数列求和学案
高中数学复习学案 数列的求和
题目 第三章数列数列的求和高考要求等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法 知识点归纳1等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 2等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --113拆项法求数列的和，如a n =2n+3n4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5分裂项法求和，如a n =1/n(n+1)111n n =-+ （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）6反序相加法求和，如a n =nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如a n = -2n 2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 nn a a (a n >0) 如a n =nn n 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =1562+n n题型讲解例1 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=---- 解：①当a=0或b=0时，)(nnn a b S =②当a=b 时，n n a n S )1(+=；③当a ≠b 时，ba ba S n n n --=++11例2（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则12(1)32322n n n a a n d n a =+-=-⇒=⋅-22423(222)2n na a a n ∴+++=+++- 12(12)32322612n n n n +-=-=⋅--- 例3（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n 的各项的和 解：其和为：(1＋3＋ (3))＋(13132+＋……＋13n )=3121321n n +--+-=12(3n ＋1-3-n ) 例4（裂项求和法）)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ 解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴ 1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 例5（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-ni i ia a d 11)11(1 则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11111nni i i i i i a a d a a +==+-=+∑∑也可用裂项求和法例6（错位相减法）设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和 解：①若a=0时，S n =0②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=)1n (n 21- ③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），S n =]na a )1n (1[)a 1(a1n n 2+++-- 例7（错位相减法）已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S解：,lg n n n n a a b n a a ==⋅232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a naa +∴=++++=++++ ……①……②①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-[]n n a na n a aa S )1(1)1(lg 2-+--=∴ 点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法例8（组合化归法）求和：)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n解：)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的 求和问题了213221326122)1(,6)2)(1(++++-=∴=+=++n n n n n CCa C n n C n n n)(6)(12212322323433+++++-+++=∴n n n C C C C C C S3243212333323444612)(6)(12++++-=+++-+++=n n n n CCC C C C C C12(3)(2)(1)6(2)(1)4!3!n n n n n n n nS +++++∴=-2(3)(2)(1)(2)(1)21(1)(2)2n n n nn n nn n n +++=-++=++点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项(1)(243)n a n n n =++-展开为n 的多项式，再用分部求和法例9（逆序相加法）设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 解：因为nn n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 00111nn n n n n n n C a C a C a S +++=--+ n nn n n n C a C a C a 0110+++=- 01101102()()()nn n n n n n nS a a C a a C a a C +-∴=++++++ 0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+110()2n n n S a a -+∴=+⋅点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前n 项和n S 12)1(+-=nn ，是否存在等差数列{}n b 使得n n n n n n C b C b C b a +++= 2211对一切自然数n 都成立例10（递推法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S 解：由题意：21(),2n n n S a S =-1n n n a S S -=-∴211111()()()22n n n n n n n n S S S S S S S S ---=--⇒-= 1111112(1)2211.21n n n n n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=-点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法例11 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ； ⑶设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴（2）若50210≤≥-n n 则，5,n ≤时12||||||n n S a a a =+++21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=- 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765214092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n故229940n n n S n n ⎧-=⎨-+⎩ 65≥≤n n（3）)111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n∴n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=n n若32m T n >对任意*N n ∈成立，即161m n n >+对任意*N n ∈成立，)(1*N n n n ∈+的最小值是21，,2116<∴m m ∴的最大整数值是7即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32m T n > 说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题例12 已知函数13)(+=x xx f ,数列{a n }满足a 1 = 1,a n+1 = f(a n ) (n ∈N *) (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ) 记S n = a 1a 2 +a 2a 3+…+a n a n+1 , 求S n 并求n n S ∞→lim解: (Ⅰ) 由131+=+n n n a a a 得 3a n a n+1 +a n+1 = a n ,从而 1113+=+n n a a , 即3111=-+n n a a ,数列}1{n a 是以111=a 为首项3为公差的等差数列 ∴233)1(11-=⋅-+=n n a n, ∴231-=n a n (Ⅱ) 设b n = a n a n+1 ,则 )131231(31)13)(23(1+--=+-=n n n n b n ,∴ )1312311017171414111(3121+--++-+-+-=+++=n n b b b S n n ∴ 13)1311(31+=+-=n n n S n , ∴3113limlim =+=∞→∞→n n S n n n 小结：1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础 3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法 学生练习1设S n 和T n 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意n ∈N ，都有71427n n S n T n +=+，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是( ) A 4∶3 B 3∶2 C 7∶4 D 78∶712一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最大时，n 等于（ ）A 5B 6C 7D 83若数列{}n a 中，13a =，且21n n a a += *()n N ∈，则数列的通项n a =4设在等比数列{}n a 中，,126,128,66121==⋅=+-n n n S a a a a 求n 及q5根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式⑴==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+ ⑵==+11,1n a a 1+n n)(*N n a n ∈ ⑶==+11,1n a a 121+n a )(*N n ∈ 6数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0，1的常数)，求其通项公式n a7某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为,1031=a 经过n 年绿化总面积为.1+n a 求证.542541n n a a +=+ （2）至少需要多少年（年取整数，3010.02lg =）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？ 8 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年为第一年)的利润为500(1+12n )万元(n 为正整数) (Ⅰ)设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业经过至少多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不不进行技术改造的累计纯利润？参考答案:1解：设这两个等差数列分别为{a n}和{b n }故选择A说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项a n 与前2n-1项和S 2n-1的内在联系2解：依题意知数列单调递减，公差d ＜0因为 S 3=S 11=S 3+a 4+a 5+…+a 10+a 11 所以 a 4+a 5+…+a 10+a 11=0 即 a 4+a 11=…=a 7+a 8=0，故当n=7时，a 7＞0，a 8＜0选择C 3解：多次运用迭代，可得2112222221221()[()]()()3n n n n n n a a a a a -----======4解：128,128112=∴=⋅-n n a a a a ，又661=+n a a ，由以上二式得12,64n a a ==或164,2n a a ==；由此得2,6==g n 或21 5解：（1）n a a n n 21+=+ ，n a a n n 21=-∴+，)()()(123121--++-+-+=∴n n n a a a a a a a a1)1(1)1(2221212+-=-⨯+=-⨯++⨯+⨯+=n n n n n（2）11+=+n na a n n123121-⋅⋅⋅⋅=∴n n n a a a a a a a a =n n n 1132211=-⋅⋅⋅⋅ 又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，11)1(11=⋅==-=∴-a a n na n n.1na n =∴ （3）}2{)2(21212111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a 公比为21的等比数列，.)21(2,)21(1211---=∴⋅-=-∴n n n n a a 说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法6解：由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ，1--=∴n n n ra ra a ，,)1(1-=-∴n n ra r a,1≠r ∴11-=-r ra a n n ，0≠r ，}{n a ∴是公比为1-r r 的等比数列 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，1)1(11---=∴n n r r r a 说明：本例复习由有关n S 与n a 递推式求n a ，关键是利用n S 与n a 的关系进行转化7（1）证明：由已知可得n a 确定后，1+n a 表示如下：1+n a =n a %16)1(%)41(⋅-+-⋅n a即1+n a =80%n a +16%=54n a +254 （2）解：由1+n a =54n a +254可得：-+1n a 54=54（-n a 54）=（54）2（--1n a 54）=…=)54()54(1-a n故有1+n a =54)54(21+-n ，若1+n a .53≥则有54)54(21+-n .53≥即1)54(21-≥n 两边同时取对数可得)12lg 3)(1()5lg 2lg 2)(1(2lg --=--≥-n n故412lg 312lg >+-≥n ，故使得上式成立的最小*N n ∈为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60% 8 (Ⅰ)依题意，A n =(500-20)+(500-40)+……+(500-20n)=490n-10n 2B n =500⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 2112112112 -60=500n-n 2500-100 (Ⅱ) B n - A n =(500n-n 2500-100)-(490n-10n 2)=10n 2+10n-n2500-100 =10()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+102501n n n 因为函数y=x(x+1)-x 2500-10在(0，+∞)上为增函数 当1≤n ≤3时，n(n+1)- n 250-10≤12-850-10＜0 当n ≥4时，n(n+1)- n 250-10≥20-1650-10＞0 ∴仅当n ≥4时，B n ＞A n课前后备注。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
数列求和导学案
数列求和导学案（一）一、1、已知nn a 23=。
求n S2、5+55+555+…+555…5=3、求和。
)32()332()232()132(32n S n +⨯+⋯++⨯++⨯++⨯=4、已知n n n a 212-=。
求n S5、已知)1(1+=n n a n 求n S6、已知：2n a n =。
求n S二、总结数列求和方法三、课后练习1、已知)2(1+=n n a n ，求n S2、已知：13321-+⋅=-n a n n 。
求n Sn 个53、+++=2642a a S …12-⋅+n an4、)214121()4121(21n S +⋯+++⋯+++=5、数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别记作n S 与'n S ，如果32,122'2-+=-+=n n S n n S n n ,设n n n b a C ⋅=。
求}{n C 前n 项和n P 。
数列求和和与应用题导学案（二）1、求)12)(12(1751531311+-+⋯⋯+⨯+⨯+⨯n n 的和2、=+⋯⋯++++⋯⋯++++++n 3211321121113、=+++⋯⋯++++++11231321211n n4、设{a n }为等差数列，公差是d ,则=+⋯⋯++++-12127553311111n n a a a a a a a a5、=++⋯⋯+⋅+⋅+⋅)1(433221n n6、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液，用水填满，这样继续下去，一共倒了4次，这时容器里还有多少纯酒精？（保留到1位）7、某林场原有森林木材存量为a,木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，为了实验经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标，则x 的最大值是多少？（1g2=0.3）8、（选做）已知数列{a n }的前n 项和为210n n S n -=，数列{b n }的每一项||n n a b =，求数列{b n }的前n 项和。
学案2：6.4 数列求和
6.4 数列求和【知识回顾】1．等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝ ． 2．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝ ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝ ；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝ ．【要点整合】1．辨明两个易误点(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．2．数列求和的常用方法(1)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．【典例精析】 考点一__分组法求和__________________________已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．1.已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .考点二__错位相减法求和______________________(2015·浙江宁波高三模拟)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 2＋b 3＝10，a 3＋b 2＝7.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，记c n ＝S n 2·a n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .2.(2015·大庆市第二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }中，公差d ＝2，且b 1＋b 2＋b 3＝15.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .考点三__裂项相消法求和(高频考点)____________裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题． 高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度：(1)求前n 项和；(2)比较大小或不等式证明．(2014·高考广东卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）<13.3.(1)(2015·贵阳市适应性考试)已知数列{a n }是等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列．①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝2n ·（a n ＋2），求数列{b n }的前n 项和S n . (2)(2015·广东佛山南海区质检)已知等差数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝7.设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.以方程为背景的数列问题已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，a 2，a 4是方程x 2－10x ＋21＝0的两根．(1)求证：1S 2＋1S 3＋…＋1S n<1； (2)求数列{2－n a n }的前n 项和T n .【智能训练】1．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( )A ．990B ．1 000C ．1 100D ．99 2．(2015·山东济南期末)已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．203．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为________．4．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________．5．(2014·高考安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列{a n n}是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案【知识回顾】1．na 1＋n （n －1）2 d 2． S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．(2) n 2 (3) n 2＋n[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ，故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.[规律方法] 1.分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2．本题中求前2n 项和转化为求数列{22n }与{(－1)n n }的和，在求{(－1)n n }的和时，又利用了并项求和法．1.解：(1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0，∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0.∵公比q >1，∴q ＝3.又首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n .(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴b n ＋13a n ＝1＋2(n －1)． 即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1，前n 项和S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋b 1·q 2＝10，a 1＋2d ＋b 1·q ＝7，把a 1＝1，b 1＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2·q 2＝10，1＋2d ＋2·q ＝7， 消去d 得2q 2－q －6＝0，(2q ＋3)(q －2)＝0，∵{b n }是各项都为正数的等比数列，∴q ＝2.进而d ＝1，∴a n ＝n ，b n ＝2n .(2)S n ＝2n ＋1－2，c n ＝a n ·S n 2＝n ·(2n －1)＝n ·2n －n ， 设W n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2W n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，相减，可得W n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，T n ＝W n －（1＋n ）n 2＝(n －1)·2n ＋1－n 2＋n 2＋2. [规律方法] 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．2. 解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝2S n －1＋1(n ∈N *，n >1)，∴a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n >1)，又a 2＝2a 1＋1＝3，a 2＝3a 1，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝a 1·q n －1＝3n －1.∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5，又d ＝2，∴b 1＝b 2－d ＝3.∴b n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)×3n －2＋(2n ＋1)×3n －1，①∴3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n .②∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)×3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)×3n＝3＋2×3（1－3n －1）1－3－(2n ＋1)×3n ＝－2n ×3n .∴T n ＝n ×3n .[解] (1)令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *得[S n －(n 2＋n )](S n ＋3)＝0. 又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *.(3)证明：k ∈N *，4k 2＋2k －(3k 2＋3k )＝k 2－k ＝k (k －1)≥0，∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k ，∴1a k （a k ＋1）＝12k （2k ＋1）＝14k 2＋2k ≤13k 2＋3k＝13⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1. ∴1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）≤13⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<13. ∴不等式成立．[规律方法] 1.解答本题利用了裂项相消法，而解答此题的关键是借助于放缩，即14k 2＋2k ≤13k 2＋3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，即可相消． 2．利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. 3.解：(1)①设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2和a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得 (2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1.当d ＝－1时，a 3＝0与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去．所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .②b n ＝2n ·（a n ＋2）＝2n ·（2n ＋2）＝1n ·（n ＋1）＝1n －1n ＋1， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. (2)证明：设{b n }的公差为d ，∵b 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2.∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∵c n ＝1b n b n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.∵n ∈N *，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1（2n ＋1）（2n －1）>0. ∴数列{T n }是一个递增数列．∴T n ≥T 1＝13. 综上所述，13≤T n <12.[解] (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12， 从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. (2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2 ＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.解：(1)证明：∵x 2－10x ＋21＝0的两根为x ＝3或x ＝7，由题意得a 2＝3，a 4＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3a 1＋3d ＝7， 解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＝n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2， 当n ≥2时，S n ＝n 2>n (n －1)，∴1S 2＋1S 3＋…＋1S n <11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n <1. (2)∵2－n a n ＝2n －12n ，∴数列{2－n a n }的前n 项和T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，① ∴12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋…＋12n －2n －12n ＋1 ＝12＋2×122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝3－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n .【智能训练】1．【解析】选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.2．【解析】选C.S 20－2S 10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ，∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.3．【解析】a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－（2＋20）×102＝240－110＝130.【答案】1304．【解析】a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12. 【答案】－2 2n －1－125．解：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32. 所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.。
数列求和导学案
【学习目标】
1．能熟练地应用等差数列、等比数列前 n 项和公式解决有关数列求和问题； 2．掌握非等差数列、等比数列求和的几种常用方法.
【学习重、难点】
1．重点是倒序相加法、裂项相消法、错位相减法； 2．难点是能根据通项选择合适的方法求和.
课前自学案
n
项可以裂项 吗？如果可 以，用到的运 算方法是什 么？
[归纳领悟]：
4、错位相减求和法： 例 4.（2010· 四川高考)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6，前 8 项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
问题 3、我们知道通分运算：
1 1 1 1 ，也就是说 可以裂项为 n n 1 n(n 1) n(n 1)
1 1 .你能尝试仿照上述过程写出一些裂项运算的等式吗？ n n 1
问题 4、等比数列的前 n 项和公式推导过程对解自主探究第 5 题有什么启示作用 ？ 学法指导： 感知模型，听 分析，归纳通 性通法，看规 范格式、书 写. 例 1 中应用等 比数列求和 公式要注意 什么？
例 4 中如对字 母有什么要 求？怎么解 决呢？
[归纳领悟]：
【整合提升】------ 谈收获
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
数列求和的几种方法：
心得体会： 【课后强化】------ 一定行 1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ 2 A. 5 1 B. 30 7 C. 30 5 D. 6 ) 1 ，则 S8 等于( （n＋1）（n＋2） )
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
高中数学 第二章《数列数列求和问题》学案(2) 大纲人教版
高中数学 第二章《数列数列求和问题》学案（2） 大纲人教
版
一、学习目标：
1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和． 4．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项： 1(1)
n n ； 1(21)(21)n n ；
1n n ．
5．其它求和法：合并求和：求22222210099989721= ．
归纳猜想法，奇偶法等．
三、例题：
例1 求数列
311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S ．
2、 求数列112，13
4，158，…，（2n -1）＋ 12n ,…的前n 项和.
练习：
1．数列1111,4,7
,3612的前10项的和为 ． 2． ()()=+-++⋅+⋅+⋅121217
51531311n n ． 3.数列{}
n a 中n a =
n S = ．
4．数列1，21+，2221++，…，122221=++++n 的前n 项和n S ．
四、课外作业：做P60复习题。
数列求和(学案)
数列求和一、学习目标：1 进一步巩固等差数列和等比数列的求和公式。
2 会运用等差数列和等比数列的求和公式的推导方法和思想解决某些特殊数列的求和问题。
二、预习题纲：（1）等差数列的求和公式 （2）等比数列的求和公式（3）这两个公式是用何种方法推导出来的？三、基础巩固： （1）问题：通过上述练习：（1）你能总结出数列求和的哪些常用方法？ （2）具体问题该如何恰当地选择方法？()()1111(2)25588113132n n =++++⨯⨯⨯-⨯+n S 234(3)234nn s x x x x nx=+++++ 11(2)(4)24n S =++++1(2n )2n++···四、能力提升：五、课后探究：六、小结与反思：通过本节课的学习你掌握了哪些数列求和的方法，以及对这些方法如何恰当选择？ 七、布置作业| （1）完善本学案。
（2）预习：循环结构（见学案）()442x xf x =+3、已知:，()()1f x f x +-122010(2)201120112011S f f f =+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(1)112123123n=+++++++++++n S ()()()221(2)1121221222n -=+++++++++++n S 2222sin 1sin 2sin 3sin 89+++++(3)求和：{}()()1100143n n n a a n S-=--1、数列的通项公式 求{}112011112nn na a a a +=-=2、若数列满足 且，求S （1）求。
高中数学数列求和方法教案
高中数学数列求和方法教案
目标：学生能够熟练掌握数列求和的基本方法并应用于实际问题中。
教学内容：
1. 数列的概念及常见数列的表示方法
2. 等差数列求和公式的推导及应用
3. 等比数列求和公式的推导及应用
4. 各种数列求和的实际应用问题解题
教学步骤：
1. 引入问题：通过展示一段数列并让学生猜测下一个数的规律，引出数列求和的概念。
2. 探究数列求和方法：介绍等差数列和等比数列的定义，推导相应的求和公式并演示应用。
3. 练习：让学生通过练习题巩固所学知识，强化数列求和的运算技巧。
4. 实际应用：设计几个实际问题，让学生运用所学方法解决数列求和问题。
5. 总结：总结本节课学习的内容，强调数列求和方法的重要性和实际应用。
教学资源：教材、练习题、黑板、彩色粉笔
评估方式：开展小测验或出一些综合性问题让学生自主解答，检测他们对数列求和方法的
掌握程度。
拓展延伸：让学生自行搜索一些其他类型的数列求和方法，并进行分享，拓展学生的数学
思维。
教学反思：及时寻找学生在数列求和方法中的困难点并进行讲解，促进学生的学习效果。
注：本教案仅作参考，教师可根据实际情况灵活调整教学内容和步骤。
高中数学备课教案数列与数列求和
高中数学备课教案数列与数列求和高中数学备课教案数列与数列求和引言：数列与数列求和是高中数学重要的概念和方法之一。
本教案将系统介绍数列和数列求和的定义、性质以及解题方法，以便帮助学生全面理解和掌握相关知识点。
一、数列的概念和性质A. 数列的定义数列是按一定顺序排列的数的集合。
一般用字母表示，如：{an}、{bn} 等。
B. 数列的常见表示方法1. 通项公式：an = ...2. 递推式：an+1 = ... ，an = ...C. 数列的性质1. 求第 n 项的递推公式2. 求首项和公差3. 求前 n 项和的公式二、等差数列A. 等差数列的定义和性质1. 定义：等差数列是指相邻两项之差恒定的数列。
2. 通项公式：an = a1 + (n - 1)d3. 公差的计算：d = a(n+1) - an4. 前 n 项和公式：Sn = (a1 + a(n+1))n/2B. 等差数列的应用1. 求等差数列的第 n 项2. 求等差数列的前 n 项和3. 解决实际问题三、等比数列A. 等比数列的定义和性质1. 定义：等比数列是指相邻两项之比恒定的数列。
2. 通项公式：an = a1 * r^(n-1)3. 公比的计算：r = a(n+1) / an4. 前 n 项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)B. 等比数列的应用1. 求等比数列的第 n 项2. 求等比数列的前 n 项和3. 解决实际问题四、数列求和的综合应用A. 求和法则1. 等差数列求和法则2. 等比数列求和法则3. 部分和与求和公式的关系B. 数列求和在实际问题中的应用1. 平均数与数列求和的关系2. 等差数列的应用实例3. 等比数列的应用实例结语：通过本教案的学习，相信学生对数列与数列求和有了更全面的了解和掌握。
数列是数学中一个重要的概念，对于解决实际问题具有重要意义。
希望学生能够应用所学知识，提高解决问题的能力。
同时，也希望同学们在备课过程中能够灵活运用合适的教学方法，帮助学生更好地理解和掌握数列与数列求和的内容。
北师大版必修5高中数学1.1数列求和(2)导学案(二)
【学习目标】 1. 熟记数列 求和的五种方法：公式求和法，分组求和法，倒序相加法，裂项 相消法，错位相减法。 2. 能够对简单的数列求和问题进行分析、辨认，并选择正确的方法求解 【学习重点】 3. 重点：裂项相消法，错位相减法。 【学法指导】 自己通过查询资料，搜集整理裂项相消法，错位相减法的相关内容，并与 组内同学交流形成共识后完成基础学习。 【使用说明】
当堂检测 （A） 1、 已 知等差数列 an 满足：a3 7 ，a5 a7 26 . an 的前 n 项和为 Sn . （1） 、求 an 及 Sn ； （2） 、令 bn
1 （ n N ）,求数列 bn 的前 n 项和 Tn . an 1
2
2
(C)3 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn， 且 bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且 a5 ＝14，a7＝20. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝an·bn(n＝1，2，3…)，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，求 Tn.
Tn＝ －
7 2
1 3n－1 . n－2－ n 2·3 3
4
总结反思
5
6
总结反思
7
个 性 笔 记
（Ｂ） 2、错位相减法的适用范围是？
（一） 学习探究
（Ａ）探究一
1 已知数列 an 的通项 an = n(n 1) ，求数列的前 n 项和 sn.
(提示：本小题用裂项相消法)
1
（B）探究二
已知数列 an 的通项 an =n•3 , 求数列的前 n 项和 sn.
nபைடு நூலகம்
(提示：本小题用错位相减法)
（ 三）教与学反思 本节课你有哪些收获？请写下来，与组内的同学分享
数列求和学习教案
等比数列(děnɡ bǐ shù liè)
和一个
的对应项
之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比
数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
第5页/共46页
第六页，共46页。
考点一 分组转化法求和 命 1.分组、拆、拼、转化为 题 常数列或等差数列求和 点 2.转化为等比数列求和
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③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
⑤ n1 n2 (n 2)2
1 4
(
1 n2
(n
1 2)2
)
⑥
(2n
2n 1)(2n1
1)
1 2n 1
1 2n1 1
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4．错位相减法
等差数列(děnɡ chā shù liè)
如果一个数列的各项是由一个
数列{a n}中，a1 2, an1 an 4n 3,求数列的前 n项和sn
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第四页，共46页。
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成 两项之差
，在求和时中间的一些项可以相
互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①nn1＋1＝1n－n＋1 1. ②nn1＋2＝121n－n＋1 2.
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相
等或等于 同一个常数(chángshù)
，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加
法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
f
(x)
2
2x x
1
,
学案5数列求和[1].9.26doc
![学案5数列求和[1].9.26doc](https://img.taocdn.com/s3/m/fd169327a5e9856a5612602f.png)
学案：常见数列的求和学习目标:掌握一些数列求和的方法,并能利用数列求和解决一些数列问题. 学习重点:注意观察数列的特点与规律,对数列通项进行有效变形转化. 学习过程:1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩（3）12+22+32++ n 2=())12(161++n n n2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的裂项公式有： (1)=+)1(1n n (2)=+-)12)(12(1n n(3)=++)2)(1(1n n n (4)=++21n n二 过关练习：1.=-++-+-=100994321100 S2.求和1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ .3.数列1×4，2×5，3×6，…，n ×(n+3)，…则它的前n 项和n S = .4.=+++++++++++=nS n 3211321121115.若1161152642)12(531=++++-++++nn ,则n 的值为 . 6若数列{n a }的通项公为11++=n n a n ,则前n 项和=n S三 典例探究例1.设),,(,)1()(为常数a Z x a x f x f ∈=-+求的值)6()5()1()0()4()5(f f f f f f ++++++-+-例2.求和nn nx x x x S ++++= 3232例3.在数列{},中n a 11211++++++=n n n n a n ,12+=n n n a a b 又,求数列{}n b 的前n 项和n S .四 课堂练习：1.求和=-++++=nn n S 2128543212.)21(813412211nn +++++ = ；3.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++ 前n 项和n S = .4..等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++ ＝_______________.5.已知数列⎩⎨⎧-=)(n 2)(n 56为偶数为奇数nn n a 求n S6. 求：)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++。
数列与数列求和的应用教学案
数列与数列求和的应用教学案在数学教学中，数列与数列求和是一个重要的概念和技巧，具有广泛的应用。
通过教学案的设计和实施，可以帮助学生更好地理解数列与数列求和的概念和方法，并且提高他们的数学应用能力。
本文将就数列与数列求和的应用教学进行探讨。
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）了解数列和数列求和的概念；（2）掌握数列和数列求和相关的公式和方法；（3）能够应用数列和数列求和解决实际问题。
2. 过程与方法目标：（1）培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力；（2）注重启发式教学，激发学生的学习兴趣和主动性；（3）通过课堂练习和实际应用，培养学生的数学思维和创新意识。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1. 数列的概念和表示方法：数列是有序的一系列数按照一定规律排列而成的集合，可表示为{an}或者an，其中an表示第n个数。
2. 数列的常见类型：（1）等差数列：相邻两项之差相等，可表示为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：相邻两项之比相等，可表示为an=a1*r^(n-1)。
（3）斐波那契数列：每一项是前两项之和，可表示为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
3. 数列求和的方法和技巧：（1）等差数列求和：Sn=n/2*(a1+an)。
（2）等比数列求和：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
（3）其他数列求和方法：递推法、数学归纳法等。
4. 数列求和的实际应用：（1）金融领域：利率、复利计算等；（2）物理学领域：运动学问题中的位移、速度、加速度等；（3）生活中的应用：数列模型在生活中的应用实例。
三、教学过程1. 导入与激发兴趣：可以通过生动有趣的问题引导学生思考，如："小明存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推，请问他存了多少钱？"。
2. 知识讲解与概念引入：通过讲解数列的概念和表示方法来引入数列的内容，并结合具体的例子解释等差数列、等比数列和斐波那契数列的特点和应用。
数列求和导学案
《数列求和》导学案【学习目标】1．掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式．2．掌握一般数列求和的几种常见的方法．【课前导学】一、公式法1．直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和(1)等差数列的前n 项和公式n S ＝____________＝____________ ． (其中1a 为首项，d 为公差)(2)等比数列的前n 项和公式当1q =时，n S ＝______；当1q ≠时，n S ＝____________＝____________．(其中1a 为首项，q 为公比)2.一些常见数列的前n 项和(1)123n +++⋅⋅⋅+＝________________；(2)246n ++++＝________________； (3)13521n ++++-＝________________．二、几种数列求和的常用方法1．分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．2．裂项相消法：把数列的通项拆成__________，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的裂项公式：(1)1n （n ＋1）＝________________； (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝________________； (3)1n ＋n ＋1＝________________；(引例)某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（ ）【合作探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示．一 分组转化法求和1.2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n 项和Sn=_______.已知数列:1,则其前n 项和Sn=_______.(2)已知①求数列{an}的前10项和S10;②求数列{an}的前2k 项和S2k.二 裂项相消法求和10111112310_______.2482+++⋯+=n 1111111(1),(1),,(1),,224242-+++⋯+++⋯+⋯n n 25n 1 n a 2 n +⎧⎪=⎨⎪⎩变式【知能巩固】当堂达标练习1.求和n+++++++++++321132112111.2.数列121,341,581,7161,…,(2n －1)+n 21的前n 项之和为S n ，则S n 等于( ) (A)n 2+1－n 21 (B)2n 2－n +1－n 21 (C)n 2+1－121-n (D)n 2－n +1－n 21 4.已知函数4()42xx f x =+，则122013()()()201420142014S f f f =++= 5.求和11357(1)(21)n n S n -=-+-++--=6.已知：等差数列{}n a 中前n 项和为n S ，前6项和为36，最后6项和为180(6)n >，则n S ={}1S (2)n n n a a n n n =+已知数列中，求数列的前项和【课堂小结】【课后反思】。
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数列求和
学习目标
1．掌握数列求和的方法；2．能根据通项的特征选用相应的方法求和．
学习过程
1、分组求和法：
例1：23(21)(22)(23)(2)n n -+-+-++-；
变式：数列 ,21
)12(,,815,413,211n
n +-的前n 项和为n S ，则=n S （ ） A ．n n 2112-+ B ．12211--+n n C ．n n n 21122-+- D ．n n n 2
112
-+-
2、倒序相加法： 例2：设2
21
)(+=
x
x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求)0()4()5(f f f ++-+- )6()5(f f ++的值为（ ）
A ．23
B ．2
C ．22
D ．2
2
变式：已知函数对一切x R ∈，()(1)1f x f x +-= 求和：1221
(0)()()()()(1)n n S f f f f f f n n n n
--=+++⋅⋅⋅+++。
3、裂项相消法： 例3：求数列1(2)n n ⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S .
变式：1n S n =
+++
+.
4、错位相减法：
例4：求和：1122342n n -+++
+.
变式： 23123n n
n
S a a a
a =++++
.
1、分组求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。
2、倒序相加法：（证明等差数列前n 项和的方法）把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
3、裂（拆）项相消法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
相加过 程消去中间项，只剩有限项。
裂项的常用技巧有： ①
)11(1)(1k n n k k n n +-=+； ② )121
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ；
③
)(1
1n k n k
n k n -+=++
4、错位相减法：（证明等比数列前n 项和的方法） 若}{n a 为等差数列、}{n b 为等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用此法。
1. 和式221
1(12)(122)(1222)n -++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+= ( )
A ．1
2
2n n +-- B ．121n n +-- C ．22n n -- D ．21n n --
2.已知4()42
x
x f x =+，则1299100()()()()101101101101f f f f ++⋅⋅⋅++=（ ） A ．100 B ．51 C ．50.5 D ．50
3．和式1111
147(32)248
2
n n ⨯+⨯+⨯++-⨯
=（ ） A ．3442n n +-
B ．432n n +-
C ．3442
n
n +- D ．21n
n -- 4. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，2
3269a a a =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1
{}n
b 的前n 项
和.
5.已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=- （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．。