2022届绍兴市高二第二学期数学期末质量跟踪监视试题含解析

2022届绍兴市高二第二学期数学期末质量跟踪监视试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（） A.1B.4C.7D.1或7 【答案】C 【解析】
试题分析：123212331228a a a a a a a ++==⎧⎨⋅⋅=⎩，所以1313
87a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，因为递减数列，所以0d <，解得137
1a a =⎧⎨=⎩。

考点：等差数列
2．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ） A ．(1,－4,2) B ．1
1(,1,)42
-
C ．11(,1,)42
--
D ．(0,－1,1)
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =，和向量PM ， 而PM =（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），
选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（
14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，12）=0满足垂直，故正确； 选项C ，（2，1，1）⋅（-
14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12
）=0满足垂直，故正确； 选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量
3．若实数,x y 满足不等式组4
22010y x y x y ≤⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．8
B ．10
C ．7
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
根据约束条件，作出可行域，将目标函数2z x y =+化为122
z
y x =-+，结合图像，即可得出结果. 【详解】
由题意，作出不等式组表示的平面区域如下图所示， 目标函数2z x y =+可化为122
z y x =-+， 结合图像可得，
当目标函数2z x y =+过点C 时取得最大值， 由4
220
y x y =⎧⎨
-+=⎩解得(1,4)C .
此时max 189=+=z . 选D 。

【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要作出可行域，转化目标函数，结合图像求解，属于常考题型. 4．.已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，
则{}n a 的类似结论为（ ） A ．912392a a a a = B ．912392a a a a ++++=
C ．123929a a a a =⨯
D ．123929a a a a +++
+=⨯
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】
由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】
等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题. 5．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】
求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．
【详解】
A中为奇函数，B中非奇非偶函数，C中为偶函数，D中+1非奇非偶函数．
故选A．
【点睛】
本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质．6．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（）
A．1
8
B．
9
16
C．
4
π
D．
15
16
【答案】B
【解析】
分析：求出硬币完全落在托盘上硬币圆心所在区域的面积，求出托盘面积，由测度比是面积比得答案. 详解：如图：
要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，
硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，
由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为
669
8816 P
⨯
==
⨯
.
故选B.
点睛：本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题.
7．i是虚数单位，则12i
i
-
的虚部是（）
A．-2B．-1C．i-D．2i
-【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．
由题意得2
21222i i i i i i
--==--，
所以复数
12i
i
-的虚部是1-． 故选B ． 【点睛】
本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．
8．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为
A ．1
B ．2-
C D 1
【答案】D 【解析】
分析：设2PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率. 详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒
设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，
又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=
则离心率21
2c c e a a ====， 故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 9．定义在上的奇函数
满足
，且在
上单调递增，则下列结论中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
试题分析：由()()4f x f x =-可得：()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期4T =，又因为()f x 是
定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又在[)0,2上单调递增，所以当[)0,2x ∈时，()0f x ≥，因此
()()510f f =>，()()110f f -=-<，所以()()105f f -<<。

考点：函数的性质。

10．已知复数11i
z i
+=-，则复数z 的模为（ ）
A ．2 B
C ．1
D ．0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算求出z i ，然后再求出||||1z i ==即可．
【详解】
由题意得2
1(1)1(1)(1)
i i z i i i i ++=
==--+， ∴||||1z i ==． 故选C ． 【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数z ，属于基础题．
11．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{5,8,9}B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ） A ．8 B ．12 C ．14
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意5这个特殊元素的处理. 【详解】
已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}5,8,9B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为34214⨯+=个. 故选C.
12．以下说法正确的是（ ）
A ．命题“x R ∀∈，2250x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，2
00250x x ++<”
B ．命题“x ，y 互为倒数，则1xy
=”的逆命题为真
C ．命题“若x ，y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题为真
D ．“1m ≤-”是“1
33
m
≥”的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题的知识判断A 选项的正确性.写出原命题的逆命题并判断真假性，由此判断B 选项的正确性. .写出原命题的否命题并判断真假性，由此判断C 选项的正确性.根据充要条件的知识判断D 选项的正确性. 【详解】
对于A 选项，原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故否定应是“0x R ∃∈，
200250x x ++≤”，所以A 选项错误.
对于B 选项，原命题的逆命题是“若1xy =，则,x y 互为倒数”，是真命题，故B 选项正确.
对于C 选项，原命题的否命题为“若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数”，当,x y 都为奇数时，x y +是偶数，故为假命题.所以C 选项错误. 对于D 选项，由113313m
m -≥
=⇒≥-，所以. “1m ≤-”不是“1
33
m ≥”的充要条件.故D 选项错误. 综上所述可知，B 选项正确. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查全称命题的否定、逆命题、否命题以及充要条件等知识，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．数列{}n a 定义为11cos ,
sin cos ,1n n a a a n n θθθ+=+=+≥，则21n S +=_______.
【答案】(
)
2
sin (1)cos n n n θθ+++ 【解析】 【分析】
由已知得两式112sin cos ,+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=++=+（），，相减可发现原数列的奇数项和
偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前21n 的和 【详解】
112sin cos ,
+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=+∴+=+（），
两式相减得2s n ,-i n n a a θ+=
数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，
12sin cos a a θθ+=+，，
21sin cos sin cos cos sin a a θθθθθθ+-+-===21cos (1)sin n a n θθ-=+-，2sin (1)sin sin n a n n θθθ=+-=，
数列的前2n 项中所有奇数项的和为：
(1cos +
sin 2
n n n θθ-）
， 数列的前2n 项中所有偶数项的和为：
sin +sin +sin 22
n n n n θθθ
=（）（1）
2121
(1+sin cos +
sin 22
(1+sin cos +sin cos +sin 22
(1)cos (1)sin n n n n n n S n a n n n n n n n n n θ
θθθθθθθ
θθ++-=++-=++=+++）（1））（1）
【点睛】
对于递推式为2-n n a d a +=，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为2a ，而奇数项的首项为1a .
14．已知可导函数()f x 的定义域为(),0-∞，其导函数()f x '满足22()()f x xf x x '+>，则不等式
2(2018)(2018)(1)0x f x f ++--≤的解集为__________．
【答案】[2019,2018)-- 【解析】 【分析】
构造函数：2
()()F x x f x = 根据其导函数判断单调性，再通过特殊值解得不等式. 【详解】
函数()f x 的定义域为(),0-∞
构造函数：2
()()F x x f x =2
'()2()'()F x xf x x f x ⇒=+ 已知：2232()()2()()0f x xf x x xf x x f x x ''+>+<<⇒ 所以'()0F x <，()F x 递减.
(1)(1)F f -=-
2(2018)(2018)(1)0(2018)(1)120180x f x f F x F x ++--≤⇒+<-⇒-≤+<
即[2019,2018)x ∈-- 故答案为[2019,2018)-- 【点睛】
本题考查了函数的构造，根据函数单调性解不等式，技巧性较强，构造函数2
()()F x x f x =是解题的关键.
15．设函数22,(0)
()(),(0)
x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________.
【答案】6- 【解析】 【分析】
根据奇函数()()f x f x =--求值. 【详解】
因为22,(0)
()(),(0)x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩
为奇函数
令2
()2h x x =+， 故()2(2)6g h -=-=-. 【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求值，属于基础题.
16．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】
由题得高一学生数为600
301500
⨯，计算即得解. 【详解】
由题得高一学生数为600
30=121500
⨯. 故答案为：12 【点睛】
本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()sin x f x e x =. ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵如果对于任意的[0,
]2
x π
∈，()f x kx ≥总成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为3(2,2)4
4
k k π
π
ππ-
+
，单调递减区间为37(2,2)44
k k ππππ+
+()k Z ∈；（2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令
()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2
x π
∈时min ()0g x ≥，对讨论,利用
导数求
的最小值.
试题解析：(1) 由于()sin x
f x e x =，所以
'()sin cos (sin cos )2sin()4
x x x x f x e x e x e x x e x π
=+=+=+.
当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππ
ππ∈-+
时，'()0f x >； 当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44
x k k ππ
ππ∈+
+时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)44
k k ππ
ππ-+
()k ∈Z ， 单调递减区间为37(2,2)44
k k ππππ++()k ∈Z . (2) 令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2
x π
∈时min ()0g x ≥.
对()g x 求导得()(sin cos )x
g x e x x k =+-'，
令()(sin cos )x h x e x x =+，则()2cos 0x
h x e x '=>，((0,)2
x π
∈)
所以()h x 在[0,]2π
上为增函数，所以2()[1,]h x e π
∈.
对分类讨论：
① 当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,]2
π
上为增函数，所以min ()(0)0g x g ==，即()0
g x ≥恒成立； ② 当
2
1k e π
<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2
π
上为增函数，所以当0(0,)x x ∈时，
()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；
③ 当
2k e π
≥时，()0g x '
≤恒成立，所以()g x 在(0,)2
π
上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意. 综合①②③可得，所求的实数的取值范围是(,1]-∞.
考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.
18．已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）23x <<；（2）12a <≤ 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）解不等式22430x ax a -+<可得3a x a <<,可求得1a =时命题p 中x 的范围,若p q ∧为真则说明命题,p q 均为真,应将命题,p q 中x 的范围取交集.（Ⅱ）若q 是p 的充分不必要条件,则命题q 的x 取值的集合是命题p 的x 取值集合的真子集.
试题解析：解：（Ⅰ）p ：3a x a <<，1a =时,13x <<，q ：23x <≤
p q ∧为真，13{
2323
x x x <<⇒<<<≤
（Ⅱ）若q 是p 的充分不必要条件，则q p ⇒ ∴02,
{
33,
a a <≤>解得12a <≤．
考点：1命题;2充分必要条件.
19．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究. （I ）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；
（Ⅱ）用X 表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（I ）5
7；（Ⅱ）127
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率，再利用相关公式即得答案； （Ⅱ）找出随机变量X 的所有可能取值，分别计算相关概率，从而列出分布列计算数学期望. 【详解】
（Ⅰ）解：设事件A 为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，
事件A 的对立事件A 为“抽取的3天空气质量都不为良”，
从7天中随机抽取3天共有3
7C 种不同的选法，
抽取的3天空气质量都不为良共有35C 种不同的选法，
则()3537517C p A C =-=, 所以，事件A 发生的概率为57
. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.
()()34337
0,1,2,3k k C C P X k k C -⋅===， 所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望()0123353535357E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题主要考查对立事件的相关概念与计算，超几何分布的分布列与数学期望，意
在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力.
20．已知函数21()ln 1()2
f x x a x a R =-+∈. （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m
x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）1a ≤；（Ⅱ）12m ≥.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将问题转化为()0f x '≥对[]1,2x ∀∈恒成立，然后利用参变量分离法得出()2min a x
≤，于是可得
出实数a 的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()y f x =在[]1,2上是增函数，设1212x x ≤≤≤，并设()h x = ()m f x x
+，得知()y h x =在区间[]1,2上为减函数，转化为()0h x '≤在[]1,2上恒成立，利用参变量分离
法得到3m x ax ≥-，然后利用导数求出函数()3
g x x ax =-在[]1,2上的最大值可求出实数m 的取值范围。

【详解】
（Ⅰ）易知()f x 不是常值函数，∵21()ln 12f x x a x =
-+在[]1,2上是增函数， ∴'()0a f x x x
=-≥恒成立，所以2a x ≤，只需2min ()1a x ≤=； （Ⅱ）因为20a -≤<，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[1,2]上单调递增，
不妨设1212x x ≤≤≤，
则()()121211f x f x m
x x -≤-，可化为2121())m m f x f x x x +≤+（， 设21()()ln 12m m h x f x x a x x x
=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[1,2]上的减函数，即2()0a m h x x x x
=--≤'在[1,2]上恒成立， 等价于3m x ax ≥-在[1,2]上恒成立，
设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，
因20a -≤<，所以2
'()30g x x a =->，所以函数()g x 在[1,2]上是增函数， 所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）．
所以12m ≥．即m 的最小值为1．
【点睛】
本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题，应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。

21．证明：当[0,1]x ∈
时，
sin 2x x x ≤≤. 【答案】见解析
【解析】
分析：（1）记(
)sin 2F x x x -＝ ，则(
)2
F x cosx '＝，分x∈0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭与x∈,14π⎛⎤ ⎥⎝⎦两类讨论，可证得当]1[0x ∈， 时，0F x ≥（）
，即2sinx x ≥
； 记H x sinx x =-（） ，同理可证当01x ∈（，）
时，sinx x ≤，二者结合即可证得结论； 详解：
记记()sin 2F x x x -＝ ，则()2
F x cosx '＝， 当x∈0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
时，F′(x)＞0，F(x)单调递增； 当x∈,14π⎛⎤ ⎥⎝⎦
时，F ′(x)＜0，F(x)单调递减．
又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即记H x sinx x =-（），则()1H x cosx '＝－
. 当]1[0x ∈，
时，H′(x)≤0，H(x)单调递减． 所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx x ≤.
sin x x x ≤≤，[0,1x ∈． 点睛：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．
22．已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()+()+2f x+y =f x f y xy ，且(1)1f =.
（I ）求(2), (3), (4)f f f 的值，并猜想()()f n n +∈N 的表达式；
（II ）用数学归纳法证明（I ）中的猜想.
【答案】（I ）2()f n n =；（II ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I ）根据(2),(3),(4)f f f 的值猜想()()f n n N +∈的表达式；（II ）分1n =和1n k =+两步证明.
【详解】
（I ）()()()()2? 11f x y f x f y xy f +=++=，，
()()2111124f f ∴=+=++=，
()()321412219f f =+=++⨯⨯=，
()()4319123116f f =+=++⨯⨯=，
∴猜想()2f n n =.
（II ）证明：当1n =时，()11f =，猜想成立；
假设()1n k k =≥时，猜想成立，即()2
f k k =， 则当1n k =+时，()()()()2
21121211f k f k f k k k k +=++⨯=++=+， 即当1n k =+时猜想成立.
综上，对于一切()2n N f n n +∈=均成立. 【点睛】
本题考查抽象函数求值与归纳猜想.。