【精品】2020学年江西省抚州市临川二中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2017学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＜1000，则￢p（）A．∀n∈N，2n≥1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∀n∈N，2n≤1000 D．∀n∈N，2n＜1000 2．（5分）从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a，b，则log a b为整数的概率（）A．B．C．D．3．（5分）椭圆x2+4y2=4的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，305．（5分）若向量=（1，1，2），=（2，﹣1，2），则cos＜，＞=（）A．3 B．C．D．26．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．9 B．10 C．11 D．137．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．8．（5分）已知p：x2+x﹣2＞0，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣2，1]D．[1，+∞）9．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．310．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，则x2+2x﹣y2的最大值为（）A．﹣2 B．7 C．2 D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．（5分）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是．（请填入正确的序号）①对立事件②不可能事件③互斥但不对立事件．14．（5分）设动点P在正方体A1B1C1D1﹣ABCD的内部随机移动，则△ABP是锐角三角形的概率为．15．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，=（4，﹣2，3），=（﹣4，1，0），（﹣6，2，﹣8），则该四棱锥的高为．16．（5分）过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280）的三用户中，用分层抽样的方法抽取10居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？（Ⅲ）求月平均用电量的中位数．18．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）19．（12分）命题p：函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上为单调递减函数，命题q：∀x∈[0，]，x2﹣a≤0恒成立．（1）求命题q真时a的取值范围；（2）若命题p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．20．（12分）设函数（1）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x∈R，f（x）＞0恒成立的概率．（2）若b是从区间[0，8]（3）任取得一个数，c是从[0，6]任取的一个数，求函数f（x）的图象与x轴有交点的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=2AB=2，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，E为PC的中点，且DE=EC．（1）求证：PA⊥面ABCD；（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈（，），求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A （x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y 轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2017学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＜1000，则￢p（）A．∀n∈N，2n≥1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∀n∈N，2n≤1000 D．∀n∈N，2n＜1000【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则￢p：∀n∈N，2n≥1000，故选：A．2．（5分）从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a，b，则log a b为整数的概率（）A．B．C．D．【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n==12，log a b为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，∴log a b为整数的概率P==．故选：D．3．（5分）椭圆x2+4y2=4的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆x2+4y2=4化为：+y2=1，可得a=2，b=1，c==．∴椭圆的离心率e==．故选：A．4．（5分）某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，30【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是900×=45人，高二年级抽取的人数是1200×=60人，高三年级抽取的人数是600×=30人，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为45，60，30．故选：D．5．（5分）若向量=（1，1，2），=（2，﹣1，2），则cos＜，＞=（）A．3 B．C．D．2【解答】解：∵向量=（1，1，2），=（2，﹣1，2），∴cos＜，＞===．故选：B．6．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．9 B．10 C．11 D．13【解答】解：∵班学生成绩的平均分是86，∴﹣8﹣7﹣4﹣6+x﹣1+0+8+10=0，即x=8．∵乙班学生成绩的中位数是83，∴若y≤1，则中位数为81，不成立．如y＞1，则中位数为，解得y=5．∴x+y=5+8=13，故选：D．7．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选：D．8．（5分）已知p：x2+x﹣2＞0，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣2，1]D．[1，+∞）【解答】解：由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，若q是p的充分不必要条件，则a≥1，故选：D．9．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选：B．10．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．11．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；故选：D．12．（5分）已知点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，则x2+2x﹣y2的最大值为（）A．﹣2 B．7 C．2 D．﹣1【解答】解：∵点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，∴y2=1﹣（﹣2≤x≤2）．则x2+2x﹣y2=x2+2x﹣=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≤7，当且仅当x=2时取等号．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．（5分）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是③．（请填入正确的序号）①对立事件②不可能事件③互斥但不对立事件．【解答】解：把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故答案为：③．14．（5分）设动点P在正方体A1B1C1D1﹣ABCD的内部随机移动，则△ABP是锐角三角形的概率为1﹣．【解答】解：设正方体的棱长为2，动点P在正方体A1B1C1D1﹣ABCD的内部随机移动，则△ABP是锐角三角形的范围是以AB为直径的的球的外部，所以由几何概型的公式得到所求概率为1﹣=1﹣；故答案为：1﹣．15．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，=（4，﹣2，3），=（﹣4，1，0），（﹣6，2，﹣8），则该四棱锥的高为2．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，=（4，﹣2，3），=（﹣4，1，0），（﹣6，2，﹣8），设平面ABCD的法向量为=（x，y，z），则，可得，不妨令x=3，则y=12，z=4，可得=（3，12，4）；则=（﹣6，2，﹣8）在平面ABCD上的射影就是这个四棱锥的高h，所以h=|||cos＜，＞|=||==2；所以该四棱锥的高为2．故答案为：2．16．（5分）过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为．．【解答】解：设直线l上的占P（t，t+9），取F1（﹣3，0）关于l的对称点Q（﹣9，6），根据椭圆定义，2a=|PF 1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|，当且仅当Q，P，F 2共线，即，即时，上述不等式取等号，∴t=﹣5．∴P（﹣5，4），据c=3，a=3，知a2=45，b2=36，∴椭圆的方程为．故答案为．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280）的三用户中，用分层抽样的方法抽取10居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？（Ⅲ）求月平均用电量的中位数．【解答】解：（Ⅰ）由直方图的性质可得：（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（4分）（Ⅱ）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取户．（8分）（Ⅲ）∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（12分）18．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）【解答】解：（1），所以回归直线方程为（2），即估计用10年时维修费约为12.38万元．19．（12分）命题p：函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上为单调递减函数，命题q：∀x∈[0，]，x2﹣a≤0恒成立．（1）求命题q真时a的取值范围；（2）若命题p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：（1）若命题q为真命题，则a≥x2，x∈[0，]，恒成立，即a≥x2max，即；（2）若函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上为单调递减函数，则，解得：≤a≤；若命题p∧q为假，p∨q为真，则命题p，q一真一假，当p真q假时，a＜且≤a≤，解得：；当p假q真时，a≤0，或a≥1，且，解得：；综上可得：或．20．（12分）设函数（1）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x∈R，f（x）＞0恒成立的概率．（2）若b是从区间[0，8]（3）任取得一个数，c是从[0，6]任取的一个数，求函数f（x）的图象与x轴有交点的概率．【解答】解：（1）由点（b，c）组成的点共36tkh，设A={任意x∈R，f（x）＞0恒成立}即△=b2﹣c2＜0，∴b＜c，A中包含基本事件15个，∴P（A）=；（2）（b，c）所在的区域Ω={（b，c）|0≤b≤8，0≤c≤6}若使函数f（x）的图象与x轴有交点，则b≥c≥0．∴事件B={（b，c）|b＞c，0≤b≤8，0≤c≤6}如图，∴P（B）=．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=2AB=2，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，E为PC的中点，且DE=EC．（1）求证：PA⊥面ABCD；（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈（，），求a的取值范围．【解答】（1）证明：∵E为PC的中点，DE=EC=PE∴PD⊥DC，∵CD⊥AD，PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA，∵PA⊥AD，AD∩CD=D，∴PA⊥面ABCD；…（6分）（2）解：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0）P（0，0，a），C（2，2，0），…（7分）平面BCD法向量=（0，0，1），平面EBD法向量…（9分），可得…（12分）22．（12分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A （x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y 轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，∴，所以椭圆C1的方程为．…（4分）（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为令x=0，，令，所以…（5分）又点B在椭圆的第一象限上，所以，∴…（7分）∴，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为…（9分）（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，所以M，N都在直线上，即：直线MN的方程为…（12分）所以原点O到直线MN的距离=，…（13分）所以直线MN始终与圆相切．…（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。