)65(log )32(log 22->+x x 的解集是____________________________ 【练习四】比较大小（借助中间量0和1）1.三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A. 60.70.70.7log 66<< B. 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<< 三、幂函数的图像与性质 【知识点】函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图像和规律如下：（1）图像都过定点___________（2）单调性: 如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上单调递____．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上单调递_____.( 3)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．(如果指数是分数，需写成根式去判断)【练习五】幂函数的图象与性质1、函数25)(f x x =的定义域为________. 从奇偶性上看，它是一个___________函数.2、如果幂函数f(x)的图象经过（2，81），则f(3)=____________3、已知函数12+=m x y 在区间()+∞,0上是增函数，实数m 范围为 .参考答案练习一 1、（1）32（2）0 （3）1 （4）-9a （5）42、（1）x=9 （2）x=23、34练习二 题型1 1、（1，-1） 2、（-1，3） 题型2 1、D 2、D题型3 1、），（60 2、{a|a>0} 3、]11,37[ 4、A 5、916、解：)1(log )1(log )(g )()(F 1x x x x f x a a -++=+=）令（ 函数为奇函数而关于原点对称，的定义域为故函数得则由∴=-++=+++-=--<<-⎩⎨⎧>->+)()1(log )1(log )1(log )1(log )(F ),11()(F ,110101x x F x x x x x x x x a a a a }01|x {,1a 0}0|x {x ,1a }01|x {,1101x 1,a 0}0|x {1101x 0a 1log 0)1(log 0)(f 2<<-<<>><<-⎩⎨⎧<+>+<<>⎩⎨⎧>+>+>=>+∴>x x x x x x x x x a a 的取值范围为；当的取值范围为综上，当求得则②若求得则①若∵）（)23(f )32(f )13(f )(f )(f 0)32(f )13(f 3),(f )(f 13131321)(f 313113113113131321)(f R )(f 2R )(f )(f )(f 0)(f )(f 013013033x )13)(13()33(2132132)1321()1321()(f )(f ,x x ,x x R R,)(f 17222121x x 21212121212121211221m m m m x x m m m x x x x x x x x x x x x x x x x x xxx x xxx x x x x x x x x x x -=--<+-∴-=-<-++--=-∴+-=+-=+-=+-=+-=+-=-∴<<-∴>+>+<-∴<++-=+-+=+--+-=-<---且）（原函数为奇函数而关于原点对称，的定义域为∵）（上递增在即，而∵则并设和上任取在定义域的定义域为）、解（ ３２求得－１＜ｍ＜－ｍ＋１＜３－２ｍ，在Ｒ上递增，３ｍ∵２)(f x练习三 1、{x|-2<x<1} 2、{a|a>1或0<a<32} 3、{x|356<<x } 练习四 1、D练习五 1、[)+∞,0 非奇非偶 2、271 3、}21|{->m m。
指数、对数函数专题(强烈推荐)
专题 ：指 数 和 对 数第一部分：指数、对数运算一，指数运算1，运算法则（建议学生掌握语言叙述）===÷=⋅r sr s r s r ab a a a a a )()(2，分数指数幂=nm a3，化简⎩⎨⎧=a aa nnZ k k n Z k k n ∈+=∈=,122，例题练习：1、用根式的形式表示下列各式)0(>a（1）51a = （2）34a = （3）35a -= （4）32a -=2、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）34y x = （2）)0(2>=m mm（3）= （4）= ； （5）a a a = ；3、求下列各式的值（1）238= ；（2）12100-= ； （3）31()4-= ；（4）3416()81-=（5）122[(]-= （6）(1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦= （7）=32644.化简（1）=••1274331aa a （2）=÷•654323a a a （3）=÷-•a a a 9)(34323（4）322aa a •= （5）3163)278(--b a =5.计算（1）43512525÷-(2) （3）210319)41()2(4)21(----+-⋅-()5.0212001.04122432-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （5）48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π二，对数运算 运算法则：=====NMaM M M M MN a n a n a a N a log 3log )(log )(log ,2,121log ， 倒数公式）换底公式）1log (,6log ,5log (,4===b b b a n a a m对数习题练习：一、选择题1、以下四式中正确的是（ ）A 、log 22=4B 、log 21=1C 、log 216=4D 、log 221=41 2、下列各式值为0的是（ ）A 、10B 、log 33C 、（2－3）°D 、log 2∣－1∣ 3、251log 2的值是（ ）A 、－5B 、5C 、51D 、－514、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ）A 、25B 、3C 、10D 、15、设N ＝3log 12＋3log 15，则（ ）A 、N ＝2B 、N ＝2C 、N ＜－2D 、N ＞2 6、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ） A 、 a >5或a <2 B 、 25<<a C 、 23<<a 或35<<a D 、 34<<a7、 若log [log (log )]4320x =，则x -12等于（ ） A 、 142 B 、122 C 、 8D 、 48、334log的值是（ ） A 、 16 B 、 2 C 、 3 D 、 49、 nn ++1log（n n －＋1）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2D 、－2二、填空题10、用对数形式表示下列各式中的x10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x =61：＿＿＿＿ 11、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________12、Log 155=m,则log 153=________________13、14lg 2lg 2+-＋∣lg5－1∣＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 14．（1）．12a a-=, 则 log 12 3=（2）．6log 18log )3(log 2626+= ． （3）____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+； （4）5log 38log 932log 2log 25333-+- =________ （5）25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅=__________15 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 19、 3a ＝2，则log 38－2log 36＝________16、 若2log 2,log 3,m n a a m n a +===_______ 21、 lg25+lg2lg50+(lg2)2=三、解答题17、求下列各式的值⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶252log 1 ⑷373log 118、求下列各式的值⑴lg10－5 ⑵lg0.01 ⑶log 281⑷log 2718119、求lg 25+lg2·lg25+lg 22的值20、化简计算：log 2251·log 381·log 59121. 化简：()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.专题训练：比较大小1，___,)21(,8,45.1348.029.01则三者大小关系为设-===y y y2，(2012天津）已知___,,,2log 2,)21(,258.02.1的大小关系是则c b a c b a ===-3，（2010安徽文）___,52,52,53525352则三者的大小关系是设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 4，__,,.6.3log ,2.3log ,6.3log 442的大小关系的则已知c b a c b a === 5，已知3log 21log ,5log 21,3log 2log ,10a a a a a z y x a -==+=<<，这三者的大小关系为______6,(2012全国卷）____,,,,2log ,ln 215的大小关系则已知z y x ez y x -===π7，c b a c b a cba22121log )21(,log )21(,log 2,,=== 均为正数，设，则这三者的关系是_____ 8,2log 31,21log 31,3log 21,31log 21的大小关系式是 (A)2log 31＜21log 31＜3log 21＜31log 21 (B)2log 31＜3log 21＜21log 31＜31log 21 (C)3log 21＜2log 31＜21log 31＜31log 21 (D)3log 21＜2log 31＜31log 21＜21log 31 9,已知0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 551533132212===z y x 则x,y,z 的大小关系是(A)x ＜y ＜z (B)y ＜z ＜x (C)z ＜x ＜y (D)z ＜y ＜x10，(选做题）已知2x =3y =5z 且x,y,z 为正数,则2x,3y,5z 的大小关系为 (A) 2x ＜3y ＜5z (B) 3y ＜2x ＜5z (C) 5z ＜3y ＜2x (D) 5z ＜2x ＜3y 1,1，(选做题）log n (n －1)与log n+1n(n ＞2且n ∈N)的大小关系为 (A)log n (n －1)＞log n+1n (B) log n (n －1)＜log n+1n (C)log n (n －1)=log n+1n (D) 不能确定12，设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 13，若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c14，设2lg ,(lg ),a e b e c === ( )A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>15，设2135,2ln ,2log -===c b a ，则c b a ,,三者的大小关系为___________第二部分，指数函数和对数函数一，指数函数1，定义： 注意：的取值范围a 定义域： 值域： 单调性： 奇偶性：对称性：)1(1x x xx a a a y a y -=⎪⎭⎫⎝⎛==即和过定点：抽象形式：)()()(y f x f y x f ⋅=+ 函数图象的平移： 一个特殊的图象：xa y =2，底数不同时，函数图象的相对位置关系指数函数综合练习：1，函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＞0且a ≠12，设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ） A.10 B.10 C.20 D.1003，（2012四川文）函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是（ ）4，已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝( )A.124 B.112 C.18 D.385，给出下列结论：①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④6，函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图像大致为( )二，对数函数 1，定义： 定义域： 值域 单调性： 奇偶性：对称性：对称关于和____log log 1x x y aa =过定点：抽象形式：)()()(y f x f y x f +=⋅ 2，函数图象的平移变换3，几个重要的函数图象()()()()xy x y x y x y a a a a log 4log 3)(log 2log 1=-=-==4，底数不同时，函数图象的相对位置关系对数函数综合训练：1，当a ＞1时,函数y=a -x 与y=log a x 的图像是2，函数)45(log 1xx y -=+的定义域是(A)(－1,0) (B)(0,log 45) (C)(－1,log 45) (D) (－1,0)∪(0,log 45) 3，函数)763lg(2++-=x x y 的值域是(A)]31,31[+- (B)[0,1] (C)[0,＋∞) (D){0}4，函数f(x)=log 0.3|x 2－6x+5|的单调增区间是(A)(－∞,3] (B)(－∞,1)和(3,5) (C)[3,＋∞) (D)(1,3)和[5,＋∞)5， 函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1的图像关于( )A ．y 轴对称B ．直线x ＝1对称C ．点(1,0)对称D ．原点对称6，设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011)＝( ) A ．4 B ．8C ．16D ．2log a 87，函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）8，设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）三，幂函数1，幂函数的概念：形如 ax y = 类型的函数是幂函数。
指数函数与对数函数的指数运算与对数运算
指数函数与对数函数的指数运算与对数运算指数函数与对数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中有广泛的应用。
本文将讨论指数函数和对数函数的指数运算与对数运算的性质和应用。
一、指数函数的指数运算指数函数是以自然常数e为底的幂函数，其一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的指数运算有以下几个重要性质：1. 乘法性质：a^m * a^n = a^(m + n)，同一底数的指数相加等于指数的乘积。
2. 除法性质：(a^m) / (a^n) = a^(m - n)，同一底数的指数相减等于指数的商。
3. 幂次性质：(a^m)^n = a^(m * n)，幂的幂等于指数的乘积。
4. 负指数性质：a^(-n) = 1 / (a^n)，负指数等于倒数。
5. 零指数性质：a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。
基于这些性质，我们可以进行各种复杂的指数运算。
例如，计算2^3 * 2^4，根据乘法性质，我们可以合并指数，得到2^(3+4)=2^7=128。
又如，计算(5^2)^3，根据幂次性质，我们可以进行指数的乘法运算，得到5^(2*3)=5^6=15625。
指数函数的指数运算在科学计算、金融领域、物理学等方面都有重要应用。
例如，计算复利利息、求解微分方程、描述放射性衰变等都需要运用指数函数的指数运算。
二、对数函数的对数运算对数函数是指数函数的逆运算，表示为y = logₐx，其中a为底数，x 为真数，y为对数。
对数函数的对数运算具有以下几个基本性质：1. 对数乘法性质：logₐ(x * y) = logₐx + logₐy，对数的乘法等于对数的和。
2. 对数除法性质：logₐ(x / y) = logₐx - logₐy，对数的除法等于对数的差。
3. 对数幂次性质：logₐ(x^k) = k * logₐx，对数的幂次等于指数乘以对数。
基于这些性质，我们可以进行各种复杂的对数运算。
专题 幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)
专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。
高三一轮复习(指数运算与对数运算及指数函数与对数函数知识点)
指数运算与对数运算及指数函数与对数函数知识点(-)如果2x a =那么x 叫a 的________一般地n x a =则x 叫做a 的_______其中n>1且n *N Î（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根为一个______。
负数的n 次方根是一个________这时a 的n 次方根用符号________表示（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，并且这两个数__________ (二)ìï=íïî（三）分数指数幂 mna==_________(a >0.m .n *N Î且N>1)______mna -=_a >0.m .n *N Î且N>1)（四）我们规定0的正分数指数幂为_______,0的负分数幂________ (五) 指数运算①r sa a =______ ②()r s a =________ ③()r ab =___________其中（0,0,,a b r s Q >>?） 练习题1 求值①238②1225- ③3416()81-练习2 用分数指数幂的形式表示下列各① 3.a②a练习3 计算下列各式(式中字母都是正数) ①21113322(2)(6)a b a b -÷1566(3)a b - ②31884()m n -③31884()m n -练习4用根式的形式表示下列各式 ①12a 34a 23a - 32a -练习5用分数指数幂表示下列各式（x <0）(a +b >0)二课时对数运算（一）一般地，如果x a =N （a >0,且a ¹1）则数x 叫做以a 为 底N 的对数，记作x =log a n其中a 叫对数的底数，N 叫作真数 通常以10为底的对数叫作常用对数记为__________ 以e 为底的对数叫自然对数记为__________ （二）对数与底数之间的关系为当a >0，且a ¹1时，log x b a a b x =?（三）负数和0没有对数习题练习练习1 将下列指数式化为对数，对数式化为指数式①45=625 ②-612=64 ③m1 5.733= (4)12log 16练习2 求下列各式中的x①642log x =-3 ②x log 86= ③lg 100=x (4) -2ln e x = 练习3 求下列各式的值①5log 25 ②21log 16 ③ lg 1000 （4） l g 0.00（四）对数运算如果a>0,且a 1¹,m>0,n>0①a log (m n )______?②a mlog ()_________n =③na log (m )_______= 练习4 求下列各式的值 1 用a a a log x ,log y ,log z 表示下列各式①axy log z② a log③ a 2log y x 练习5 求下列各式的值① 752log (42)´②lg ③23log (279)´ （五）对数恒等式a log Na ______=（六）换底公式 a logb ________=（七）a b l o g b l o g a =________·习题练习练习1利用对数的换底公式化简下列各式 ①a c log c log a · ②2345log 3log 4log 5log 2贩? ③（48log 3log 3+）（39log 2log 2+）练习2 计算下列各值 ①如x3log 41=求x x 44-+的值②已知lg 2 a ,lg 3 b ==求下列各值 （1）lg 6 ②3log 4 ③2log 12练习3 已知23log 3=a ,log 7 b =试用a,b 表示14log 56第三课时指数函数（一）一般地形如y=x a (a o , a 1)>?且叫指数函数，是自变量定义域为______.值域为_______习题练习一习1 下列函数为指数函数的是（ ）①y =x 22´ ② y =x 22- ③ y=-x12（二）指数函数的图像1画出x x x x11y 2,y 3,y (),y ()23====的图像第一步列表指数函数的值域可以分成三类____________________ 习题练习 练习 1（1）在同一坐标系中画出x xxx11y 2,y 3,y ,y =23===四个函数图像如何判断 （2）已知c dab112323===结合图像比较a,b,c ,d 的大小（3）根据函数的单调性比较数的大小① 2.531.7,1.7 ②0.10.20.8,0.8-- ③0.3311.7,0.9·总结比较数的大小的方法1 如果底数相同，指数不同构造就构造指数函数再根据单调性比较大小2 如果底数和指数都不同，则与1比较大小 （4）根据函数的单调性求比较m,n 的大小①m n 22> ②m n0.20.2< ③nm a a >（5）根据函数的单调性求x 的集合①2x 3x-222+> ②2x +4x 21122-> ③2x 12x 7ee -+>（4）2x 74x 1aa -->（6）已知1x +x3-=，求下列各式的值①1122x +x - ②22x x -+ ③22x x --（7）设3x 12x12y a ,y a +-==其中a 0, a 1,>?且确定x 为何值时，有①12y y = ②12y y > ③12y y <第四课时对数函数（一）一般地把函数a y log x =（a 0, a 1>?且 ）叫对数函数，其中x 叫自变量，定义域为_______________习题练习一练习1指出下列为对数函数的是（ ）①22y log x = ②2y 2log x = ③2y log 2x 3=- （二）画出下列函数的图像①2y log x = ②3y log x = ③12y log x= （4）13y log x= 第一步列表第二步描点第三步用光滑的曲线连成并通过图像指出对数函数的性质。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
指数与对数运算专题
指数与对数运算专题指数与对数运算指数1、根式根式是指数的一种表示方式。
当x=a^n (n>1且n∈N)时，称x为a的n次方根。
正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，零的奇次方根是零；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，负数没有偶次方根。
2、有理数指数幂有理数指数幂的意义是：a^m/n，当a>0，m,n∈N*，n>1时，表示a的m次方根的n次方；当a<0，m,n∈N*，n为奇数时，表示a的m次方根的n次方，为负数；当a≥0，m,n∈N*，n为偶数时，表示a的m次方根的n次方，为绝对值相等符号相反的数。
对数1、对数的基本概念对数是指数的一种表示方式。
当a>0，a≠1，且a的b次幂等于N时，b叫做以a为底N的对数，记作log_a N。
常用的对数有以10为底的lgN和以自然常数e为底的lnN。
2、对数的性质负数和零没有对数，即N>0；底的对数等于1，即log_a a=1.3、对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么log_a (MN)=log_aM+log_a N；log_a (M/N)=log_a M-log_a N；log_a(M^n)=nlog_a M。
换底公式是log_a N=log_b N/log_b a，推论是log_b N=1/log_b (N/a)。
典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题1：化简7^(-2/7)和4(a^-2)^4.例题2：计算log_2 16-log_2 4+log_2 8.1、正确的式子是C.a=12、由3a=4b=36可得a=12,b=9，代入21/ab可得21/(12*9)=7/43、将a2-2a+1=a-1移项得a2-3a+2=0，解得a=1或a=2，所以a的取值范围为{1,2}4、①将lgx+lg(x+3)=1化简得x(x+3)=10，解得x=2或x=5，所以解为{x=2，x=5}；②将lg2x+3lgx-4=0化简得x3=8，解得x=2，所以解为{x=2}5、（1）(325-125)/425=0.4；（2）log612-2log6+3log2+3log3=2log2+log3+log17=1+0.477+1.230=2.7076、①将4=81化为4=22，81=34，得到2x=4/3，解得x=lg2/3；②将24x+1-17*4x+8=0化简得(2x+1)(12x-5)=0，解得x=-1/2或x=5/12，所以解为{x=-1/2，x=5/12}7、（1）6/48+1/3+3/16+1/25+1/8-2-1=0.283；（2）由lg22=1，lg250=2+lg25=4，lg40=1+lg4+lg10=3，代入式子得lg4+3=2+3=5，所以结果为58、将3=4=6化为3=2^lg3.4=2^lg4.6=2^lg6，代入abc/(2^lg221)=(3/2)*(4/3)*(6/4)=1，所以证毕。
指数与对数的运算及应用
指数与对数的运算及应用一、指数运算1.指数的定义：指数是表示一个数乘以自身若干次的运算。
一般形式为a^n，其中a为底数，n为指数。
2.指数的性质：a)a^0 = 1（任何非零数的0次幂等于1）b)a^m × a^n = a^(m+n)（同底数幂的乘法）c)(a m)n = a^(mn)（幂的乘方）d)a^m / a^n = a^(m-n)（同底数幂的除法）e)(ab)^n = a^n × b^n（积的乘方）f)(a/b)^n = a^n / b^n（商的乘方）3.指数的运算法则：a)a^n × a^m = a^(n+m)b)a^n / a^m = a^(n-m)c)(a n)m = a^(nm)d)(ab)^n = a^n × b^ne)(a/b)^n = a^n / b^nf)(a n)m = a^(nm)4.指数函数：指数函数是形式为y = a^x的函数，其中a为底数，x为自变量。
二、对数运算1.对数的定义：对数是表示幂的指数的运算。
一般形式为log_a(b)，其中a为底数，b为真数。
2.对数的性质：a)log_a(a^n) = nb)log_a(b^n) = n × log_a(b)c)log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c)d)log_a(b^c) = c × log_a(b)e)log_a(b^n) = n × log_a(b)f)log_a(1) = 0g)log_a(a) = 1h)log_a(b) ≠ 0 当且仅当b ≠ 13.对数的运算法则：a)log_a(b) + log_a(c) = log_a(b × c)b)log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)c)log_a(b^n) = n × log_a(b)d)(log_a(b))^n = log_a(b^n)e)(log_a(b))^n = log_a(b^n)f)(log_a(b))^n = log_a(b^n)g)(log_a(b))^n = log_a(b^n)h)(log_a(b))^n = log_a(b^n)三、指数与对数的应用1.增长与衰减：指数函数模型生物、经济等领域的增长或衰减现象。
指数函数和对数函数知识点总结
45.函数 的定义域是________．
46.已知集合A ，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
47.函数 （ 且 ）的图象过定点________．
48.函数 的值域是________．
49.已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数 （ 且 ）的最大值比最小值大1，求a的值．
A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
40.已知2x＝5y＝10，则 ＋ ＝________.
41.计算：2log510＋log50.25＝________.
42.已知loga2＝m，loga3＝n(a＞0且a≠1)，则a2m＋n＝________.
43.方程 的解为x＝________.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
A.①③B.②④C.①②D.③④
36.函数 的图象如图所示，则实数 的可能取值是（）
A.10B. C. D.2
37.函数 的定义域是（）
A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(4，＋∞)D.[4，＋∞)
38.函数 的定义域为（）
A.(1,4]B.(1,4)C.[1,4]D.[1,4)
39.函数f(x)＝log2(x＋ )(x∈R)为（）
2.设 ，则（）
A. B. C. D.
3.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
4.若 ，则实数a的取值范围是（）
A.(1，＋∞)B.( ，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞， )
5.方程3x－1＝ 的解为（）
A.x＝2B.x＝－2C.x＝1D.x＝－1
6.已知实数a，b满足等式( )a＝( )b，则下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b。其中不可能成立的有（）
指数函数与对数函数的运算与应用
指数函数与对数函数的运算与应用指数函数与对数函数是数学中重要的函数之一，具有广泛的运算与应用价值。
本文将对指数函数与对数函数的运算和应用进行详细介绍。
一、指数函数的运算与应用指数函数是以常数e为底数、自变量为指数的函数，其一般形式为f(x) = a *e^(kx)，其中a和k为常数，e为自然对数的底数。
（一）指数函数的运算1. 指数函数的加减运算：若f(x) = a * e^(kx)和g(x) = b * e^(mx)为两个指数函数，则它们的和f(x) + g(x)仍为一个指数函数。
2. 指数函数的乘法运算：若f(x) = a * e^(kx)和g(x) = b * e^(mx)为两个指数函数，则它们的乘积f(x) * g(x)仍为一个指数函数。
3. 指数函数的幂运算：若f(x) = a * e^(kx)为一个指数函数，则f(x)^n仍为一个指数函数，其中n为整数。
（二）指数函数的应用1. 复利计算：指数函数可以用来描述复利计算中的本金增长情况。
根据复利公式A = P * (1 + r/n)^(nt)，其中A为最终本金，P为初始本金，r为年利率，n为复利计算的次数，t为复利计算的年数。
2. 物质衰变：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变情况。
放射性物质的衰变遵循指数衰减规律，即N(t) = N_0 * e^(-kt)，其中N(t)为时间t时刻的剩余物质量，N_0为初始物质量，k为衰减常数。
3. 生物增长：指数函数可以用来描述生物种群的增长情况。
如果一个种群在适宜条件下没有任何限制，其增长速率将是以指数方式增长。
二、对数函数的运算与应用对数函数是指以某个正数a为底数、某个正实数x为真数的函数，其一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
（一）对数函数的运算1. 对数函数的加减运算：若f(x) = log_a(x)和g(x) = log_a(y)为两个对数函数，则它们的和f(x) + g(x)仍为一个对数函数。
指对数运算及指数对数函数专题.doc
指对数运算及幕指对函数专题本专题重点：指数幕的运算性质、对数的运算性质；指数函数、对数函数的概念、图象和性 质。
指数函数和对数函数的性质与底数a 的取值有关，在求解含有参数的指数函数、对数函数、 幕函数问题时，常运用划归思想，将复杂的问题化为较简单的问题，应注意分类讨论、数形 结合、类比、换元等数学思想和方法的灵活应用。
3二 4 2 丄 丄 1. (1)计算:[(3-) 3(5-)0-5 +(0.008) 3 -(0.02) 2 x(0.32)2“0.062严；小-8a 3/?2咖、Ja •；J)x4沪+2贩+历aMS= [--- + 25x^=x-^]~ 丄=(一 12+ 2)x29 3 5^2 10 2 99(2)原式「叫尸-閔)片(/)2+/. (2沪) + (2 沪)25£ft£2=a 3 (a 3-2/?3)x~ X~T = a?，x ^x ^3= a ，。
a 3 -2b 3点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幕的形式，然后利用分数指数幕 的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幕的形式保留；一般的进行指数幕 运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幕，化小数为分数运算，同时兼顾运算的 顺序。
1 -1V 2 + y-2 - 22. (1)己知x 2+x 2 =3,求一的值。
“门+兀飞―3I解：・・・兀2+兀刁=3,丄 _丄(X 2 +X 2)2 = 9 ,x+2 + x -1 =9,兀 + 兀一' =7, ・・.(兀+才)2=49,(2)化简:解：(1)原式=[(—r-(—r27 9 I12a' —2b' (a-a 3)2一 ------------------ x ~—(a 2 - cP)5丄43 _3 丄点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
对数运算1.计算⑴(lg2)2+lg2-lg50 + lg25； (2) (log32 + log92)-(log434-log83)；lg5・lg8000+(lg2^)2lg600--lg0.036--lg0.1解：(1)原式= (lg2)2+(l + lg5)lg2 + lg5—(lg2 + lg5 + l)lg2 + 21g5=(1 +1) lg 2+2 lg 5 = 2(lg 2+lg 5) = 2;又•・・=(x i+/5)-(x-l + x_1) = 3-(7-l) = 18,X2 + x"2 - 218-331g2 51g3 _ 5 21g3 61g2_4(3)分子=lg5(3 + 31g2) + 3(lg2)2 =引g5 + 31g2(lg5 + lg2) = 3；分母二(lg6 + 2)_lg 」Ax 丄=lg6 + 2_lg 上=4；V1000 10 100・•.原式=2。
指数函数和对数函数的知识点及典型例题
指数函数和对数函数的知识点及典型例题一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an n a a a a 个⋅⋅⋅=)(*∈N n ()010a a =≠ ()10,n na a n N a-*=≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn a a m n Z =∈（3）()()nn n ab a b n Z =⋅∈其中mnmnm na a a aa--÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，()*∈>N n n ,1例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ； ②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=N n n n ,100 ∴0=；⑤式子na 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴na =．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =；若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a aa a n n ．5．例题分析：例．计算：407407-++解：407407-++52)25()25(22=-++= （二）分数指数幂1()10250a aa ==>()12430a aa ==>即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 幂的运算性质()nm mn a a =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =45a =．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
2024年高考数学--指数函数、对数函数
若a>1,则y=logax在(0,+∞)上单调递增,0< 1 <1,由g(x)的图象可知g(x)在[3,
a
4)上递增,故f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上单调递增,故a>1时成立;
若0<a<1,则
1 3, 2a 1 4, a
解得
1 6
≤a≤
1 4
.综上可知,a的取值范围是
a
|
1 6
1
1
+m=-
2
1 x
1
+m+1,因为函数y=2x+1为R上的
增函数,所以y=- 1 为R上的增函数,所以f(x)在R上单调递减是不正确
2x 1
的,所以C不正确;
对于D,当m=0时,f(x)= 2x =1- 1 ,
2x 1 2x 1
由2x+1>1,可得-1<- 1 <0,所以1- 1 ∈(0,1),即函数f(x)的值域为(0,1),
1.指数幂的运算
根式的性质
分数指数幂
指数幂运算性质 (其中a,b>0, r,s∈R)
基础篇
考点一 指数与对数的定义及运算
n
an
=
a,n | a |, n
2k 1(k N*); 2k(k N*)
若 n a 有意义,则( n a )n=a
m=
an
n
am
,a>0,m,n∈N*,n>1
a
m n
=
1 ,a>0,m,n∈N*,n>1
n am
aras=ar+s
(ar)s=ars (ab)r=arbr
2.对数的性质与运算法则
《对数的运算》指数函数与对数函数对数的运算
《对数的运算》指数函数与对数函数对数的运算xx年xx月xx日•对数的定义与性质•指数函数与对数函数的关系•对数的运算性质目录•对数在实际问题中的应用•对数运算的推广与深入学习01对数的定义与性质定义：如果 ax = N 中 a 不等于1，那么称 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=log<sub>a</sub>N.特别地，当 a 取 e（e 约等于 2.71828）时，可以得到以 e 为底的对数，记作 log<sub>e</sub>N.对数的定义对数的性质对数的真数部分永远是正数.对数永远不是负数.对数的底数永远不等于 1.由对数的定义，当 a 取不同的数时，可以得到不同的对数.对数函数的概念对数函数通常被用来描述复合增长或衰减的问题，因为它把乘法关系转换为加法关系，从而可以用一个变量表示一段时间内累积的效果.对数函数是指一种函数关系，它表示的是输入与输出之间的比例关系.在实际应用中，对数函数经常被用于金融、物理、化学等科学领域以及工程领域.02指数函数与对数函数的关系指数函数的概念定义域为全体实数函数表达式为y=a^x值域为(0, +∞)指数函数和对数函数的关系图像关于直线y=x对称对数函数的定义域为(0, +∞)互为反函数值域为全体实数恒等式及变形010203 am+n=am×an am÷an=(am×an)÷an am^n=(am)^n03对数的运算性质对数的四则运算加法运算减法运算Array log(a/b) = log(a) - log(b)log(a*b) = log(a) + log(b)乘法运算除法运算log(a*b) = log(a) + log(b)log(a/b) = log(a) - log(b)对数的换底公式•换底公式：log(a) = log(b) * log(a/b)，其中b为任意正数且b≠1对数的特殊运算log(1) = 0log(任何数) = 正无穷大（当a=0时）对数恒等式：log(a^b) = b*log(a)04对数在实际问题中的应用在金融领域中，对数经常被用于计算复利，评估投资的价值。
指数函数与对数函数性质研究专题
指数函数与对数函数性质研究专题引言指数函数和对数函数都是数学中的重要概念，其性质在许多科学领域中发挥着重要作用。
本文将探讨指数函数和对数函数的基本定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、指数函数的基本定义和性质指数函数是以一个固定正数为底数的函数，通常用形如f(x) = a^x 的形式表示。
其中，a是底数，x是指数。
指数函数的图像呈现出“增长率随指数增加”的特点。
指数函数具有以下基本性质：1. 当底数a大于1时，随着指数的增加，函数值递增；当底数a介于0和1之间时，随着指数的增加，函数值递减。
2. 指数函数是连续函数，且在定义域上是递增的。
3. 当指数为0时，函数值始终为1，即f(0) = 1。
4. 指数函数是正值函数，即其取值范围为(0, +∞)。
指数函数在许多领域中有广泛应用，例如生物学中的种群增长模型、物理学中的原子衰变等。
二、对数函数的基本定义和性质对数函数是指以一个固定正数为底数的指数运算的逆运算函数。
通常用形如f(x) = loga x的形式表示。
其中，a是底数，x是函数值。
对数函数具有以下基本性质：1. 当底数a大于1时，随着函数值x的增加，对数函数的值递增。
2. 对数函数是连续函数，且在定义域上是递增的。
3. 当函数值x等于底数a时，函数值始终为1，即f(a) = 1。
4. 对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
对数函数在许多领域中有广泛应用，例如数学中求解指数方程、经济学中的复利计算等。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数。
换句话说，对于指数函数f(x) = a^x和对数函数g(x) = loga x，它们的函数图像关于y = x对称。
由于互为反函数的关系，指数函数和对数函数可以相互抵消，即loga a^x = x和a^loga x = x。
四、应用举例指数函数和对数函数的性质在实际问题中有广泛应用。
以下为几个应用举例：1. 金融领域中的复利计算，可以利用对数函数来求解。
中考数学重点知识点梳理指数与对数的计算与性质
中考数学重点知识点梳理指数与对数的计算与性质指数与对数是中学数学中的重要知识点之一，对于中考来说尤为重要。
本文将对指数与对数的计算与性质进行梳理和总结。
一、指数的计算1. 基本概念指数是数学中表示乘方的形式，用于表示某个数被乘积的次数。
指数的计算主要包括两部分：底数与指数的计算。
2. 底数的计算底数为实数或者变量，可以进行加、减、乘、除等运算。
它的计算与数的基本运算规则一致。
3. 指数的计算指数为正整数，它表示底数的乘积次数。
指数的计算可以按照以下规则进行：- 同底数幂的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)- 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n)- 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m*n)- 幂的倒数：a^(-m) = 1/a^m- 幂次为1的情况：a^1 = a- 幂次为0的情况：a^0 = 1二、对数的计算1. 基本概念对数是数学中用来表示指数运算的逆运算，通常表示为log。
对数有底数、真数和对数三个要素。
2. 底数的计算底数为实数或者变量，同样可以进行加、减、乘、除等运算。
3. 真数的计算真数为正实数或者变量，它表示指数运算的结果或者中间计算结果。
4. 对数的计算对数的计算可以按照以下规则进行：- 对数的乘法：loga(m * n) = loga(m) + loga(n)- 对数的除法：loga(m / n) = loga(m) - loga(n)- 对数的幂运算：loga(m^n) = n * loga(m)- 对数的底数为1的情况：log1(m) = 0- 对数的真数为1的情况：loga(1) = 0- 对数的底数与真数相等的情况：loga(a) = 1三、指数与对数的性质1. 指数与对数的互为逆运算指数与对数运算是互为逆运算的，即对数运算可以抵消指数运算的效果。
2. 底数为正实数且不等于1时- 指数为正整数时，底数越大，结果越大。
- 指数为负整数时，底数越大，结果越小。
《对数的运算》指数函数与对数函数对数的运算
03
02
对数的运算规则
对数运算的性质
对数具有一些基本性质，例如对数 的加减法满足交换律和结合律；对 数函数在实数范围内是单调递增的 ；对数的真数取遍所有正实数，对 数值为正无穷大。
对数的四则运算包括加法、减法 、乘法和除法，这些运算法则与 普通四则运算类似，但需要使用 对数运算法则进行计算。
对数的乘除运算
同底的对数相乘，底数不变，真数相乘；同底的 对数相除，底数不变，真数相除
对数的恒等式
$log(a)(a^x)=x$；$log(a^x)(a)=x$； $log(a)(b) \cdot log(b)(a)=1$
02
指数函数与对数函数
指数函数的定义与性质
定义
函数$a^x$，其中$a>0$，$a \neq 1$
在电子工程中，对数可以用于表 示放大器增益、分贝等物理量。
在金融中的应用
利率计算
在金融领域，利用对数可以更好地表示复利计算 中的利率。
股票指数
在金融市场中，对数可以用于股票指数的计算和 编制。
期货价格
在金融衍生品中，对数可以用于表示期货价格和 相关的波动率等指标。
05
总结与展望
总结
01
对数的定义
对数的性质
对数的真数部分永远大于0 对数的底数大于1时，对数值随真数的增加而增加 对数的底数小于1时，对数值随真数的增加而减小
对数的运算
对数的加减运算
同底的对数相加，底数不变，真数相加；同底的 对数相减，底数不变，真数相减
换底公式
log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)，其中c不等于1且 c>0
高考数学总复习 指数对数、指数函数与对数函数
高考数学总复习 指数对数、指数函数与对数函数1、根式的定义：一般地，若一个数的n 次方等于a (n ＞1，且n ∈N *)，则这个数叫做a 的n 次方根．即x n =a ，则x 叫a 的n 次方根，式子n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数． 注意：（1）负数没有偶次方根；零的任何次方根都是零。
（2）虽然a a n n =)(，但⎩⎨⎧=为偶数）为奇数）（n a n a n n a (|,|,. 2、规定正数的正分数指数幂的意义是：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a n m n m a 且；正数的负分数指数幂)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a n n m mn m a 且；0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂没有意义。
3、有理数指数幂的运算性质(1)a r ·a s =a r+s (a ＞0，r,s ∈Q )；(2)a r ÷a s =a r-s (a ＞0，r,s ∈Q )；(3)(a r )s =a rs (a ＞0，r,s ∈Q )； (4)（ab ）r =a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )4、对数的定义：一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b =N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作l o g a N =b ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.即a b =N ⇔b=l o g a N （利用它进行指数式与对数式的互化）5、常用对数：l o g 10N =l g N 。
自然对数：l o g e N =l n N .（其中无理数e =2.71828…）。
6、（1）l o g a 1=0；（2）l o g a a =1；（3）对数恒等式：N N a a =log .7、对数的运算性质：若a>0,a ≠1,M>0,N>0,则①N M MN a a a log log log )(+=；②N M N M a a alog log log -=；③M a x a x M log log = 8、换底公式：①a N N b b a log log log =；②a N N a lg lg log =；③a b b a log 1log =； ④b a mn b a n m log log =；⑤n a a n =log ；⑥15lg 2lg =+。
指数、对数函数专题(强烈推荐)
专题：指数和对数第一部分：指数、对数运算一，指数运算1，运算法则（建议学生掌握语言叙述）a r•a s=a r+a s=（a r）s=（ab）r=2，分数指数幂ma n=3，化简—f an=2k,k G Zn a n=<I an=2k+1,k G Z例题练习：1、用根式的形式表示下列各式（a>0）2、用分数指数幂的形式表示下列各式：⑵空\：m3、求下列各式的值4.化简(1)a3•a4•a123a2•(—a4)+9J a=（4）a2（5）8a-3 aa•3a227b61)-3: 1(1)a5:3(2)a4: （3）3a5=3（4）a(1)T；X4y3: (m>0)(4)3a•4a=（5）2(1)83: ；（2）i100-2=（3）1-)-3:；（4）(16)-4=81(5)[(-%；2)2]-2:（6） 12=2（7）6（3）（3）；5.计算(1)V-25-<125+<5(2)273火3巧义612(3)(1)-1-4-(-2)-3+(1)。
-9-2二，对数运算 运算法则：1, a log a = 2, log(MN )=alog(MM■M )=a 12n log M n = aM3, log a ——=N4,(换底公式)log b =a4, log b n =am6,(倒数公式)log b=a对数习题练习：设N =+，则(log3log325(3\23 I 4J01+2-2•2-、--一2-70.5(5)27I 9J+0.1-2+f 210'I 27J2373-3冗o+——1、 、选择题以下四式中正确的是(A 、l og 22=4 B 、log 21=1C 、log 216=4D 、10g 21=12242、 下列各式值为0的是( A 、10 B 、log 33 C 、(2—3)° D 、log 2|-1|3、 210g25的值是(A 、B 、5C 、D 、4、 若m =lg5—lg2，则10m 的值是 A 、B 、3C 、10D 、15、6、在b=log 2（5一a ）中，实数a 的范围是（） A 、a>5或a<2B 、2<a<5C 、2<a<3或3<a<57、若log[log(log x )]=0,贝U %-2等于()432■1-1-八。
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指对数运算及幂指对函数专题本专题重点：指数幂的运算性质、对数的运算性质；指数函数、对数函数的概念、图象和性质。
指数函数和对数函数的性质与底数a 的取值有关，在求解含有参数的指数函数、对数函数、幂函数问题时，常运用划归思想，将复杂的问题化为较简单的问题，应注意分类讨论、数形结合、类比、换元等数学思想和方法的灵活应用。
1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--。
解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=； （2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
2．（1）已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=， ∴129x x -++=，∴17x x-+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x-+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x--+--==-+-。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
对数运算 1．计算（1）2(lg2)lg2lg50lg25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；（3）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg352lg36lg 24=⋅=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=43。
2．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=（1）求证：22log (1)log (1)1b c a ca b +-+++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值。
证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b ca b a b+++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab+-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b ca++=， ∴30a b c -++=……………①由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=， ∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。
指数、对数方程1．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求a ,b 的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b abf 解得即从而有.212)(1a x f x x++-=+ 又由aa f f ++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->-即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x x x f 又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t k t t t t t 即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-k t t t t t k t整理得12232>--kt t ，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得 2、设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30axf x ae =+=有正根。
当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13ln()x a a=-，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-.第三节 幂函数、指数函数及对数函数 2013.3中学数学若函数2()(33)x f x a a a =-+⋅是指数函数，则a = 。
已知()(1),()(1),x x f x a a g x b b =>=>当12()()2f x g x ==时，有12x x >，则a b 、的大小关系是 。
已知a =()x f x a =，若实数m n 、满足()()f m f n >，则m n 、的大小关系是 。
若关于x 的方程14430x x m m +---=有正根，求m 的取值范围.若函数()(0,1)x f x a x a a a =-->≠有两个零点，求a 的取值范围.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值是最小值的3倍，则a = . 典例1 已知()()113312a a +>-，求实数a 取值范围。
分析：左右两边幂的形式中，底数不同，幂指数相等。
可利用幂函数13y x =是R 上的单调增函数的性质得到实数a 的取值范围。
1122a a a +>-⇒> 练习1、 已知()()112212a a +>-，求实数a 取值范围。
答案：注意取值范围。
答案：122a ≥> 2、 已知()()3312a a --+>-，求实数a 取值范围。
分析：幂函数3y x -=在()0,+∞上单减，在(),0-∞上单减。
10,20a a +>⎧⎨-<⎩ 或 10,20,12a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,20,12-a a a a +>⎧⎪-<⎨⎪+<⎩1212a a a ⇒>-<<∈∅或或 故实数a 取值范围1212a a >-<<或。
3、 已知1132x x ≥，求实数x 的取值范围。
分析：考察幂函数12y x =和13y x =的图像，得到实数x 的取值范围是[)1,+∞ 4、（05江西理10）已知实数a , b 满足等式,)31()21(ba=下列五个关系式①0<b <a②a <b <0③0<a <b ④b <a <0⑤a =b其中不可能．．．成立的关系式有（ B ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【解答】,a b 均大于零时，要满足等式，必有a b >；,a b 均小于零时，要满足等式，必有a b <；0a b ==时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B5、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：C ；1)12(log )2(23=-=f ，ee f f 22))2((10==-。
典例2 函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ C ）练习 1、函数nm x y =|||,|,0,,(n m m Z n m ≠∈互质）图像如图所示，则（ ）A ．n m mn ,,0>均为奇数B ．n m mn ,,0<一奇一偶C ．n m mn ,,0<均为奇数D ．n m mn ,,0>一奇一偶解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在),0(+∞上单调递减，此时只需保证0<nm ，即0<mn ，有||||n m n mx x y -==；同时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为),0(+∞，此时||n 定为偶数，n 即为偶数，由于两个数互质，则m 定为奇数 答案：选项为B 。
2、（06陕西理4）设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a ≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b 等于( C )A.6B.5C.4D.3 解：反函数的图像过点(2,8)，则原函数的图像过点(8,2),故: log (2)134.log (8)21a ab a a b b b +==⎧⎧∴⇒+=⎨⎨+==⎩⎩ 故选C ．另解：函数f (x )=log a (x +b )(a >0，a ≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，∴228b a b a +=⎧⎨+=⎩，3a =或2a =-(舍)，b =1，∴a +b =4，选C ．3、方程232xx =-的解为1x ，方程2log 32x x =-的解为2x ，求12x x +的解。