直线与平面垂直关系的性质导学案
直线与平面垂直的性质1导学案
§2.3.3直线与平面垂直的性质班级：_______姓名：_______ 三维目标1、探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质。
2、掌握直线与平面垂直的性质定理的应用，提高逻辑推理能力。
教学重、难点直线与平面垂直的性质定理及其应用 教学设计 问题提出：1、直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？2、直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？ 知识探究（一）：直线与平面垂直的性质定理思考1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？思考2：如果直线a ，b 都垂直于同一条直线l ，那么直线a ，b 的位置关系如何？思考3：一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？思考4：如果直线a ，b 都垂直于平面α，由观察可知a//b ，从理论上如何证明这个结论？证明此结论的方法叫做什么法？思考5：根据上述分析，得到一个什么结论？思考6：上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理。
用符号语言怎么表述？该定理有什么功能作用？思考7：线a ，b 分别在正方体ABCD －A ’B ’C ’D ”中两个不同的平面内，欲使a ∥b ，则a ，b 应满足什么条件？知识探究（二）：线与平面垂直的性质探究AA 1BC D B 1C 1D 1思考1：设a ，b 为直线，α为平面，若a ⊥α，b//a ，则b 与α的位置关系如何？ 为什么？思考2：设a ，b 为直线，α为平面，若a ⊥α，b//α，则a 与b 的位置关系如何？ 为什么？思考3：设l 为直线，α，β为平面，若l ⊥α，α//β，则l 与β的位置关系如何？ 为什么？思考4：设l 为直线，α、β为平面，若l ⊥α，l ⊥β，则平面α、β的位置关系如何？为什么？理论迁移例1：如图，已知,,l CA αβα=⊥ 于点A ，CB β⊥ 于点B ，,,a a AB α⊂⊥ 求证：//a l 。
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质必修2教案学校：临清试验高中学科：数学编写人：贾红国审稿人：邢玉兰王桂强2.3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培育同学的几何直观力量和学问的应用力量，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）把握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简洁应用。
（3）把握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简洁应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】（一）复习引入师：推断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可娴熟运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？推断下列命题是否正确:1、在平面中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
2、在空间中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
3、垂直于同一平面的两直线相互平行。
4、垂直于同始终线的两平面相互平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已讨论过，这节课我们来共同探讨直线和平面假如垂直，则其应具备的性质是什么？（二）创设情景如图，长方体ABCD-ABC'D中,棱AA∖BB∖CC∖DD，所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1已知：a,bO求证：b0a师：此问题是在a,b的条件下，讨论a和b是否平行，若从正面去证明b0a,则较困难。
而利用反证法来完成此题，相对较为简单，但难在帮助线S 的作出，这也是立体几何开头的这必修2教案部分较难的一个证明,在老师的知道下,同学尝试证明,稍后老师指正. 生:证明:假定b不平行于a,设bO,b，是经过点0的两直线a平行的直线.a0b,z a,b,即经过同一点O的两直线b卜都与垂直,这是不行能的,因此b0a.有了上述证明,师生可共同得到结论.：直线和平面垂直的性质定理:假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它例2.已知I,I,求证a〃.证明：设I=A,I=B在内过点A取两条直线a和bBI 且B与相交，设=cIIa,同理IC在平面中：1a,Ica∕∕c又a,ca//,同理b〃又ab=A//下列命题中错误的是（C）A、B、C、若始终线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的全部直线。
人教A版数学必修二第二章第十四课时导学案2.3(习题课)
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质（习题课）学习目标1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质定理，能够灵活运用；2. 掌握垂直关系中线线垂直、线面垂直、面面垂直的互化，掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换；3. 能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.64~ P 72，找出疑惑之处） 复习1：直线与平面垂直的有关结论⑴如果一条直线_____________________________________，则这条直线和这个平面垂直；⑵线面垂直的判定定理是______________________________________________________；⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面，则____________________________________；⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则_____________________________________；⑸面面垂直的性质定理是______________________________________________________.复习2：平面与平面垂直的有关结论⑴两个平面垂直的定义是______________________________________________________；⑵两个面垂直的判定定理是____________________________________________________.复习3：⑴斜线和平面所成的角怎么作?直线和平面所成的角的范围是_____________；⑵二面角的定义是怎样的？它的平面角又是怎么作的?二、新课导学※ 典型例题例1 如图14-1所示，在正方体中，P 、Q 、R 、S 分别为棱A D ''、A B ''、AB 、BB '的中点. 求证：平面PQS B RC '⊥图14-1小结：面面垂直通常转化为线面垂直(关键找到一个面内垂直于另一个面的线)，线面垂直又转化为线线垂直，线线垂直往往又用到线面垂直的定义.例2 如图14-2所示，设a 、b 为异面直线，AB 垂直于a 、b ，且与a 、b 分别交于A 、B 两点.⑴α为平面，若a ∥α,b ∥α,求证：AB α⊥； ⑵若a α⊥，b β⊥，c αβ=，求证：图14-（1） 图14-2（2）小结：“平行”与“垂直”的转化；线面垂直的判定和性质定理的灵活运用.例3 如图14-3，二面角l αβ--的平面角是个锐角，点P 到α、β和棱l 的距离PA 、PB 、PC 分别为4、⑴分别求直线PC 与面α和面β所成的角; ⑵求二面角l αβ--的大小. 图14-3※ 动手试试练1. 如图14-4， 在正方体ABCD A B C D ''''-中，求证：平面ACC A ''⊥平面A BD '.图14-4练2. 如图14-5，VO ABC ⊥，O CD ∈，VA VB =，AD BD =，求证：CD AB ⊥，AC BC =.图14-5三、总结提升※ 学习小结1. 垂直关系的证明：根据题设条件，合理、灵活的运用各种判定和性质定理，注意条件的转化；2. 求线面角和二面角的关键是利用垂直关系，作出角，然后利用三角形的知识加以解决.※ 知识拓展论证垂直问题要注意垂直关系的转化，每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系为：线线垂直面面垂直学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. a b ⊥，且a ∥α，则直线b 和面α是（ ）.A.b α⊂B.b 与α相交或b ∥α或b α⊂C.b α⊄D.b ∥α或b α⊂2. 过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行②存在无数条直线与平面α垂直③仅有一条直线与平面α平行④仅有一条直线与平面α垂直；其中正确结论的个数是（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 下列说法错误的是（ ）.A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面 4. 两个长方形所在平面互相垂直，长宽如图所示，则cos α与cos β的比值为________.5. 正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，P 是AD 的中点，则二面角A BD P '--的大小为________.课后作业1. 如图14-6，2VA VB AC BC ====，AB = 1VC =，求二面角V AB C --大小.图14-62. S 为ABC ∆所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB BC ⊥.。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
高一数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(解析版)
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。
求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。
归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1） 求证：ABC PA 平面⊥（2） 当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且 边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（ ）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （ ）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（ ）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。
北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案
1高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案北师大版必修2你的 疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言： 符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思 纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】 重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的 直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括 直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α， 直线l ____a ， 直线l ____b ，a ____A b =， 则α⊥l .天才在于积累 聪明在于勤奋。
〖2021年整理〗《导学案 空间中的垂直关系直线与平面垂直》优秀教案
l m1.2.3空间中的垂直关系（一）----直线与平面垂直（一）学习要点：直线与平面垂直的判定与性质及其简单应用 （二）学习过程： 一．直线与直线垂直两条直线互相垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
直线a 和b 垂直，记作：a b ⊥． 概念解读：1．空间的直线与直线垂直包括相交垂直（有一个公共点）与异面垂直（无公共点）两种； 2．若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 的位置关系有三种：//a c ；a 与c 相交；a 与c 异面；3．在平面内，线段AB 的垂直平分线有且只有一条；在空间中，线段AB 的垂直平分线有无数条，其所有垂直平分线在同一个平面上。
二．直线与平面垂直（一）直线与平面垂直的定义及有关概念直线与平面互相垂直：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
1．平面的垂线：直线l 叫做平面α的垂线； 2．直线的垂面：平面α叫做直线l 的垂面； 3．垂足：直线l 与平面α的交点O 叫做垂足；4．平面的垂线段：垂线上任意一点到垂足的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段；5．点到平面的距离：垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。
（二）线面垂直的画法与表示法：把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直； 直线l 和平面α垂直，记作：l α⊥． （三）直线与平面垂直的判定定理：1．判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
即：2．直线与平面垂直的判定定理的推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
即：四．直线与平面垂直的性质： （一）性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面 内的任意一条直线垂直。
即：（二）直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
即：（三）直线与平面垂直的性质2： 垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质导学案
罗田一中高一数学必修2导学案编者：刘秀丹 审核：杨德兵 学生____________一．学习目标1.掌握直线与平面垂直的性质定理及平面与平面垂直的性质定理的应用。
2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想。
3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律，培养空间想象能力、逻辑思维能力和类比思维能力。
二．自学导引1.直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________. （线面垂直→线线平行）.符号表示：_______________________________.拓展:直线与平面垂直的其它性质：⑴ 直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线；⑵ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行2.平面与平面垂直的性质定理： _________________________________________ __________________________________________.（面面垂直→线面垂直）符号表示：拓展:两个平面垂直的其它性质：⑴ 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵ 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；⑶ 三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.三.典型例题：题型一 直线与平面垂直的性质的应用例一．已知,l CA αβα⋂=⊥与A ，B ,CB a a AB βα⊥⊂⊥于点，，求证//a l［规律方法］利用线面垂直的性质证明线线平行，关键是找（构造）出平面，使所证直线都与该平面垂直。
［变式1］已知一条直线l 和一个平面α平行，求证:直线l 上各点到平面α的距离相等题型二 平面与平面垂直的性质的应用例二．在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是等边三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1) 求证：AB ⊥平面VAD.(2) 求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值。
直线与平面垂直导学案
直线与平面垂直主备人： 审核人：高一数学组第一部分 课前延伸一、学习目标知识与技能：理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、新课预习阅读课本第47页-第48页，回答下列问题：1、长方体中哪些棱是互相平行的？哪些棱是互相垂直的？2、课本第48页图1-77灯塔与地面有什么位置关系？3、长方体的一条侧棱与底面有什么位置关系？4、什么是棱锥、圆锥的高及定点到底面的距离？三、课前热身已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是（A ）a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭（B ）//a b a b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭（C ）//或a b a a b ααα⊥⎫⇒⊂⎬⊥⎭（D ）////a a b b αα⎫⇒⎬⊂⎭四、预习反思：通过自主学习，你认为这部分知识的疑点、难点有哪些？未能解决的问题有哪些？请记录下来上课时小组内一起解决，比比看谁找出的问题最多。
第二部分课内探究一、导入新课，提出目标通过预习我们知道了什么是直线与平面垂直，那么我们怎么判断一条直线与平面垂直呢？二、实验探究，合作交流探究一：一条直线垂直于平面内的一条直线，这条直线一定垂直于这个平面吗？一条直线垂直于平面内的两条平行直线，这条直线一定垂直于这个平面？一条直线垂直于平面内的无数条直线，这条直线一定垂直于这个平面吗？一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这条直线一定垂直于这个平面吗？直线与平面垂直的判定定理：Array探究二：（1）如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线和这个平面的位置关系如何？（2）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线是什么位置关系？已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B；求证：l∥m探究三：垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？如何定义两个平行平面的距离？例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条。
直线与平面垂直的性质学案
直线与平面垂直的性质(学案)设计人：徐恩战 审核人：陈长永 使用时间：２０１２―１１学习目标： 探究线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力；掌握性质定理的应用，提高逻辑推理能力。
重点 难点： 线面垂直的性质定理及其应用一、学习过程：复习巩固：直线与平面垂直的判定定理是什么？二、学习新知：1、注意观察右面两个图，在长方体ABCD－A ’B ’C ’D ”中，棱AA ’、BB ’、CC ’、DD ’都与平面ABCD 垂直，它们之间具有什么什么关系？2、右图中，已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊥α，b ⊥α那么直线a ，b 是否平行呢？直线与平面垂直的性质定理：在上述第2个问题中，假定b 与a 不平行，且b ∩α＝O ，b ’是经过点O 与直线a 平行的直线，直线b 与b ’确定平面β，设α∩β＝c ，因为a ⊥α，b ⊥α，所以a ⊥c ，b ⊥c ，又因为b ’∥a ，所以b ’⊥c ，这样在平面β内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b ’与c 垂直，显然不可能，因此b ∥a 。
O一般地，我们得到直线与平面垂直的性质定理定理：（文字语言）垂直于同一平面的两条直线平行。
（符号语言）a⊥α, b⊥α a∥b判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。
直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。
3、直线与平面垂直的性质的应用例4、设直线a，b分别在正方体ABCD－A’B’C’D”中两个不同的平面内，欲使a∥b，则a，b应满足什么条件？分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。
解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，（1）a，b同垂直于正方体一个面；（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；（3）a，b平行于同一条棱；（4）如图，E，F，G，H分别为B’C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。
线面垂直导学案
(1)直线与平面垂直的定义：
(2)直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：
符号语言
(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一平面．
感悟：垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（提示：平行、相交、异面的情况.)
3．直线与平面垂直的性质
(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的__________都垂直，除此以外还有性质定理．
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；
（2）A1C⊥BC1；
课
堂
小
结
巩
固
练
习
1、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝ ，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。
2、如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H,判定四边形EFGH的形状，并说明理由
思考1、设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//α，则b与α的位置关系如何？为什么？
思考2、设a，b为直线，α为平面， 位置关系如何？为什么？
例2、如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G．求证：AE⊥SB。
变式训练：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：
__________的两个平面平行．
课前准备
《直线与平面垂直的判定》导学案
ABCDα直线与平面垂直的判定（一）学习目标2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其简单应用.学习过程1.当两条直线的夹角为 ，这两条直线 互相垂直，它们的位置关系是 或 .2.预习教材6466~P P ,找出疑惑之处. 二．新课导学探究一：直线与平面垂直的概念 思考：生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？ 我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.反思：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直?③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？探究二：直线与平面垂直的判定定理准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕A D ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题3：①如何翻折才能使折痕A D 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕A D B C ⊥，翻折之后垂直关系，即A D C D ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？思考：如图，有一根旗杆A B 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？【练一练】1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由.2.判断正误:如果三条共点直线两两垂图1D CAB图2DBA CAA 'BB 'C 'DD 'A VBCKC 直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( ) 例1：已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．例2：正方体////ABCD A B C D -中，求证://AC BDD B ⊥.练一练 1. 如图，空间中直线l 和三角形的两边A C ,B C 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边A B 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.如图，直四棱柱////ABCD A B C D - 中，底面四边形A B C D 满足什么条件时,///A CB D ⊥？三．总结提升四．课后作业1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面A BC D 垂直．（2）正三棱锥P A B C -中，M 为棱B C 的中点，则棱B C 和平面P A M 垂直． 2.如图，圆O 所在一平面为α，A B 是 圆O 的直径，C 是圆周上一点,且P A A C ⊥, P A A B ⊥,求证：（1）P A B C ⊥； （2）B C ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V A B C -中，V A V C =，A B B C =．求证：V B A C ⊥．变式引申 如图，在三棱锥V A B C -中，V A V C =，A B B C =，K 是A C 的中点．若E 、F 分别是A B 、B C 的中点，试判断直线E F 与平面V K B 的位置关系．ACEFK V B。
直线与平面垂直的概念和判定导学案
§直线与平面垂直的概念和判定一、学习目标：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。
二、教学重难点：直线与平面垂直的判定定理。
三、学习过程：复习导入：回忆直线与平面的位置关系有哪几种？如何用符号语言表示？直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，今天我们就从理论上加以认识.新课导学：✐知识探究1：直线与平面垂直的概念观察：天安门前竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？活动：（1）将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？（2）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？讨论：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？结论：定义--直线与这个平面垂直：画法：记法：✐知识探究2：直线与平面垂直的判定问题：用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？能不能有更简便的方法呢？讨论：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.（1）如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？（演示）（2）如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？（演示）实验：将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( BD, DC 与桌面接触).观察折痕AD 与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD 与桌面垂直呢？结论：直线和平面垂直的判定定理：理解：符号表示：✐知识迁移思考：有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？旗杆脚不在同一直线上）,归纳小结：直线与平面垂直的定义和判定定理。
直线与平面垂直的判定导学案
学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义.2.理解直线与平面垂直的判定定理.3.会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.自主学习1.直线与平面垂直的定义是什么？2.直线与平面垂直的判定定理，符号语言怎样表示？注意：①定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；②定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.3.什么是直线与平面所成的角？直线和平面所成角的取值范围？规定：(1)直线与平面垂直时，所成的角为 .(2)直线与平面平行或在平面内，所成的角为 .﹡4.求直线与平面所成的角的基本步骤？合作交流例1.如右图所示：已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α.例2. 在正方体ABCD -1111D C B A 中，求证：AC ⊥面DB D B 11基础达标1．若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于（ ）. A ．平面OABB ．平面OACC ．平面OBCD ．平面ABC 2．若直线l ⊥平面α，直线α⊆m ，则（ ）. A ．l m ⊥ B ．l 可能和m 平行 C ．l 和m 相交 D ．l 和m 不相交 3.直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ）.A ．a ⊥β B. a ∥β． C ．β⊆a D ．β⊆a 或a ∥β达标检测1. b a ,是异面直线,那么经过b 的所有平面（ ）. A.只有一个平面与a 平行B.有无数个平面与a 平行C.只有一个平面与a 垂直D.有无数个平面与a 垂直1B B1A 1D 1C AD C2.下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；②若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的有 .3.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中有( )个直角三角形．A．1 B．2 C.3 D.44.三棱锥P ABC-中，PA BC PB AC，，P O⊥平面ABC，⊥⊥垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.﹡变式为“已知PA BC PB AC⊥⊥⊥，，求证PC AB总结提升1. 直线和平面垂直的定义：一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和平面垂直。
A直线与平面、平面与平面垂直的性质导学案
直线与平面、平面与平面垂直的性质一．学习目标：1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.二．复习回顾1.下列说法中正确的个数为().①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的所有直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行.A.1B.2C.3D.42.已知l,m是直线,α,β,γ是平面,给出下列说法:①若α⊥β,且β⊥γ,则α∥γ;②若α∩β=l,且l⊥γ,则α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的是.三．新课导入，自学探究：装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理,因为铅垂线受重力影响始终是与地面的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线,也就说明门安装得.(2)直线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示:.问题2:叙述平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:.问题3:空间中垂直关系是如何转化的?由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果.问题4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论:①过一点有且平面和已知直线垂直. ②过一点有且直线和已知平面垂直. 平面和平面垂直的两个重要结论:①若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在平面内.②两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线于第三个平面.四．解决问题1,已知平面α，β，θ，满足α⊥θ，β⊥θ，α β=m,求证：m⊥θ2.如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交,求证:EF∥BD1.3.如右图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,且其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC边的中点,则能否在棱上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.五．小结归纳六．课外作业1.已知直线l⊥平面α:①若直线m⊥l,则m∥α;②若m⊥α,则m∥l;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是().A.①②③B.②③④C.①③④D.②④2.把Rt△ABC斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有对.3.如图,在四棱锥A—BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.证明:AC⊥平面BCDE.4.三棱锥P—ABC中,PB=PC,AB=AC,点D为BC中点,AH⊥PD于点H,连接BH,求证:平面ABH⊥平面PBC.。
高中数学《垂直关系的判定》导学案 北师大版必修2
第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面α内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作,直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的,唯一的公共点叫作.问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,,则l⊥α.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l⊥α,,则α⊥β.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB⊥平面BCC1B1B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1D.A1C⊥平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;(2)的值为何值时,EC⊥平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论一定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.(2013年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l⊥α垂线垂面垂足问题2:a∩b=A l⊂β问题3:[0°,90°][0°,180°]问题4:线面垂直线线垂直相交直线l⊥α基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.2.B A正确,因为AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正确,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正确,因为B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又因为EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,则只需EC⊥BF即可,当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,因为从图①可知==,所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,即==,得=,所以=时,EC⊥平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG AC,FG BD.又AC=BD,∴FG=AC,∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN⊂平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,因为EF∥AD,所以EF⊥CD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又因为DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以==,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:因为AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.思维导图构建锐角α⊥β90°。
潍坊一中高二数学导学案：直线与平面垂直及其判定
学案4 直线与平面垂直命题人：刘军复核人：宫忠胜【教学目标】1、知识目标：掌握直线与平面垂直的判定定理；以及由线面垂直向线线垂直转化的思想方法。
2、能力目标：培养学生观察，实验猜想的意识；培养逻辑推理能力和空间想像力。
3、情感目标：培养追求新知，独立思考的创新意识和探索的精神；培养运用所学知识为党为国服务的情怀。
【教学重点】直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
【教学难点】操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。
【复习回顾】1.直线与平面垂直的定义：符号语言：图形语言：2.直线l、m的垂直属于线线垂直的哪种情况？直线l、n的呢？【情景引入】问题1：假如由你作为工程师去天安门广场安装旗杆，如何确保旗杆垂直于地面，以使得我们的五星红旗飘扬时显得高耸挺拔？用定义操作在现实中是否可行？【活动感知】请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验:过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)观察并思考：(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?问题2：沿着高线AD折叠，实则是满足了怎样的条件才会使得折痕跟桌面垂直？【概念形成】直线与平面垂直的判定定理：_____________________________________ __________________________________________【概念深化】(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直?(2)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的无数条直线?(3)如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条是否也垂直于这个平面？【回归问题】请大家就安装旗杆问题，给出你们小组的最终方案，并由一名组员做最后的陈述。
【典例示范】例1：在四棱锥S-ABCD 中，已知底面为平行四边形，并且对角线的交点为O,且SA=SC, SB=SD .求证：ABCD SO 面⊥变式1：若底面为菱形，求证：B SD AC 面⊥变式2：若底面为菱形，求证：AC SD ⊥例2: 如图，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F. 求证：PC ⊥平面AEF ；变式3：设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.【课堂小结】【当堂检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一平面的两条直线互相平行．(2)一条直线在平面内，另一条直线与这平面垂直，则这两条直线互相垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是A．1B．2C．3D．63.直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能A．平行B．相交C．异面D．垂直【课后作业】课本115页练习A 、练习B。
垂直的性质
练习：
1、 如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径， PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
C A
O B
作业： 2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥ 底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平 面PMC⊥平面PCD。 P
F
E
D A M
B
马
青
合作探究2
老
师
达 成 目 标 ， 我 成 功 ； 超 越 目 标 ， 我 优 秀 。
点评安排及目标要求（14）
点评问题或 题目
合作探究1
点评
目标及要求
1．目标：通过你的点 评使同学们思路更加 清晰。 2. 要求： 1、点评 人上台迅速，侧站位， 做到大胆、大方和大 声；语言精练、简洁， 须注重知识、规律方 法的总结； 2 、提高效率，珍惜 时间；
l
α b β
a
γ
上述结论如何用文字语言表述？
l α γ
β
如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那 么这两个平面的交线垂直于这个平面。
两个平面垂直的性质
[两个平面垂直的性质定理1] 如果两个平面垂直，那么在一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面． [两个平面垂直的性质定理2]如果两个相 交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面。
寥城
6 7 8
9 10
何晨曦、 米艺晴、 2人
吴晨、万晨旭、李帅 乔兰芳、王君艳、张金豆
导学案反馈(14)
小组 1 2 得分 杨凯 王锦涛、尚桥、周玉、同佩 优秀个人 未交导学案
3
4 5 6 7 8 9 10 吕姚、贺童 聂 奔
直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质学习目标（1）掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 重点、难点性质定理的证明及应用【预习案】仔细阅读教材第70-71页，然后探究下列问题（10分钟） 线面垂直的性质定理：试举例并会用实物演示【探究案】探究：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间是有什么位置关系？线面垂直的性质定理：思考、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面α具有什么位置关系？例、如图，已知平面βαβα⊥,,，直线a 满足αβα⊄⊥a ,，试判断直线a 与平面α的位置关系.【反馈练习】1.下列命题中，正确的是（ ）A 、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B 、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C 、若,a b 异面，过a 一定可作一个平面与b 垂直D 、,a b 异面，过不在,a b 上的点M ，一定可以作一个平面和,a b 都垂直. 2.已知直线βα面，直线面⊂⊥m l ，给出下列命题：（1）m l ⊥⇒βα//；（2）m l //⇒⊥βα；（3）βα⊥⇒m l //；（4）βα//⇒⊥m lA 1B D 1 AC C 1B 1Da b α其中正确的命题个数是（ ）A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3.如图9—64，AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则BC 和PC .4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：对角线AC 1⊥平面A 1BD ． （2）二面角C －AB －C 1的大小【课堂小结】【课堂作业】教材第71页练习1、2ABCD A 1B 1C 1D 1。
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2.3.3直线与平面垂直关系的性质导学案
编制：张辉 审核：黄焕毅
【学习目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．
【自主学习】
【预习自测】
1．下列说法正确的是( )
A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α
B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直
C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行
D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭
⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④
⎭
⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG 的大小关系是()
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的()
A．垂心B．内心C．外心D．重心
直线与平面垂直关系的性质(一)训练题组
编制：张辉审核：黄焕毅
【课堂检测】
1．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
【当堂训练】
2．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．
课外拓展
3．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．
4．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC．
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．。