函数的极限习题 - 360文档中心

函数极限连续(120道练习题)

一、填空题1.212x y x x -=+-有个间断点 2.()y f x =在0x 点连续，则0lim ()x x f x →= 3．设2(2)1,f x x +=+则)(x f 4．n =5．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =6．2352limsin 53n n n n→∞++= 7．极限12sin lim 2+∞→x xx x = .8. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x fx x =______9. =→xxx 5sin lim 0___________； 10. =-∞→nn n)21(lim _________________； 11. 若函数23122+--=x x x y ，有几个间断点_________12. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是13符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是，值域是三个点的集合14. 无穷小量是 15、21lim(1)xx x→∞-=16、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A= 17、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =18、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+=19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为，()0f = ，()1f = 。

20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2x f 的定义域是。

21．若()xx f -=11，则()[]=x f f 22．函数1+=x ey 的反函数为。

极限练习题及答案

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

数学—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

函数与极限练习题

第一章函数及极限§1 函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。

[ ]2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 及B ，使得对任一X x ∈都有B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。

[ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。

[ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。

[ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。

[ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。

[ ] 8、f(x)=1+x+ 2x 是初等函数。

[ ] 二．单项选择题1、下面四个函数中，及y=|x|不同的是（A ）||ln xey = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn =2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。

（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ϕϕ则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2x4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。

(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。

1、 y=)1arctan(+x e2、 y=x x x ++3、 y=xln ln ln四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。

（1） f()2x(2) f(sinx)(3) f(x+a) (a>0)(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)五．设⎩⎨⎧=,,2)(x x x f 00≥<x x ，⎩⎨⎧-=,3,5)(x x x g 00≥<x x ，求)]([x g f 及)]([x f g 。

(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

极限与连续练习题及解析

极限与连续练习题及解析在数学课上，我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。

这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解，还能提高我们解决问题的能力。

在本文中，我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。

题目一：计算极限求解以下极限：1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析：将被除数进行因式分解得：$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到：$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义，得到结果为：$$4$$题目二：证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续：1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。

首先，我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。

由于$x \geq 0$，所以$\sqrt{x}$是有定义的。

接下来，我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| <\delta$时，$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。

根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$，可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0，所以存在一个正数$M$，使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。

函数极限练习题

函数极限练习题一、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x}{x+1}$，当$x$趋近于正无穷时的极限。

由于函数为有理函数，我们可以将其分子分母同时除以$x$，得到：$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$当$x$趋近于正无穷时，$\frac{1}{x}$趋近于0，因此分母趋近于1。

所以极限为：$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1$2. $g(x) = \sin(x)$，当$x$趋近于0时的极限。

根据三角函数的性质，$\sin(x)$的极限为：$\lim\limits_{x\to0} g(x) = \sin(0) = 0$3. $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$，当$x$趋近于2时的极限。

首先，我们可以对函数进行因式分解：$h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$当$x$趋近于2时，分母趋近于0，但由于分子中同样存在$(x-2)$这一因子，两者相除后可以约去，所以极限为：$\lim\limits_{x\to2} h(x) = \lim\limits_{x\to2} (x+2) = 4$二、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x^3-2x^2-3x+2}{x^2-4}$，当$x$趋近于2时的极限。

首先，我们可以对函数进行因式分解：$f(x) = \frac{(x-2)(x^2+x-1)}{(x-2)(x+2)}$当$x$趋近于2时，分子和分母都趋近于0，所以可以将相同的 $(x-2)$ 因子约去，得到：$\lim\limits_{x\to2} f(x) = \lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+x-1}{x+2} =\frac{2^2+2-1}{2+2} = \frac{5}{4}$2. $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$，当$x$趋近于8时的极限。

函数极限练习题

函数极限练习题1.按定义证明下列极限: (1) =6 ; (2) (x 2-6x+10)=2; (3) ; (4) =0;(5) cos x = cos x 0 2.根据定义2叙述 f (x) ≠ A. 3.设 f (x) = A.,证明 f (x 0+h) = A. 4.证明:若 f (x) = A,则| f (x)| = |A|.当且仅当A 为何值时反之也成立? 5.证明定理3.16.讨论下列函数在x 0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=; (2) f(x) = [x](3) f (x)=7.设 f (x) = A,证明 f () = A +∞→x limxx 56+2lim →x +∞→x lim11522=--x x -→2lim x 24x -0lim xx →0lim xx →0lim x x →0lim →h 0lim x x →0lim xx →xx⎪⎩⎪⎨⎧<+=>.0,1.0;0.0;22x x x x x +∞→x lim 0lim x x →x18.证明:对黎曼函数R(x)有R (x) = 0 , x 0∈[0,1](当x 0=0或1时,考虑单侧极限).习题求下列极限：（1）2（sinx －cosx －x 2）; (2); (3) ; (4) ; (5) (n,m 为正整数)；（6）；（7）（a>0）; (8) . 利用敛性求极限： (1) ; (2) 设 f(x)=A, g(x)=B.证明：（1）[f(x)±g(x)]=A ±B; （2）[f(x)g(x)]=AB; （3）=(当B ≠0时)设f(x)=, a 0≠0,b 0≠0,m ≤n,试求 f(x) 设f(x)>0, f(x)=A.证明 0lim xx →2lim π→x 0lim →x 12122---x x x 1lim →x 12122---x x x 0lim →x ()()3232311x x x x +-+-1lim →x 11--m n x x 4lim→x 2321--+x x 0lim →x xax a -+2+∞→x lim()()()902070155863--+x x x -∞→x limx x x cos -0lim →x 4sin 2-x xx 0lim x x →0lim xx →0lim xx →0lim xx →0limx x →)()(x g x f BAnn n n mm m m b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----11101110 +∞→x lim 0lim xx →=，其中n ≥2为正整数. 6. 证明a x=1 (0<a<1) 7.设 f(x)=A, g(x)=B. (1)若在某∪0(x 0)内有f(x) < g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？（2）证明：若A>B,则在某∪0(x 0)内有f(x) > g(x). 8.求下列极限（其中n 皆为正整数）： (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) (提示：参照例1)9．（1）证明：若 f (x 3)存在，则 f (x)= f (x 3) （2）若 f (x 2)存在，试问是否成立 f (x) = f (x 2) ? 习题叙述函数极限f(x)的归结原则,并应用它证明cos x 不存在.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: = f(x)存在的充要条件是f 在[a,+)上有上(下)界. (1)叙述极限 f (x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述 f (x)不存在的充要条件,并应用它证明sin x 不存在. 0limx x →nx f )(n A 0lim →x 0lim x x →0lim xx →-→0lim x nx x x+11+→0lim x nx x x+11lim →x 12--+++x nx x x n 0lim→x xx n11-+∞→x lim[]x x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x +∞→n lim +∞→n lim ∞+∞→n lim ∞-∞→n lim -∞→n lim -∞→n lim4. 设f 在∪(x 0)内有定义.证明:若对任何数列{x n }∪(x 0)且x n =x 0,极限f(x n )都存在,则所有这极限都相等. 提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f 为∪0(x 0)上的递减函数.证明:f(x 0－0)和f(x 0+0)都存在,且 f(x 0－0) =f(x), f(x 0+0)= f (x) 6.设 D(x)为狄利克雷函数,x 0∈R 证明D(x)不存在. 7.证明:若f 为周期函数,且f(x)=0,则f(x)=0 8.证明定理3.9习题求下列极限(1) ; (2)(3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10)求下列极限(1) ; (2) (a 为给定实数);(3) ; (4) ; ⊂∞→n lim ∞→n lim ()00supx u x -∈)(00inf x u x n∈0lim x x →+∞→x lim xx x 2sin lim 0→()230sin sin limx x x →2cos lim 2ππ-→x x x xxx tan lim 0→30sin tan lim xx x x -→x xx arctan lim 0→xx x 1sin lim +∞→a x a x a x --→22sin sin lim114sin lim-+→x xx x x x cos 1cos 1lim20--→xn x-∞→-)21(lim ()x x ax 101lim +→()xx x cot 0tan 1lim +→xx x x 1011lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→(5) ; (6) (为给定实数) 证明: 利用归结原则计算下列极限: (1) ; (2)习题证明下列各式(1) 2x －x 2=O(x) (x →0); (2)x sin (x →0+);(3)(x →0);(4) (1+x)n = 1+ nx+o (x) (x →0) (n 为正整数) (5) 2x 3+ x 2=O(x 3) (x →∞) ;(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x →x 0) (7) o(g 1(x))·0(g 2(x))=o(g 1(x)g 2(x)) (x →x 0) 应用定理3.12求下列极限：(1) (2) 证明定理3.13求下列函数所表示曲线的渐近线：(1) y = ; (2) y = arctan x ; (3) y =试确定a 的值，使下列函数与x a当x →0时为同阶无穷小量： (1) sin2x －2sinx ; (2)－ (1－x); (3); (4)12)1323(lim -+∞→-+x x x x x n xβα)1(lim ++∞→βα,12cos 2cos 2cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x x xcox nn n πsinlim∞→)(23x O x =)1(11o x =-+xx x x x cos 1arctanlim-∞→xx x cos 111lim 20--+→x 1xx x 24323-+x+11x x sin 1tan 1--+53243x x -试确定a 的值，使下列函数与x a当x →∞时为同阶无穷大量： (1); (2) x+x 2(2+sinx);(3) (1+x)(1+x 2)…(1+x n).证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{x n }s ，使得x n →+∞(n →∞)证明：若f 为x →r 时的无穷大量，而函数g 在某U 0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg 为x →r 时的无穷大量。

函数与极限练习题

函数与极限练习题第一章函数与极限§1 函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。

[ ]2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有B x f A ≤≤)( [ ]3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。

[ ]4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。

[ ]5、任一周期函数必有最小正周期。

[ ]6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。

[ ]7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。

[ ] 8、f(x)=1+x+2x 是初等函数。

[ ]二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。

（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2x 4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。

(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D))].([x f f -三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。

1、 y=)1arctan(+x e2、 y=x x x ++3、 y=xln ln ln四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。

（1） f()2x(2) f(sinx)(3) f(x+a) (a>0)(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)五．设??=,,2)(x x x f 00≥<="">-=,3,5)(x x x g 00≥<="" 及)]([x="" ，求)]([x="">六．利用x x f sin )(=的图形作出下列函数的图形：1．|)(|x f y = 2。

（完整版）函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。

4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。

5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。

6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。

7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。

8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。

1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。

1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。

1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。

1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。

1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。

1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。

1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。

1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的间断点。

1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。

2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是。

数学分析—极限练习题及详细答案教学文稿

数学分析—极限练习题及详细答案一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.1 1.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.02.【答案】 B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.1223331233200311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim 1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

高数函数的极限连续习题精选及答案

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（不存在），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

函数与极限经典练习题

函数与极限经典练习题数学作为一门精妙的学科，其基石之一就是函数与极限的研究。

在学习这两个概念时，我们常常会遇到一些经典练习题。

通过这些题目的解答，我们能够更好地理解和掌握函数与极限的性质。

下面，我将为大家分享几道经典练习题。

题一：求函数在点a处的极限已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)在x = 2处的极限。

解析：要求一个函数在某一点的极限，我们需要通过极限的定义来进行计算。

根据定义，当我们从函数的自变量x接近给定点a，且不等于a时，函数f(x)的值趋于一个特定的常数L，我们将其表示为lim(x→a)f(x) = L。

首先，我们将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 9。

然后，我们需要判断极限L的值是否等于f(2)。

在这道题中，L就等于f(2)，因此函数f(x)在x = 2处的极限为9。

题二：判断函数的极限是否存在设函数f(x) = |x - 3|，判断l im(x→3)f(x)是否存在。

解析：对于这道题，我们需要考虑函数在极限点周围的取值情况。

当我们取x = 3时，f(x) = |3 - 3| = 0。

然而，当我们从x的值趋近3时，f(x)的值由于函数含有绝对值符号的存在而产生两种情况。

当x > 3时，f(x) = x - 3；当x < 3时，f(x) = -(x - 3)。

因此，当x趋近于3时，f(x)的值无法趋近于一个特定的常数，而是在0的两侧分别趋近于正无穷大和负无穷大。

因此，函数f(x)在x =3处的极限不存在。

题三：求函数在无穷远处的极限设函数f(x) = 1 / x，求lim(x→∞)f(x)的值。

解析：在这道题中，我们需要考虑函数在无穷远处的取值情况。

当我们取x的值趋近于正无穷大时，函数f(x)的值会趋近于0。

换句话说，函数f(x)的极限lim(x→∞)f(x) = 0。

这是因为当x取一个较大的正数时，1 / x会趋于接近0的一个很小的正数。

数学分析上册练习题及答案第三章函数极限

第三章函数极限1．函数极限概念1．按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=；（5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x→+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2．叙述0lim ()x x f x A →≠。

极限练习题及答案

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

(完整版)函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。

4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。

5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。

6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。

7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。

8、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222nn n n n n n n 。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。

11、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。

12、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。

13、函数23122+--=x x x y 的间断点是。

14、当+∞→x 时，x1是比3-+x15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。

16、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。

17、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。

18、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x xx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a=。

20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是。

21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为。

22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。

极限计算练习题

极限计算练习题一、基本极限计算(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (1 cos x) / x^2(3) lim(x→π/4) (tan x 1) / x π/4(1) lim(x→0) (e^x 1) / x(2) lim(x→0) (ln(1+x) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x ln(1+1/x))二、含参数极限计算(1) lim(x→0) (sin ax / x)(2) lim(x→0) (1 cos bx) / x^2(3) lim(x→π/2) (tan(cx) 1) / (x π/2)(1) lim(x→+∞) (e^(kx) 1) / x(2) lim(x→∞) (ln(1+mx) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x^n ln(1+1/x^n))三、复合函数极限计算(1) lim(x→0) (sin x^2 / x^2)(2) lim(x→1) (e^(x^2 1) 1) / (x 1)(3) lim(x→0) (ln(1+sin^2 x) / x^2)(1) lim(x→0) (1 cos x^3) / x^6(2) lim(x→+∞) (x ln x) / x(3) lim(x→+∞) (x^2 arcsin(1/x)) / x四、无穷小比较与等价无穷小(1) sin x 与 x(2) 1 cos x 与 x^2(3) e^x 1 与 x(1) lim(x→0) (sin^3 x / x^3)(2) lim(x→0) (e^x 1 x) / x^2(3) lim(x→0) (arctan x x) / x^3五、极限存在的判定与证明(1) lim(x→0) (sin x / x^2)(2) lim(x→1) (1 x^2) / (1 x)(3) lim(x→+∞) (x ln x)(1) lim(x→0) (x sin x)(2) lim(x→+∞) (ln x / x)(3) lim(x→+∞) (x / e^x)六、分段函数极限计算(1) lim(x→0) [x^2 sin(1/x) / (1 cos x)](2) lim(x→0) [x^2 / (e^(1/x) 1)](3) lim(x→1) [(x 1) / (1 √x)](1) lim(x→0) [x / (|x| + sin x)](2) lim(x→π) [(x π)^2 / sin(x π)](3) lim(x→+∞) [(x^2 + 1) / (x^2 x + 1)]七、含有绝对值的极限计算(1) lim(x→0) [|x| / sin|x|](2) lim(x→0) [(|x| 1) / (1 |x|)](3) lim(x→1) [(1 |x 1|) / (x 1)](1) lim(x→0) [x^2 / (1 |x|)](2) lim(x→0) [(1 |x|) / x^2](3) lim(x→+∞) [|x| / (x^2 + 1)]八、含有指数函数的极限计算(1) lim(x→0) [(a^x 1) / x](2) lim(x→+∞) [(a^x + b^x) / (a^x b^x)](3) lim(x→∞) [(1 + x)^1/x](1) lim(x→0) [e^(ax) / (e^x 1)](2) lim(x→+∞) [x^2 / (e^x e^(x))](3) lim(x→+∞) [ln(x^2 + 1) / ln(e^x)]九、含有对数函数的极限计算(1) lim(x→1) [(ln x) / (x 1)](2) lim(x→0) [(ln(1 + x^n)) / (ln(1 + x))](3) lim(x→e) [(ln x) / (x e)](1) lim(x→+∞) [(ln x) / (x)](2) lim(x→1) [(ln(x^2)) / (x 1)](3) lim(x→0) [(ln(1 + e^x)) / x]十、综合极限计算(1) lim(x→0) [(sin x x + x^3/6) / (x^5)](2) lim(x→+∞) [(x^2 + ln x) / (x^2 ln x)](3) lim(x→π/2) [(tan x tan(π/4)) / (x π/4)](1) lim(x→0) [(1 cos x) / (x^2 + sin^2 x)](2) lim(x→1) [(x^2 ln x) / (1 e^(1x))](3) lim(x→+∞) [(x ln x) / (x + ln x)]一、基本极限计算1.(1) 1(2) 1/2(3) 12.(1) 1(2) 1(3) 1二、含参数极限计算1.(1) a(2) b^2/2(3) c/(c^2 1) 2.(1) k(2) m(3) 1/n三、复合函数极限计算1.(1) 1(2) 2(3) 1/2(1) 1/6(2) 1(3) 1四、无穷小比较与等价无穷小1.(1) 是，等价无穷小(2) 否，不是等价无穷小(3) 是，等价无穷小2.(1) 1(2) 1/2(3) 1/6五、极限存在的判定与证明1.(1) 不存在(2) 存在，值为 2(3) 存在，值为 02.(1) 存在，值为 0(2) 存在，值为 0(3) 存在，值为 0六、分段函数极限计算1.(2) 0(3) 1/22.(1) 0(2) 0(3) 1七、含有绝对值的极限计算1.(1) 1(2) 不存在（左极限为1，右极限为1）(3) 不存在（左极限为1，右极限为1）2.(1) 0(2) 不存在(3) 0八、含有指数函数的极限计算1.(1) ln a(2) 1(3) e2.(1) 1/(a1)(2) 1九、含有对数函数的极限计算1.(1) 1(2) n(3) 1/e2.(1) 0(2) 2(3) 1十、综合极限计算1.(1) 1/120(2) 1(3) 12.(1) 1/2(2) 不存在（因为当x→1时，分子趋向于0，而分母趋向于负无穷）(3) 1。

函数的极限练习题

函数的极限练习题一、选择题1. 函数$ f(x) = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 1} $在$ x \to 1 $时的极限是：A. 3B. 2C. 1D. 02. 函数$ g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) $在$ x \to 0 $时的极限是否存在？如果存在，求其值。

A. 存在，值为0B. 存在，值为1C. 不存在D. 存在，值为无穷大3. 函数$ h(x) = \frac{\sin(x)}{x} $在$ x \to 0 $时的极限是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在二、填空题4. 计算极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $的值为______。

5. 若$ \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5 $，则函数$ f(x) = 3x -1 $在$ x \to2 $时的极限为______。

6. 函数$ f(x) = x^3 - 3x $在$ x \to ∞ $时的极限为______。

三、解答题7. 求函数$ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} $在$ x \to ∞ $时的极限，并证明你的结论。

8. 利用夹逼定理证明函数$ g(x) = x - \sin(x) $在$ x \to 0 $时的极限为0。

9. 给定函数$ h(x) = \frac{1}{1 + x^2} $，证明其在$ x \to∞ $时的极限为0。

四、证明题10. 证明当$ x $趋近于正无穷时，$ (1 + \frac{1}{n})^n $的极限为$ e $。

11. 证明函数$ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} $在$ x \to 0 $时的极限存在，并且等于1。

12. 证明函数$ g(x) = x^n $在$ x \to 0 $时的极限为0，其中$ n > 0 $。

极限计算练习题

极限计算练习题极限计算是高等数学中的一个重要概念，它涉及到函数在某一点或无穷远处的行为。

以下是一些极限计算的练习题，供学习者练习和检验自己的极限计算能力。

1. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

2. 求函数 $ f(x) = x^2 - 1 $ 在 $ x = 2 $ 处的左极限和右极限，并判断极限是否存在。

3. 计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 5}{x^2 + 4}$。

4. 求 $\lim_{x \to 1} (x^3 - 3x^2 + 2x - 1)$。

5. 判断函数 $ f(x) = \frac{1}{x - 1} $ 在 $ x = 1 $ 处是否有极限，并说明理由。

6. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。

7. 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$。

8. 计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$。

9. 求 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}$。

10. 计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1}$。

11. 求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$。

12. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$。

13. 判断函数 $ f(x) = x^3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) $在 $ x = 0 $ 处是否有极限。

14. 求 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$。

15. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2}$。