2011年“学而思杯”初一数学试卷及答案

2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛

初 一 数 学 试 卷

学校______________ 姓名_________ 准考证号________ 成绩_________

一、填空题（本题共60分，每小题5分）

1. 计算：()317

9111315231220304256⎛⎫-+

-+-⨯-= ⎪⎝⎭

_________．

2. 如图，MN PQ ∥，A B 、分别在MN PQ 、上，70ABP ∠=︒，

BC 平分ABP ∠，且20CAM ∠=︒，则C ∠的度数为______________．

3. 当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式31235ax bx --的值

等于__________．

4. 已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛

⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦和3151128x a x +--=有相同的解，

那么这个解是x =_______．

5. 已知ABC △中，90BAC ∠≠︒，AD BC ⊥，BE AC ⊥，且AD BE 、交于点H ，连接CH ， 则ACH BAE ∠+∠=_______．

6. a b c 、、三个有理数满足0a b c <<<，且1a b c ++=，b c M a +=，a c N b +=，a b

P c

+=， 则M N P 、、之间的大小关系是________________．

7. 如图，ABC △中，D 在AC 上，E 在AB 上，且BD CE 、相交于O ， OB OD =，2OC OE =，若2BOC S =△，则ABC S =△__________．

C A

Q

P

N M O

E D

C

B

A

8. 平面直角坐标系xOy 中有两个点()44A -，，()62B --，，则AOB △的面积为___________．

9. 若关于x 的方程()42a x b bx a -+=-+-有无穷多个解，则323a b +的值为__________．

10. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠和EAC ∠的平分线交于点D ，

ABD ∠和BAD ∠的平分线交于点F ，则AFB ∠的度数为_________．

11. 若21234m m --+=，则m 的取值范围是_____________

12. 已知ABC △中，AB AC =，D 为BC 边上一点，若ACD △和ABD △都是等腰三角形，

则C ∠的度数为_______________．

二、解答题（本题共40分，每小题10分）

13. 如图，M N 、为四边形ABCD 的边AD BC 、的中点，AN BM 、交于P 点，CM DN 、交于Q 点． 若四边形ABCD 的面积为150，四边形MPNQ 的面积为50，求阴影部分的面积之和．

F

E

D

C B

A

14. 数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，

也可以将几何问题转化为代数问题。通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果。教科书中利用几何图形证明乘法公式()2

222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a b 、分别表示一条线段的长度，则a b +可以表示两条线段之和，那么

()

2

a b +就可以表示正方形的面积。同样，22a ab b 、、也可以表示相应部分的

面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性。

⑴ 请你根据上述材料推导乘法公式()2

a b c ++的展开结果．

⑵ 12121212a a b b c c d d 、、、、、、、均为正数，且12121212a a b b c c d d k +=+=+=+=， 求证：221212121a b b c c d d a k +++≤，并写出等号成立的条件．

b

15. 已知1x 、2x 、3x 、4x 、5x 是非负实数，且123452011x x x x x ++++=．M 是12x x +、23x x +、34x x +、

45x x +的最大值，求M 的最小值m ．

16. 定义：[]x 表示不超过x 的最大整数，{}x 表示数x 的小数部分，即{}[]x x x =-．

假设0a >，且{}21a a ⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

，223a <<，求6421225a a a a a ---+-的值．

2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛

初一数学答案

二、解答题（每小题10分，按解题过程分步给分，若只有答案且正确，给2分）

13. 解法一：连接BD

∵M N 、是AD BC 、中点，∴ABM BDM S S =△△，BDN CDN S S =△△，

∴1

2

BMDN ABCD S S =．……………………………………4分

同理，1

2

ANCM ABCD S S =，………………………………6分

∴ANCM BMDN ABCD S S S +=，∴MPNQ ABP CDQ S S S =+△△……8分

∴=15050250S -⨯=阴影．………………………………10分 解法二：分别过B N C 、、作AD 的垂线，

设垂线段的长分别为123h h h ，，

112ABM S AM h =⋅△，212AND S AD h =⋅△，31

2

CDM S DM h =⋅△，……2分

∵M N 、是AD BC 、中点，∴1

2

AM DM AD ==，

()2131

2

h h h =+，……………………………………………………4分

∴AMB CMD AND S S S +=△△△，…………………………………………6分

∴MPNQ ABP CDQ S S S =+△△，…………………………………………8分 ∴15050250S =-⨯=阴影．…………………………………………10分

14. ⑴ 如图

a b c a b c

a b c

c

b a ……………………………………………………………………3分

由图可得：()2

222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++．………………………………5分

⑵ 由题意，可以构造边长为k 的正方形，

a 2

b 2

c 2

d 2

d 1

c 1

b

1

a 1

………………………………………………………………8分 由图可得：21212121a b b c c d d a ，，，表示4个矩形的面积，它们之和小于正方形的面积，

∴221212121a b b c c d d a k +++≤，当12121212a a b b c c d d =======时等号成立．……10分

15. ()()()1234453M x x x x x x +++++≥，…………………………………………………………5分

∴420111

33

M x +≥

，……………………………………………………………………………7分