第一讲 经典计量经济学模型(1)

数量分析方法
三、多元线性回归模型的检验
1、多元回归的拟合优度检验（R2检验）
2、回归方程的显著性检验（F检验）
3、各回归系数的显著性检验（t检验）
18
数量பைடு நூலகம்析方法
1、多元回归的拟合优度检验
总变差的分解
分析Y 的观测值、估计值与平均值的关系
ˆ Y ) (Y Y ˆ) Yi Y (Y i i i
15
数量分析方法
ˆ 的期望 E(b ˆ) b b ˆ 的方差和标准误差： b
(由无偏性)
ˆ 的方差-协方差矩阵为 可以证明 b
ˆ ) σ 2 ( X X )-1 Var -Cov( β ˆ )σ c ˆ ) σ 2c SE( β Var( β j jj j jj
c jj 是矩阵 ( X X )-1 中第j行第j列的元素 ˆ ~ N ( β , σ 2c ) 故有：β j 1, 2,..., k
其中，ei为残差项： ei
ˆ Yi Y i
6
数量分析方法
多元线性回归模型的矩阵表示
k个解释变量的多元线性回归模型的n个观测
样本，可表示为
Y1 b0 b1 X11 b2 X 21 ... bk X k1 u1
Y2 b0 b1 X12 b2 X 22 ... bk X k 2 u2
j
11
数量分析方法
ˆ b ˆ X b ˆ X b ˆ X ) Y ( b 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ b ˆ X b ˆ X b ˆ X ) X Y X ( b 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X b ˆ X b ˆ X ) X Y X ( b 0 b 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( b 0 b 1 X 1i b 2 X 2 i b k X ki ) X ki Yi X ki
Var(ui X i ) 2 , i 1,2,, n
假定3：无自相关假定
Cov(ui , u j X i , X j ) 0, i, j 1,2,, n, i j
假定4：随机扰动项与解释变量不相关
Cov( X i , ui ) 0, i 1, 2,, n
9
数量分析方法
26
数量分析方法
3、回归系数显著性检验（t 检验）
H0 : β j 0 j =1,2,...,k
H1 : β j 0
统计量为：
t*
ˆ -β β j j ˆ ) SE( β j
4
数量分析方法
多元总体回归函数
Y的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
E(Yi X1i , X 2i ,..., X ki ) b0 b1 X1i b2 X 2i ... bk X ki
总体回归函数也可表示为:
Yi b0 b1 X1i b2 X 2i ... bk X ki ui
其中，ui是随机误差项，代表排除在模型以外的 所有因素对Y的影响。
5
数量分析方法
多元样本回归函数
Y的样本条件均值表示为多个解释变量的函数
ˆ b ˆ X b ˆ X ... b ˆX ˆ b Y i 0 1 1i 2 2i k ki
或
ˆ b ˆ X b ˆ X ... b ˆ X e Yi b 0 1 1i 2 2i k ki i
X e = 0
ei 0 i X ij ei 0 j 1, 2, , k i
13
数量分析方法
2、OLS估计式的性质
（1）线性特征:
（2）无偏特性: （3）最小方差特性
ˆ 具有最小方差 在 βk 所有的线性无偏估计中，OLS估计 β k
结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估计式是最佳线 性无偏估计式（BLUE）。
23
数量分析方法
2、回归方程显著性检验（F检验）
基本思想
在多元回归中有多个解释变量，需要说明所
有解释变量联合起来对被解释变量影响的总显著
性，或整个方程总的联合显著性。
对方程总显著性检验是在方差分析的基础上 进行F检验。
24
数量分析方法
方差分析表
变差来源 平方和
2 ˆ ( Y Y ) i ˆ )2 RSS (Y - Y
自由度
方差
归于回归模型 ESS 归于残差 总变差
k
n - k -1 n -1
ESS / k
i
i
RSS / n - k -1 TSS / n -1
TSS (Yi - Y )2
ESS k F ~ F (k , n - k -1) RSS (n - k -1)
25
数量分析方法
F检验
Yn b0 b1 X1n b2 X 2n ... bk X kn un
7

数量分析方法
矩阵形式
Y1 1 X 11 X k1 β0 u1 Y 1 X β u X 12 k2 1 2 2 Yn 1 X 1n X kn βk un
将上式两边平方加总，可证得
2 y i
2 2 2 ˆ ˆ ( Y Y ) ( Y Y ) ( Y Y ) i i i i

总变差 yi（TSS）：Y的观测值与其平均值的离差平方和 2 ˆ y 解释了的变差 （ i ESS）：Y的估计值与其平均值的离差 平方和（回归平方和） 2 剩余平方和 e （ i RSS）：观测值与估计值之差的平方和 19 （未解释的平方和）
2
在实际应用中，随着模型中解释变量的增多，R2往往增大。 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释 变量即可。 但是，由增加解释变量引起的R2的增大与拟合好坏无关，所 以R2需调整。
20
数量分析方法
修正的可决系数
修正的可决系数为
2 e n -1 i n -1 2 R 1 1 1 1 R 2 2 n - k -1 yi n - k -1 yi (n -1) 2 2 e i (n - k -1)
条件？
1 X 12 X k2
1 Y1 X 1n Y2 Y X kn n
12
ˆ = X Y X Xβ
ˆ ( X X )-1 X Y b
数量分析方法
ˆ = X Y X Xβ ˆ + e代入 将Y = Xβ ˆ = X Xβ ˆ X e X Xβ
2 L 2k 1 AIC n n
其中
2 e n i L 1 ln2π ln 2 n
施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
SC 2 L k 1 lnn n n
对数似然函数
即
用矩阵表示
n X 1i X ki
X X

1i 2 1i

X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 1 b 0 ˆ X 11 1i ki b 1 2 X ki bˆ k X k1
Y
n 1
n k +1
X
k 1 1
或
β
n 1
u
总体回归函数 E Y X = Xβ 或 Y = Xβ + u 样本回归函数


ˆ ˆ = Xβ Y
ˆ +e Y = Xβ
8
数量分析方法
多元线性回归模型的基本假定
假定1：零均值假定 E(ui X i ) 0, i 1,2,, n 假定2：同方差假定
2 2 ˆ min e ( Y Y ) 残差平方和最小： i i i
ˆ b ˆ X b ˆ X ... b ˆ X ) min e Y -( b k ki i 0 1 1i 2 2i
2 i
2
上式对bj求偏导,令其为0:
( ei2 ) 0 ˆ b
H0 : β1 = β2 = ...= βk = 0
H1 : β j ( j = 1,2,...,k )不全为0
建立统计量:
ESS k F ~ F (k , n - k -1) RSS (n - k -1)
给定a，查F分布表得临界值Fa(k,n-k-1) ▼如果 F>Fa(k,n-k-1) ，则拒绝 H0 ，说明回归模型有显著 意义，即所有解释变量联合起来对Y有显著影响。 ▼如果 F<Fa(k,n-k-1) ，则接受 H0 ，说明回归模型没有显 著意义，即所有解释变量联合起来对Y没有显著影响。
特点：

R 2 R2


k越大， R 越小。R 综合了精度和变量数两个因素，兼 顾了精确性和简洁性。 R2必定非负，但 R 2可能为负值。
21
2
2
数量分析方法
信息准则
为了比较不同解释变量个数k的多元回归模型的拟合优度， 常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC）
3
数量分析方法
一、多元线性回归模型的基本假定
对于有k个解释变量的线性回归模型
Yi b0 b1 X1i b2 X 2i ... bk X ki ui
模型中 b j ( j 0,1,..., k ) 是偏回归系数，i=1,2, …n
偏回归系数 bj：在其它解释量不变的条件下，第j 个解释变量的单位变化对被解释变量平均值的影 响。