正弦定理2
正弦定理(二)
解析： 在△ABC 中，C＝120° ，故 A，B 都是锐角．据 sin A a 5 正弦定理sin B＝b＝3，故选 A.
• 答案： A
自我纠错
易错点：利用正弦定理解三角形易丢解或多解 用正弦定理解出一个角的正弦值，可得出对应的两个 角，此时可能有一个是不符合题意的，也有可能出现漏解 的情况． [错题展示] 30° ，求a. 在△ABC中，已知b＝3，c＝3 3，B＝
1 .在ABC中，a, b, c为边长，A，B，C为a, a b c b, c所对的角，若 , sin B sin C sin A 试判断ABC的形状.
'''
2.在ABC中， a b b c c a 求证： 0. cos A cos B cos B cos C cos C cos A
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c sin A sin B sin C
变式:
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
本节小结:
1.结构：正弦定理
正弦定理的证明 正弦定理的应用 解三角形
2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;
(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；
(3)注意正弦定理的变式；
(4)注意内角和为 180的应用，以及角之间的转化.
A为锐角
A为钝角或直角
图 形
关系 式 解的 个数
①a＝ bsinA ②a≥b 一解
正弦定理二
a b c 正弦定理: (1)正弦定理 = = = 2R sinA sinB sinC
(2)正弦定理解两种类型的三角问题: 正弦定理解两种类型的三角问题:
(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其 已知两边和其中一边的对角, 已知两边和其中一边的对角 他的边和角. 他的边和角.
角 化 为 边
因此三角形为等腰直角三角形. 因此三角形为等腰直角三角形.
变形: 变形:sinA b = sinB a
cos A a = cos B b
cos A b = cos B a
已知 ABC 中,满足
(a 2 + b 2 ) sin( A B) = (a 2 b 2 ) sin( A + B ) ,试判断 ABC
b sin A 2 sin 30o sin B = = =1 a 1 π
C b A a=bsinA B
又 B ∈ (0, π ) ,所以 B = 所以 2 即三角形ABC有一解 有一解. 即三角形 有一解
(1)已知ABC 中,A= 30°,a=1,b=2,则 ( A ) ) ° , , A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (2)已知ABC中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , (B) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , 1 (3)已知ABC 中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , ( ) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (4)已知 ABC 中,A=30°,a=m ,c=10,有两解, ) ° ,有两解, 则m范围是 范围是 . 由正弦定理得: 解:(2)由正弦定理得 2 由正弦定理得 又 B ∈ (0, π )且a<b π 3π 所以 B = 或
§1.1.1正弦定理(2)
第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数 （1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定 （2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二） 利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5
梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把 边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使 用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C， 则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C， 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
正弦定理(2)
课题：正弦定理(2) 1．正弦定理及其变形(1)定理内容：asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为外接圆半径)．(2)正弦定理的常见变形：①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；②asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R；③a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；④sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.2．对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情练习：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．3．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝12ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．课前自测1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( ) A.b c B.sin B sin A C.sin C c D.c sin C 3．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为________．三角形解的个数的判断【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.练习1．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝83 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝83 三角形的面积【例2】 在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .练习2．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．正弦定理的综合应用【例3】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，m u r＝(sin A ，sin B )，n r ＝(cos B ，cos A )，m n •u r r＝－sin 2C .(1)求C 的大小；(2)若c ＝23，A ＝π6，求△ABC 的面积．练习3.若a ＋c ＝2b ，2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状． 课堂练习1．判断正误(1)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( ) (2)在△ABC 中，若A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解．( ) 2．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．33C ．6D ．6 34．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________.5．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin Bsin C的值．班级 姓名 学号 成绩 一、选择题 1．在△ABC 中，b ＋c ＝2＋1，C ＝45°，B ＝30°，则………………………………( )A ．b ＝1，c ＝2B ．b ＝2，c ＝1C ．b ＝22，c ＝1＋22D ．b ＝1＋22，c ＝222．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有…………………………( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( )A. 3B.33C.63 D ．－634．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于……………………( )A.833B.2393C.2633D ．2 35．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sinC ，则△ABC 的面积S ＝……………………………………………………………………( )A.32B ．3 C.6 D ．6 6．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是……( )A ．[33，6]B ．(2,43)C ．(33，43)D ．(3,6]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m u r ＝(3，－1),n r＝(cos A ，sin A )，若m u r ⊥n r，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为…( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3 二、填空题8．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解；②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解；④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解． 9．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.11．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．12．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.三、解答题13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .14．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．。
三角形公式的汇总
三角形公式的汇总
三角形是一个具有三条边和三个角的多边形。
以下是一些与三角形相关的公式：
1. 周长公式：三角形的周长等于三条边的长度之和。
周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
2. 海伦公式：用于计算三角形的面积，其中海伦公式根据三条边的长度进行计算。
面积 = 平方根(s * (s-边1长度) * (s-边2长度) * (s-边3长度))
其中s = (边1长度 + 边2长度 + 边3长度) / 2
3. 正弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
正弦定理1：a/sinA = b/sinB = c/sinC
正弦定理2：边长a/sinA = 边长b/sinB = 边长c/sinC
4. 余弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
余弦定理1：a² = b² + c² - 2bc * cosA
余弦定理2：边长a² = 边长b² + 边长c² - 2bc * cosA
5. 正切定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
正切定理1：tanA = a/b
正切定理2：tanA = (b*sinC) / (c-b*cosC)
以上是一些常见的三角形公式，它们可以用于解决与三角形相关的问题。
正弦定理(2)
a : b : c sin A : sin B : sin C
面积公式:
S 1 2 a b sin C 1 2 a c sin B 1 2 b c sin A
正弦定理的用途：
(1) 已知两角和任一边，解三角形 解唯一 (2) 已知两边和其中一边的对角，解三角形 解不唯一
结论:已知a，b，A 判断三角形的解的个数 ，求B 无 1.若 sin B > 1,则_____解
例 4 . 在 ABC 中， （ 1） A 60 ， a 1， b c 2，解此三角形； （ 2） ab 60 ， A cos B ， S 15 ，求三角形三内角。 sin
cos A cos B
b a
4 3
, 且 b 8, 半径 .
求 a 及 ABC 的内切圆半径和外接圆
a b c 正弦定理的变形： 2R sin A sin B sin C abc sin A sin B sin C 2R
在 ABC 中， A B 是 sin A sin B 的充要条件。
正弦定理（二）
内容
正 弦 定
在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等
数学表达式
理
a sin A
b sin B
c sin C
正弦定理
a sin A
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等。
b sin B c sin C
2 RABC外接圆的半径
变形: a 2 R sin A b 2 R sin B c 2 R sin C
解的情况（一解、两解 、无解）
(1 ) (2) (3) (4)
正弦定理(2)
(4) sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
＝a C sin
＝b A sin
＝c B sin
. C
正弦定理的用途：
1、已知两角和任一边,求其他两边和一角;
1已知A、B、a. 求C、b、c.
2已知A、B、c.求a、b、C.
2、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 及其他的边和角
3
2
（1）求 b 的值；（2）求 ABC 的面积.
2
【解析】（1）∵ 0 A ，∴ sin A
1 cos2 A
1
6 3
3， 3
又∵
B
A
2
，∴ sin
B
sin
A
2
cos
A
6， 3
由正弦定 理
a
b
，得 b a sin B 3
6 3
3
2；
sin A sin B
sin A
3
3
（2）
(1)a＝10，b＝20，A＝80°； 解 (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下：∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10 3， ∴a<bsin A，∴本题无解．
(2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b，∴本题有两解．
2
当 B C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ；
2
2
当 C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ．
正弦定理2
C、等腰直角三角形
D、不能确定
作业：在ABC中
(1)已知b 3 , c 1, B 60 , 求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2 , B 45 , 求A。
(3)已知a 20, b 28, A 120 , 解这个三角形.
A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、
B、 6
B、3:2:1
D、2:
2 C、 或 3 3
3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝( C )
3
5 D、 或 6 6
练习 3.在ABC中, 若sin 2 A sin 2 B sin 2 C, 则ABC的形状是(B )
'''
b c, B 60 , C B, C为锐角， C 30，A 90
a
c b 2
2 2
(2) 已知a 2 3 , b 2 2 , B 45 , 求A.
2 3 sin45 3 a sin B 解： sin A 2 b 2 2 a b, A C (大边对大角 )
(2)已知A 30 , B C 60 , a 2, 求c.
解:
A 30 , B C 60
B C 150 C 45
a c 又 , sin A sin C
a sin C 2 sin 45 c 2 2 sin A sin 30
B 180 ( A C ) 180 (45 30 ) 105 ,
c si nB 10si n105 b 5( 6 si nC si n30 1 S ABC bc sin A 2
必修5解三角形第02课时 正弦定理2
必修5解三角形第02课时 正弦定理2要求：会应用正弦定理求解实际问题、判断三角形的形状、证明平面几何问题重点：求解实际问题、判断三角形的形状 难点：证明平面几何问题过程：一、复习一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．1、正弦定理表示形式：R C c B b A a 2sin sin sin ===（外接圆直径）；⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；C B A cb a sin :sin :sin ::=.2、正弦定理应用范围：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题. ①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边或角）.3、正弦定理的变形及面积公式：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；(R 为△ABC 的外接圆半径) ②R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===；③三角形面积公式：B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ Rabc 4=C B A R s i n s i n s i n 22= r c b a )(21++=（其中r 为△ABC 的内切圆半径）．4、基础练习：(1)在△ABC 中，一定成立的等式是（ ）A ．B b A a sin sin = B ．B b A a cos cos =C ．A b B a sin sin =D ．A b B a cos cos =(2)在△ABC 中，若2cos 2cos 2cos C c B b A a==，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三有形(3)在∆ABC 中，A =60︒，a =3，则CB A c b a s i n s i n si n ++++等于 .(4)根据下列条件解三角形：b =47,c =38,C =110︒二、正弦定理的应用常规题型及其解法例1：根据下列条件解三角形：a =16，b =26，A =30︒.两解变：(1) a=13，b=26，A=30︒；一解(2) a=12，b=26，A=30︒；零解(3) a=30，b=26，A=30︒.一解归纳：在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况：1．如果A为锐角，当：(1) a=b sin A时有一解；(2) b sin A< a <b时有两解；(3) a≥b时有一解.(4) a < b sin A时无解2．A为直角或钝角，a>b时一解.利用正弦定理求范围例2：在△ABC中，a=x，b=2，B=45︒，若三角形有两解，则x的取值范围是.练习：在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是.例 3.在△ABC 中, 若C =3B , 求b c 的取值范围.这类题型一般是将目标式转化为某个变量的函数解: ∵ A + B + C=π, ∴ C=3B.∴ A=π- 4B>0, ∴ 0<B<4π，∴ 0<sin 2B<21. 又 ∵ sin sin 3sin(2)sin sin sin c C B B B b B B B+=== =3sin 2cos cos 2sin 3sin 4sin sin sin B B B B B B B B+-==3 – 4sin 2B , ∴ 1<3 – 4sin 2B <3, 故1<bc <3.若改条件“C =3B ”为“C =2B ”呢？例 4. 判断满足下列条件的△ABC 的形状：(1) sin 2A+sin 2B=sin 2C ；(2) a cos B =b cos A ； (3) C c B b A a cos cos cos ==； (4)c C b B a A cos cos sin ==.小结：利用正弦定理判断三角形形状的方法1、化角为边的等式，根据勾股定理判断；2、化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.变：在△ABC 中，设BC =a ，CA =b ，=c ， 且a ∙b =b ∙c =c ∙a ，判断三角形的形状.提巩固高例 5.在△ABC 中，AD 是∠A 的内（外）角平分线， 证明：DC BD AC AB =.利用正弦定理证明平面几何问题把分散的量集中起来！三、课堂小结：1、解的组数的讨论在△ABC 中，已知a 、b 和A 时解三角形的各种情况：（1）如果A 为锐角，当：(1) a =b sin A 时有一解；(2) b sin A < a <b 时有两解；(3) a ≥b 时有一解.(4) a < b sin A 时无解（2）A 为直角或钝角，a >b 时一解.2、利用正弦定理判断三角形形状的方法（1）化角为边的等式，根据勾股定理判断；（2）化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.3、利用正弦定理证明平面几何问题四、课堂巩固1.在△ABC 中，若a·cosA=b·cosB ，则△ABC 是( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰或直角三角形 (D)等腰直角三角形2.在△ABC 中，若c b a C B A ：：求,5:4:3::=3.在△ABC 中，若,3,600==a A 求 cb C B C B Ac b a 2sin 2sin )2(sin sin sin )1(++++++的值4.在△ABC 中，若B a sin =C b sin =Ac sin ，试判断三角形的形状五、作业布置1. 在∆ABC 中，若ba B A =tan tan ，则∆ABC 的形状为 . 2. 在∆ABC 中，若3a=2bsinA ，则B= .3. 在∆ABC 中，若a+b=3+2,A=60︒，B=45︒，则c= .4. 在∆ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6，且a+b+c=30，则a= .5. 在∆ABC 中，若b=2，B=45︒，且此三角形有两解，则a 的取值范围是 .6. 在∆ABC 中，已知C=2B ，求c b 的取值范围.7. 在∆ABC 中，已知tanA=21，tanB=31，且最长边的长为55，求： (1)C ；(2)最短边的长.8．在ABC ∆中，若cC b B a A cos cos sin ==，试判断ABC ∆的形状．9.在△ABC 中，已知a =m ，c =10，C =30︒，求b .(1) m =20；(2) m =15；(3) m =8；(4) m =25.参考答案：1. 等腰三角形2. 60︒或120︒3.226+4.85.(2,22)6.(21,1)7.(1)C=π43;(2)最短边长b=58. C B A。
正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
正弦定理(二)
§1.1 正弦定理(二)一、基础过关1．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度为________．2．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是______三角形．3．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B＝______. 4．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC＝________.5．下列判断中所有正确命题的序号是________．①当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有两解；②当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解；③当a＝3，b＝2，B＝120°时，三角形有一解；④当a＝322，b＝6，A＝60°时，三角形有一解．6．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC 的面积等于________．7．在△ABC中，已知23a sin B＝3b，且cos B＝cos C，试判断△ABC的形状．8．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.二、能力提升9．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sinA sin B＋b cos2A＝2a，则ba＝________.10．在△ABC中，若acos A2＝bcosB2＝ccosC2，则△ABC是________三角形．11．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝______，c ＝______. 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 内切圆的半径．三、探究与拓展13．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．答案1．2 2.等边 3．45° 4.3＋1 5．①④ 6.32或347．解 ∵23a sin B ＝3b ， ∴23·(2R sin A )·sin B ＝3(2R sin B )，∴sin A ＝32，∴A ＝60°或120°. ∵cos B ＝cos C ，∴B ＝C .当A ＝60°时，B ＝C ＝60°，△ABC 是等边三角形；当A ＝120°时，B ＝C ＝30°，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．8．解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 9.2 10.等边 11.12 612．解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos Acos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.13．解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255.∵tan C ＝－2，∴C 为钝角．∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55＋255·255＝35.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A ·sin B sin C＝2R 2×35×55×255＝1. ∴R 2＝2512，R ＝536. ∴πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π. ∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。
正弦定理2
正弦定理
1.在ABC中，已知a2tanB=b2tanA,试判断 ABC的形状
2.在ABC中，已知a+b= a + b ,试判断 tan A tan B
ABC的形状
正弦定理
(1)一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所
对的边长是6，那么60°角所对的边的边长为( )
A．3 6
10sin150°＝
10 2.
答案：(1)A
10 (2) 2
正弦定理
(1)在△ABC中，A＝60°，a＝4 3 ，b＝4 2 ，则B＝
() A．45°或135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
(2)在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，则A＝
________.
正弦定理
解析：(1)由sianA＝sibnB，
正弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 coasA＝cobsB＝cocsC，试判断△ABC的形状．
正弦定理
解：由正弦定理sianA＝sibnB＝sincC＝2R， 得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， 代入coasA＝cobsB＝cocsC中，得 2cRossinAA＝2cRossinBB＝2cRossinCC， 即csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC， ∴tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C. 因此△ABC为等边三角形．
正弦定理
【解】 法一：设sianA＝sibnB＝sincC＝k， 则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C. ∴ak2＝bk2＋ck2. ∴a2＝b2＋c2，即△ABC是以角A为直角的直角三角 形． ∵sinA＝2sinB·cosC，
正弦定理2
sinA: sinB: sinC = a: b: c
用正弦定理， 用正弦定理，可以解决以下两类解斜 三角形的问题： 三角形的问题： (1)已知三角形的两角与任一边， (1)已知三角形的两角与任一边，求 已知三角形的两角与任一边 其他两边和一角； 其他两边和一角； (2)已知三角形的两边与其中一边的 (2)已知三角形的两边与其中一边的 对角，求另一边的对角（ 对角，求另一边的对角（从而进一步求 出其他的边和角）． 出其他的边和角）．
(2)若A＜90º，又可有下表： 若 ＜ ，又可有下表：
a≥b
C
a＞bsinA ＞
C
a＜b ＜ a＝bsinA ＝
C
a＜bsinA ＜
C
b
A
a
B A
b
a
B A
b
a
B A
b
a
B
一解
两解
一解
无解
例2：在∆ABC中，若A = 120 ，AB = 5， BC = 7, 求∆A山队在山脚 A 处测得山顶 B的 , 沿倾斜角为 的斜坡前进 m , 求山的
知识点回顾: 知识点回顾:
正弦定理： 正弦定理：
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
表示该三角形的外接圆半径）． （R表示该三角形的外接圆半径）．
正弦定理的变形： 3 正弦定理的变形：
a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c = 2RsinC
a b c sin A = , sin B = , sinC = 2R 2R 2R
根据下列条件解三角形： 例1 根据下列条件解三角形： ①b＝13，a＝26，B＝30º; ＝ ， ＝ ， ＝ ②b＝ ＝ ＝ ＝ ； 2 ，c＝ 3 ，B＝45º； ＝ ． 2，B＝45º．
正弦定理2
C
B
a
猜想：对其它三角形此结论是否成立？
当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是 CD，由三角函数的定义，
C
CD=asinB, CD=bsinA
a
b
所以 asinB=bsinA
得到 a b , sinA sinB
B
D
A
同理，在ABC 中， c b sinC sinB
探究：
1、当△ABC是钝角三角形时，以上等式成立吗？
学以致用
例1、在△ABC中，已知A=32.00，B=81.80， a=42.9cm，解三角形。
你来试一试！
在△ABC中，已知c 10，A 45 ，C 30 ． 求角B和边b．
解： B 180 (A C) 105
∵
bc B sinC
b csin B sin C
10sin105o sin30o
探究问题：
我们知道，在任意的三角形中有大边对 大角，小边对小角的边角关系。我们能否 得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
直角三角形:已知一锐角和一边，求其余元素．
a
b
sinA= c sinB= c sinC= 1 。 A
所以
c=
a sin
A
c=
b sin B
c=
c sin C
b
c
结论： a b c sin A sin B sin C
A．
π 3
B．π6
C．
π 3
或 2π
3
D．π6
或
5π 6
练习3、在
ABC中，coasB
b cos A
，则
ABC的形状是
A．等腰三角形
B．直角三角形
正弦定理(2)
在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝a cos C，试判定△ABC的形状．若将条件“b＝a cos C”换为“b cos A＝a cos B”，试判断△ABC的形状．【解】∵b cos A＝a cos B，∴sin B cos A＝sin A cos B，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．台风中心位于某城市正东方向300 km处，并以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km的范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该城市在多长时间后开始受到台风的影响？这种影响将持续多长时间？(精确到0.1 h)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B点处，测得乙船以每小时a海里的速度向正北行驶．已知甲船的速度是每小时3a海里，则甲船应如何航行才能最快地与乙船相遇？判断三角形形状时忽略隐含条件而致误在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．1．△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B＝________.2．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为________．3．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C 两点之间的距离是________千米．4．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a b ＝cos Bcos A ，试判断△ABC的形状．一、填空题1．(2018·岳阳高二检测)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边a ∶b ∶c ＝________.2．(2018·无锡检测)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC ＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________.3．(2018·南通检测)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin A cos C ＝sin B ，则ac＝________.4．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是________三角形．5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是________三角形．7．(2018·德州高二检测)△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．8．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________．二、解答题9．(2018·如皋检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．11．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb 的取值范围．12、在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .13、如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β. (1)求证sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．拓展三角形中的几个隐含条件1．A ＋B ＋C ＝π.2．sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.3．sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .4．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ；A ＞B ⇔cos A ＜cos B .。
正弦定理2
正弦定理（2）一、课题：正弦定理（2）二、教学目标：1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形， 解决实际问题；2．熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半 径）及其变形形式。
三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。
四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。
五、教学过程： （一）复习：1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）； 2．三角形面积公式：111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C ∆===．（二）新课讲解：1．正弦定理的变形形式： ①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）。
A b a sin = b a A b <<sin b a ≥ b a >一解 两解 一解 一解 3．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化： 例如，判定三角形的形状时，经常把,,a b c 分别用2sin ,2sin ,2sin R A R B R C 来替代。
4．例题分析：例1 在ABC ∆中，1 A B > 2 sin sin A B >的 （ ） A ．1只能推出2 B ．2只能推出1C ．1、2可互相推出D ．1、2不可互相推出解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．B 2 aC A B 1 b a b a C ABa BA C b说明：正弦定理可以用于解决ABC ∆中，角与边的相互转化问题。
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正弦定理（二）
1用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。
2限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题， 准备课上讨论探究。
掌握 正弦定律，并能用之灵活地解决有关的问题
重点：正弦定律的公式及其应用。
难点：以正弦定律为核心，与其它知识结合起来的综合应用
自主、合作、探究
A1. 正弦定律的内容是什么？如何应用？
A2. 给出正弦定律的内容与三角形外接圆半径间的关系。
A3. 已知两边及夹角，怎样求三角形的面积？
A4. 在ΔABC 中，a=2,b=,A=
4
π
,则B=—————.
A5. 已知在ΔABC 中， a=2, A=4
π
,则ΔABC 的外接圆的直径为—————.
B6. 已知ΔABC 是半径为R 的圆O 的内接正三角形.求ΔABC 的边长和ΔOBC 的外接圆半径。
B7. 已知两边a,b 及一边的对角A ，在什么情况下会出现两解？无解？从代数或几何角度给出解释。
A8.已知在ΔABC 中，若a=18,b=24,A=044,则此三角形解的情况为 （ ） A.无解 B.两解 C 一解 D 解的个数不能确定
A9.已知ΔABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是 （ ），
A .a=7,b=14,A=030 B.a=30,b=25,A=0150 C.a=72,b=50,A=0135
D.a=30,b=40,A=026
使用说明 自主学习
学习目标 学习重难点 自主练习
合作探究
学法指导
B10.如图课本p48页，2-8，在 ΔABC 中，AB =( x,y )，AC =( u ，v ). 求证：ΔABC 的面积S=
2
1
|xv-yu|.
A11.已知在ΔABC 中,若B A sin sin =23,则b
b
a =————。
A12.在ΔABC 中，若a=2, A=030,C=045,则ΔABC 面积为————。
B13.ΔABC 的三个顶点是A(-5,0), B( 3,-3), C( 0,2) .求ΔABC 的面积
当堂检测
我的反思。