初三数学几何证明题(经典)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道,每道40分)
1.已知,如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.
答案:∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路:过F作FG⊥AD于点G,FH⊥AE于点H,FI⊥BC于点I,如图只要证明FG=FH即可
试题难度:三颗星知识点:三角形角平分线
2.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,∠B=2∠C.求证:AC=AB+BD.
答案:∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED(SAS)∴BD=ED,∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路:在AC上截取AE=AB,连接DE,如图只要证明BD=CE即可
试题难度:三颗星知识点:三角形角平分线
3.已知:如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,AD⊥BE,垂足为点D.求证:∠BAD=∠DAE+∠C.
答案:∵BE平分∠ABC,AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形(三线合一)∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路:延长AD与BC交于点F,如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度:三颗星知识点:三角形角平分线。
2023年数学中考试题精选:几何综合证明(一)
1.(2023.营口24题)在平行四边形ABCD中,∠ADB=90°,点E在CD 上,点G在AB上,点F在BD的延长线上,连接EF,DG, ∠FED=∠ADG,ADBD =DG EF=k.(1)如图1,当k=1时,请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________;(2)如图2,当k=√(3)时,写出线段AD,DE和DF之间的数量关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,当点G是AB的中点时,连接BE,求tan∠EBF的值2.(2023.本溪铁岭辽阳25题)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点O为AB的中点,点D在直线AB上(不与点A,B重合),连接CD,线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,过点B作直线l⊥BC,过点E作EF⊥l,垂足为点F,直线EF交直线OC于点G.(1)如图1,当点D与点O重合时,请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系;(2)如图2,当点D在线段AB上时,求证:CG+BD=√2BC;(3)连接DE,△CDE的面积记为S1,△ABC的面积记为S2,当EF:BC=1:3时,请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC,∠A>90°,点E为AC上一动点,将△ABE以BE为对称轴翻折,同学们经过思考后进行如下探究:独立思考:小明:“当点D落在BC上时,∠EDC=2∠ACB.”小红:“若点E为AC中点,给出AC与DC的长,就可求出BE的长.”补足探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:问题1:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到.(1)如图1,当点D落在BC上时,求证:∠EDC=2∠ACB;(2)如图2,若点E为AC中点,AC=4,CD=3,求BE的长.问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形,可以问题进一步拓展.问题2:如图3,在等腰△ABC中,∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD.若CD=1,则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,连接DE,将ED绕点E逆时针旋转90°,得到EF,连接BF.(1)当点E在线段BC上,∠ABC=45°时,如图1,求证:AE+EC=BF;(2)当点E在线段BC延长线上,∠ABC=45°时,如图2,当点E在线段CB延长线上,∠ABC=135°时,如图3,请猜想并直接写出线段AE,EC,BF的数量关系;(3)在(1)、(2)的条件下,若BE=3,DE=5,则CE=______.5.(2023.贵州省25题)如图1,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC中,CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB,垂足为B,点P在CB上.(1)【动手操作】如图2,若点P在线段CB上,画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形,图中∠PBE的度数为______度;(2)【问题探究】根据(1)所画图形,探究线段PA与PE的数量关系,并说明理由;(3)【拓展延伸】如图3,若点P在射线CB上移动,将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E,探究线段BA,BP,BE之间的数量关系,并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中,AB=10,AD=6,∠DAB=60°,点E为BC边上的一点(点E不与点C重合),连接AE,将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠,点C,D的对应点分别为C`,D`,射线C`E与射线AD将于点F.(1)求证:AF=EF;(2)如图2,当EF⊥AF时,DF的长为______;(3)如图3,当CE=2时,过点F作FM⊥AE,垂足为点M,延长FM 交C`D`于点N,连接AN,EN,求△ANE的面积。
初中数学几何证明题经典例题(超全)
A
9
• 已知:如图正方形ABCD,P、Q分别是BC、 DC上的点,若∠1=∠2 求证:PB+QD=PA
A
10
• 已知:如图正方形ABCD,AC、BD交于点 O,E、F分别是BC、OD的中点 求证: AF⊥EF
A
11
• 已知:如图,,AB=BC,D、E分别是AB、 BC上一点,DM⊥AE交AC于M, BN⊥AE 交AC于N,若BD=BE求证:MN=NC。
A
12
• 已知:如图,//ABCD,AE=ED,BF=FC, //EMAF交DC于M, 求证:FM=AE。
A
13
• 已知:如图,⊿ABC中,E、F分别是AB、 BC中点,M、N是AC上两点,EM、FN交 于D,若AM=MN=NC,求证:四边形 ABCD是平行四边形。
A
14
• 已知:如图,1= 2,AB=3AC,BE⊥AD,
A
4
• 如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形, ∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上.求证: △CDA≌△CEB
A
5
• 如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB 上的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证 明FG⊥DE
A
6
• 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E 是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
AC的长.
M
A
2
• 如图:在正方形ABCD中,E 为CD边上的一点,F为BC的 延长线上一点,CE=CF
• ⑴△BCE与△DCF全等吗? 说明理由;
• ⑵若∠BEC=60,o 求∠EFD。
A
3
• 已知:如图,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB 于E, DF∥AB交AC于F.求证:四边形 AEDF是菱形;
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。
求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15°∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN于E 、F .求证:∠DEN =∠F .证明:连接AC ,取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ,CG=DG ∴GN ∥AD ,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ,AG=CG ∴GM ∥BC ,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 证明:(1)延长AD 交圆于F ,连接BF ,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH )=2GD 又AD ⊥BC ,OM ⊥BC ,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM (2)连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由(1)知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ,连接CD 并延长交MN 于Q ,连接EB 并延长交MN 于P. 求证:AP =AQ .证明:作点E 关于AG 的对称点F ,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)证明:作OF ⊥CD 于F ,OG ⊥BE 于G ,连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ,∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN , ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ,∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°,OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ,点O 是DF 的中点,OP ⊥BC求证:BC=2OP (初二)证明:分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ,DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF .(初二)证明:连接BD 交AC 于O 。
2024届上海初三一模数学各区23题几何证明题
图9第23题图上海市2024届初三一模数学分类汇编—23题几何证明题【2024届·宝山区·初三一模·第23题】1.(本题满分12分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分7分)如图9,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边CD 、BC 上,且CE BF ,DF 分别交AE 、AC 于点P 、Q .(1)求证:AE DF ;(2)求证:AQ BF DF.【2024届·崇明区·初三一模·第23题】2.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)如图,已知在梯形ABCD 中,//AD BC ,E 是边BC 上一点,AE 与对角线BD 相交于点F ,且2BEEF AE .(1)求证:DAB AFB ∽;(2)联结AC ,与BD 相交于点O ,若AB OB BC AF ,求证:2AF OD BF .图123.(本题满分12分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分)如图10,在ABC 中,AB AC ,点D 在边BC 上,已知AFD B ,边DF 交AC 于点E .(1)求证:AF CE CD FE ;(2)联结AD ,如果AB BC AF DF,求证:2AD AE AC .【20244.如图12ADC ,2DE DF (1)(2)第23题图图9(本题满分4分)5.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)如图,在平行四边形ABCD 中,AC AD ,过点A 作AE BD ,垂足为E ,再过点C 作CF CD 交直线AE 于点F .(1)求证:CA CD CB CF ;(2)联结CE ,求证:ACE F .【2024届·嘉定区·初三一模·第23题】6.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)如图9,在ABC 中,90ACB ,点D 是BC 延长线上一点,点E 是斜边AB 上一点,BC BDBE BA .(1)求证:AB ED ;(2)联结AD ,在AB 上取一点F ,使AF AC ,过点F 作//FG BC 交AD 于点G .求证:FG DE .第23题图第23题图7.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)已知:如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,BAC BDC .(1)求证:AOD BOC ∽;(2)过点A 作//AE CD ,AE 交BD 于点E ,求证:AB AD AE BC .【2024届·静安区·初三一模·第23题】8.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)已知:如图,在ABC 中,AB AC ,D 是BC 中点,点E 在BA 延长线上,点F 在AC 边上,EDF B .(1)求证:BDE CFD ∽;(2)求证:2DF EF CF .9.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)如图,在ABC 中,点D 、E 在边AB 上,2AC AD AB ,AC AE ,过点D 作//DF CE 交边AC于点F .(1)求证:ACD ABC ∽;(2)求证:AE EB AB FC .【202410..(1)(2)图11第23题图11.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)已知:如图11,在ABC 中,点D 在边BC 上,ADE B ,EAF FDC ,DE 与AC 交于点F .(1)求证:AB ADAC AE;(2)联结BF ,如果2AB AF AC ,求证:AD BC AE BF .【2024届·青浦区·初三一模·第23题】12.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)已知:如图,在ABC 中,点D 、E 分别在边BC 、AB 上,AD 与CE 相交于点F ,CD CF ,2AC AE AB .(1)求证:ABD ACF ∽;(2)如果2CFD ACF ,求证:AB EF AD AE .第23题图第23题图13.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)已知:如图,在ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,//DE BC ,BDC DEC .(1)求证:ADE ACD ∽;(2)求证:22CD AEBC AC.【2024届·徐汇区·初三一模·第23题】14.(本题满分12分)如图,在ABCD 中,点E 在边AB 上,2DEAE CD .(1)求证:AD CD CE DE ;(2)当点E 是边AB 的中点时,分别延长DE 、CB 交于点F ,求证:222AB EF .第23题图第23题图15.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)已知:如图,在等腰梯形ABCD 中,//AD BC ,AB CD ,点E 在边AB 上,AC 与DE 交于点F ,ADE DCA .(1)求证:AF AC AE CD ;(2)如果点E 是边AB 的中点,求证:22AB DF DE .【2024届·长宁区·初三一模·第23题】16.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)如图,在ABC 中,点D 、E 分别是BC 、AD 的中点,且AD AC ,联结CE 并延长交AB 于点F .(1)求证:ABC DCE ∽;(2)求证:4BF EF .。
中考数学-几何证明
2020年-春季-初三下-【入学考试】1.(初2020级BZ初三下入学测试)如图,正方形ABCD中,对角线AC, BD交于点。
,点E.点OB ,线段AB上,且AF OE ,连接AE交OF于G , 连接DG交AO于H.F分别在线段⑴如图1,若点E为线段BO中点,AE J5,求BF的长:(2)如图2,若AE平分BAC,求证:FG HG;(3)如图3,点E在线段BO (含端点)上运动,连接HE,当线段HE长度取得最大值时,直接写出cos HDO的值.2.(初2020级BS初三下入学测试)如图,平行四边形ABCD中,AB=2BC, B 60 . 曲 DC中点,连接AE . F为AD上一点,连接CF交AE与点G , CM平分FCB交AB于点M .(1)如图1,若BC 3,AF 1 求sin DCF 的值.(2)求证:EG BM CG(3)如图2, CN AB于点N ,若AG=4, MN : BN=3: 5.求CG 的长度.3.(初2020级YZ初三下入学测试)在0ABCD中BAC=90 , AB=AE,延长BE交CD 于点F . AG BE交BE于点H点,M是BC边上的点.(1)如图1,若点M与点G重合,AH 5, AD 显26 ,求CF的长:2(2)如图2.若AM是BAD的角平分线,连接MH , HMG MAH ,求证:AM 2 .2HM(3)如图3,若点M为BC的中点,作点B关于AM的对称点N,连接AN、MN、EN,请直接写出AMH、NAE、MNE之间的角度关系.4.(初2020级YZ 初三下入学测试)在正方形 ABCD 中,E 为边CD 上一点(不与点 C 、D 第4页共34重合),垂直于BE 的一条直线 MN 分别交BC 、BE 、AD 于点M 、P 、N,正方形ABCD 的边长为6.(1)如图1,当点M 和点C 重合时,若AN =4,求线段PM 的长度;(2)如图2,当点M 在边BC 上时,判断线段AN 、MB 、EC 之间的数量关系,并说明理由;(3)如图3,当垂足P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上运动时,连接 NB,将^ BPN 沿着BN 翻折,点P 落在点P 处,AB 的中点为Q,直接写出PQ 的最小值.5.(万二中初2020级初三下入学测试)在4ABC与4ADF中,/BAC=/DAF=90° ,AB=AC,AD=AF, DF的延长线交BC于点E,连接DB、CF.(1)如图1,当点C、A、D三点在同一直线上,且AC=g AF, AF=超时,求CE的长;(2)如图2,当/ AFC = 90°时,求证:E是BC的中点;(3)如图3,若CF平分/ ACB,且CF的延长线与DB交于点G,请直接写出BG、DG、FG之间的数量关系.[ D6.(万中初2020级初三下入学测试) 如图,在?ABCD中,/ACB = 45° , AEXBC于点E, 过点C 作CFLAB于点F,交AE于点M.点N在边BC上,且AM = CN ,连结DN .(1)若AB= 10Q , AC = 4,求BC 的长;(2)求证:AD+AM= 22DN .(3)如图,连接EF、探究AF、EF、CF之间存在的数量关系,直接写出数量关系不需要证明.2020年-春季-初三下-【第一次诊断】1.(初2020级YW初三下第一次诊断)如图,在平行四边形ABCD中,AC为对角线,过点D作DELDC交直线AB于点E,过点E作EHXAD于点H,过点B作BFXAD于点F.(1)如图,若/ BAD=60° , AF=3, AH=2,求AC 的长.(2)如图,若BF=DH,在AC上取一点G,连接DG、GE, 若/ DGE=75° ,/CDG=45° -/CAB,求证:DG 立CG22.如图,已知ABCD中,/ B=45° , CE^AD于G,交BA延长线E, CF平分/ DCE ,连接EF, ED.(1)如果AB=5, AD = 372,求线段DE的长.(2)如果/ CFE=90° ,求证:CD 2DF 版AG .(3)如图,在(2)的条件下,若FG J5,点M、N是线段CF、CD上的动点,DM+MN 是否存在最小值,若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由 ^3.(初2020级BZ初三下第一次诊断)已知△ ABC是等边三角形,CD,AB交AB于M, DBXBC, E是AC上一点,EHXBC,垂足为H, EH与CD交于点F,连接BE.(1)如图,若EC=-AC , EH=6,求BE 的长. 5(2)如图,连接AF,将AF绕点A顺时针旋转,使F点落在BD边上的G点处,AG交CD 于Q,求证:BG=CF.(3)如图,在(2)的条件下,连接FG,交BE于N,连接MN,若竺勺,4AGF的面QG 3积为49户,求MN的长.3.(万州国本中学初三下期中考试)已知,在0ABCD中,AB BD, AB BD, E为射线BC上一点,连接AE交BD于点F .(1)如图1,若点E与点C重合,且AF 2胫,求AD的长;(2)如图2,当点E在BC边上时,过点D作DG AE于G ,延长DG交BC于H ,连接FH ,求证:AF DH FH ;(3)如图3,当点E在射线BC上运动时,过点D作DG AE于G , M为AG的中点,点N在BC边上且BN 1 ,已知AB 4 J2 ,请直接写出MN的最小值.4 .(万州国本中学初三下第一次诊断) 【问题背景】如图1所示,在gABC 中,AB= BC, ABC=90,点D 为直线BC 上的一个动点(不与 B 、C 重合),连结AD,将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90。
中考数学几何证明压轴题
中考专题训练1、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC;(2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.2、已知:如图,在□ABCD 中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若四边形 BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3AB的延长线相交于点M,线段BD N,此时,(1由.4、AB E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。
(1)若sin∠BAD35,求EBFCDA图13-2G图13-3图13-1A( ) B( E )D(2)若 ∠ADO :∠EDO =4:1,求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留π)。
5、如图,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连接AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交直线AB 于点G.(1)求证:点F 是BD 中点;(2)求证:CG 是⊙O 的切线;(3)若FB=FE=2,求⊙O 的半径.6、如图,已知O 为原点,点A 的坐标为(4,3),⊙A 的半径为2.过A 作直线l 平行于x 轴,点P 在直线l 上运动.(1)当点P 在⊙O 上时,请你直接写出它的坐标;(2)设点P 的横坐标为12,试判断直线OP 与⊙A 的位置关系,并说明理由.7、如图,延长⊙O 的半径OA 到B ,使OA=AB ,DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线,垂足为点C .求证:∠ACB=31∠OAC . 8、如图1,一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,梯子与地面的倾斜角α为ο60.⑴求AO 与BO 的长;⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑,同时底端B 沿OM 向右滑行.①如图2,设A 点下滑到C 点,B 点向右滑行到D 点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米;②如图3,当A 点下滑到A ’点,B 点向右滑行到B ’点时,梯子AB 的中点C A B DO EP 也随之运动到P ’点.若∠POP ’= ο15,试求AA ’的长.[解析]⑴AOB Rt ∆中,∠O=90o ,∠α=ο60∴,∠OAB=ο30,又AB=4米,中考数学经典几何证明题(一)1.(1)如图1所示,在四边形ABCD 中,AC =BD ,AC 与BD 相交于点O ,E F 、分别是AD BC 、的中点,联结EF ,分别交AC 、BD 于点M N 、,试判断OMN △的形状,并加以证明;(2)如图2,在四边形ABCD 中,若AB CD =,E F 、分别是AD BC 、的中点,联结FE 并延长,分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论: ;(3)如图3,在ABC △中,AC AB >,点D 在AC 上,AB CD =,E F 、分别是AD BC 、的中点,联结FE 并延长,与BA 的延长线交于点M ,若45FEC ∠=︒,判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系,并简要说明理由.2.(1)如图1,已知矩形ABCD 中,点E 是BC 上的一动点,过点E 作⊥BD 于点F ,EG ⊥A C 于点G ,CH ⊥BD 于点H ,试证明CH=EF+EG; (2) 若点E 在BC的延长线上,如图2,过点E 作EF ⊥BD 于点F ,EG ⊥A C 的延长线于点G ,CH ⊥BD 于点H , 则EF 、EG 、CH 三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;(3) 如图3,BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上,且BL=BC, 连结CL ,点E是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ,EG ⊥BC 于点G ,猜想EF 、EG 、BD 之间具…有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;图 1 图2 图3 E D F E D A A B AC D E F M N OB G A FD E C H(4) 观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形, 使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.3. 如图,△ABC 是等边三角形,F 是AC 的中点,D 在线段BC 上,连接DF ,以DF 为边在DF 的右侧作等边△DFE ,ED 的延长线交AB 于H ,连接EC ,则以下结论:①∠AHE+∠AFD=180°;②AF=21BC ;③当D 在线段BC 上(不与B ,C 重合)运动,其他条件不变时BD BH 是定值;④当D 在线段BC 上(不与B ,C 重合)运动,其他条件不变时DCEC BC +21是定值; (1)其中正确的是-------------------;(2)对于(1)中的结论加以说明;4. 在ABC △中,AC=BC ,90ACB ∠=︒,点D 为AC 的中点.(1)如图1,E 为线段DC 上任意一点,将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ,连结CF ,过点F 作FH FC ⊥,交直线AB 于点H .判断FH 与FC 的数量关系并加以证明.(2)如图2,若E 为线段DC 的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.5. 如图12,在△ABC 中,D 为BC 的中点,点E 、F 分别在边AC 、AB 上,并且∠ABE =∠ACF ,BE 、CF 交于点O .过点O 作OP ⊥AC ,OQ ⊥AB ,P 、Q 为垂足.求证:DP=DQ .6. 如图。
初中数学几何典型题目
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二)3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O(1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .求证:CE =CF .(初二)2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边求证:PA =PF .(初二)4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEFB 、D .求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)经典题(四)1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,求:∠APB 的度数.(初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA . 求证:∠PAB =∠PCB .(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC=AC ·BD .(初三)4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)经典难题(五)1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC , 求证:≤L <2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA =300,∠EBA =200,求∠BED 的度数.APCBACBPDEDCB AA CBPD经典题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初三数学各区二模专题复习5--几何证明题
初三数学专题复习---几何证明题1.如图,在△ABC 与△ABD 中, BC 与AD 相交于点O ,∠1=∠2,CO = DO .求证:∠C =∠D .2.已知:如图,E ,F 在BC 上,且AE ∥DF ,AB ∥CD ,AB =CD .求证:BF = CE .3. 已知:如图,点E 、F 分别为□ABCD 的BC 、AD 边上的点,且∠1=∠2.求证:AE =FC .4.已知,如图,点D 在边BC 上,点E 在△ABC 外部,DE 交AC 于F ,若AD =AB , ∠1=∠2=∠3.求证:BC=DE . 证明:21DOCBAFEDCBA21FEDCBA321F E A BC D5.已知:如图,菱形ABCD 中,过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ,交AB 于点M ,交CB的延长线于点F .如果FB 的长是2,求菱形ABCD 的周长.6.如图,在矩形ABCD 中,E 是边CB 延长线上的点,且EB=AB ,DE 与AB 相交于点F ,AD=2,CD=1,求AE 及DF 的长.7.已知:如图,四边形ABCD 中,BC =CD =DB ,∠ADB =90°,sin ∠ABD =54,S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.8.如图,梯形纸片ABCD 中,AD //BC ,∠B =30º.折叠纸片使BC 经过点A ,点B 落在点B ’处,EF 是折痕,且BE =EF =4,AF ∥CD . (1)求∠BAF 的度数; (2)当梯形的上底AD 多长时,线段DF 恰为该梯形的高? 解:MFEBCDA FEDCBAD CB A A B D EC B 'FDAB9.如图, △OAB 和△COD 均为等腰直角三角形,90AOB COD ∠=∠=︒, 连接AC 、BD .求证: AC BD =.10.已知:如图,在四边形ABCD 中, 60=∠C ,135=∠DAB ,8=BC ,62=AB求DC 的长.11.如图:已知在等边三角形ABC 中,点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点,且BD =CE .求证:DC =EA .12.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =4.过点A 作A E ⊥AB 且AB =AE ,过点E 分别作E F ⊥AC ,ED ⊥BC ,分别交AC 和BC 的延长线与点F ,D .若FC =5,求四边形ABDE的周长.13.如图,AB 是∠DAC 的平分线,且AD =AC .求证:BD =BCDC B AD CO B AA DC E B E F DA BC14. 已知:如图, P 是线段AB 的中点,线段MN 经过点P ,MA ⊥AB ,NB ⊥AB . 求证:AM=BN.15. 如图,AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ,且AC=GE , BC=FE . 求证:∠A =∠G .16. 如图,在四边形ABCD 中,∠ADB =∠CBD =90︒,BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB .若AB=54,DB =4, 求四边形ABCD 的面积.17.已知:如图,∠C =∠CAF =90°,点E 在AC 上,且AE =BC ,EF ⊥AB 于点D .求证:AB =FE .18.如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,CE AB ⊥于E .设CD =CB =34,AD =9,AB =15. 求B ∠的余弦值及AC 的长.ABPM NGF E D C BA P EDCB AO B E AC DO B EACD 19.如图,在△ABC 中,AD 是中线,分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ,垂足分别为点E 、F .求证:BE =CF . 证明:20.如图1,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC BD ,交于点O ,E 是BD 延长线上的点,且ACE △是等边三角形. ⑴求证:四边形ABCD 是菱形;⑵如图2,若2AED EAD ∠=∠,AC =6.求DE 的长.图1图221.如图,点F,G分别在△ADE的AD,DE边上,C,B依次为GF延长线上两点,AB=AD,∠BAF=∠CAE,∠B=∠D.(1)求证:BC=DE;(2)若∠B=35°,∠AFB=78°,直接写出∠DGB 的度数.22. 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点.(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;(2)若∠A=60°,AB=2AD=4,求BD的长.初三数学专题复习---几何证明题 答案1.证明: ∠1=∠2, ∴OA=OB .…1分 在△COA 和△DOB 中 , OA=OB , ∠AOC =∠BOD , CO=DO .∴△COA ≌△DOB . ∴∠C =∠D . 2.证明:∵ AE ∥DF ,∴∠1=∠2. ∵ AB ∥CD , ∴ ∠B =∠C .在△ABE 和 △DCF 中,12,,,B C AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABE ≌△DCF . ∴ BE =CF . ∴BE -EF =CF -EF . 即BF =CE .3.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD ,∠B=∠D.∵∠1=∠2,△ABE ≌△CDF.AE=CF.4.证明:∵∠1=∠2=∠3∴DAE BAC ∠=∠………………… 又∵AFE DFC ∠=∠∴E C ∠=∠ …………………… 在△ABC 和△ADE 中21FEDCBA⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AB E C DAE BAC … ∴△ABC ≌△ADE ∴BC=DE . 5.解:联结BD . ∵在菱形ABCD 中, ∴AD ∥BC ,AC ⊥BD 又∵EF ⊥AC , ∴BD ∥EF .∴四边形EFBD 为平行四边形 ∴FB = ED =2 ∵E 是AD 的中点. ∴AD =2ED =4.∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=.6.解:∵四边形ABCD 是矩形,且AD=2,CD=1,∴BC=AD=2,AB=CD=1,∠ABC =∠C= 90°,AB ∥DC .∴EB=AB=1. 在Rt △ABE 中,222AE AB BE =+=.在Rt △DCE 中,22221310D E D C C E =+=+=.∵AB ∥DC , ∴12EF EB DF BC ==.设EF x =,则2DF x =. ∵EF DF DE +=,∴210x x +=.∴103x =.∴22103DF x ==. 7.解:过C 作CE ⊥BD 于E.∵∠ADB=90°,sin ∠ABD= ,∴AD=4x,AB=5x.∴DB=3x ∵BC=CD=DB ,∴DE= ,∠CDB=60°. ∴tan ∠CDB= ∴CE= . ∵S △BCD= ,∴ ∴ x=2. ∴AD=8,AB=10,CD=CB=6.∴四边形ABCD 的周长=AD+AB+CD+CB=30.8. 解:(1)∵BE =EF ∴∠EFB =∠B ,由题意,△EF B '≌△BEF∴∠EFB ’ =∠EFB =∠B=30°∴△BFA 中,︒=︒-︒-︒-︒=∠90303030180BAF (2)联结DF ,∵AD //BC ,AF ∥CD ∴四边形AFCD 是平行四边形 ∴∠C =∠A FB =60° ∴CD =AF =3230cos =︒EF 若BC DF ⊥,则360cos =︒=CD FC 此时3=AD.9. 证明:∵ 90,AOB COD ∠=∠=︒ ∴ .AOC BOD ∠=∠∵ △OAB 与△COD 均为等腰三角形,∴ ,.OA OB OC OD ==在△AOC 和△BOD 中,,,,AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOC ≌△BOD .∴ AC BD =.10.解:如图,过B 作BE //AD 交CD 于E ,过A 作AF ⊥BE 于F …………1分∴︒=∠=∠90ADC BEC ,︒=∠-︒=∠45180A ABE ,AF =DE ……2分Rt △BEC 中,4218cos =⨯=∠⋅=C BC CE ……………3分 Rt △ABF 中322262sin =⨯=∠⋅=ABF AB AF ∴324+=DC 11.证明:∵ △ABC 是等边三角形,∴ BC =AC ,∠1=∠2=60°. ∴ ∠3=∠4=120°. ∵ BD =CE , ∴ △BDC ≌△CEA .∴DC =EA .12.解:∵ ∠ACB =90°,A E ⊥AB ,∴ ∠1+∠B =∠1+∠2=90°.∴ ∠B =∠2.∵ E F ⊥AC , ∴ ∠4=∠5 =90°.∴ ∠3=∠4. ∵ AB =AE ,∴ △ABC ≌△EAF . ∴ BC =AF ,AC =EF . ∵ BC =4, ∴ AF =4. ∵ FC =5, ∴ AC =EF=9.DCBA EF4321A DCEB7651243EF D A B C在Rt △ABC 中,22AB BC AC =+=2249+=97. ∴ AE =97.∵ ED ⊥BC ,∴ ∠7=∠6 =∠5= 90°. ∴ 四边形EFCD 是矩形.∴ CD =EF =9,ED =FC =5.∴ 四边形ABDE 的周长=AB +BD +DE +EA =97+4+9+5+97=18+297. 13.证明: AB 是∠DAC 的平分线,∴CAB DAB ∠=∠…在ADB ∆和ACB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AB AB CAB DAB ACAD … ∴ADB ∆≌ACB ∆ ∴BD =BC …14. 证明:∵ P 是线段AB 的中点,∴ AP=BP.∵MA ⊥AB ,NB ⊥AB ,∴ ∠MAP=∠NBP=90°. 在△MAP 和△NBP 中,又∵∠APM=∠BPN , ∴△MAP ≌△NBP. ∴ AM=BN15.证明:∵ AC //EG ,∴ C CPG ∠=∠. ∵ BC //EF ,∴ CPG FEG ∠=∠.∴ C FEG ∠=∠.在△ABC 和△GFE 中,,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ D ABC数学试卷 第 11 页 (共 6页)∴ △ABC ≌△GFE .∴A G ∠=∠. 16.解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒,∴ DE ∥CB .∵ BE ∥CD ,∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .在Rt △ABD 中,由勾股定理得 2222(45)48AD AB BD =-=-=.设DE x =,则8EA x =-.∴8EB EA x ==-.在Rt △BDE 中,由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-(). ∴ 3x =. ∴ 3BC DE ==. ∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形17.证明:∵EF ⊥AB 于点D ,∴ ∠ADE =90°.∴ ∠1 +∠2=90°.又∵∠C =90°, ∴ ∠1+∠B =90°. ∴ ∠B =∠2. 在△ABC 和△FEA 中,2,,.B BC AE C FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △ABC ≌△FEA . ∴ AB =FE .18.解:如图,在AB 上截取AF AD =,连结CF .∵ AC 平分∠BAD ,∴12∠=∠. 又AC AC =, ∴△ADC ≌△AFC .∴ AF =AD =9,CF=CD =CB 34=.------------2分数学试卷 第 12 页 (共 6页)∴△CBF 是等腰三角形. 又∵CE AB ⊥于E , ∴ EF =EB =21BF =21(AB -AF )=3. 在Rt △BEC 中,33cos 343434BE B BC ===. 在Rt △BEC (或Rt △FEC )中,由勾股定理得 CE =5.在Rt △AEC 中,由勾股定理 得AC =13.∴ B ∠的余弦值为33434,AC 的长为13. 19.证明: AD 是中线∴BD=CD -分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CFCFD E ∠=∠∴中和在CFD BED ∆∆ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF BDE CDBD CFD E ()AAS CFD BED ∆≅∆∴ CF BE =∴20.证明:⑴ 平行四边形ABCD ∴OA =OC -ACE △是等边三角形 ∴OE ⊥AC ∴BD ⊥AC平行四边形ABCD ∴四边形ABCD 是菱形⑵ ACE △是等边三角形,OE ⊥AC∴∠AEO =AEC ∠21=30°2AED EAD ∠=∠ ∴∠EAD =15° ∴∠ADB =45°四边形ABCD 是菱形 ∴AD =DC , BD ⊥AC图2OBEACD数学试卷 第 13 页 (共 6页)∴∠CDB =∠ADB =45°∠ADC =90°,∴ADC ∆是等腰直角三角形∴OA =OC =OD =AC 21=3,ACE △是等边三角形, ∠EAO =60°在Rt ∆AOE 中,OE =OAtan 60°=33 ∴DE =OE -OD =333-21.(1)证明:如图1.∵ ∠BAF =∠CAE ,∴ BAF CAF CAE CAF ∠-∠=∠-∠.∴ BAC DAE ∠=∠. ………………… 1分 在△ABC 和△ADE 中,,,,B D AB AD BAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △A B C ≌△A D E. ……………………………………………… ∴ BC=DE. ………………………………………………………………… (2)∠DGB 的度数为67︒.22. (1)证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB ∥CD 且AB=CD . ﹍﹍﹍﹍1分 ∵ 点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴ CD DF AB AE 21,21==.∴ AE=DF . ∴ 四边形AEFD 是平行四边形.(2)解:过点D 作DG ⊥AB 于点G . ∵ AB =2AD =4,∴ AD =2.在Rt △AGD 中,∵90,60,AGD A ∠=︒∠=︒ AD =2, ∴ .360sin ,160cos =︒⋅==︒⋅=AD DG AD AG ∴ 3BG AB AG =-=.在Rt △DGB 中,∵90,3,3,DGB DG BG ∠=︒== ∴.329322=+=+=BG DG DB图1F GDEA C B图2GFEDCBA。
初三数学几何证明练习题__学生版
几何证明练习题1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠24. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=ACADBC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求ADCDB BA CDF2 1 EADB CA8. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB9. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠210. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC11. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C12. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BECDB BA CDF2 1EA12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。
求证:BC=AB+DC 。
13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C14. 已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠CDCBAFE15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC18.(5分)如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC . 19.(5分)如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N .求证:∠OAB =∠OBAFAED C BP D ACB20.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .21.(6分)如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B22.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M . (1)求证:MB =MD ,ME =MF(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.23.(7分)已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC .P EDCBA D CBA(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):24.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE .25、(10分)如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。
初中经典几何证明练习题(含答案)
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求证:CD=GF.(初二)2、已知:如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD=∠PDA=15°。
求证:△PBC是正三角形.(初二)3、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:∠DEN=∠F.经典题(二)1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.(1)求证:AH=2OM;(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P。
求证:AP=AQ.3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF的中点,OP⊥BC求证:BC=2OP(初二)证明:分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N∵OF=OD,DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.求证:CE =CF .(初二)证明:连接BD 交AC 于O 。
过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°—15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA,直线EC 交DA 延长线于F . 求证:AE =AF .(初二)证明:连接BD ,过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形∴BD ⊥AC ,又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC∴ODEG 是平行四边形又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形∴EG =OD =21BD=21AC=21CE∴∠GCE=30°∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE . 求证:PA =PF .(初二)证明:过点F 作FG ⊥CE 于G,FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP ∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 设AB=x ,BP=y ,CG=z z :y=(x-y+z ):x 化简得(x-y )·y =(x-y )·z ∵x-y ≠0 ∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15°在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE =180°-135°-30°=15° ∴∠F=∠CEA ∴AE=AFP E PB AC∴△FGP ∽△PBA ∴FG :PB=PG :AB4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D . 求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)证明:过点E 作EK ∥BD ,分别交AC 、AF 于M 、K ,取EF 的中点H , 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH∴OH ⊥EF,∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC ,∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO 又EK ∥BD,∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题(四)1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5. 求∠APB 的度数.(初二)解:将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ,连接PQ 则△BPQ 是正三角形∴∠BQP=60°,PQ=PB=3在△PQC 中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA . 求证:∠PAB =∠PCB .(初二)证明:过点P 作AD 的平行线,过点A 作PD 的平行线, 两平行线相交于点E ,连接BE ∵PE ∥AD,AE ∥PD∴ADPE 是平行四边形∴PE=AD,又ABCD 是平行四边形∴AD=BC∴PE=BC又PE ∥AD ,AD ∥BC ∴PE ∥BC ∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO ∴四边形ABCD 的对角线互相平分 ∴ABCD 是平行四边形 ∴AB=DC ,BC=AD 又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD .(初三) 证明:在BD 上去一点E ,使∠BCE=∠∵错误!=错误!∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC ∴ACBCAD BE =∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵错误!=错误!,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC ∴CDACDE AB =∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)证明:过点D 作DG ⊥AE 于G ,作DH ⊥FC 于H ,连接DF ∴S △ADE =错误!AE ·DG,S △FDC =错误!FC ·DH 又S △ADE =S △FDC =错误!S □ABCD ∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA =∠DPC经典题(五)1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:3≤L <2. 证明:(1)将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ,连接PE , ∵BP=BE ,∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。
中考 数学专练12(几何证明大题)(30题)(学生版)
2022中考考点必杀500题专练12(几何证明大题)(30道)三角形1.(2022·上海徐汇·二模)如图,四边形ABCE 中,∠BAC =90°,AB =AC ,BF ∠CE 于点F ,点D 为BF 上一点,且∠BAD =∠CAE .(1)求证:AD =AE ;(2)设BF 交AC 于点G ,若22BC BD BG =⋅,判断四边形ADFE 的形状,并证明.2.(2022·湖北宜昌·一模)如图,在平行四边形ABCD 中,B AFE ∠=∠,EA 是∠BEF 的角平分线,求证:(1)ABE AFE ∆≅∆;(2)FAD CDE ∠=∠.3.(2022·四川广元·一模)如图,在ABC 中,45,75ABC ACB ∠=︒∠=︒,D 是BC 上一点,且60ADC ∠=︒,CF AD ⊥于点F ,AE BC ⊥于点E ,AE 交CF 于点G .(1)求证:AFG CFD ≌△△;(2)若1,FD AF ==EG 的长.4.(2022·上海嘉定·二模)如图,已知平行四边形ABCD 中,E 是边CD 的中点,连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ,连接AC .(1)求证:AD =CF ;(2)若AB ∠AF ,且AB =8,BC =5,求sin∠ACE 的值.5.(2022·江苏盐城·一模)在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,对角线AC 平分∠BAD .(1)推理证明:如图1,若120DAB ∠=︒,且90D ∠=︒,求证:AD AB AC +=;(2)问题探究:如图2,若120DAB ∠=︒,试探究AD 、AB 、AC 之间的数量关系;(3)迁移应用:如图3,若90DAB ∠=︒,AD =2,AB =4,求线段AC 的长度.6.(2022·山东泰安·一模)在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD BC ⊥于点D .(1)如图1,点E ,F 分别在AB ,AC 上,且90EDF ∠=︒,求证:AE CF =;(2)如图2,点M 在AD 的延长线上,点N 在AC 上,且90BMN ∠=︒,求证:AC AN +=.7.(2022·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室一模)已知AOB 和MON <OM <OA ),∠AOB =∠MON =90°.(1)如图1,连接AM ,BN ,求证:AM =BN ;(2)将MON 绕点O 顺时针旋转.如图2,当点M 恰好在AB 边上时,求证:AM 2+BM 2=2OM 2; 8.(2022·湖南·株洲县教学研究室一模)如图,点E ,F 分别在菱形ABCD 的边BC ,CD 上,且BE DF =,连接EF ,交对角线于点G .求证:(1)BAE DAF ∠=∠(2)AC EF ⊥9.(2022·广东·塘厦初中一模)如图,AD 是ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高.(1)求证:AD 垂直平分EF ;(2)若10AB AC +=,3DE =,求ABC 的面积ABC S .10.(2022·湖南·师大附中梅溪湖中学一模)如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ∠BC 于点D ,BE ∠AC 于点E ,AD 、BE 相交于点H ,AE =BE .(1)求证:△AEH ∠△BEC .(2)若AH =4,求BD 的长.四边形11.(2022·上海市青浦区教育局二模)如图,已知在梯形ABCD 中,//AD BC ,对角线AC 、BD 交于E ,BD 平分ABC ∠,点G 在底边BC 上,连结DG 交对角线AC 于F ,DGB DAB ∠=∠.(1)求证:四边形ABGD 是菱形;(2)连结EG ,求证:BG EG BC EF ⋅=⋅.12.(2022·广西南宁·一模)如图,在ABCD 中,连接对角线BD ,过点,A C 分别作AE BD CF BD ⊥⊥,,垂足为,E F .(1)求证:AE CF =;(2)如图2,延长AE 至点G ,使得AE GE =,连接CG ,求证:四边形EGCF 是矩形.13.(2022·山东聊城·一模)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC ,BD 相交于点O ,∠BOC ∠∠CEB .(1)求证:四边形OBEC 是矩形;(2)若∠ABC =120°,AB =6,求矩形OBEC 的周长.14.(2022·江苏扬州·一模)如图,在ABC 中,90BAC ∠=︒,D 是BC 的中点,E 是AD 的中点,过点A 作AF //BC 交BE 的延长线于点F .(1)求证:AEF DEB ≌;(2)若3,4AC AB ==,求四边形ADCF 的面积.15.(2022·福建三明·二模)已知:如图,在ABCD 中,E 为BC 的中点,DF ∠AE 于点F ,CG ∠DF 于点G .求证:(1)∠DAE = ∠BCG ;(2)G 为DF 的中点.16.(2021·四川德阳·二模)如图,在四边形ABCD 中,AD ∠BC ,对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于M 、N .(1)判断四边形BNDM 的形状,并证明你的结论;(2)若BD=24,MN=10,求四边形BNDM的周长.=.17.(2022·新疆乌鲁木齐·一模)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F在对角线AC上,且AE CF(1)求证:ADE CBF△△;≌(2)求证:四边形DEBF是菱形.18.(2022·四川绵阳·一模)如图,在四边形ABCD中,AB∠CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∠CD,AB=AF,CD=DF.(1)求证:CF∠FB;(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;(3)若EF=2,∠DFE=120°,求∠ADE的面积.19.(2022·宁夏·银川市第十中学二模)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.(1)求证:∠ABE∠∠CDF;(2)当AC∠EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.20.(2022·北京市燕山教研中心一模)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点D作⊥交BC的延长线于点E.DE BD(1)求证:四边形ACED 是平行四边形;(2)若4BD =,3AC =,求sin CDE ∠的值.圆21.(2022·浙江绍兴·一模)如图,AC 为O 的直径,点B 是AC 上方半圆上的一点,作BD 平分ABC ∠交O 于点D ,过点D 作DE //AC 交BC 的延长线于点E .(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若2,3AB BE ==,求BD 的长.22.(2022·陕西·一模)如图,AB 是∠O 的直径,AC 是∠O 的切线,且CA =BA .连接BC ,OC .过点A 作AD ∠OC 于点D ,延长AD 交BC 于点E ,交∠O 于点F ,连接BF .(1)求证:∠F AB =∠ACD ;(2)若BF =4,求DE 的长.23.(2022·陕西西安·三模)如图,AB 是∠O 的直径,点C 为∠O 上一点,∠ABC 的外角平分线BD 交∠O 于点D ,DE 与∠O 相切,交CB 的延长线于点E ,连接AD .(1)求证:AC ∠DE ;(2)若BD =BE =2,求CB 的长.24.(2022·新疆乌鲁木齐·一模)如图,已知AC 是O 的直径,点P 是O 外一点,PC 与O 交于点B ,12PAB AOB ∠=∠.(1)求证:P A 是O 的切线;(2)若1tan 3OPC ∠=,求PB OP的值. 25.(2022·山东济南·二模)如图,BE 是∠O 的直径,点A 和点D 是∠O 上的两点,过点A 作∠O 的切线交BE 延长线于点C .(1)若29ADE ∠=︒,求∠C 的度数;(2)若AC 1CE =,求∠O 半径的长.26.(2022·山东聊城·一模)如图,AB 为∠O 的直径,直线l 与∠O 相切于点C ,AD ∠l ,垂足为D ,AD 交∠O 于点E ,连接CE .(1)求证:∠CAD=∠CAB;(2)若EC=4,sin∠CAD13=,求∠O的半径.27.(2022·河南商丘·二模)如图,以AB为直径的O中,AC为弦,点P为O上一点,过点A的切线交CP 延长线于点D,PC交AB于点Q,连接AP,PAB PQA∠=∠(1)求证:PA PD=;(2)若3PA=,5AC=,求OA的长.28.(2022·山东·济宁学院附属中学二模)如图,AB是∠O的直径,C是弧AB的中点,∠O的切线BD交AC 的延长线于点D,E是OB的中点,CE的延长线交切线BD于点F,AF交∠O于点H,连接BH.(1)求证:AC=CD(2)若OB=2,求BH的长29.(2022·江苏苏州·模拟预测)如图,AB是∠O的直径,点D在∠O上,且DM是∠O的切线,过点B作DM的平行线交∠O于点C,交AD于点E,连接AC并延长与DM相交于点F.(1)求证:CD=BD;(2)若CD=6,AD=8,求cos∠ABC的值30.(2022·湖北·荆州市教育科学研究院一模)如图,∠O是∠ABC的外接圆,AD是∠O的直径,F是AD延长线上一点,连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD.(1)求证:CF是∠O的切线;(2)若cos B=35,AD=2,求AC和FD的长.。
初中经典几何证明练习题集(含答案解析)
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。
求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15°∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F .证明:连接AC ,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ,CG=DG ∴GN ∥AD ,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ,AG=CG ∴GM ∥BC ,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 证明:(1)延长AD 交圆于F ,连接BF ,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH )=2GD 又AD ⊥BC ,OM ⊥BC ,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM (2)连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由(1)知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ,连接CD 并延长交MN 于Q ,连接EB 并延长交MN 于P. 求证:AP =AQ .证明:作点E 关于AG 的对称点F ,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)证明:作OF ⊥CD 于F ,OG ⊥BE 于G ,连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ,∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN , ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ,∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°,OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ,点O 是DF 的中点,OP ⊥BC求证:BC=2OP (初二)证明:分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ,DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF .(初二)证明:连接BD 交AC 于O 。
中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)
几何证明题专题1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE(1)求证:BE=CE;(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G 为CH的中点.(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.(1)当CE=1时,求△BCE的面积;(2)求证:BD=EF+CE.4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E EF∥CA,交CD于点F,连接OF.(1)求证:OF∥BC;(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.(1)求线段CD的长;(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC.6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.(1)若AB=6cm,,求梯形ABCD的面积;(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.7、已知:如图,ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.(1)求证:∠DAE=∠DCE;(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.(1)求证:DP平分∠ADC;(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;(1)证明:EF=EA;(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.(1)求证:EB=EF;(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.(1)求证:AE=GF;(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.(1)求证:FC=BE;(2)若AD=DC=2,求AG的长.14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中点F,连接AF、BF.(1)求证:AD=BE;(2)试判断△ABF的形状,并说明理由.15、(2011•潼南县)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.(1)求证:AD=AE;(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.(1)求证:AE⊥BD;(2)若AD=4,BC=14,求EF的长.17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC.(1)求证:CD=BE;(2)若AD=3,DC=4,求AE.18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.(1)求证:BF=EF﹣ED;(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求AE的长.(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.(1)求证:DH=(AD+BC);(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.(1)求证:△AGE≌△DAB;(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.(1)证明:△ABE≌△DAF;(2)求∠BPF的度数.25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.(1)求∠ABC的度数;(2)如果BC=8,求△DBF的面积?26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.(1)求证:△AGD为正三角形;(2)求EF的长度.27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.(2)求证:ED=BE+FC.28、(2005•镇江)已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.(1)求证:△BCE≌△AFE;(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF 的延长线交DC于点E.求证:(1)△BFC≌△DFC;(2)AD=DE;(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.30、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.参考答案1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE(1)求证:BE=CE;(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.证明:(1)已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,∴AB=DC,∠BAE=∠CDE,AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE;(2)延长CD和BE的延长线交于H,∵BF⊥CD,∠HEC=90°,∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH,又∠BEC=∠CEH=90°,BE=CE(已证),∴△BEG≌△CEH,∴EG=EH,BG=CH=DH+CD,∵△BAE≌△CDE(已证),∴∠AEB=∠GED,∠HED=∠AEB,∴∠GED=∠HED,又EG=EH(已证),ED=ED,∴△GED≌△HED,∴DG=DH,∴BG=DG+CD.2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G 为CH的中点.(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;(1)证明:∵HE=HG,∴∠HEG=∠HGE,∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,∴∠BEH=∠FGC,∵G是HC的中点,∴HG=GC,∴HE=GC,∵∠HBE=∠CFG=90°.∴△EBH≌△GFC;(2)解:∵ED平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°,∴AD=DF,∵DF=DC﹣FC,∵△EBH≌△GFC,∴FC=BH=1,∴AD=4﹣1=3.3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.(1)当CE=1时,求△BCE的面积;(2)求证:BD=EF+CE.(2)过E点作EM⊥DB于点M,四边形FDME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,△BME≌△ECB,BM=CE,继而可证明BD=DM+BM=EF+CE.(1)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB,∴,∵DC∥AB,AD=BC,∴∠DAB=∠CBA=60°,∴∠ACB=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=90°,∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°,∵BE⊥AB,∴∠ABE=90°,∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°,在Rt△BCE中,BE=2CE=2,,∴…(5分)(2)证明:过E点作EM⊥DB于点M,∴四边形FDME是矩形,∴FE=DM,∵∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,∴△BME≌△ECB,∴BM=CE,∴BD=DM+BM=EF+CE…(10分)4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E作EF∥CA,交CD于点F,连接OF.(1)求证:OF∥BC;(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.解答:(1)证明:延长EF交AD于G(如图),在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∵EF∥CA,EG∥CA,∴四边形ACEG是平行四边形,∴AG=CE,又∵,AD=BC,∴,∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF,在△CEF和△DGF中,∵∠CFE=∠DFG,∠ADC=∠ECF,CE=DG,∴△CEF≌△DGF(AAS),∴CF=DF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OF∥BE.(2)解:如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四边形ABCD是矩形.证明:∵OF∥CE,EF∥CO,∴四边形OCEF是平行四边形,∴EF=OC,又∵梯形OBEF是等腰梯形,∴BO=EF,∴OB=OC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2BO.∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.(1)求线段CD的长;(2)H 在边BF 上,且∠HDF=∠E ,连接CH ,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC .(1)解:连接BD ,由∠ABC=90°,AD ∥BC 得∠GAD=90°,又∵BF ⊥CD ,∴∠DFE=90°又∵DG=DE ,∠GDA=∠EDF ,∴△GAD ≌△EFD ,∴DA=DF ,又∵BD=BD ,∴Rt △BAD ≌Rt △BFD (HL ),∴BF=BA=,∠ADB=∠BDF 又∵CF=6,∴BC=,又∵AD ∥BC ,∴∠ADB=∠CBD ,∴∠BDF=∠CBD ,∴CD=CB=8.(2)证明:∵AD ∥BC ,∴∠E=∠CBF ,∵∠HDF=∠E ,∴∠HDF=∠CBF ,由(1)得,∠ADB=∠CBD ,∴∠HDB=∠HBD ,∴HD=HB ,由(1)得CD=CB ,CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ,∴∠DCH=∠BCH ,∴∠BCH=∠BCD==.6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.(1)若AB=6cm,,求梯形ABCD的面积;(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.解:(1)连AC,过C作CM⊥AD于M,如图,在Rt△ABC中,AB=6,sin∠ACB==,∴AC=10,∴BC=8,在Rt△CDM中,∠D=45°,∴DM=CM=AB=6,∴AD=6+8=14,∴梯形ABCD的面积=•(8+14)•6=66(cm2);(2)证明:过G作GN⊥AD,如图,∵∠D=45°,∴△DNG为等腰直角三角形,∴DN=GN,又∵AD∥BC,∴∠BFH=∠FHN,而∠EFH=∠FHG,∴∠BFE=∠GHN,∵EF=GH,∴Rt△BEF≌Rt△NGH,∴BE=GN,BF=HN,∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE.7、已知:如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.(1)证明:如图.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∵DF=CD,∴AB∥DF.∵DF=CD,∴AB=DF.∴四边形ABDF是平行四边形,∴AE=DE.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∴∠COD=90°.∵四边形ABDF是平行四边形,∴AF∥BD.∴∠CAF=∠COD=90°.8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.(1)求证:∠DAE=∠DCE;(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.(1)证明:在△DAE和△DCE中,∠ADE=∠CDE(正方形的对角线平分对角),ED=DE(公共边),AE=CE(正方形的四条边长相等),∴△DAE≌△DCE(SAS),∴∠DAE=∠DCE(全等三角形的对应角相等);(2)解:如图,由(1)知,△DAE≌△DCE,∴AE=EC,∴∠EAC=∠ECA(等边对等角);又∵CG=CE(已知),∴∠G=∠CEG(等边对等角);而∠CEG=2∠EAC(外角定理),∠ECB=2∠CEG(外角定理),∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°,∴∠G=∠CEG=30°;过点C作CH⊥AG于点H,∴∠FCH=30°,∴在直角△ECH中,EH=CH,EG=2CH,在直角△FCH中,CH=CF,∴EG=2×CF=3CF.9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.(1)求证:DP平分∠ADC;(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.(1)证明:连接PC.∵ABCD是正方形,∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.(SAS)∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.∴∠EAF=∠BAD=90°.∵P是EF的中点,∴PA=EF,PC=EF,∴PA=PC.又AD=CD,PD公共,∴△PAD≌△PCD,(SSS)∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;(2)作PH⊥CF于H点.∵P是EF的中点,∴PH=EC.设EC=x.由(1)知△EAF是等腰直角三角形,∴∠AEF=45°,∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°,∴EF=2x,FC=x,BE=2﹣x.在Rt△ABE中,22+(2﹣x)2=(x)2解得x1=﹣2﹣2(舍去),x2=﹣2+2.∴PH=﹣1+,FD=(﹣2+2)﹣2=﹣2+4.=(﹣2+4)×=3﹣5.∴S△DPF10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;(1)证明:EF=EA;(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.∵E为CD的中点,∴ED=EC.∴△ADE≌△FCE.∴EF=EA.(5分)(2)解:连接GA,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠DAB=90°.∵DG⊥BC,∴四边形ABGD是矩形.∴BG=AD,GA=BD.∵BD=BC,∴GA=BC.由(1)得△ADE≌△FCE,∴AD=FC.∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA.∵由(1)得EF=EA,∴EG⊥AF.(5分)11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.(1)求证:EB=EF;(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.(1)证明:∵△ADF为等边三角形,∴AF=AD,∠FAD=60°(1分)∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB(2分)∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,(3分)∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE(4分)∴EF=EB(5分)(2)解:如图,连接EC.(6分)∵在等边三角形△ADF中,∴FD=FA,∵∠EAD=∠EDA=15°,∴ED=EA,∴EF是AD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°.(7分)由(1)△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°.∵∠FAE=∠BAE=75°,∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°,∴BE=BA=6.∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°,∴∠GEB=30°,∵∠ABC=60°,∴∠GBE=30°∴GE=GB.(8分)∵点G是BC的中点,∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°,∴△CEG为等边三角形,∴∠CEG=60°,∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°(9分)∴在Rt△CEB中,BC=2CE,BC2=CE2+BE2∴CE=,∴BC=(10分);解法二:过C作CQ⊥AB于Q,∵CQ=AB=AD=6,∵∠ABC=60°,∴BC=6÷=4.12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.(1)求证:AE=GF;(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.(1)证明:∵AB=DC,∴梯形ABCD为等腰梯形.∵∠C=60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=30°.∴∠DBC=∠ADB=30°.∴∠BDC=90°.(1分)由已知AE⊥BD,∴AE∥DC.(2分)又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BD的中点,∵F是DC的中点,∴EF∥BC.∴EF∥AD.∴四边形AEFD是平行四边形.(3分)∴AE=DF(4分)∵F是DC的中点,DG是梯形ABCD的高,∴GF=DF,(5分)∴AE=GF.(6分)(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,∵AE=1,∴AD=2.在Rt△DGC中∠C=60°,并且DC=AD=2,∴DG=.(8分)由(1)知:在平行四边形AEFD中EF=AD=2,又∵DG⊥BC,∴DG⊥EF,∴四边形DEGF的面积=EF•DG=.(10分)13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.(1)求证:FC=BE;(2)若AD=DC=2,求AG的长.解答:(1)证明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,∴∠ABC=∠AFE.∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,∴△ABC≌△AFE,∴AB=AF.∴AE﹣AB=AC﹣AF,即FC=BE;(2)解:∵AD=DC=2,DF⊥AC,∴AF=AC=AE.∴AG=CG,∴∠E=30°.∵∠EAD=90°,∴∠ADE=60°,∴∠FAD=∠E=30°,∴FC=,∵AD∥BC,∴∠ACG=∠FAD=30°,∴CG=2,∴AG=2.14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,(1)证明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∵∠ABC=90°,∴∠BAD=∠ABC=90°,∵DE⊥EC,∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠BEC=∠ADE,∵∠DAE=∠EBC,AE=BC,∴△EAD≌△EBC,∴AD=BE.(2)答:△ABF是等腰直角三角形.理由是:延长AF交BC的延长线于M,∵AD∥BM,∴∠DAF=∠M,∵∠AFD=∠CFM,DF=FC,∴△ADF≌△MFC,∴AD=CM,∵AD=BE,∴BE=CM,∵AE=BC,∴AB=BM,∴△ABM是等腰直角三角形,∵△ADF≌△MFC,∴AF=FM,∴∠ABC=90°,∴BF⊥AM,BF=AM=AF,∴△AFB是等腰直角三角形.15、(2011•潼南县)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.(1)求证:AD=AE;(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.解答:(1)证明:连接AC,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC,∴∠ACD=∠ACB,∵AD⊥DC,AE⊥BC,∴∠D=∠AEC=90°,∵AC=AC,∴,∴△ADC≌△AEC,(AAS)∴AD=AE;(2)解:由(1)知:AD=AE,DC=EC,设AB=x,则BE=x﹣4,AE=8,在Rt△ABE中∠AEB=90°,由勾股定理得:82+(x﹣4)2=x2,解得:x=10,∴AB=10.说明:依据此评分标准,其它方法如:过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分.16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.(1)求证:AE⊥BD;(2)若AD=4,BC=14,求EF的长.(1)证明:∵AD∥CB,∴∠ADB=∠CBD,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形,已知E是BD的中点,∴AE⊥BD.(2)解:延长AE交BC于G,∵BD平分∠ABC,∴∠ABE=∠GBE,又∵AE⊥BD(已证),∴∠AEB=∠GEB,BE=BE,∴△ABE≌△GBE,∴AE=GE,BG=AB=AD,又F是AC的中点(已知),所以由三角形中位线定理得:EF=CG=(BC﹣BG)=(BC﹣AD)=×(14﹣4)=5.答:EF的长为5.17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC.(1)求证:CD=BE;(2)若AD=3,DC=4,求AE.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCE,而BE⊥AC,∴∠D=∠BEC=90°,AC=BC,∴△BCE≌△CAD.∴CD=BE.(2)解:在Rt△ADC中,根据勾股定理得AC==5,∵△BCE≌△CAD,∴CE=AD=3.∴AE=AC﹣CE=2.18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.解:如图,过点D作DF∥AB,分别交AC,BC于点E,F.(1分)∵AB⊥AC,∴∠AED=∠BAC=90度.∵AD∥BC,∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=4,∴AC=BC•sin45°=4×=2(2分)在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=45°,AD=1,∴DE=AE=.∴CE=AC﹣AE=.(4分)在Rt△DEC中,∠CED=90°,∴DC==.(5分)19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.(1)求证:BF=EF﹣ED;(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.证明:∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF,∴△FCE≌△F′CE,∴EF′=EF=DF′+ED,∴BF=EF﹣ED;(2)解:∵AB=BC,∠B=80°,∴∠ACB=50°,由(1)得∠FEC=∠DEC=70°,∴∠ECB=70°,而∠B=∠BCD=80°,∴∠DCE=10°,∴∠BCF=30°,∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°.20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求AE的长.(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.解:(1)作EM⊥AB,交AB于点M.∵AE=BE,EM⊥AB,∴AM=BM=×6=3;∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°,∴四边形AMEF是矩形,∴EF=AM=3;在Rt△AFE中,AE==5;(2)延长AF、BC交于点N.∵AD∥EN,∴∠DAF=∠N;∵∠AFD=∠NFC,DF=FC,∴△ADF≌△NCF(AAS),∴AD=CN;∵∠B+∠N=90°,∠BAE+∠EAN=90°,又AE=BE,∠B=∠BAE,∴∠N=∠EAN,AE=EN,∴BE=EN=EC+CN=EC+AD,∴CE=BE﹣AD..21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.(1)求证:DH=(AD+BC);(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.解:(1)证明:过D作DE∥AC交BC延长线于E,(1分)∵AD∥BC,∴四边形ACED为平行四边形.(2分)∴CE=AD,DE=AC.∵四边形ABCD为等腰梯形,∴BD=AC=DE.∵AC⊥BD,∴DE⊥BD.∴△DBE为等腰直角三角形.(4分)∵DH⊥BC,∴DH=BE=(CE+BC)=(AD+BC).(5分)(2)∵AD=CE,∴.(7分)∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6,∴.∴梯形ABCD的面积为18.(8分)注:此题解题方法并不唯一.22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.(1)求证:△AGE≌△DAB;(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,DG∥BC,∴∠AGD=∠ABC=60°,∠ADG=∠ACB=60°,且∠BAC=60°,∴△AGD是等边三角形,AG=GD=AD,∠AGD=60°.∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,∵∠AGD=∠BAD,AG=AD,∴△AGE≌△DAB;(2)解:由(1)知AE=BD,∠ABD=∠AEG.∵EF∥DB,DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形.∴EF=BD,∴EF=AE.∵∠DBC=∠DEF,∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF,即∠AEF=∠ABC=60°.∴△AFE是等边三角形,∠AFE=60°.23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC,∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;(2)△DCF是等腰直角三角形,证明:∵DE=EC,EF=EC,∴EF=CD,∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴CF=(BC﹣AD)=1,∵DC=,∴由勾股定理得:DF=1,∴△DCF是等腰直角三角形;(3)共四种情况:∵DF⊥BC,∴当PF=CF时,△PCD是等腰三角形,即PF=1,∴PB=1;当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,∴PB=2;当PC=CD=(P在点C的左侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3﹣;当PC=CD=(P在点C的右侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3+.故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3﹣,PB=3+.(每个1分)24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.(1)证明:△ABE≌△DAF;(2)求∠BPF的度数.解答:(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,∴AB=CD,∵AD=DC,∴BA=AD,∠BAE=∠ADF=120°,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,,∴△ABE≌△DAF(SAS).(2)解:∵由(1)△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF.∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE.而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,∴∠BPF=120°.25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.(1)求∠ABC的度数;(2)如果BC=8,求△DBF的面积?解答:解:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD,∴∠DBC=∠ABD,∵在梯形ABCD中AB=DC,∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC,∵BD⊥DC,∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°(2)过点D作DH⊥BC,垂足为H,∵∠DBC=30°,BC=8,∴DC=4,∵CF=CD∴CF=4,∴BF=12,∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°,∠F=∠FDC∴∠F=30°,∵∠DBC=30°,∴∠F=∠DBC,∴DB=DF,∴,在直角三角形DBH中,∴,∴,∴,即△DBF的面积为.26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.(1)求证:△AGD为正三角形;(2)求EF的长度.(1)证明:连接BE,∵梯形ABCD中,AB=DC,∴AC=BD,可证△ABC≌△DCB,∴∠GCB=∠GBC,又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形,(2)解:∵BE为△BCG的中线,∴BE⊥AC,在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,∴EF=AB=5cm.27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.(2)求证:ED=BE+FC.解:(1)∵∠BEC=75°,∠ABC=90°,∴∠ECB=15°,∵∠ECD=45°,∴∠DCF=60°,在Rt△DFC中:∠DCF=60°,FC=3,∴DF=3,DC=6,由题得,四边形ABFD是矩形,∴AB=DF=3,∵AB=BC,∴BC=3,∴BF=BC﹣FC=3﹣3,∴AD=DF=3﹣3,∴C=3×2+6+3﹣3=9+3,梯形ABCD答:梯形ABCD的周长是9+3.(2)过点C作CM垂直AD的延长线于M,再延长DM到N,使MN=BE,∴CN=CE,可证∠NCD=∠DCE,∵CD=CD,∴△DEC≌△DNC,∴ED=EN,∴ED=BE+FC.28、(2005•镇江)已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.(1)求证:△BCE≌△AFE;(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.(1)证明:∵AD∥BC,E是AB的中点,∴AE=BE,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F.∴△BCE≌△AFE(AAS).(2)解:∵AD∥BC,∴∠DAB=∠ABC=90°.∵AE=BE,∠AEF=∠BEC,∴△BCE≌△AFE.∴AF=BC=4.∵EF2=AF2+AE2=9+16=25,∴EF=5.29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF 的延长线交DC于点E.(1)△BFC≌△DFC;(2)AD=DE;(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.(1)∵DC=BC,∠1=∠2,CF=CF,∴△DCF≌△BCF.(2)延长DF交BC于G,∵AD∥BG,AB∥DG,∴四边形ABGD为平行四边形.∴AD=BG.∵△DFC≌△BFC,∴∠EDF=∠GBF,DF=BF.又∵∠3=∠4,∴△DFE≌△BFG.∴DE=BG,EF=GF.∴AD=DE.(3)∵EF=GF,DF=BF,∴EF+BF=GF+DF,即:BE=DG.∵DG=AB,∴BE=AB.∵C=DF+FE+DE=6,△DFE∴BF+FE+DE=6,即:EB+DE=6.∴AB+AD=6.又∵AD=2,∴AB=4.∴DG=AB=4.∵BG=AD=2,∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3.又∵DC=BC=5,在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°.=(AD+BC)•DG∴S梯形ABCD=(2+5)×430、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.解答:解:(1)证明:∵AD∥BC,DE2=CD2+CE2=42+32=25,∴∠OAD=∠OEB,∴DE=5又∵AB=AD,AO⊥BD,∴AD=BE=5,=.∴OB=OD,∴S梯形ABCD又∵∠AOD=∠EOB,∴△ADO≌△EBO(AAS),∴AD=EB,又∵AD∥BE,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DE=BE,。
初三数学-菱形矩形正方形证明题
初三数学-菱形矩形正方形证明题
初三数学:菱形矩形正方形证明题
1.在四边形ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC。
证明BE=DG,当且仅当AB=BC时,四边形ABFG是菱形。
2.在正方形ABCD中,CE⊥DF,CE=10cm。
求DF的长度。
3.在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AD连线,延
长线上取点E,BE和CE相连。
证明△ABE≌△ACE,当且
仅当AE=AD时,四边形ABEC是菱形。
4.将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E。
证明△AED≌△B′ED,并且当AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H时,PG+PH=
5.
5.在正方形ABCD中,G是BC上的一点,DE⊥AG于E,BF⊥AG于F。
证明△ABF≌△DAE和DE=EF+FB。
6.在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,
过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。
证明BD=CD。
初三证明题经典例题
初三证明题经典例题
(实用版)
目录
1.例题概述
2.例题分析
3.证明过程
4.总结
正文
1.例题概述
本题是一道初三数学证明题的经典例题,主要考察学生对三角形性质的理解和应用,以及逻辑推理和证明能力。
题目如下:“已知线段 AB=AC,求证:∠BAC=∠BCA。
”
2.例题分析
在解决这道题目时,首先要明确的是题目所给出的已知条件:线段AB=AC。
然后,根据等腰三角形的性质,我们可以得出∠BAC=∠BCA 或∠BAC=∠ACB。
因此,我们需要证明的是∠BAC=∠BCA。
3.证明过程
为了证明∠BAC=∠BCA,我们可以通过以下步骤进行:
(1)作 AD⊥BC 于 D,证明△ABD≌△ACD。
(2)根据全等三角形的性质,得出∠ADB=∠ADC。
(3)根据直角三角形的性质,得出∠ADB+∠BAD=∠ADC+∠CAD=90°。
(4)结合已知条件 AB=AC,得出∠BAD=∠CAD。
(5)根据等角对等边的性质,得出∠BAC=∠BCA。
4.总结
通过以上证明过程,我们成功地证明了在已知线段 AB=AC 的条件下,∠BAC=∠BCA。
这道题目不仅考察了学生的三角形性质知识,还锻炼了他们的逻辑推理和证明能力。
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创作编号:
GB8878185555334563BT9125XW
创作者:凤呜大王*
如图;已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O
交AB于点D,过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E.
求证:BE=CE
证明:连接CD
∵AC是直径
∴∠ADC=90°
∵∠ACB=90°,ED是切线
∴CE=DE
∴∠ECD=∠EDC
∵∠ECD+∠B=90°,∠EDC+∠BDE=90°
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
∴BE=CE
如图,半圆O的直径DE=10cm,△ABC中,∠ABC=90°,∠BCA=30°,BC=10cm,半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,D、E始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0(s)时,半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。
(1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切;
(2)当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积。
(1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切;
相切分两种情况,如图,
①左图:当t=0时,原图中OB=9,此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm
则:t=4/2=2s;
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②右图:设圆O与边AC的切点为F,此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC
==>O与B重合,此时圆移动的长即为OB的长,即9cm
==>t=9/2;
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(2)如右图:由②得:∠AOE=90
==>S阴=(90*π*5^2)/360=6.25π
不明之处请指出~~
创作编号:
GB8878185555334563BT9125XW
创作者:凤呜大王*。