22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式
人教版数学九年级上册：22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式 教案
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式【知识网络】典案二导学设计【学习目标】复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
【学习重难点】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式【课标要求】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式一、一、情景创设1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?二、实践与探索例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。
请同学们完成本例的解答例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
三、课堂练习1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。
小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y＝x2＋p x＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
四、小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)2．如何确定二次函数的关系式?让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。
人教版数学九年级上册：22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 (含答案)
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )A ．y ＝2x 2＋x ＋2B ．y ＝x 2＋3x ＋2C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－3x ＋22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－1－27所示，那么这个函数的解析式为( )图22－1－27A ．y ＝13x 2＋23x ＋1B ．y ＝13x 2＋23x －1C ．y ＝13x 2－23x －1D ．y ＝13x 2－23x ＋13．已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，则该抛物线的顶点坐标是________． 4．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)设D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积．5．已知某二次函数的图象如图22－1－28所示，则这个二次函数的解析式为( )图22－1－28A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．(只需写一个)7．已知一个二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，函数有最大值4，求该二次函数的解析式．8．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x ＋2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝－12(x ＋2)2＋19．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数解析式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4 C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋810．某二次函数的图象如图22－1－29所示，则其解析式为________________．图22－1－2911．如果抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)，那么k 的值是__________． 12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________________________． 13.已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线的函数解析式．14．[2019·永州] 如图22－1－30，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x ＝－1.(1)求此抛物线的函数解析式；(2)若P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A 与点B)，求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．图22－1－3015．如图22－1－31，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长的最大值．图22－1－3116．抛物线C：y＝ax2＋bx经过A(－4，0)，B(－1，3)两点，求抛物线C的函数解析式．17．已知抛物线经过A(－5，0)，B(0，5)两点，且其对称轴为直线x＝－2，求此抛物线的函数解析式．答案1．D [解析] 设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴该函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.2．C [解析] 根据图象可知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－1)，设这个二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－23，c ＝－1. 所以这个二次函数的解析式是y ＝13x 2－23x －1.故选C .3．(1，4)4．解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.则抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)把x ＝－2代入抛物线的解析式，得y ＝5，即D(－2，5)． ∵A(3，0)，即OA ＝3，∴S △AOD ＝12×3×5＝152.5．D [解析] 因为抛物线的顶点坐标是(1，－8)， 所以设抛物线的函数解析式是y ＝a(x －1)2－8. 因为点(3，0)在这个二次函数的图象上， 所以0＝a(3－1)2－8，解得a ＝2.所以这个二次函数的解析式为y ＝2(x －1)2－8.6．答案不唯一，如y ＝2x 2－1 [解析] ∵二次函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴设该二次函数的解析式为y ＝ax 2－1.又∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0.∴这个二次函数的解析式可以是y ＝2x 2－1(答案不唯一)．7．解：∵当x ＝3时，函数有最大值4， ∴函数图象的顶点坐标为(3，4)． 故设此函数的解析式是y ＝a(x －3)2＋4.再把(4，－3)代入函数解析式，得a×(4－3)2＋4＝－3，解得a ＝－7. 故二次函数的解析式是y ＝－7(x －3)2＋4， 即y ＝－7x 2＋42x －59.8．C [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x ＋2)2＋1.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y＝12(x ＋2)2＋1. 9．A [解析] ∵当x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1. 将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A .10．y ＝－x 2＋2x ＋3 [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x ＝1，与y 轴交于点(0，3)，与x 轴交于点(－1，0)，设其解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝1，c ＝3，a －b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.故二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.11．1 [解析] ∵抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)， ∴－k 2＋2＝1.解得k ＝±1. 又∵k ＋1≠0，∴k ＝1.故答案为1. 12．y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x[解析] ∵二次函数图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4， ∴这个交点坐标为(－4，0)或(4，0)， ①若这个交点坐标为(－4，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a －4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x ；②若这个交点坐标为(4，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－16，b ＝23，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝－16x 2＋23x.故这个二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x.13．解：(1)把(1，0)，(0，32)代入抛物线的解析式得⎩⎨⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.则抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32.(2)y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，可将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，其顶点恰好落在原点(平移方法不唯一)，平移后抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2.14．解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1且经过点A(－3，0)， ∴抛物线还经过点(1，0)．设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)． 把B(0，3)代入，得3＝－3a.解得a ＝－1.∴抛物线的函数解析式为y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3. (2)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(－3，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得{k ＝1，b ＝3. ∴直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M. 设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)， ∴PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.∴S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋278.∴当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时y P ＝－(－32)2－2×(－32)＋3＝154，∴△PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为(－32，154)．15．解：(1)∵抛物线的顶点C 的坐标为(1，4)， ∴设二次函数的顶点式为y ＝a(x －1)2＋4. 把B(3，0)代入，得0＝a(3－1)2＋4. 解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴点D 的坐标为(0，3)．设直线BD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把B(3，0)，D(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3m ＋n ，3＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BD 的解析式为y ＝－x ＋3.(2)设点P 的横坐标为x ，则点P 的坐标为(x ，－x ＋3)，点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x ＋3)． ∵点P 在第一象限，∴线段PM 的长为y M －y P ＝－x 2＋2x ＋3－(－x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.∴当x ＝32时，线段PM 的长有最大值，最大值是94.16．解：(1)将A(－4，0)，B(－1，3)代入y ＝ax 2＋bx中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝0，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－4，∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x. 17．解：设抛物线的函数解析式为y ＝a(x ＋2)2＋k. 代入A ，B 两点的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧（－5＋2）2a ＋k ＝0，4a ＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，k ＝9. 所以此抛物线的函数解析式为y ＝－(x ＋2)2＋9，即y ＝－x 2－4x ＋5.。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-待定系数法求二次函数解析式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的图象和性质，学习了待定系数法求解析式的技巧，并探讨了它们在现实生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
（1）理解二次函数图象的对称性质，特别是对称轴的求解；
（举例：解释对称轴公式x=-b/(2a)的来源和意义，通过具体例子演示如何求解）
（2）待定系数法在实际问题中的应用，特别是涉及到多个点的求解；
（举例：解决含有多个点的二次函数解析式问题时，如何运用待定系数法，以及注意避免计算错误）
（3）对于不同系数a、b、c的二次函数图象性质的区分；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象性质和待定系数法这两个重点。对于难点部分，如对称轴的求解和待定系数法的应用，我会通过具体例题和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的轨迹。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过抛掷小球，观察其运动轨迹，并尝试用待定系数法来确定这一轨迹的方程。
22.1.4二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质-待定系数法求二次函数解析式（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第22章“二次函数”中的1.4节，主要围绕二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质，以及待定系数法求二次函数解析式展开。内容包括：
人教版初中数学九年级上册第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数解析式
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+1， 把点(1,-8)代入上式得：a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1.
用顶点式求二次函数解析式
知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤 ： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
∴所求的二次函数的表达式是y=(x+3)(x+1), 即y=x2+4x+3.
用交点法求二次函数解析式
知道抛物线与x轴的两个交点,求解析式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一 元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
用一般式求二次函数解析式
【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
可得
4a+2b+1=4，
用顶点式求二次函数解析式
1.一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求
这个二次函数的表达式.
解：设函数表达式为：y=a(x-8)2+9.
把点(0,1)代入上式得：0=a(0-8)2+9.
22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式说课稿
22.1.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式说课稿我说课的内容为湘教版数学九年级下册不共线三点确定求二次函数解析式。
一、教材分析1、教材的地位和作用：二次函数是初中数学重要内容之一，而用待定系数法求函数解析式在前面的一次函数，反比例函数中已经多次得以运用，确定一次函数有两个独立系数，要两个独立条件，这些知识方法同学们已熟悉，本节把这些所学推向初中学段的最高点—二次函数解析式的确定。
由于前几节已经对二次函数的两种表达式进行了多方面的认识，是学习本节最直接的认知基础，通过本节的学习，进一步深化对二次函数的认识。
2、教学目标①通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法②能灵活的根据条件恰当的选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
③从学习中体会数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
3、教学重点：用待定系数法求函数解析式。
教学难点为:根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数解析式。
二、学情分析对于九年级学生，数学基础比较薄弱，抽象思维能力和演绎推理能力依然比较缺乏，所以我在授课时注重引导、启发、激励和探讨，从而促进知识的掌握和思维能力的进一步发展。
三、教法分析针对我班学生的特点，本节课我采用创设问题情境，由学生观察，发现，老师启发引导，探索相结合以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下共同探索用待定系数法求二次函数解析式。
三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去探索，同时鼓励学生大胆质疑，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学程序（一）创设问题情境，引入新课：1、用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①设函数的解析式; ②列方程组求待定系数;③解待定系数④还原学生活动：学生总结用待定系数法求函数解析式的一般步骤。
2、二次函数解析式有三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c ；（其中 a≠0, a, b, c 为常数）②顶点式：y=a(x-h)2+k ；（其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
人教版数学九年级上册22.1.4.2：用待定系数法求二次函数解析式教案
课题：22.1.4 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式一、教学目标：知识与能力：掌握二次函数解析式的表达方式。
会用待定系数法求二次函数的解析式。
学会利用二次函数解决实际问题。
过程与方法：能根据二次函数的图像及性质解决生活中的实际问题。
二、教学重难点重点：会用待定系数法求二次函数的解析式难点：会选用适当函数表达式求二次函数的解析式三、媒体运用班班通四、教学设计（一）温故而知新我们知道，在学习一次函数的过程中，已知同一直线上的不同两点的坐标，我们可以求出这条直线的解析式.例如：已知直线y=ax+b 经过点A （1.1），点 B （-1，-1），那么这条直线的解析式为：y=x.（二）探究（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.分析：（1）确定一次函数.用待定系数法，求出k,b 的值，从而确定一次函数解析式.类似的，我们可以写出这个二次函数的解析式y=ax 2+bx+c ，求出a,b,c 的值.由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a,b,c 的三元一次方程组就可以求出a,b,c 的值.（2）设所求二次函数为y=ax 2+bx+c 由已知，函数图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.724,4,10c b a c b a c b a解这个方程组，得a=2,b=-3,c=5所求二次函数是y=2x 2-3x+5（三）方法小结用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设、二代、三解、四还原一设:指先设出二次函数的解析式；二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于a、b、c的方程组三解:指解此方程或方程组四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中（四）动手做一做已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式。
人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个 二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个 等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
22.1.4用待定系数法求二次函数解析式
一般式：
y
例1
求经过有三点
· 5 · · · · · · ·o -3 –2 –1
· C
A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析 式. 分析 ：已知一般三点， 用待定系数法设为一般 式求其解析式.
B· ·
· 1 2
x
·
A
·
· -3
y 顶点式：
a ( x h) k
2
练习： 已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且 当x=3时有最大值4，求出对应的二次函数解析式； y=-7(x-3)2+4 也就y=-7x2+42x-59 已知条件中的当x=3时有最大值4 也就是抛物线的顶点坐标为（3,4）， 所以设为顶点式较方便
顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).
函数表达式
开口 方向
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
y ax h k
y ax2 bx c
a>0, 开 口 向 上; a<0, 开 口 向 下.
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h, k )
评价
选用两根式求解， 方法灵活巧妙，过 程也较简捷
2 练习：如图，已知二次函数 的图像经过点A和 y ax 4 x c 点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两 y 点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到 x轴的距离．
y
例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(第2课时 )(作业)(夯实基础+能力提升)(原卷版)
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时 ）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、填空题1．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）写出一个对称轴为y 轴，且过(0,2)-的二次函数的解析式______．2．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为()0,5-，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．3．（2022·江苏·九年级专题练习）已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．4．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）将一个抛物线沿x 轴的正方向平移1个单位后能与抛物线223y x x =-+重合，则这个抛物线的解析式是_________．二、解答题5．（2022·广东·湛江一中九年级课时练习）已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．6．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)点()()1122,,,M x y N x y 是抛物线上不同的两点．①若12y y =，求12,x x 之间的数量关系．②若()12122x x x x +=-，求12y y -的最小值．7．（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =+-图像恰好经过A （2，﹣9），B （4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．8．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当1x =-时，函数有最大值2．(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．9．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）已知抛物线2y x bx c =-++的顶点坐标为（1，3），求b ，c 的值．10．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()()20=-¹y a x h a 与x 轴的交点为(1，0)，与y 轴交点为(0，-2)．(1)求该抛物线对应的函数关系式；(2)若将该抛物线平移后经过原点，直接写出平移后的抛物线对应的函数关系式（至少写出2个对应的函数关系式）．11．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x 的二次函数的图象与x 轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴12．（2022·吉林·南阳市第十九中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数2y ax bx c =++ 图像的顶点为(1,2) ，与y 轴的交点为(0,3)C ．(1)求二次函数的表达式；(2)已知点(1,1)A -，点(3,1)B ．若原二次函数图像向下平移m 个单位，与线段AB 有公共点，结合函数图像，直接写出m 的取值范围．13．（2022·广东惠州·九年级阶段练习）抛物线2y ax c =+与25y x =-的形状、开口方向都相同，且2y ax c=+经过(0，3)．求：(1)该抛物线的解析式；(2)2y ax c =+是由抛物线25y x =-经过怎样的平移得到的？14．（2022·内蒙古·敕勒川实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线2y ax ＝与直线y ＝bx +c 的两个交点分别为A （﹣2，4），B （1，1）．(1)求两个函数的解析式；(2)点P 在y 轴上，且△ABP 的面积是△ABO 面积的2倍，求点P 的坐标．15．（2022·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()240y ax bx a =++¹经过点()2,0A -和点()4,0B .(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)点P 为该抛物线上一点（不与点C 重合），直线CP 将ABC V 的面积分成2:1两部分，求点P 的坐标.16．（2022·吉林省实验中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为()4,3，点D 是抛物线26y x x =-+在x 轴上方的一个动点．(1)菱形的边长为______．(2)求BCD △面积的最大值．17．（2022·河北·育华中学三模）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是（0，n ），n ≠0．抛物线l 的顶点是（1，0），并且经过点P ，点A 、点B 、点C 的坐标分别为（3，2），（2，﹣1），（3，﹣1）．(1)当抛物线l 过点A 时，求此时抛物线l 的函数关系式及点P 的坐标；(2)若存在一条新抛物线l ¢，它与抛物线l 的形状完全相同，只是开口方向相反，并且经过点A 和第（1）问中的点P ，求新抛物线l ′的函数关系式，并求出新抛物线l ¢的顶点坐标；(3)若抛物线l 经过△ABC 区域（含边界），请求出n 的取值范围．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()30A -,和点()0,3C -．解答下列问题．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ，求线段BD 的长；(3)点F 在抛物线上运动，是否存在点F 使FAB V 的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．【能力提升】一、解答题1．（2022·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-+与直线y =x +1交于点A 、C ．且点A 的坐标为（-1，0）．(1)求点C 的坐标；(2)若点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)若点E 是抛物线上一点，点F 是抛物线对称轴上一点，是否存在点E 使以A ，C ，E ，F 为项点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．2．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线228y ax ax =--（0a ¹）经过点（2-，0）．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)直线l 交抛物线于点A （4-，m ），B （n ，7），n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），求出点P 纵坐标的取值范围．3．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-2，0）和点B （4，0），与y 轴交于点C （0，4）(1)求抛物线的解析式．(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD +CD 的最小值．(3)点P 是直线BC 上方的点，连接CP ，BP ，若△BCP 的面积等于3，求点P 的坐标．4．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线2.y ax bx c =++与x 轴的交点坐标A (﹣4，0)，B (2，0)，并过点C (﹣2，﹣2)，与y 轴交于点D ．(1)求出抛物线的解析式；(2)求出△ABD 的面积；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E ，使BE +DE 的值最小，如果有，写出点E 的坐标；如果没有，说明理由．5．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；(3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．6．（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）如图所示抛物线y＝a2x+bx+c由抛物线y＝2x﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C，直线y＝kx+b过B、C两点．(1)写出平移后的新抛物线y＝a2x+bx+c的解析式；并写出a2x+bx+c＞kx+b时x的取值范围．(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形PO P¢C，那么是否存在点P，使四边形PO P¢C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求此时点P的坐标和△PBC的最大面积．7．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝﹣1（x＋4）2，将此函数的图像2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．(1)请写出平移后图像所对应的函数解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像；(3)根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围．8．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=+（a≠0）经y ax bx过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程29+=恰好有两个相等的实数根．ax bx(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x 轴及其上方的部分向右平移m 个单位交于点P ，B ，1B 是该图象两个顶点，若1PBB V 恰好为等腰直角三角形，求m 的值．9．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线2(2)y a x =-的顶点为A ，与y 轴交于点(0,4)B .(1)求a 的值；(2)若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标.10．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知二次函数1L ：y =24x -3x +与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．(1)写出二次函数1L 的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)二次函数2L ：y =243kx kx -+()0k k ¹．①写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②若直线8y k =与抛物线2L 交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化? 如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．11．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）抛物线2y ax ax b =-+交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，以点A 、C 、M 、N 为顶点，AC 为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N 的坐标．(3)如图2，P 为直线BC 上方的抛物线上一点，PD ∥y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ^于E 点．设521m PD DE =+，求m 的最大值；12．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O ，且过点A (2，1)．(1)求出二次函数的表达式；(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n 表示这条抛物线上所有的整点坐标．(3)过y 轴的正半轴上一点C (0，c )作AO 的平行线交抛物线于点B ，如果点B 是整点，求证：V OAB 的面积是偶数．13．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线()2211:1(1)12C y m x m x =-+-+-与x 轴有公共点．(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；(2)将抛物线1C先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线2C（如图所示），抛物线2C 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；(3)D为抛物线2C的顶点，过点C作抛物线2C的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线2C于点E，连接BE 交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．14．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且使∠MAP ＝45°，求点M 的坐标；(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y ＝x +4上移动，当平移后的抛物线与线段AP 只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．15．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）如图，已知抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（-2，0）且对称轴直线1x =，直线AD 交抛物线于点D（2，m）(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重台），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE 的面积最大时，求点P的坐标；(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，请求出M的坐标．。
2214 用待定系数法求二次函数解析式(解析版)
22.1.4 用待定系数法求二次函数解析式知识点一：用一般式求二次函数解析式题型一：用一般式求二次函数解析式【例题1】（2021·广东中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【答案】A【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-， ∵50930c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解方程组得553103c a b ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩， ∵抛物线解析式为2353051y x x -=-， 当2x =时，103542553y =⨯⨯-=--． 故选择A ．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法知识点管理 归类探究是解题关键．变式训练【变式1-1】（2021·辽宁九年级期末）二次函数2y ax bx c =++图象与x 轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,5C -，且经过点D （3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标．【答案】245y x x =--，顶点坐标为（2，-9）；【分析】直接利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出函数顶点坐标；【详解】由题意，有05,938a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得145a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∵此二次函数的解析式为245y x x =--；∵()229y x =--，顶点坐标为（2，-9）；【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题关键．【变式1-2】（2021·浙江杭州市·九年级期中）已知二次函数2y x px q +=+的图象经过(0,1),(2,1)A B -两点． （1）求,p q 的值．（2）试判断点(1,2)P -是否在此函数的图象上．【答案】（1）p =-3，q =1；（2）不在【分析】把两点代入即可得出p ，q 的值；（2）把x =-1代入解析式，算一下y 的值是否为2，即可得出答案．【详解】（1）解：把A （0，1），B （2，-1）代入y =x 2+px +q ， 得1421q p q =⎧⎨++=-⎩， 解得：31p q =-⎧⎨=⎩， ∵p ，q 的值分别为-3，1；（2）把x =-1代入y =x 2-3x +1，得y =5，∵点P （-1，2）不在此函数的图象上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．【变式1-3】（2021·广西南宁二中八年级期末）已知抛物线21y ax bx =+-经过()1,2A ，()3,2B -两点． 求该抛物线的函数关系式；（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．【答案】221y x x =+-；（2）222=++y x x ，开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．【分析】直接将()1,2A ，()3,2B -代入21y ax bx =+-得到二元一次方程组，再求得a 、b 即可； （2）根据抛物线的平移规律“上加下减”以及二次函数图象的特征解答即可．【详解】解：把()1,2A ，()3,2B -代入21y ax bx =+-得129312a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩， ∵抛物线解析式为221y x x =+-．（2）抛物线向上平移3个单位长度的解析式为，2213y x x =+-+故平移后得解析式为222=++y x x∵开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象的性质等知识点，掌握二次函数图象的平移规律和二次函数图象的特征是解答本题的关键．知识点二：用顶点式求二次函数解析式题型二：用顶点式求二次函数解析式【例题2】（2021·浙江九年级二模）平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），它的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．若AB ＝5，交y 轴于点C ，点C 在y 轴负半轴上．∵求二次函数的解析式；【答案】∵234y x x =--；【分析】∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），可确定二次函数的对称轴为32x =，利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254）， ∵二次函数的对称轴为32x =， ∵与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5，∵A 、B 两点关于对称轴为32x =对称，35122-=-，35+422=， ∵A （-1，0），B （4，0），设解析式为()()14y a x x =+-，∵()()14y a x x =+-过顶点（32，﹣254）， ∵253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得=1a ，∵二次函数解析式为：2=34y x x --，变式训练【变式2-1】（2021·湖南九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L 与x 轴交于,A B 两点，且经过点(0,2)C -，抛物线的顶点D 的坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭． 求抛物线L 的函数表达式； 【答案】213222y x x =--； 【分析】根据二次函数顶点D 的坐标，将二次函数设为顶点式形式，再将C 点坐标代入化简即可；【详解】解：设抛物线L 的解析式为232528y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 将(0,2)C -代入得：925248a -=-，解得12a =， ∴抛物线L 的解析式为21325228y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即213222y x x =--． 【变式2-2】（2021·广东深圳市·九年级二模）如图1，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（－1，154）与y 轴交于A （0，3），交直线l ：x ＝－2于点B ，点C （0，2）在y 轴上，连接BC 并延长，交抛物线于点D ．求抛物线的表达式；【答案】233=342y x x --+ 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，故可设抛物线解析式为顶点式：215(1)4y a x =++，代入A 点坐标可得34a =-，从而可得答案； 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为151,,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴ 设抛物线解析式为顶点式：215(1)4y a x =++， 代入A 点坐标()0,3：15+=3,4a 3,4a ∴=- 则抛物线解析式为2231533(1)34442y x x x =-++=--+. 【变式2-3】（2021·云南九年级一模）如图，二次函数的图象以()1,4D -为顶点，且过点()2,5C -，与x 轴交于A ，B 两点．求这个二次函数的解析式；【答案】()214y x =-++【分析】根据图象的顶点()1,4D -设顶点式，再将点C 坐标代入求解即可；【详解】解：∵二次函数的图象顶点为()1,4-，∵设二次函数的解析式为()214y a x =++，把点()2,5C -代入得：1a =-，∵抛物线的解析式为()214y x =-++．知识点三：用交点式求二次函数解析式题型三：用交点式求二次函数解析式【例题3】（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级二模）在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝a 2x +bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (﹣6，0)，B (﹣2，0)两点，与y 轴交于点C (0，6)，点D 为抛物线1C 上的顶点．求抛物线1C 的函数表达式及顶点D 的坐标；【答案】21462=++y x x ，顶点D 的坐标（-4，-2）【分析】设抛物线的解析式为y =a （x +6）（x +2），把点C (0，6)代入确定a 值，就可确定抛物线1C 的函数表达式，配方法求得顶点坐标；【详解】∵y ＝a 2x +bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (﹣6，0)，B (﹣2，0)两点，与y 轴交于点C (0，6)， ∵设抛物线的解析式为y =a （x +6）（x +2），把点C (0，6)代入y =a （x +6）（x +2），得12a =6，解得a =12，∵抛物线的解析式为y =12（x +6）（x +2）， 即21462=++y x x ， ∵21462=++y x x =22211(8)6(8416)622++=++-+x x x x =21(4)22+-x ， ∵D 的坐标为（-4，-2）；变式训练【变式3-1】（2021·江苏中考真题）已知抛物线2(1)y a x h =-+经过点(0,3)-和(3,0)求a 、h 的值；【答案】1a =，4h =-【分析】将点(0,3)-和(3,0)，代入解析式求解即可；【详解】将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ⎧-+=-⎨-+=⎩解得：14a h =⎧⎨=-⎩∵1a =，4h =-【变式3-2】已知二次函数经过(1,0),(3,0),(0,3)A B C -求二次函数的表达式．【答案】y =-x 2+2x +3【分析】运用待定系数法求这个二次函数的表达式．【详解】解：∵二次函数经过A （-1，0），B （3，0），C （0，3），设y =a （x +1）（x -3），把（0，3）代入得3=-3a ，∵a =-1，∵该二次函数的解析式是y =-x 2+2x +3．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是将点坐标正确代入计算．【变式3-3】已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()()()103045A B C -，、，、，三点． （1）求抛物线解析式；（2）当22x -<<时，求函数值y 的范围；【答案】（1）y =x 2-2x -3；（2）-4≤y ＜5【分析】（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x 的范围得到y 的最值．【详解】∵y ＝a 2x +bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (﹣1，0)，B (3，0)两点，与C (4，5)，∵设抛物线的解析式为y =a （x +1）（x -3），把点C (4，5)代入y =a （x +1）（x -3），得5a =5，解得a =1，∵抛物线的解析式为y =（x +1）（x -3），∵二次函数的解析式是y =x 2-2x -3；（2）抛物线的对称轴为直线x =221--⨯=1， 1＞0，则开口向上，又∵22x -<<，∵当x =1时，y 取最小值，即y min =-4；当x =-2时，y 取最大值，即y max =5，∵y 的范围是-4≤y ＜5．【点睛】本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．题型四：已知对称轴求二次函数解析式【例题4】已知二次函数2y x bx c =++的对称轴是直线2x =，且经过点(1,0)A -．求二次函数的解析式．【答案】245y x x =--；【分析】根据对称轴和A 点坐标，利用待定系数法求解；【详解】解：由题意可得：2210b bc ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=-⎩， ∵245y x x =--．变式训练【变式4-1】（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．求a 的值；【答案】1a =； 【分析】根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 【详解】解：由题意得：212x a-=-= 【变式4-2】请写出一个开口向下，对称轴为直线3x =-，且与y 轴的交点为()02，的二次函数的解析式：________．【答案】y =-（x +3）2-7（答案不唯一）【分析】由开口向下可以推出a ＜0，又由对称轴为直线x =2得到2b a-=-3，而抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2），所以c =2．根据以上条件可以确定函数的一部分系数，答案不唯一．【详解】解：∵开口向下，∵a ＜0；∵对称轴为直线x =-3， ∵2b a-=-3， ∵与y 轴的交点坐标为（0，2），∵c =2．∵若a=-1,则b=-6,∵解析式为y =-x 2-6x +2，故答案为：y = y =-x 2-6x+2（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质的知识点，此题是开放性试题，要熟练掌握函数图形及性质的综合应用，此题难度一般，答案不唯一．【变式4-3】（2021·浙江中考真题）如图，二次函数()()1y x x a =--（a 为常数）的图象的对称轴为直线2x =．求a 的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】3a =；（2）24y x x =- 【分析】把二次函数化为一般式，再利用对称轴：2b x a =-，列方程解方程即可得到答案； （2）由得：二次函数的解析式为：243y xx =-+，再结合平移后抛物线过原点，则0,c = 从而可得平移方式及平移后的解析式．【详解】解：2(1)()(1)y x x a x a x a =--=-++．∵图象的对称轴为直线2x =， ∵122a +=， ∵3a =．（2）∵3a =，∵二次函数的表达式为243y x x =-+，∵抛物线向下平移3个单位后经过原点，∵平移后图象所对应的二次函数的表达式为24y x x =-．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．【真题1】（2013·广东中考真题）如图∵，已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；【答案】2y x 4x 3=-+；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；【分析】把点A 、B 、C 代入抛物线解析式2y ax bx c =++利用待定系数法求解即可．链接中考（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3），∵c 3{9a 3b c 016a 4b c 3=++=++=，解得a 1{b 4c 3==-=．∵抛物线的函数表达式为2y x 4x 3=-+．（2）∵()22y x 4x 3x 21=-+=--，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2．【真题2】（2018·辽宁中考真题）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．求这个二次函数的表达式；【答案】这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；【分析】根据待定系数法，可得函数解析式；【详解】将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得 309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝， 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；【真题3】（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点．()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ．b =________，c =________；【答案】-2，-3；【分析】利用待定系数法求解即可；【详解】解：∵点A 和点B 在二次函数2y x bx c =++图像上，则01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 故答案为：-2，-3； 满分冲刺【拓展1】（2018·四川成都市·成都外国语学校九年级月考）已知二次函数的图象过点（1，92）、（2，4）、（﹣1，52）与x 轴分别交于B （左）、C 两点，与y 轴交于点A ．求二次函数的解析式；（2）求∵ABC 的面积．【答案】y ＝﹣12x 2+x +4；（2）S ∵ABC ＝12．【分析】利用待定系数法确定函数解析式即可；（2）先求出BC 的长，再求点A 坐标，最后由三角形的面积公式进行计算．【详解】解：设该抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 把（1，92）、（2，4）、（﹣1，52）分别代入得， 9242452a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪⎪-+=⎩， 解得1214a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以该抛物线解析式为：y ＝﹣12x 2+x +4；（2）由知，该抛物线解析式为：y ＝﹣12x 2+x +4，所以y ＝﹣12x 2+x +4＝1-2（x ﹣4）（x +2）， 则B （﹣2，0），C （4，0），所以BC ＝6．令x ＝0，则y ＝4，所以A （0，4）．所以S ∵ABC ＝12×6×4＝12．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积是解题的关键.【拓展2】（2019·北京市第六十六中学九年级期中）如图，抛物线经过点A 、B 、C ．求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x 轴的另一个交点为D ，求∵ODC 的面积．【答案】223y x x =--．（2）6ODC S ∆=．【分析】由题意可知顶点()4C -1，，设出二次函数的顶点式，把A 点坐标代入，即可得解； （2）根据解析式即可得出对称轴，根据对称性得出D 点坐标，即可求出∵ODC 的面积．【详解】解：由题意知()1,0A -，()4C -1，， 设抛物线的解析式为()214y a x =--．把()1,0A -代入，解得a=1．∵()221423y x x x =--=--．（2）∵对称轴x=1，∵点D 的坐标为()3,0． ∵143=62ODC S ∆=⨯⨯． 点评：本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点问题，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式.【拓展3】已知，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过原点，其顶点为()(),0A m n m ≠．当1,3m n ==时，抛物线的解析式为_________．（2）当点A 在抛物线21y x x =-+上，且17m ≤≤时，a 的取值范围是______．【答案】y =-3x 2+6x 43149a -≤≤- 【分析】根据顶点坐标设抛物线为y =a （x -1）2+3，将原点代入求出a 值即可．（2）分别求出m =1和m =7时点A 的坐标，可得新的函数解析式，再根据经过原点可得a 值，从而得到a 的取值范围．【详解】解：当m =1，n =3时，顶点坐标为（1，3），设抛物线为y =a （x -1）2+3，∵抛物线经过原点，∵0=a （0-1）2+3，∵a =-3，∵抛物线解析式为y =-3x 2+6x ；（2）∵点A 在抛物线21y x x =-+上，2213124y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当x ≥12时，y 随x 的增大而增大，当m =1时，n =1，当m =7时，n =43，当A （1，1）时，()211y a x =-+，∵抛物线()211y a x =-+过原点，∵a +1=0，则a =-1，当A （7，43）时，()2743y a x =-+，∵抛物线()2743y a x =-+经过原点，∵04943a=+，则4349a=-，∵a的取值范围是43149a-≤≤-；故答案为：y=-3x2+6x，43149a-≤≤-．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论．。
初中数学人教版九年级上册 第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(共21张PPT)
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个 桥拱的最大高度为16m，跨度为40m． 现把它的图形放在坐标系里(如图所示)， 求抛物线的解析式． 解： 设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb、c。
用待定系数法求二次函数的解析式
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
y＝3x2
y= -2x2+3
y= - 4(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
25 5 ∴ 所求抛物线解析式为 y
1
x2 8 x
25 5
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个
桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．
现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，
求抛物线的解析式．
解 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
法 二
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
22.1.4求二次函数的解析式
5.已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求 这个二次函数的解析式.
活动六，课外作业
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴 交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.
7.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开始沿 边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度 移动,如果P.Q分别从A.B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？ 写出函数关系式及t的取值范围.
活动三，运用新知
2..如果一个二次函数的顶点为(2,4)且经过点（4,10），能求 出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的 解析式.
3.已知抛物线与x轴的两交点为(－1,0)和(3,0),且过点(2,－3).求 抛物线的解析式.
活动四，巩固练习
（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（—2，—8）， 求抛物线的解析式？ （2）已知抛物线的对称轴是y轴，顶点是（0,2），且经过点（1，3）， 求抛物线的解析式？ （3）已知二次函数顶点在x轴上，且对称轴为x=2，经过（1,3）点，求抛 物线的解析式？
九年级 上册
22.1.4用待定系数法求二次函数的解 析式
活动一，温故知新
（1）已知正比例函数经过点（2,6），求正比例函 数解析式？
（2）已知一次函数经过点（0,4）Hale Waihona Puke 7,10），求一 次函数的解析式？
活动三，运用新知
1.已知一个二次函数，当自变量x=-1时，函数值y=10；当自 变量x=1时，函数值y=4；当自变量x=2时，函数值y=7，求这 个二次函数的表达式。 （变式：（1）已知二次函数图像经过点A(-1,10), B(1,4), C(2,7).求这个二次函数的表达式。 （2）已知二次函数的图象如右图所示。 求这个二次函数的表达式。
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(用)
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
第13页，共20页。
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
抛物线解析式 y=2(x-1)(x-3)
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0）
y=3(x-2)(x+1)
新的数学方法和概念，常常比解决数 学问题本身更重要。——华罗庚
第1页，共20页。
总结：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 （2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定 （3）b的符号： 由对称轴的位置确定 （4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定 （5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定 （7）2a±b的符号： 对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定
第17页，共20页。
• 1、如图，直角△ABC的两条直角边OA、 OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆 时针方向旋转90°，至△DOC的位置，求 过C、B、A三点的二次函数解析式。y
当抛物线上的点 的坐标未知时，
应根据题目中的 隐含条件求出点 的坐标
（-3，0）C
B（0，3）
D
A(1，0)
O
x
第18页，共20页。
数学是来源于生活又服务于生活的.
2、小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛 物线，有关数据如图所示。小燕身高１．４０米， 在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？
M
N ３．２米
８米
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
-x1 )(x___ - x_ y=a(x___ 2) （ a ≠0 ）
交点式
3
第一次自学指导
课本P39探究 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平 行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个 一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的 问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这 几个点应该满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图像可以经过 （-1，10），（1，4），（2，7）三点，能求 出这个二次函数的解析式吗？如果能求这个二次 函数的解析式。
二次函数解析式为
y ( x -1) - 4.
2
8
课堂小结
1.二次函数常用解析式. （顶点式，一般式，交点式） 2.求二次函数解析式的一般方法. （已知图象上三点坐标，通常选择一般式;已知图象的顶 点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式;已知图象与 轴的两个交点的横坐标 通常选择交点式.） 3.求二次函数解析式的常用思想. (转化思想，解方程或方程组)
解： 设所求的二次函数为 0，-3），（4,5），
二次函数解析式为
y ( x -1) - 4.
2
4.已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（4,5） 对称轴为直线 x =1，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c. c=-3， 依题意得 16a+4b+c=0， - b =1. 2a
6
第二次自学检测
待定系数法： （1）确定二次函数的解析式时，应该根据条件的 特点，恰当地选用一种函数表达式. （设） （2）把已知条件带入二次函数的解析式中，得到 方程组。（代） （3）解方程组得到系数的值。（解） （4）把系数的值带入原方程中。（还原）
7
当堂训练
1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） （－1, 0）三点，求这个函数的解析式.
人教版义务教育教科书数学九年级上册
22.1.4
用待定系数法求二次函数的解析式
1
学习目标
学习目标： 1.理解二次函数一般式，顶点式，交 点式的使用条件。 2.掌握如何求解二次函数的解析式。 3.运用待定系数法求解二次函数的解 析式。
2
复习
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c. 0 ； 当x=1时，y=0，则a+b+c=_____ a-b+c=0 ； 经过点（-1,0），则___________ c=-3 经过点（0,-3），则___________ ； 16a+4b+c=5 ； 经过点（4,5），则___________
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c. c=-3， 16a+4b-3=5， a-b-3=0. a= 1， 解得 b=-2， c= -3.
∵二次函数的图象过点（0,-3），（4，5），（－1, 0），
∴
x=0时,y=-3; x=4时,y=5; x=-1时,y=0.
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3.
2.已知二次函数的图象顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求二次函数的解析式.
解： 设所求的二次函数为 y=a(x-1)2-4. ∵点( 0,-3)在抛物线上， ∴ a-4=-3, ∴ a=1.
∴所求的二次函数解析式为 y=(x-1)2-4.
3.已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式. 思考：怎样设二次函数关系式
5
第二次自学指导
二次函数常用的几种解析式
已知三个点坐标三对对应值，选择一般式
一般式 :
y=ax2+bx+c (a≠0)
(a≠0)
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
顶点式： y=a(x-h)2+k
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
交点式 ： y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
我们利用什么方法求抛物线的解析式呢？ 怎么求？
4
第一次自学检测
分析：（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式 y kx b ，求出k,b的值。用待定系数法，由两点（两 点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k,b的二元一 次方程组就可以求出k,b的值。类似地，确定二次函数，即 写出这个二次函数的解析式 y ax2 bx c ，需求出 a,b,c的值。由不共线三点（三点不在同一条直线上）的坐 标，列出关于a,b,c的一次方程组局可以解出a,b,c的值。 2 （2）设所求二次函数为 y ax bx c 由已知，函数图像经过（-1，10），（1，4），（2，7） 三点，得到关于a,b,c的三元一次方程组 a - b - c 0 a 2 a b c 0 解得 b -3 所求二次函数为 c 5 4a 2b c 0 y 2 x 2 - 3x 5
3.求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么 发现.
抛物线 y=2(x-1)(x-3) y=3(x-2)(x+1)
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0） （2，0）（-1，0） （-4，0）（-6，0） (x1,0),( x2,0)
y=-5(x+4)(x+6)
- b 对称轴为直线x=1，则___________. 2 a =1
2.已知抛物线y=a（x-h）2+k. -3 4 ， (1)顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=____ 2+4 a （ x +3 ） 代入得y= ； h=1 ， (2)对称轴为直线x=1，则________
2+k a （ x -1 ） 代入得y=______________.