北航CFD讲义第19课

第五讲 高分辨率格式初步一．目的为什么那么重视高分辨率格式？是为了提高捕获激波和间断面的质量。

对于光滑流动，无论是中心差分格式，还是矢通量分裂格式，其结果都是令人满意的，彼此之间无优劣之分。

对于含激波这样强间断的流动，格式的优劣就显现出来了。

中心差分是频散格式，求解过程中，激波前后会产生强烈的数值振荡。

加入人工粘性，能够抑制数值振荡但是过大的耗散使激波变得很宽（5个网格点左右），从而降低了激波的分辩率。

矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的数值振荡，但由于精度较低（一阶）、耗散较大使得激波的梯度被抹平，激波宽度仍然较大（3个网格点左右）。

与中心差分格式不同，矢通量分裂格式属于迎风格式，与后面要讲的高分辩率格式属同类，它为什么分辩率不高呢？解释如下：迁移方程0t x u au += （11-1）令a a a +-=+ （11-2）式中，()102a a a +=+≥ ， ()102a a a -=-≤ （11-3）结合式（11-2），（11-3），式（11-1）成为：()()11022t x x u a a u a a u +++-= （11-4）迎风格式（与矢通量格式相当）为()()11111022n n n n n ni i i i i i u u u u u u a a a a t x x+-+---+++-=∆∆∆ （11-5） 经过整理，可将迎风格式写成如下形式，111112222n n n n n n n i i i i i i i u u u u x u u u a a t x x++-+---∆-++=∆∆∆ （11-6） 从上式可见，当0a =时，二阶耗散消失了，这时差分格式会得到非物理解。

实际上0a =的点在实际流动中就是音速点。

一维Euler 方程扰动传播速度为u a +和u a -（这里a 表示音速）而音速点恰恰是激波区不可避免的！二．预备知识（一）激波管（黎曼问题）初始条件为：膈膜左侧： ,,L L L u u p p ρρ===， 当0, 0x x t <= 膈膜右侧： ,,R R R u u p p ρρ===，当0, 0x x t >=假定：, L R L R p p ρρ>>，而L 0R u u == 膈膜破裂之后，0t >，将会发生什么？接触间断：32p p =，32u u =，32ρρ>膈膜的初始位置膨胀波 接触间断 激波流动状态（0t>）5状态L 初始状态（0t =）膈膜状态R激波管内流场情况（膈膜破裂之后6.1msec ）()x m ()x m ()x m ()x m ()x m ()x m 压力（P a ）熵/R g a s速度 （m /s ）流量 （K g /m 2s ）马赫数M密度 （K g /m 3）初始条件为：5210N/m L P =，31.0Kg/m L ρ=，0m/s L u = 4210N/m R P =，30.125Kg/m R ρ=，0m/s R u =1．②区： 设2Rp P p =，11γαγ+=-，根据Rankine-Hugoniot 条件（简称R-H 条件）有：()21R Pf P Pαρρα+==+()2R u a f P ⎡⎤== ()2R p P p f P =⋅=2．③区根据间断面的定义，可得()32R p p P p f P ==⋅=()32u u f P ==()13L R L P p f P p γγρρ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭而P 满足下列关系式：112221L L R R a p P a p γγγγγ--⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥⎣⎦可用牛顿迭代法从上式中求出P ，于是②区和③区的气流状态完全确定。

3．膨胀波扫过的区域⑤设膈膜位置为0x =，膈膜破裂时间点为0t =。

则根据Riemann 不变量的规律。

沿特征线C +（1dt dx u a=+），有 1au γ+=-常数 沿特征线C -（1dt dx u a=-），有 1au γ-=-常数 沿特征线0C （1dt dx u=），等熵，有 p γρ⎛⎫= ⎪⎝⎭常数 可得：52112L L x u a u t γγ-⎛⎫=++⎪+⎝⎭2155L L u p p a γγ-⎛⎫= ⎪⎝⎭155L Lp p γγρρ⎡⎤⎛⎫=⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦可见，当膈膜破裂之后，激波管内气流参数完全由膈膜两侧的状态参数所决定，当然考察的位置x 和时间t 也是决定因素。

（二）Riemann 问题的理论分析1．对于一维问题，非线性守恒方程系统：0t x U F += ()()F F U = （11-7a ） ()0,0()U x U x = ()x -∞<<+∞ （11-7b ）古典解：如果方程（11-7a ）的解U 连续且U 的一阶偏导数分段连续，则称U 为古典解。

弱解：对于方程（11-7a ），如果它的解U 为间断的不连续函数，则称其为弱解（也可称为广义解）。

弱解满足下列条件：1）解U 在所有连续点满足初始条件（11-7b ）； 2）在解U 的光滑处，方程（11-7a ）局部成立； 3）在解U 的间断处满足Rankine-Hugoniot 条件()()()R L R L F U F U C U U -=- （11-8）式中，C 为间断面的移动速度；下标“R ”表示间断面右侧变量，“L ”表示左侧变量。

也可写成：() F U C U <>=<>式中，f <>表示函数f 在间断左右的跳跃。

2．Riemann （黎曼）问题： 对于Euler 方程：0t x U F += （11-9）式中U u e ρρ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2u F u p e p u ρρ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦如果初始条件为：() 0,0 0L R U x U x U x <⎧=⎨>⎩ 当0t >之后，由初始间断的左右状态确定波态、波的强度和波之间的流动特性的问题称为Riemann 问题。

3．间断面的分类：1）弱间断：参数连续，而参数的导数不连续，例如膨胀波（稀疏波）；2）强间断：参数不连续（产生间断），例如激波和接触间断。

激波：满足R-H 条件的间断； 接触间断：流体不穿过波面，即满足：0p <>=， 0u <>=即，间断前后压力和速度不变，只有密度ρ发生跳跃0ρ<>≠可以证明，Riemann 问题的解是由一个向左移动的波，一个处于中间的接触间断和一个向右移动的波构成，向左向右移动的波或为Ux2i U -1i U -iU 1i U +2i U +x∆2x ∆2x∆()U x 2i -32i -1i -i1i +2i +12i -12i +32i +激波、或为膨胀波（稀疏波）。

三个波之间的参数呈定常状态。

显然，0t >之后，Riemann 问题的解只由初始间断的左右状态R U 、L U 所确定，所以Riemann 解可写成：()(),,,R L R x U x t UU U t ⎛⎫= ⎪⎝⎭上标()R 表示Riemann 解。

三．Godunov 格式Godunov 格式的基本原理：在离散点的界面上求解Riemann 问题。

右图表示以单元11,22i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为单位分片平均的几何意义。

由图可见，单元11,22i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的平均值就是i U 。

Godunov 认为从时间层t n t =∆的已知解n i U 求得下一时间层()1t n t =+∆的未知解1n i U +可以分成三步走：第1步：将已知解niU 在单元11,22i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内进行平均12121i n n nii i i U U dx U x +-==∆⎰ （11-10） 并得到相邻单元的平均值，11n n i i U U --=， 11n n i i U U ++=；第2步：根据激波管原理，在相邻单元界面上，求得Riemann 解：()()()10,,RR n n i i U U U U -= 和 ()()()10,,RR n n i i U U UU += （11-11）第3步：下一时间层()1t n t =+∆的未知解由Riemann 解（11-11）在单元11,22i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内积分获得：()121211,,i R n i L R i x U U U U dx x t ++-⎛⎫=⎪∆⎝⎭⎰ （11-12） 由于界面12i -和界面12i +上的Riemann 解是不同的，需要分段积分，于是（11-12）式可写为()()22111011,,,,xx R R n n n n n i i i i i U U U U d U U U d x t x t ξξξξ∆∆+-+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎰⎰ （11-13）在以上三步中，第1和第3步均为在单元内的积分，与方程的物理本质无关，而第2步则利用了激波管的物理特性，Godunov 求解控制方程的独特之处就是这第2步：将离散的数值求解化为求单元界12i -界面 12i +界面面上的Riemann 问题。

u()1t n t=+∆ni u 1n i u +1n i u -1n i u -ni u 1n i u +uut n t=∆xxx1i +1i -i 12i -12i +1i +1i -i 1i +1i -ini u 1n i u +激波 膨胀波接触间断第1步：在tn t =∆时间层的分段平均量分布第2步：在界面处的黎曼解第3步：在()1t n t =+∆时间层新解的平均Godunov 方法的三个基本步骤12i -12i +12i -12i +。