高中数学必修5第2章第1节第2课时数列的通项与递推公式

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人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】

2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。

2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。

②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。

二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。

教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。

三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。

本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。

四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。

由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。

知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。

高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系

n 3n＋1
为递
增数列．
数学必修5
第二章数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
数学必修5
第二章数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
数学必修5
第二章数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
数学必修5
第二章数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
数学必修5
第二章数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
数学必修5
第二章数列

高中数学必修5数列的递推公式

典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给定的初始条件和递推公式，数列的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项的倒数与1的和的数列。递推公式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列的前n项和，如求1+2+3+...+n的和。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确定数列的初始条件。例如，题目中可能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。

人教版必修5第二章数列第一节数列的概念及通项公式

S
n
f (n), Sn
f (an ), an
f
(Sn )
注意： n 1 是一定要单独计算；有时求出的结果可以合并，有时只能分开。
【例】①已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 2n2 3n ，则其通项公式 an =_______________
②数列{an}的前 n 项的和满足 Sn 4an 1，则其通项公式 an =______________
的最小值为________
6、已知数列{an}的首项 a1 2, 且 (n 1)an nan1 ，则 an ________
7、数列{an}满足 a1 2, an 4an1 3(n 2) ，则此数列的通项公式 an ________
8、已知数列{an}满足 a1
1,
an1
an an
2
, bn1
(n
)( 1 an
1), b1
（1）求证：数列{ 1 1} 是等比数列。 an
（2）若数列{bn} 是递增数列，求实数的取值范围。
9．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．
10、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1，则 an＝________；
【例】①已知 a1 2, an1 an 2n ，则 an =______________ ②数列{an}中， a1 1, an an1 3n1(n 2) ，求 an 。
第1页共6页
20 ：叠乘法（又称累乘法）适用 an1 an f (n) ，类似等比数列。
【例】已知数列 {an } 中，
4、特殊数列求通项公式（学完等比与等差后掌握）
（1）观察法【例】求 1 , 4 , 9 , 16 的通项公式 2 5 10 17

(完整版)数列公式汇总.doc

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式人教A版必修5

(1)“基础”——数列{an}的第 1 项或前几项; (2)递推关系——数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.如果两个条件缺一个,数列就不能确定. 2.数列递推公式的主要题型: (1)根据数列的递推公式和第 1 项(或其他项)求数列的前几项; (2)根据数列的递推公式求数列的通项公式.
第2课时数列的递推公式
课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性的方法. 2.知道递推公式是给出数列的一种形式. 3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
学习脉络
递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或
前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2).当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个
通项公式为 an=2n-1,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是单调递增数列.
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
探究四
探究一判断数列的单调性
数列的单调性一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断,具体为: an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}单调递增;
an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}单调递减.
探究一
探究二
探究三
探究四

高中数学必修5：数列

必修Ⅴ 数列一、数列的概念1、数列：数列与函数的关系：数列的通项公式：数列的递推公式：数列的前n 项和=n S 通项n a 与n S 的关系：=n a2、由递推公式求通项公式的常见方法：①形如：d a a n n =--1（为常数）p a a n n =-1（为常数），用求通项公式 ②形如：()n f a a n n =--1，()n g a a n n =-1，用求通项公式 ③形如：q pa a n n +=-1 ()0,1,0≠≠≠q p p ，用求通项公式 ④形如qpa a a n n n +=--11 ()0,0≠≠q p ，用求通项公式 3、数列求和的常见方法①倒序求和：通项满足时，用此方法求和 ②分组求和：通项满足时，用此方法求和 ③错位相减法：通项满足时，用此方法求和 ④裂项求和：通项满足时，用此方法求和 ⑤并项求和：通项满足时，用此方法求和4、判断数列单调性的方法：①利用数列的单调性：若01>-+n n a a ()*N n ∈，数列；若01<-+n n a a ()*N n ∈，数列 ②利用数列是一个特殊的函数，以及相应函数的单调性，确定数列的单调性。

二、等差数列1、等差数列的定义：2、等差数列的通项公式：=n a从函数角度理解等差数列的通项n a 是关于n 的3、等差数列的性质：①序号差的关系：=-m n a a ②序号和的关系：若s r n m +=+，则4、等差数列的前n 项和：=n S =从函数角度理解等差数列的前n 项和n S 是关于n 的等差数列的前n 项和n S 的性质：①一般地：k S ，k S 2，k S 3仍然成，公差为②n S 可以转化成最中间一项或两项的和 n a a S n n ⋅+=21 若n 为偶数()k n 2=时=n S ，若n 为奇数()12-=k n 时=n S 等差数列的前n 项和n S 最值的求法：①利用n S 是关于n 的二次型函数求最值，注意函数的定义域∈n②分析等差数列前有限项的正负，求n S 的最值：若前有限项为正数项，可以求n S 的值，若前有限项为负数项，可以求n S 的值5、等差中项的定义：若A 为a 与b 的等差中项，则=A三、等比数列1、等比数列的定义：2、等比数列的通项公式：=n a从函数角度理解等差数列的通项n a 是关于n 的3、等比数列的性质： ①序号差的关系：=mn a a ②序号和的关系：若s r n m +=+，则 4、等比数列的前n 项和：1≠q 时，=n S = ，1=q 时，=n S 等比数列的前n 项和n S 的性质：一般地：若0≠k S k S ，k S 2，k S 3仍然成，公比为5、等比中项的定义：若G 为a 与b 的等比中项，则=G。

高中数学必修5《数列的递推公式》教学设计

普通高中课程标准实验教科书(人教A版数学必修五)§2.1 数列的概念与简单表示方法第2课时数列递推公式的教学设计一.教学内容数是刻画静态下物体的量，按一定顺序排列着的一列数称为数列。

在日常生活中，人们经常遇到需要用有关数列知识来解决的问题。

在数学中，数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。

数列的知识也是学生将来学习高等数学的基础。

由于数列这部分知识与以前所学知识具有较强的联系，特别与函数等知识有密切联系，新教材安排数列在函数之后教学，有利于用函数的观点来认识数列本质，也有利于加深巩固对函数概念的理解。

数列的递推公式这一节，是在前面学习了数列的有关概念后，介绍的另一种确定数列的办法。

本节的许多教学情境来源与生活实际，体现新课标的应用特点，加强学生对数列概念的感性认识。

本节的学习需要学生不断地观察、分析、归纳、猜想，还要综合应用前面知识解决数列中一些问题，培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，有助于学生数学能力的提高。

二．教学目标本节课通过对谢宾斯基三角形的分析，让学生体会递推思想，了解从特殊到一般的归纳方法。

具体目标为：1．要求学生了解递推公式是给出数列的一种方法。

2．学生会根据数列的递推公式写出数列的前几项,利用递推思想解决一些实际问题，3．培养学生推理能力，严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。

通过课内外知识的介绍，开阔学生的眼界。

本节课教学重点:利用递推思想求出递推关系。

本节课教学难点:利用递推关系求出数学通项公式。

三．教学情况分析在本节之前，学生已经对函数知识有了一定程度的理解与掌握。

数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系。

在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列。

函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。

由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。

人教a版必修五课件：数列的递推公式(60页)

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第二章 2.1 第2课时
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典例导悟
类型一 [例1] 由递推公式求数列中的项已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由
an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； an (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数 an＋1 列{bn}的前4项．
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第二章 2.1 第2课时
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课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
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第二章
数列
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数列
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2.1
数列的概念与简单表示法
第二章
数列
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第2课时
课前自主预习
数列的递推公式
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第二章 2.1 第2课时
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的前n项，了解数列的函数性质． 3．掌握一些简单的递推公式来求数列的通项公式.
递推法．方法叫做________
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第二章 2.1 第2课时
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思考感悟
1．通项公式与递推公式的区别与联系
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高二数学人教A必修5浙江专用课件2.1.2数列的递推公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
12345
4.已知数列{an}满足 a1=2,a2=5,a3=23,且 an+1=αan+β,则 α,β 的值分别
为
.
解析:∵an+1=αan+β,
∴
a a
2 3
= =
αa1 αa2
+ +
β, β,
即
52αα++ββ==253,, 解得
α = 6, β = -7.
答案:6,-7
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
12345
5.数列{an}中,a1=1,an+1=2+a1n,试写出 a2,a3,a4,a5. 解:a2=2+a11=2+11=3.
a3=2+a12=2+13 = 73. a4=2+a13=2+37 = 177. a5=2+a14=2+177 = 4117.
正切公式目标引航
自主预习
题型一
题型二
题型三
课堂互动
典型考题
随堂练习
由递推公式写出通项公式的步骤:
(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前 3 项); (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式; (3)写出一个通项公式.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式目标引航
自主预习
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、
正切公式目标引航

人教A版必修5第二章数列章末总结之通项公式的求法

{an
4n
6}是以a1
4
6
3为首项，1 为公比的等比数列 2
an
4n
6
3
(
1 2
)n1
an
3 ( 1 )n1 2
4n
6
思考：如果 f (n) 是一个二次式，应当如何进行构造？
解：当 n 2时， an 3an1 2n
等式两边同时除以 2n ，则原式可化为
an 2n
3an1 2n 3
1
3 2
人教A版必修5第二章章末总结
数列通项公式的求法
课题导入
在进行数列问题的讨论时，数列的通项公式的讨论与求解是我们解题的关键环节，如何能正确的求出数列的通项公式？我们这节主要学习一下数列的通项公式的求法
目标引领
1：掌握求数列通项公式的方法和技巧 2：能根据数列的前N项和求出数列的通项公式 3：能利用所给的递推公式求出数列的通项公式
=2 (2an1 an 2 an1) (am1 an )
则数列 bn 是以 b1 a2 a1 1 公差为2的等差数列
（2）由（1）可得 bn an1 an 1 (n 1) 2 2n 1 利用前面所学的累加法可得
a2 a1 1
a3 a2 3 a4 a3 5
an1
• 往利用累乘法求其通项公式。
解：因为当
n
2
时，
an an1
2n1
则 a2 2, a3 22 , a4 23, , an 2n1
a1
a2
a3
an1
把各个式子相乘可以得到：
a2 a3 a4 an 21 22 2n1
a1 a2 a3
an1
即 an
2123 (n1)

湖北省高三数学必修五第二章数列2.1.2数列的递推公式选学教案

地出现 2,12,-1 这三个数,也就是说 a1=a4,a2=a5,…,an=an+3,….
课堂篇合作学习
-6-
1.1.1 正弦定理
探究一
探究二
思维辨析当堂检测
首页
课前篇自主预习
课堂篇合作学习
反思感悟由递推公式写出数列的项的方法 1.根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,然后依次代入计算即可. 2.解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. 3.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
递推公式转化为通项公式进行研究.
(1)解法一:(累加法)∵a1=1,an+1-an=2, ∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相
加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).
课堂篇合作学习
-14-
1.1.1 正弦定理
探究一
探究二
思维辨析当堂检测
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课前篇自主预习
1.下列说法错误的是( ) A.递推公式也是数列的一种表示方法 B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式 C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式 D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式解析:通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列,它也是给出数列的一种方法.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式. 答案:C

数学必修5第二章求数列的通项公式课件

an 2(n 1), bn 4 (2) n 1
定义法:当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差(公比)。练2．设数列 {Cn }的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 2, c 4, c 7, c 12 ，求通项公式 {Cn }

n n
2 n 2
n
n 1
n
观察法:观察各项的特点，观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式,关键是找出各n} 是公差为d的等差数列，数列 {bn } 是公比为q 的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数 f ( x) ( x 1) 2 且 a1 f (d 1), a3 f (d 1), b1 f (q 1), b3 f (q 1) ， (1)求数列 {an}和 {bn } 的通项公式；
当给出递推关系求 an时，主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。例6，已知数列{an}的递推关系为an 1 2an 1 ，且 a1 1 求通项公式 an 。
换元法
解：∵ an 1 2an 1 ∴ an1 1 2(an 1) bn 1 an 1 1 2 an 1 令 bn an 1 ∴ bn 则辅助数列 {bn} 是公比为2的等比数列 n 1 n 1 n ∴bn b1q 即 an 1 (a1 1)q 2 n ∴ an 2 1
求an .
2 . n 1 2 3 1
倒数法:数列有形如 1 等式两边同乘以 a a
n
f (an , an1 , an an1 ) 0
,

高中数学第1部分 2.1第2课时数列的通项公式与递推公式新人教A版必修5

[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[活学活用] 2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由 an＝an－1 ＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且 a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
[活学活用] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)，写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式．解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
a5＝a4＋5×1 4＝74＋210＝95. 故数列的前 5 项分别为 1，32，53，74，95. 由于 1＝2×11－1，32＝2×22－1，53＝2×33－1，74＝2×44－1， 95＝2×55－1，故数列{an}的一个通项公式为 an＝2nn－1＝2－n1.
2.巧析递推数列求通项公式两种常用方法
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法．
解：将 A，B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：

【优选整合】高中数学人教A版必修五第二章2.1.2数列的通项公式与递推公式【教案】.doc

2.1. 2数列的通项公式与递推公式
一、教学目标：
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前儿项；
3.理解数列的前n项和与色的关系。

二、教学重点难点：
教学重点：数列及其有关概念通项公式及其应用
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立口主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。

设计流程如下：
四、教学过程:。

高中数学必修五学案第2课时数列的递推公式与通项公式

第2课时数列的递推公式与通项公式学习目标1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.知识点一递推公式思考数列1,2,4,8，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1有什么关系？答案 a n ＋1＝2a n .梳理如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项.(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项. 知识点二数列的表示方法思考以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答案 ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.③列表法：④图象法：梳理数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.1.利用a n＋1＝2a n，n∈N*可以确定数列{a n}.(×)2.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决.(√)3.递推公式是表示数列的一种方法.(√)类型一数列的表示法例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.考点数列的表示方法题点数列的表示方法解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，a n＋1＝3a n，n∈N*，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).反思与感悟求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N*)个三角形数多________个石子.考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案n解析a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴a n－a n－1＝n.类型二数列的递推公式命题角度1 由递推公式求前若干项例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *). 写出这个数列的前5项. 考点数列的递推公式题点由递推公式求项解由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.引申探究若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，求a 2 018. 解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1，∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2 018＝a 4×504＋2＝a 2＝－3.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.跟踪训练2 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？考点数列的递推公式题点周期数列问题解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6. 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6. ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝2. 命题角度2 由递推公式求通项例3 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n ； (2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解 (1)当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n －1)＋1＝2n －1. (n －1)个2 a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1. (2)当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1·12·23·…·n －1n ＝1n.a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n.反思与感悟形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式；形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法.跟踪训练3 已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n .考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解 ∵a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，∴a 2－a 1＝11－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，即a n －a 1＝1－1n(n ≥2).∴a n ＝a 1＋1－1n ＝－1＋1－1n ＝－1n (n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝－1，也符合上式. ∴a n ＝－1n，n ∈N *.1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A.a n＋1＝a n＋n，n∈N*B.a n＝a n－1＋n，n∈N*C.a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N*D.a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2考点数列的表示方法题点数列的表示方法答案 C解析由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，a n＋1－a n＝n＋1，n∈N*，故选C.2.已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项a n等于()A.n2＋1B.n＋1C.1－nD.3－n考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式答案 D解析∵a n＋1－a n＝－1.∴a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n－1)个＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________. 考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案 a n ＝2n ＋1，n ∈N *解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7， a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *. 4.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 018＝________. 考点数列的递推公式题点周期数列问题答案－12解析 ∵x 1＝1， ∴x 2＝－12，∴x 3＝1，∴数列{x n }的周期为2， ∴x 2 018＝x 2＝－12.人教版高中数学必修五1.{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式.而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.11。