湖南师范大学附属中学高一数学 函数的单调性与奇偶性综合练习教案
高中高一数学教案：函数单调性与奇偶性
高中高一数学教案：函数单调性与奇偶性一、教学目标1.理解函数单调性与奇偶性的概念。
2.能够判断给定函数的单调性与奇偶性。
3.能够运用单调性与奇偶性的性质解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：函数单调性与奇偶性的概念及其判断方法。
2.教学难点：单调性与奇偶性的综合运用。
三、教学过程（一）导入1.通过提问方式引导学生回顾初中阶段学习的函数知识，如一次函数、二次函数的单调性。
2.提问：同学们，你们知道函数的单调性和奇偶性吗？它们有什么实际意义？（二）新课讲解1.讲解函数单调性的概念：（1）定义：函数f(x)在定义域D内，如果对于任意的x1,x2∈D，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在D内是增函数；如果对于任意的x1,x2∈D，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在D内是减函数。
（2）举例说明：以一次函数y=x和二次函数y=x^2为例，讲解它们的单调性。
2.讲解函数奇偶性的概念：（1）定义：函数f(x)在定义域D内，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数。
（2）举例说明：以一次函数y=x和二次函数y=x^2为例，讲解它们的奇偶性。
3.讲解单调性与奇偶性的关系：（1）单调性与奇偶性是函数的两种基本性质，它们之间有一定的联系。
（2）单调性可以判断函数在某一区间内的增减趋势，而奇偶性可以判断函数在y轴两侧的对称性。
（3）单调性与奇偶性的综合运用可以解决一些实际问题。
（三）课堂练习（1）y=2x+1（2）y=x^2（1）y=x^3（2）y=x^2+1（1）f(x+1)（2）f(-x)（四）案例分析1.分析题目：已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的单调区间和奇偶性。
2.解题步骤：（1）求导数：f'(x)=3x^2-3。
（2）判断单调性：令f'(x)>0，解得x>1或x<-1；令f'(x)<0，解得-1<x<1。
函数的单调性和奇偶性教案(学生版)
函数的单调性和奇偶性一、目标认知学习目标：1.理解函数的单调性、奇偶性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.重点、难点：1.对于函数单调性的理解；2.函数性质的应用.二、知识要点梳理1.函数的单调性(1)增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间.要点诠释：[1]“任意”和“都”；[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；[4]不能随意合并两个单调区间.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.2.函数的奇偶性偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：[1]奇偶性是整体性质；[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0；[6]，.三、规律方法指导1.证明函数单调性的步骤：(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.2.函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.3.常见结论:(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减) 函数；(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.(4)若奇函数在上是增函数，且有最大值，则在是增函数，且有最小值；若偶函数在是减函数，则在是增函数.经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值..。
湖南师范大学附属中学高一数学 函数的应用(Ⅱ)(2)教案
湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的应用（Ⅱ）（2）教学目标：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学重点：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学过程：1．某商店卖A 、B 两种价格不同的商品，由于商品A 连续两次提价20%，同时商品B 连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：A ．多赚5.92元B ．少赚5.92元C ．多赚28.92元D ．盈利相同2.某物体一天中的温度T(°C)是时间t (小时)的函数:6033+-=t t T .0=t 表示12：00，其后t 取值为正，则上午8：00的温度是：A ．112°C B.58°C C.18°C D.8°C3.某产品的总成本y （万元）与产量x 之间的函数关系式是21.0203000x x y -+=。
).240,0(∈x 若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为：A ．100台 B.120台 C.150台 D.180台4.甲、乙两店出售同一商品所得利润相同，甲店售价比市场最高限价低10元，获利为售价的10%，而乙店售价比限价低20元，获利为售价的20%，那么商品的最高限价是：A ．30元 B.40元 C.70元 D.100元5.某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1.10元;如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____ 件(即生产多少件以上自产合算)A.1000B.1200C.1400D.1600现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是：A ．t v 2log = B.t v 21log = C.212-=t v D.22-=t v 7.一批货物随17列货车从A 市以h km v /匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400km ，为了安全，两列货车的间距不得小于km v 2)20(，那么这批货物全部运到B 市最快需要: A.6h B.8h C.10h D.12h8.用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省。
高中数学函数的单调性与奇偶性综合练习(第21、22课)教案人教版必修1A
第十一教时教材：函数的单调性与奇偶性综合练习（《教学与测试》第21、22课）目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。
过程：一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等概念。
二、处理《教学与测试》第21、22课例题例一．（P43 例一）注意突出定义域：x≠1 然后分区间讨论例二．（P43 例二）难点在于：判断x2 + x1x2 + x2 > 0 应考虑用配方法而且：∵x1, x2中至少有一个不为0, ∴……反之，倘若x1, x2全为0 x2 + x1x2 + x2 = 0 例三．（P43 例三）难点在于：分 a > 0, a = 0, a < 0 讨论应突出“二次函数”，再结合图象分析例四．（P45 例一）1、2题已讲过；第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指数概念例五．（P45 例二）此题是常见形式：应注意其中的“转换．．”关系例六．（P45 例三）此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。
三、补充：例七、已知函数f (x), g (x)在R上是增函数，求证：f [g (x)]在R上也是增函数。
证：任取x1, x∈ R 且x1 < x2∵g (x) 在R上是增函数∴g (x1) <g (x2)又∵f (x)在R上是增函数∴f [g (x1)] < f [g (x2)]而且 x 1 < x 2 ∴ f [g (x )] 在R 上是增函数同理可以推广：若 f (x )、g (x ) 均是R 上的减函数，则 f [g (x )] 是R 上的增函数若 f (x )、g (x ) 是R 上的一增、一减函数，则 f [g (x )] 是R 上的减函数 例八、函数 f (x )在 [0, )∞+上单调递减，求)1(2x f -的递减区间。
解：f (x ) 定义域：[0, )∞+又∵21x -≥0 ∴只要 1 - x 2≥0 即 x 2≤1 ∴ - 1 ≤ x ≤ 1当 x ∈ [ 0, 1] 时, u =21x -关于 x 递增, f (u)关于 x 递减∴单调区间为 [-1，0]例九、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：1．f (0) = 02．若 f (x ) 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则 f (x ) 在)(0,∞-上有最大值1。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案第一章：函数的单调性1.1 单调性的定义引导学生理解函数单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义。
通过示例来说明函数单调性的判断方法。
1.2 单调性的性质引导学生了解单调性的几个重要性质，如单调性的传递性、复合函数的单调性等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第二章：函数的奇偶性2.1 奇偶性的定义引导学生理解函数奇偶性的概念，了解奇函数和偶函数的定义。
通过示例来说明函数奇偶性的判断方法。
2.2 奇偶性的性质引导学生了解奇偶性的几个重要性质，如奇偶性的对称性、奇偶性与单调性的关系等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第三章：单调性和奇偶性的综合应用3.1 单调性和奇偶性的关系引导学生了解单调性和奇偶性之间的关系，如奇函数的单调性、偶函数的单调性等。
通过示例来说明单调性和奇偶性在解决问题时的综合应用。
3.2 单调性和奇偶性的应用实例给出一些实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决这些问题。
通过示例来说明单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
第四章：函数的单调性和奇偶性的判断4.1 单调性和奇偶性的判断方法引导学生了解判断函数单调性和奇偶性的方法，如导数法、图像法等。
通过示例来说明这些方法的运用。
4.2 单调性和奇偶性的判断实例给出一些具体的函数，引导学生运用判断方法来确定这些函数的单调性和奇偶性。
通过示例来说明单调性和奇偶性的判断过程。
第五章：函数的单调性和奇偶性的综合应用练习5.1 单调性和奇偶性的综合应用练习题提供一些练习题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决问题。
通过练习来巩固学生对单调性和奇偶性的理解和应用能力。
5.2 练习题解答和解析对练习题进行解答和解析，帮助学生理解和巩固解题思路和方法。
通过解答和解析来提高学生对单调性和奇偶性的应用能力。
第六章：函数的单调性和奇偶性在图像分析中的应用6.1 图像的单调区间引导学生如何通过函数图像来判断函数的单调区间。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性和奇偶性的概念。
2. 让学生掌握判断函数单调性和奇偶性的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性：单调递增函数、单调递减函数。
2. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数。
3. 函数的单调性和奇偶性的判断方法。
4. 函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法。
2. 教学难点：运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数的单调性和奇偶性概念及判断方法。
2. 利用案例分析法引导学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生互相交流心得，提高解题能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，如商品打折、气温变化等，引导学生思考函数的单调性和奇偶性。
2. 讲解概念：讲解函数的单调性和奇偶性的定义，并通过图象进行演示。
3. 判断方法：教授判断函数单调性和奇偶性的方法，并进行练习。
4. 应用实例：分析实际问题，如物体的运动、经济的增长等，运用函数的单调性和奇偶性进行解答。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性和奇偶性概念的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生判断函数单调性和奇偶性的方法掌握情况。
3. 课后作业：分析学生完成作业的情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学反思1. 针对课堂教学过程，反思教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的反馈，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多实际问题，丰富教学案例，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸1. 探讨函数的单调性和奇偶性在高等数学中的应用。
2. 引导学生关注函数的单调性和奇偶性在其他领域的应用，如物理、化学等。
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计
【教学目标】
1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；
3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.
新授课阶段
一、函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
【导入新课】
1.通过对函数 、 、 及 的观察提出有关函数单调性的问题.
《函数的单调性、奇偶性》复习教案高品质版
已知数y=f（x）在定义域的某个区间为增函数，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），
反之，若f（x1）＜f（x2）时，则x1＜x2。
(2)当y=f（x）在定义域某个区间上为减函数时，若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），
反之，若f（x1）＞f（x2）则有x1＜x2。
奇偶性与单调性的综合运用
1、已知奇函数 在定义域[2,2]上递减，求满域[2,2]上递减 ,解得 .
2．已知函数 是R上的偶函数，且在（-∞， 上是减函数，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
知识分析：若 是偶函数，利用 为偶函数的特性： = = ,
2.对于两个函数而言：
/
增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数
减函数-增函数=减函数 减函数+减函数=减函数
四、证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法：利用定义
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
比较 、 、 的大小。
5．若 为偶函数，定义域为R，它在（-∞，0）上是增函数，那么下列式子正确的是（ ）
（A） ＞ （B） ＜
（C） ≥ （C） ≤
6.设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
?
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
五、单调性应用
类型一 函数的最值问题
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上是单调函数，则函数y=f（x）在[a，b]上一定有最大、小值。
①若y=f（x）在[a，b]上是单调递增函数，则y=f（x）的最大值是f（b），最小值是f（a）；
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案章节一：函数单调性概述1.1 引入：通过生活中的实例，如购物时打折优惠、登山时的斜坡等，让学生感受单调性的概念。
1.2 单调性的定义：一般地，如果函数f(x)在某个区间上的任意两个不同自变量x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤f(x2)（或f(x1) ≥f(x2)），就称函数f(x)在这个区间上是单调不降（或单调不增）的。
如果f(x1) > f(x2)，函数f(x)是单调递减的；如果f(x1) < f(x2)，函数f(x)是单调递增的。
1.3 单调性的性质：单调性是函数的一种重要性质，它与函数的极值、最值等概念密切相关。
章节二：常见函数的单调性2.1 线性函数的单调性：y = kx + b（k≠0），当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
2.2 反比例函数的单调性：y = k/x（k≠0），当k>0时，函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减；当k<0时，函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增。
2.3 二次函数的单调性：y = ax^2 + bx + c（a≠0），当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
章节三：函数奇偶性的概念3.1 奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，称函数f(x)为奇函数。
3.2 奇偶性的性质：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
章节四：常见函数的奇偶性4.1 线性函数的奇偶性：y = kx + b（k≠0），既不是奇函数也不是偶函数。
4.2 反比例函数的奇偶性：y = k/x（k≠0），为奇函数。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案章节一：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 学会利用函数的单调性解决实际问题。
教学内容：1. 函数单调性的定义；2. 函数单调性的判断方法；3. 函数单调性在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的含义；2. 通过例题讲解，让学生学会判断函数的单调性；3. 布置练习题，让学生巩固函数单调性的判断方法；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数的单调性解决问题。
章节二：函数的奇偶性教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会利用函数的奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 函数奇偶性的定义；2. 函数奇偶性的判断方法；3. 函数奇偶性在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引入函数奇偶性的概念，引导学生理解函数奇偶性的含义；2. 通过例题讲解，让学生学会判断函数的奇偶性；3. 布置练习题，让学生巩固函数奇偶性的判断方法；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数的奇偶性解决问题。
章节三：函数单调性与奇偶性的关系教学目标：1. 理解函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题。
教学内容：1. 函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生理解函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 通过例题讲解，让学生学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题；3. 布置练习题，让学生巩固函数单调性与奇偶性之间的关系；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决问题。
章节四：常见函数的单调性与奇偶性教学目标：1. 学会判断常见函数的单调性与奇偶性；2. 学会利用常见函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 常见函数的单调性与奇偶性；2. 利用常见函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
湖南师范大学附属中学高三数学专题复习课件：第9讲 函数单调性
第三页，编辑于星期日：十六点 十五分。
典例评析
《圆梦》例题选讲
第四页，编辑于星期日：十六点 十五分。
（2）如果函数y =f(x)在某个区间是增函数或 减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，这一区间叫做y =f(x)的单调
区间．
第二页，编辑于星期日：十六点 十五分。
知识与方法梳理 2. 函数单调性的判定方法
① 利用定义 ② 利用导数
③ 利用已知函数的单调性
3. 复合函数的单调性
高三数学总复习
第9讲
函数的单调性
授课者：李昌平
第一页，编辑于星期日：十六点 十五分。
知识与方法梳理
1. 单调函数
（1）如果对于属于定义域I内某个区间上的任
意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)（ f(x1)＞f(x2) ），那么就说
湖南师范大学附属中学高一数学 函数的奇偶性教案
湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的奇偶性教材：函数的奇偶性 目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。
过程：一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性1．依然观察 y=x 2与 y=x 3 的图象――从对称的角度．观察结果：y=x 2的图象关于轴对称y=x 3的图象关于原点对称3．继而，更深入分析这两种对称的特点：①当自变量取一对相反数时，y 取同一值．f(x)=y=x 2 f(-1)=f(1)=1 41)21()21(==-f f 即 f(-x)=f(x) 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x 2的图象上，则该点关于y 轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=x 2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y 亦取相反数．f(x)=y=x 3 f(-1)=-f(1)=-1 81)21()21(-=-=-f f 即 f(-x)=f(x) 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x 3的图象上，则该点关于原点的对称点 (-x,-y) 也在函数y=x 3的图象上．4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略）注意强调：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件――前提②＂定义域内任一个＂：意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义――f(-x)=f(x) ( 或f(-x)=-f(x) )三、例题：例一、（见P61－62 例四）例二、（见P62 例五）此题系函数奇偶性与单调性综合例题，比例典型．小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数例：x y 1= y=2x （奇函数）y=-3x 2+1 y=2x 4+3x 2 （偶函数）y=0 （即奇且偶函数）y=2x+1 （非奇非偶函数）例三、判断下列函数的奇偶性：1．x xx x f -+-=11)1()(解：定义域：1101101<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≠-x x x x 关于原点非对称区间∴此函数为非奇非偶函数2．2211)(x x x f --=解：定义域：⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤≤--≤≥⇒≥-≥-1111010122x x x x x 或 ∴定义域为 x =±1 )(11)(22x f x x x f =--=- 且 f (±1) = 0∴此函数为即奇且偶函数3．⎩⎨⎧>-<+=)0()0()(22x x x x x x x f解：显然定义域关于原点对称当 x>0时, -x<0 f (-x) = x 2-x = -(x -x 2)当 x<0时, -x>0 f (-x) = -x -x 2 = -(x 2+x)即：)()0()()0()()(22x f x x x x x x x f -=⎩⎨⎧>--<+-=-∴此函数为奇函数四、奇函数⇔图象关于原点对称偶函数⇔图象关于轴对称例四、（见P63 例六） 略五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法六、作业：P63 练习P65 习题2. 3 7、8、9。
湖南省师范大学附属中学高三数学总复习 函数的单调性与极值教案
湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：函数的单调性与极值 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一 引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下，比较f(x 1)<f(x 2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二 新课讲授1 函数单调性我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(x)是函数y=f(x)的一个极小值。
湖南师范大学附属中学高一数学 函数的单调性1教案
湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的单调性1观察函数的图像：（当x 增加的时候，y 的变化怎样？）函数2y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x 的增加，y 值在增加），3y x =又怎样？知识要点：1、 设函数y=f(x)的定义域为A ，区间A I ⊆,如果对于区间I 内的任意两个值21,x x , 当 时，都有 则称y=f(x)在 上是单调增函数，I 称为函数y=f(x)的如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ,当 时，都有 则称y=f(x)在 上是单调减函数，I 称为函数y=f(x)的 单调增区间和单调减区间统称为在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数；②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <．2、常见函数的单调性：①b kx y +=②xk y = ③c bx ax y ++=23、函数的单调性的判定方法有 、 、二、例题分析：例1、画出下列函数的图象，并写出单调区间：（1）22+-=x y （2）)0(,1≠=x x y （3）x xx f +-=11)(例2、求证：函数11)(--=x x f 在区间)0,(-∞上是单调增函数注：判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①取值：在给定区间上任取两个值1x ，2x ，且12x x <；②作差变形：作差12()()f x f x -，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形； ③定号：判断上述差12()()f x f x -的符号，若不能确定，则可分区间讨论； ④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
湖南师范大学附属中学高一数学 函数的单调性2教案
1湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的单调性2一．课题：二．教学目的：1. 进一步掌握单调性，会求复合函数的单调区间；2. 会应用单调性解题。
三．教学重点、难点：复合函数的单调区间 四．教学过程：（一）复习：（提问）1．单调函数的概念2．练习：证明)1,0(是函数x x y 1+=的单调递减区间。
（二）新课讲解：1．例题分析： 例1．判断下列函数的单调区间：21x y =解：令2x t = （0>t ） Θty 1=在),0(+∞上为减函数 而2x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数∴21x y =在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函数。
说明：复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．2 （2）5412+-=x x y 的单调递增区间为 ． 例3．讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性。
解：设12x -<<2x ，Θ2212212)(+-+=+-++=x a a x a a ax x f ∴)(2x f )(1x f -)221()221(12+-+-+-+=x a a x a a )2121)(21(12+-+-=x x a 1221(12)(2)(2)x x a x x -=-⋅++ 又Θ12x -<<2x ，∴0)2)(2(1221<++-x x x x ∴ 当021>-a ，即21<a 时，)(2x f )(1x f <， 当021<-a ，即21>a 时，)(2x f )(1x f >， 所以，当21<a 时， 21)(++=x ax x f 在),2(+∞-为减函数； 当21>a 时， 21)(++=x ax x f 在),2(+∞-为增函数。
湖南师范大学附属中学高一数学教案：对数(3)—对数函数性质的综合运用
二．教学目标：1.会利用对数函数的性质求复合函数的值域、单调区间及判断奇偶性；2.能熟练地运用对数函数的性质解题；3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
三．教学重、难点：1.复合函数的值域及单调区间；2.对数函数的图象和性质在解题中的运用。
四．教学过程：（一）复习：对数函数的图象及性质（由学生画图并结合图形描述性质）。
（二）新课讲解：例1、解下方程：()()11125;22590x x -+=⨯-=例2、解下列不等式： ()()()()3231522363log (2)34lg(1)1x x x x -+><+>-<例3．求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。
解：令223132()24u x x x =-+=--在3[,)2+∞上递增，在3(,]2-∞上递减， 又∵2320x x -+>， ∴2x >或1x <，故232u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵132log y u =为减函数， 所以，函数2132log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。
说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。
例4．若函数22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围。
解：令2()u g x x ax a ==--，∵函数2log y u =-为减函数，∴2()u g x x ax a ==--在区间(,13)-∞-上递减，且满足0u >， ∴132(13)0a g ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得2232a -≤≤，所以，a 的取值范围为[223,2]-．五．课堂练习：1．函数212log (2)y x =-的定义域是 ，2．若函数log (1)a y x =-在[0,1)上是增函数，a 的取值范围是 ；3．函数2lg(2)y x x =-的值域是 ，单调增区间是 ．六．小结：1．用对数函数的性质求复合函数的值域、单调区间及判断奇偶性的方法。
高一数学教案(函数单调性与奇偶性)
高一数学教案〔函数单调性与奇偶性〕同学们都在劳碌地复习自己的功课，为了关怀大家能够在考前对自己所学的学问点有所稳固，下面学习啦我为各位老师整理了高一数学函数单调性与奇偶性教案，欢送参考!高一数学教案：函数单调性与奇偶性教学目标1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,把握有关证明和推断的根本方法.(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.(2)能从数和形两个角度生疏单调性和奇偶性.(3)能借助图象推断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义推断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.2.通过函数单调性的证明,提高同学在代数方面的推理论证力气;通过函数奇偶性概念的形成过程,培育同学的观看,归纳,抽象的力气,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.3.通过对函数单调性和奇偶性的理论争辩,增同学对数学美的体验,培育乐于求索的精神,形成科学,严谨的争辩看法.教学建议一、学问构造(1)函数单调性的概念。
包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.(2)函数奇偶性的概念。
包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与生疏.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,把握单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质同学在学校所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观看图象的上升与下降,而如今要求把它上升到理论的高度,用精确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的同学来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是同学在函数内容中首次接触到的代数论证内容,同学在代数论证推理方面的力气是比较弱的,很多同学甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议(1)函数单调性概念引入时,可以先从同同学疏的一次函数,,二次函数.反比例函数图象动身,回忆图象的增减性,从这点感性生疏动身,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导同学觉察自变量与函数值的的转变规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的生疏就可以融入其中,将概念的形成与生疏结合起来.(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让同学依据步骤去做,就必需让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特殊是在第三步变形时,让同学明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便关怀同学总结规律.函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观看对应的函数值的转变规律,先从具体数值开头,渐渐让在数轴上动起来,观看任意性,再让同学把看到的用数学表达式写出来.经受了这样的过程,再得到等式时,就比较简洁体会它代表的是很多多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进展屡次改动,关怀同学觉察定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.看过高一数学教案〔函数单调性与奇偶性〕的还看了:1.高一数学集合和函数的难点2.高一数学?函数的奇偶性?教案及练习题3.高一数学学习心得。
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湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的单调性与奇偶性综合练习 教材：函数的单调性与奇偶性综合练习（《教学与测试》第21、22课）
目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。
过程：
一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等概念。
二、处理《教学与测试》第21、22课例题
例一．（P43 例一） 注意突出定义域：x ≠1 然后分区间讨论
例二．（P43 例二） 难点在于：判断 x 2 + x 1x 2 + x 2 > 0 应考虑用配方法
而且：∵x 1, x 2中至少有一个不为0, ∴……
反之，倘若 x 1, x 2全为0 x 2 + x 1x 2 + x 2 = 0
例三．（P43 例三） 难点在于：分 a > 0, a = 0, a < 0 讨论
应突出“二次函数”，再结合图象分析
例四．（P45 例一） 1、2题已讲过；
第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指数概念
例五．（P45 例二） 此题是常见形式：应注意其中的“转换．．”关系
例六．（P45 例三） 此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。
三、补充：
例七、已知函数f (x ), g (x )在 R 上是增函数，求证：f [g (x )]在 R 上也是增函数。
证：任取 x 1, x ∈ R 且 x 1 < x 2
∵g (x ) 在R 上是增函数 ∴g (x 1) <g (x 2)
又∵f (x ) 在R 上是增函数 ∴f [g (x 1)] < f [g (x 2)]
而且 x 1 < x 2 ∴ f [g (x )] 在R 上是增函数
同理可以推广：
若 f (x )、g (x ) 均是R 上的减函数，则 f [g (x )] 是R 上的增函数
若 f (x )、g (x ) 是R 上的一增、一减函数，则 f [g (x )] 是R 上的减函数 例八、函数 f (x )在 [0, )∞+上单调递减，求)1(2x f -的递减区间。
解：f (x ) 定义域：[0, )∞+
又∵21x -≥0 ∴只要 1 - x 2≥0 即 x 2≤1 ∴ - 1 ≤ x ≤ 1
当 x ∈ [ 0, 1] 时, u =21x -关于 x 递增, f (u)关于 x 递减
∴单调区间为 [-1，0]
例九、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：
1．f (0) = 0
2．若 f (x ) 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则 f (x ) 在)(0,∞-上有最大值1。
3．若 f (x ) 在 [1, )∞+上为增函数，则 f (x ) 在 ](1,-∞-上为减函数。
4．若 x > 0时，f (x ) = x 2 - 2x , 则 x < 0 时，f (x ) = - x 2 - 2x 。
其中正确的序号是： ① ② ④
例十、判断 111
1)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性。
解：∵ 0112≠+++x x ∴函数的定义域为 R
且 f (x ) + f (-x )
)11()1()1()1()1(1)()(11
)()(111112222
222222222=-++--+++-+=+-+-+--+-+++++-++=x x x x x x x x x x x x x x
∴f (x ) = - f (-x ) ∴f (x ) 为奇函数
注：判断函数奇偶性的又一途径：f (x ) + f (-x ) = 0 为奇函数
f (x ) + f (-x ) = 2 f (x ) 为偶函数
四、作业：《教学与测试》 第21、22课中“练习题”。