[全国通用]高中数学高考知识点总结
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总
结
单选题
1、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）
A ．(0,1100)
B ．(1100,+∞)
C ．(0,100)
D ．(100,+∞) 答案：D
分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解.
因为函数f(x)为奇函数，
所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，
所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，
即f(lgx)>f (2)，
又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，
所以f(x)在R 上单调递增，
所以lgx >2，
解得x >100.
故选：D.
2、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：A
解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.
因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，
且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.
因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.
故选：A ．
3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满
高考数学重难点第一讲(全国通用) 利用基本不等式求最值8大题型(原卷版及答案)(学生专用)
重难点1-1利用基本不等式求最值8大题型
【命题趋势】
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型
【满分技巧】
利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型
成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，
设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b
λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：15
2
5⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量
或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
全国通用2023高中数学必修一第三章函数的概念与性质必考知识点归纳
全国通用2023高中数学必修一第三章函数的概念与性质必考知识点归纳
单选题
1、设f(x)为定义在R上的函数，函数f(x+1)是奇函数.对于下列四个结论：
①f(1)=0；
②f(1−x)=−f(1+x)；
③函数f(x)的图象关于原点对称；
④函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；
其中，正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
解析：令g(x)=f(x+1)，①：根据g(0)=0求解出f(1)的值并判断；②：根据g(x)为奇函数可知g(−x)=−g(x)，化简此式并进行判断；根据y=f(x+1)与y=f(x)的图象关系确定出f(x)关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.
令g(x)=f(x+1)，
①因为g(x)为R上的奇函数，所以g(0)=f(0+1)=0，所以f(1)=0，故正确；
②因为g(x)为R上的奇函数，所以g(−x)=−g(x)，所以f(−x+1)=−f(x+1)，即f(1−x)=−f(1+x)，故正确；
因为y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的，
又y=f(x+1)的图象关于原点对称，所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称，故③错误④正确，
所以正确的有：①②④，
故选：C.
小提示：名师点评通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：
（1）若f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称；
（2）若f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称.
2、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（）
A．f(x)=x2+4B．f(x)=1−2x
全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点归
纳总结(精华版)
单选题
1、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）
A ．4×
x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100
答案：C
分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．
由题意可得4×x 0.5>100．
故选：C.
2、若对任意x >0,a ≥2x x 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[−1,+∞)
B ．[3,+∞)
C ．[23,+∞)
D ．(−∞,1] 答案：C
分析：依题意a ≥(2x x 2+x+1
)max ，利用基本不等式求出2x x 2+x+1的最大值，即可得解； 解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=
2
x+1x +1≤2√x⋅1x +1=23，当且仅当x =1x 即x =1时取等号，因为a ≥2x x 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；
故选：C
3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）
A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}
C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}
全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点梳理
(名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点梳理
单选题
1、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+S
N
).它表示：在受
噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声
功率N的大小，其中S
N
叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不
改变带宽W，而将信噪比S
N
从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010
A．10%B．20%C．50%D．100%
答案：B
分析：根据题意，计算出log24000
log21000
的值即可；
当S
N =1000时，C=Wlog21000，当S
N
=4000时，C=Wlog24000，
因为log24000
log21000=lg4000
lg1000
=3+2lg2
3
≈3.6020
3
≈1.2
所以将信噪比S
N
从1000提升至4000，则C大约增加了20%，
故选：B.
小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
2、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（）
A．23天B．33天C．43天D．50天
答案：B
分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=1
全国通用2023高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语微公式版知识汇总笔记
全国通用2023高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语微公式版知识汇总
笔记
单选题
1、设集合M={x|0<x<4},N={x|1
3
≤x≤5}，则M∩N=（）
A．{x|0<x≤1
3}B．{x|1
3
≤x<4}
C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B
分析：根据交集定义运算即可
因为M={x|0<x<4},N={x|1
3≤x≤5}，所以M∩N={x|1
3
≤x<4},
故选：B.
小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
2、下列各式中关系符号运用正确的是（）
A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}
C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}
答案：C
分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
3、已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
答案：D
分析：根据交集的定义写出A∩B即可．
集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：D
4、已知全集U=R，集合M={x∣(x−1)(x+2)≥0}，N={x∣−1≤x≤3}，则(∁U M)∩N=（）A．[−1,1)B．[−1,2]C．[−2,−1]D．[1,2]
全国通用2023高中数学必修二第七章复数必考知识点归纳
全国通用2023高中数学必修二第七章复数必考知识点归纳
单选题
1、已知a ∈R ，(1+ai )i =3+i ，(i 为虚数单位)，则a =（ ）
A ．−1
B ．1
C ．−3
D ．3
答案：C
分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.
(1+ai )i =i +ai 2=i −a =−a +i =3+i ，
利用复数相等的充分必要条件可得：−a =3,∴a =−3.
故选：C.
2、已知i 为虚数单位，则
1+3i 1−2i =（ ）. A ．−2−3i B ．−1−i
C ．−1+i
D ．3+2i
答案：C
分析：利用复数的除法化简可得结果.
1+3i 1−2i =(1+3i )⋅(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=−5+5i 5=−1+i ，
故选：C.
3、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ）
A ．−23
B ．23
C ．−32
D ．32 答案：D
分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.
解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，
则{2a −3=03a +2≠0
，解得a =32. 故选：D.
4、若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是x 1=1+√3i 和x 2=1−√3i ，则这个一元二次方程可以是
（）.
A．x2−2x+2=0B．x2−2x+4=0C．3x2−2x+1D．x2+2x+4=0
答案：B
分析：设方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，根据韦达定理分别将b,c用a表示，即可得出答案. 解：设方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，
全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结(超全)
(名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结(超全)
单选题
1、在△ABC 中，已知b 2
＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．1
4
B ．3
4C ．√24
D ．√23
答案：B
分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 2
2ac
=
a 2+4a 2−2a 2
2a⋅2a
=3
4
.
故选：B
2、已知向量a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(3,0)，若(λa ⃑−b ⃗⃗)⊥a ⃑，则实数λ=（ ） A ．0B ．3
5C ．1D ．3 答案：B
分析：根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得λ的值. 因为向量a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(3,0)，且(λa ⃑−b ⃗⃗)⊥a ⃑， 所以(λa ⃑−b ⃗⃗)⋅a ⃑=0，即λa ⃑2−a ⃑⋅b ⃗⃑=0， 所以有5λ−3=0，解得λ=3
5， 故选：B.
小提示：方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下： （1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；
（2）根据向量数量积运算法则进行化简； （3）利用向量数量积坐标公式求得结果. 3、下列条件中能得到a ⃗=b ⃗⃗的是（ ） A ．|a ⃗|=|b ⃗⃗|B ．a ⃗与b ⃗⃗的方向相同； C ．a ⃗=0⃗⃗，b ⃗⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃗⃗且b ⃗⃗=0⃗⃗ 答案：D
分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.
由于a ⃗=b ⃗⃗，所以a ⃗与b ⃗⃗的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D.
全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数题型总结及解题方法
(名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数题型总结及解题
方法
单选题
1、声强级L 1（单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：L 1=10lg (I
10−12).若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍 答案：B
分析：设普通列车的声强为I 1，高速列车的声强为I 2，由声强级得95=10lg (I 1
10−12)，45=10lg (I
2
10
−12)，求出I 1、I 2相除可得答案.
设普通列车的声强为I 1，高速列车的声强为I 2，
因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，
所以95=10lg (I 110−12)，45=10lg (I
2
10−12)，
95=10lg (I
1
10−12)=10(lgI 1+12)，解得−2.5=lgI 1，所以I 1=10−2.5，
45=10lg (
I 2
10−12
)=10(lgI 2+12)，解得−7.5=lgI 2，所以I 2=10−7.5，
两式相除得I
1I 2
=10−2.5
10−7.5=105，
则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.
2、函数f(x)=2x −1
x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(1
2，1)C ．(1
3，1
2)D ．(1
4，1
3)
分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.
因为f(1)=2−1
1=1>0,f(1
2)=√2−2<0,f(1
全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理
(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总
结全面整理
单选题
1、已知正实数a ，b 满足a +1
b =2，则2ab +1
a 的最小值是（ ） A ．5
2B ．3C ．9
2D ．2√2+1 答案：A
分析：由已知得， a =2−1
b
代入得2ab +1
a
=2(2b −1)+
b
2b−1
，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.
解：因为a +1
b
=2，所以a =2−1
b
>0，所以0<b <2 ，
所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b
2b−1，
令2b −1=t ，则b =
t +12
，且−1<t <3 ，
所以2ab +1
a =2t +
t +1
2
t
=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =2
3时，取等号，
所以2ab +1
a 的最小值是5
2. 故选：A.
2、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−1
2<x <1
3}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−1
6)B ．(−∞,1
6)C ．(−1
6,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A
分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−1
2<x <1
3}
则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b
a
(−12)⋅13=2
a ， 解得{a =−12
b =−2
，
全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用基础知识点归纳总结
(名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用基础知识点归纳总
结
单选题
1、对任意量给非零向量a ⃑，b ⃑⃑，定义新运算：a ⃑×b ⃑⃑=|a ⃑⃑|sin⟨a ⃑⃑,b ⃑⃑
⟩
|b
⃑⃑|．已知非零向量m ⃑⃑⃑，n ⃑⃑满足|m ⃑⃑⃑|>3|n ⃑⃑|，且向量m ⃑⃑⃑，n ⃑⃑的夹角θ∈(π4,π
2)，若4(m ⃑⃑⃑×n ⃑⃑)和4(n ⃑⃑×m ⃑⃑⃑)都是整数，则m ⃑⃑⃑×n ⃑⃑的值可能是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．17
4
答案：B 分析：由n ⃑⃑×m ⃑⃑⃑=
|n ⃑⃑|sinθ|m ⃑⃑⃑⃑|
=k 4
(k ∈Z )结合|m ⃑⃑⃑|>3|n ⃑⃑|>0可得0<k 4
<13
，从而求得k ,可得|m ⃑⃑⃑⃑||n
⃑⃑|=4sinθ，确定3
4
<
sinθ<1，再根据m ⃑⃑⃑×n ⃑⃑=
|m ⃑⃑⃑⃑|sinθ|n ⃑⃑|
=4sin 2θ即可确定答案.
由题意可得n ⃑⃑×m ⃑⃑⃑=
|n ⃑⃑|sinθ|m ⃑⃑⃑⃑|
=k
4
(k ∈Z )．因为|m ⃑⃑⃑|>3|n ⃑⃑|>0，所以0<|n ⃑⃑||m
⃑⃑⃑⃑|<13
．
因为θ∈(π4,π2)，所以√2
2<sinθ<1，所以0<|n ⃑⃑|
|m ⃑⃑⃑⃑|sinθ<1
3，即0<k
4<1
3， 解得0<k <4
3．因为k ∈Z ，所以k =1， 所以n ⃑⃑×m ⃑⃑⃑=
|n ⃑⃑|sinθ|m ⃑⃑⃑⃑|=14，则|m ⃑⃑⃑⃑|
[全国通用]高中数学高考知识点总结(含答案过程)
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[全国通用]高中数学高考知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示
什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}
{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301
若，则实数的值构成的集合为
B A a ⊂
（答：，，）-⎧
⎨⎩
⎫⎬⎭1013
3. 注意下列性质：
{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n
（3）德摩根定律：
()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝
若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧
若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨
若为真，当且仅当为假
⌝p p
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总笔记
(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总
笔记
单选题
1、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，12
7)C ．(√3，+∞)D ．(12
7，+∞) 答案：A
分析：分离参数，将问题转换为m <
6x
x 2+3
在(0，2]上有解，设函数g(x)=
6x
x 2+3
，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=
6x
x 2+3
的最大值，即可求得答案.
由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6x
x 2+3 ， 故问题转化为m <6x
x 2+3在(0，2]上有解， 设g(x)=
6x
x 2+3
，则g(x)=
6x x 2+3
=
6x+
3x
，x ∈(0，2]，
对于x +3
x
≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，
则g(x)max =
2√3
=√3，
故m <√3 ， 故选：A
2、前后两个不等式解集相同的有（ ） ①x+5
2x−1≥0与(2x −1)(x +5)≥0 ②x+52x−1>0与(2x −1)(x +5)＞0
③x 2(2x −1)(x +5)≥0与(2x −1)(x +5)≥0
④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0
A．①②B．②④C．①③D．③④
答案：B
分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.
对于①，由x+5
2x−1≥0可得{
2x−1≠0
全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版
(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总
结归纳完整版
单选题
1、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）
A．[√2
4,+∞)B．(−∞,√2
4
]C．[−√2
4
,√2
4
]D．(−∞,−√2
4
]∪[√2
4
,+∞)
答案：A
分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|
x2+2
，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，
即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，
即a≥|x|
x2+2
，
当x=0时，a≥0，
当a≠0时，a≥|x|
x2+2=1
|x|+2
|x|
，
因为1
|x|+2
|x|≤
2√x⋅2
|x|
=√2
4
，
所以a≥√2
4
，
综上所述a∈[√2
4
,+∞).
故选：A.
2、已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1)，则(a−1)2+(b−1)2的最小值为( ) A．2B．1C．4D．5
答案：A
分析：将a -1和b -1看作整体，由a +b =ab (a >1,b >1)构造出(a −1)(b −1)=1，根据(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)即可求解．
由a +b =ab (a >1,b >1)得a +b −ab −1=−1，因式分解得(a −1)(b −1)=1， 则(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)=2，当且仅当a =b =2时取得最小值． 故选：A ．
全国通用2023高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结全面整理
全国通用2023高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结全面整理
单选题
1、幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）
A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a
答案：D
分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
根据幂函数的性质，
在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：b>c>d>a，
故选：D
>0成立，则必有（）
2、若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)-f(b)
a-b
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增
答案：A
分析：根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.
>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
由f(a)-f(b)
a-b
故选：A.
3、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简
版
单选题
1、已知平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗满足：|a⃗|=2，|b⃗⃗|=3，a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)且2a⃗−b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则|c⃗|为（）
A．1B．3C．√3D．9
答案：B
分析：根据向量垂直可得a⃗⋅b⃗⃗=4，进而根据向量模长的计算即可求解.
由a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)得a⃗⋅(a⃗−b⃗⃗)=0⇒a⃗⋅b⃗⃗=4，
由2a⃗−b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗得c⃗=−2a⃗+b⃗⃗⇒c⃗2=(−2a⃗+b⃗⃗)2
=4a⃗2−4a⃗⋅b⃗⃗+b⃗⃗2=16−4×4+9=9，
故|c⃗|=3，
故选:B
2、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）
A．表高×表距
表目距的差+表高B．表高×表距
表目距的差
−表高
C．表高×表距
表目距的差+表距D．表高×表距
表目距的差
−表距
答案：A
分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：
由平面相似可知，DE
AB =EH AH ,FG
AB =CG
AC ，而 DE =FG ，所以
DE AB
=
EH AH
=
CG AC
=
CG−EH AC−AH
=
CG−EH CH
，而 CH =CE −EH =CG −EH +EG ， 即AB =
CG−EH+EG CG−EH
×DE =
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集合
123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩
∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨
⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪
⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩
函数
,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射
传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数{
[][][][][]().,,()()(),,1212()()(),,12f x a b a x x b f x f x f x a b a b f x f x f x a b a b a =≤<≤<>⎧⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域函数的三要素值域对应法则
解析法函数的表示方法列表法
图象法
单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是 递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。导数定义：在区间[][][][][]()1()2()()00,()0(),,()0(),,y f x I M x I f x M x I f x M M y f x b f x f x a b a b f x f x a b a b =∈≤∈==⎧⎪⎪⎨><⎪
⎪⎩最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有； （）存在，使得。则称是函数的最大值最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如 则在上递减,是的递减区间。 ()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()y f x I N x I f x N x I f x N N y f x f x f x x D f x f x f x x D f x =∈≥∈==-=-∈-=∈⎧⎪⎨⎪⎩小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有； （）存在，使得。则称是函数的最小值定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。
奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()
112y f x f x T f x T f x T T f x y y x a x y f x a a α+=≠=-=⇒=+⎧⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩象关于轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称
周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期；
的最小正值叫做的最小正周期，简称周期
（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移个平移变换函数图象的画法（）变换法,()
11,()
11,()
1110111/()
11)01)1y y x a x y f x a b x x y b y y b f x b x x y b y y b f x x w w w x wx y f wx y A A =+=⇒=-=+=⇒-==-=⇒+=><<=⇒=><<⎧⎪⎨⎪⎩单位：向上平移个单位：向下平移个单位：横坐标变换：把各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）
到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到{{{{{{/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010A y y A y f x x x x x x x x y y y f x x y y y y y y
x x x x x x x x y f x x y y y y x x x x y y y y f y y y y y y =⇒=+==-⇒⇒-=-+==-+==-=⇒⇒=-=====⇒⇒-=+==-⎧⎪⎨⎪⎩原来的倍 （横坐标不变）， 即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：{)11()1x x x y x y f x y y =-=⇒==⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎩⎩
⎧⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
关于直线对称： 附：