一种新型的再制造条件下EOQ模型

第36卷第4期2006年7月　东南大学学报(自然科学版)JOURNAL O F SOU THEAST UN I V ERS ITY (N atural Science Edition )V ol 136N o 14July 2006一种新型的再制造条件下EOQ 模型李新军 达庆利(东南大学经济管理学院,南京210096)摘要:研究了一种新型的再制造条件下带有废弃处理的(1,R )和(M ,1)EOQ 模型.在这对模型中,采用新产品的制造和回收产品的再制造2种方式来满足顾客需求,回收产品部分用于再制造,其余作废弃处理;总平均成本包括与回收产品、制造和再制造产品有关的库存持有成本,与制造和再制造有关的固定成本和可变成本以及废弃处理成本.该模型主要用来求解制造和再制造的最优经济订货批量的表达式.该模型适用于生产率有限和无限的情况,也适用于回收产品全部用于再制造和部分用于再制造的情形.给出的算例验证了所建模型的计算方法,并进一步分析了新引入的决策变量———再制造系数对总平均成本变化率的影响.关键词:逆向物流;再制造;EOQ 模型;废弃处理中图分类号:F 253 文献标识码:A 文章编号:1001-0505(2006)0420667205Novel E OQ model for re manufacturi n gL i X in jun D a Q ingli(College of Econom ics and M anagem ent,Southeast U niversity,N anjing 210096,China )Abstract:A pair of (1,R )and (M ,1)EOQ (econom ic order quantity )m odels are p roposed fora rem anufacturing setting w ith w aster disposal .In these m odels:custom er ’s dem and can be fulfilled by m anufacturing of new p roducts and rem anufacturing of used p roducts returned by the custom er ;som e of the returned p roducts are rem anufactu red and o thers are discarded;the relevant average costs are the summ ation of d ifferent hold ing costs rates fo r recoverable and serviceable inventory,fixed and variable p roduction costs for m anufactu ring and rem anufacturing,and costs for d iscarding .The m ain pur p ose is to solve closed 2for m for m ulae that deter m ine the op ti m al ordering quantity fo r m anu 2facturing and rem anufacturing .The m odels are valid for finite and infinite p roduction rate of m anu 2facturing and rem anufacturing .They are also app licable to all o r a p roportion of returned p roducts being rem anufactured .The rem anufacturing coefficient is introduced to exp ress the ratio bet w een the rem anufactured p roducts and discarded ones .A num erical exam p le is given to illustrate theoretical solutions and the i m pact of the rem anufacturing coefficien t on the rate 2of 2change of average costs .Key words:reverse logistics;rem anufacturing;EOQ m odel ;w aster disposal收稿日期:2006201209.基金项目:国家自然科学基金资助项目(70472033).作者简介:李新军(1975—),男,博士生;达庆利(联系人),男,教授,博士生导师,dql @public 1.p tt .js .cn . 随着人们环境意识的增强和政府环境立法的加强以及企业有利可图的经济刺激,许多企业尤其是原始设备制造商(o riginal equ i pm ent m anufactur 2er,O E M )积极地加入到逆向物流活动中,进行产品和物料的回收与再加工[12].O E M 不同于专业的物流回收机构,因为其产品有2种来源,回收产品的再制造和新产品的制造.库存管理是逆向物流领域的热点研究问题之一.逆向物流的库存管理主要分为两类:确定型和随机型.本文主要研究一种最简单的确定型模型———O E M 所面临的包含2种产品来源的EOQ 模型.1967年,Schrady 首先提出了带有物料回收的扩展EOQ 模型,研究了2种产品来源条件下由一个制造批次和R 个再制造批次组成一个循环周期的最优经济订货批量问题———(1,R )模型,在这个模型中,假定制造生产率p m 和再制造生产率p r均无穷大[3].近年来,这个模型得到了众多学者的关注和研究[48].Teun ter 分析了两类EOQ 模型,一类为p m 和p r 均无穷大的带有废弃处理的(1,R )和(M ,1)EOQ 模型(M 为制造批次)[7];另一类为p m 和p r 有限的回收产品全部用于再制造的(1,R )和(M ,1)EOQ 模型[8].R ichter 等证明了M >1且R >1的情况是不会达到最优的[45].再者,也为简单起见,这些文献和本文都只讨论M =1和R =1的2种情况.以上模型均受限于严格的特殊假定条件,大大降低了其在实际运作中的应用.本文在这些模型的基础上,引入了再制造系数u 这个决策变量作为回收产品可用于再制造和废弃处理的比例选择衡量标准,客户需求来源于回收产品的再制造和新产品的制造2种方式,p m 和p r 有限,提出了相对应的一对EOQ 模型———(1,R )和(M ,1)模型,如图1所示.这对模型中有两大特点:①p m 和p r 是有限的,并且均大于客户需求率λ,当然也适用于不经过一段生产过程的瞬间制造和瞬间再制造的情况;②回收的产品部分用于再制造,其余作废弃处理,并且把再制造系数u 作为决策变量,当然也适用于回收的产品全部用于再制造而不考虑废弃处理的情况.本文EOQ 模型与前述文献的EOQ 模型相比,可以作为现实库存问题的更为合理的近似化,而且条件更为宽松,适用范围更广,并且可以轻易地转化为前述文献的EOQ 模型.另外,通过算例验证了所建模型的计算方法,并进一步分析了再制造系数对平均成本的影响.图1　再制造条件下带废弃处理的2种供应来源库存系统1　模型假设本文库存模型的假设条件与文献[8]基本相同,采用新产品的制造和回收产品的再制造2种方式来满足顾客需求,制造和再制造的提前期以及回收产品和可服务产品的初始库存均为0,不允许缺货或者缺货成本无穷大,回收产品部分用于再制造,其余作废弃处理.计划时间是无限的并且按周期划分,库存周期为T,每个周期包含M 个制造期和R 个再制造期,即T =M T m +RT r (T m ,T r 分别为单个制造期和单个再制造期,亦即满足相应需求的时间段,M ,R 均为正整数).需求和回收是连续、稳定和确定的,需求率和回收率分别为λ,γλ(0≤γ≤1),再制造率为uλ(0≤u ≤γ),u 为再制造系数,是一个决策变量并且假定每个循环周期都等值.与制造、再制造和回收产品有关的库存持有成本分别为h m ,h r ,h n .一般情况下,在计算平均成本时将资金的机会成本也包含在内,因此三者之间的关系为h m >h n ,h r >h n[9].在批次的推导过程中,首先假定批次M ,R 为连续变量,然后对其进行整数化处理[8],一般保持模型中作为“1”的批量不变,而调整其余的决策变量.对于批次更为合理的整数化处理可以参考文献[10].2　研究周期由一个制造期和多个再制造期组成的(1,R )模型 首先研究每个循环周期T 由一个制造期和R 个再制造期组成的情况,记为(1,R )模型(见图2),每个峰值分别为Q m axm ,Q m axr ,Q m axn .在T r 中,峰值前后的时间分别为t 1,t 2.为了计算方便,做2条平行的辅助线,由对称性知,在辅助线所在的时间段里,平均回收库存正好是最大库存Q m axn 的1/2.根据每个再制造批量的大小关系,得到(p r -λ)t 1=λt 2t 1+t 2=T r =Q rλ解得t 1=Q r p r,t 2=Q rλ-Q r p r,Q m axr=λt 2=1-λp rQ r (1)式中,Q m ,Q r 分别为制造和再制造的批量大小,满足顾客需求的时间段分别为T m ,T r ,即Q m =λT m ,Q r =λT r .同理可得T m =Q mλ,Q m axm=1-λp mQ m (2)由RQ r =u (RQ r +Q m ),RT r =u (RT r +T m ),可得RT r T m =u 1-u ,　RQ r Q m =u1-u回收库存的最大值为Q m axn=T m +Q r1λ-1p r-866东南大学学报(自然科学版) 第36卷图2　(1,R )库存系统 γ-uγ(RT r +T m )γλ= Q r 1-λp r+Q m 1-γ-u γ11-uγ回收库存的平均持有费用为C 1,R1(Q m ,Q r )=12h n Q r 1-λp r+Q m ・　1-γ-u γ11-uγu γ=12h n u ・　Q r 1-λp r +Q m 1-γ-u γ11-u(3)在T r 时间段内再制造的平均费用为C 1,R 2(Q m ,Q r )=K r λQ r +12h r 1-λp rQ r(4)式中,K r 为新产品制造的批量固定费用,废弃处理的固定费用为0.在T m 时间段内的制造平均费用为C 1,R 3(Q m ,Q r )=K m λQ m +12h m 1-λp mQ m(5)式中,K m 为回收产品再制造的批量固定费用.由于RT r =uT,T m =(1-u )T,T d =γ-uγT,所以总的平均可变费用为C 1,R4(Q m ,Q r )=λ(uc r +(1-u )c m )+γ-uγγλc d = λ(uc r +(1-u )c m +(γ-u )c d )(6)式中,c m ,c r ,c d 分别为制造、再制造和废弃处理的单位可变成本.总的平均总费用为δ1,R (Q m ,Q r ,R,u )=C 1,R1(Q m ,Q r )+　uC 1,R 2(Q m ,Q r )+(1-u )C 1,R3(Q m ,Q r )+　C 1,R 4(Q m ,Q r )=12h n u Q r 1-λp r+Q m 1-γ-u γ11-u +u K r λQ r +12uh r 1-λp rQ r +　12h m (1-u )1-λp mQ m +(1-u )K m λQ m +λ(uc r +(1-u )c m +(γ-u )c d )(7) 为了求解方便,首先假设批次R 为连续型变量.由5δ1,R (Q m ,Q r ,R,u )/5Q m =0,5δ1,R (Q m ,Q r ,R,u )/5Q r =0,可得Q 1,Rm (u )=2K m λ(1-u )(1-u )h m 1-λp m+uh n 1-γ-u 1-u 1γ　Q 1,Rr(u )=2K r λ(h r +h n )1-λp r　R1,R(u )=u 1-u Q 1,Rm (u )Q 1,Rr(u )(8)根据u1,R=a rg m in 0≤u ≤γδ(Q 1,R m (u ),Q 1,R r (u ),R 1,R(u ),u )(9)求得u1,R 的值.将u1,R代入式(8)可得到Q 1,Rm ,Q 1,Rr ,R1,R.为了使R 1,R为整数,可以作适当调整: R 1,R=m ax{1,[R 1,R ]},同时保持Q 1,R m 不变,在 R 1,R(u,Q r )=u 1-u Q 1,Rm Q r 和0≤u ≤γ约束下,求δ1,R (Q m=Q 1,Rm ,Q r ,R = R 1,R (u,Q r ),u )的最小值,求得决策变量Q r ,u 以及目标函数δ的值,分别记作 Q 1,Rr ,u 1,R和 δ1,R .3　研究周期由多个制造期和一个再制造期组成的(M ,1)模型 研究每个循环周期T 由M 个制造期和一个再制造期组成的情况,记为(M ,1)模型(见图3).采用和(1,R )模型类似的方法来进行分析和研究.首先得到Q m ax r =1-λp rQ r ,Q m axm =1-λp mQ mT r M T m=u 1-u ,Q r M Q m =u1-u图3　(M ,1)库存系统回收库存的最大值为966第4期李新军,等:一种新型的再制造条件下E OQ 模型Qm ax n=M T m +Q r1λ-1p r-γ-u γ(T r +M T m)・ γλ=1-γλp rQ r (10) 平均总费用为δM ,1(Q m ,Q r ,M ,u )=12h n 1-γλp rQ r u γ+ u K r λQ r +12uh r 1-λp rQ r + (1-u )K m λQ m +12h m (1-u )1-λp mQ m +λ(uc r +(1-u )c m +(γ-u )c d )(11)为了求解方便,首先假设批次M 为连续性变量.因为δM ,1(Q m ,Q r ,M ,u )为u 的线性函数,而且0≤u ≤γ,所以u =0或者u =γ.由5δM ,1(Q m ,Q r ,M ,u )/5Q m =0,5δM ,1(Q m ,Q r ,M ,u )/5Q r =0,可得u =0时 Q M ,1m=2K m λh m 1-λp mQ M ,1r=2K r λγγh r 1-λp r+h n 1-γλp r(12)MM ,1=∞(13)u =γ时 QM ,1m=2K m λh m 1-λp mQ M ,1r=2K r λγγh r 1-λp r +h n 1-γλp r(14)MM ,1=1-u uQM ,1r Q M ,1m(15)为了使M M ,1为整数,可以作适当调整: M M ,1=m ax{1,[M M ,1]},保持 Q M ,1r (=Q M ,1r )不变,同时在0≤u ≤γ和MM ,1=1-u uQ M ,1rQM ,1m的约束下,求δM ,1(Q m ,Q r =Q M ,1r,R = R M ,1(u,Q m ),u )的最小值,求得决策变量Q m ,u 以及目标函数δM ,1的值,分别记作 Q M ,1m , u M ,1和 δM ,1.4　数值算例采用表1中所列的数据参数进行模拟计算.其中大多数参数都是已知的且为固定值,只有回收率已知但可变,对于高回收率(γ=018)和低回收率(γ=0118)2种情况分别考虑.计算结果如表2所示.表1　算例参数表K mK rh mh rh nc mc rc d λp m p r20510927.56-1100500300 1)低回收率(γ=0118)对于(1,R )模型,根据式(8)和(9),得到u 1,R =01165,Q 1,Rm =2119,Q 1,Rr=1117,R1,R=0137,总成本为80710.然而,这个结果并不能保证批次为整数,因此要将批次R 整数化,同时调整再制造系数u 和再制造批量Q 1,Rr ,最终总成本为87116.对于(M ,1)模型,根据式(14)求得Q M ,1m =2214,Q M ,1r =718,将Q M ,1m 和Q M ,1r的值代式(11)求得u M ,1=0118,并根据式(15)求得M =1159.然而,这个结果并不能保证批次M 为整数,因此要将批次M 整数化,同时调整再制造系数u 和制造批量Q M ,1m ,最终总成本为81018.表2　计算结果表模式γu Q mQ r R ( R )M ( M ) u Q mQ rδδ(1,R )011801165211911170137(1)—0118521117807108711601801686191611173167(4)—01704211411177271072711(M ,1)011801182214718—1159(2)01152214718810188101801801822141113—0113(1)0139221414167161673411注:符号上面有横线的为批次整数化后所对应的取值. 2)高回收率(γ=018)对于(1,R )模型,根据式(8)和(9),得到u 1,R =01686,Q 1,R m =1916,Q 1,Rr=1117,R1,R=3167,总成本为72710.然而,这个结果并不能保证批次R 为整数,因此要将批次R 整数化,同时调整再制造系数u 和再制造批量Q 1,Rr ,最终总成本为72711.对于(M ,1)模型,根据式(14),求得Q M ,1m =2214,Q M ,1r =1113,将Q M ,1m 和Q M ,1r 的值代入式(11)求得uM ,1=018,并根据式(15)求得M =0113.然而,这个结果并不能保证批次M 为整数,因此要将批次M 整数化,同时调整再制造系数u 和制造批量Q M ,1m ,最终总成本为73411.3)平均成本增长率随着再制造系数变化的轨迹平均成本增长率是指在γ既定的情况下,每个给定的u 所对应的平均成本m in δ(Q m ,Q r ,M 或R u 给定)与其中最小的平均成本m in δ(Q m ,Q r ,u,M 或R )的相对比率,即m in δ(Q m ,Q r ,M 或R u 给定)m in δ(Q m ,Q r ,u,M 或R )-176东南大学学报(自然科学版) 第36卷 图4(a )平均成本增长率随着再制造系数变化的轨迹是一种不断下降的趋势,而图4(b )、(c )和(d )是一种先下降后上升的趋势,分别在 u =01704, u =0115, u =0139达到最小.另外,在图4(c )中这种趋势有所波动,是因为在整数化处理过程中的误差所致.一般情况下,最小成本发生在0< u <γ的 u 的某个取值,也就是说在考虑了废弃处理后可以降低目标函数平均成本的值.本文模型中,制造生产率p m 和再制造生产率p r 有限,但是当表1中的p m →∞且p r →∞时,可以转化为瞬间制造、瞬间再制造的情形;回收的产品部分用于再制造,其余作废弃处理,但是当再制造系数u 不再作为决策变量而是令u =γ时,本文模型就转化为回收的产品全部用于再制造而不考虑废弃处理的情形.图4　平均成本增长率随着再制造系数变化的示意图5　结　语提出了一种新型的再制造条件下带有废弃处理的EOQ 模型.该经济订货批量模型中,需求率和回收率是确定的,客户需求来源于回收产品的再制造和新产品的制造2种方式,制造生产率和再制造生产率是有限的,并且均大于客户需求率,回收的产品部分用于再制造,其余作废弃处理.本文所提出的库存模型有一定的适用前提:制造和再制造的提前期为0,不考虑缺货,需求率和回收率均为连续和确定的.如何减少这些约束条件,提出应用范围更广泛的模型是今后研究的主要方向之一.另外,如何将该模型推广到随机型库存情形,以及关于制造批次和再制造批次的整数化问题,都可作为未来重要的研究方向.参考文献(References)[1]达庆利,黄祖庆,张钦.逆向物流系统结构研究的现状及展望[J ].中国管理科学,2004,12(1):131138.D a Q ingli,H uang Zuqing,Zhang Q in .C urrent and fu 2ture studies on structure of the reverse logistics system s:a review [J ].C hinese J ourna l ofM anagem ent Science,2004,12(1):131138.(in C hinese )[2]S tock J R.Reverse logistics [M ].O ak B rooh,I L :C ouncil of L ogistics M anagem ent,1992.[3]S chrady D.A deter m inistic inventory m odel 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