5-梁的剪力图与弯矩图

M/kN.m
例题3 梁由一个固定铰链支座和
q
一个辊轴支座所支承，但是
D 梁的一端向外伸出，这种梁
A
B
称 为 外 伸 梁 (overhanging
FAy
4a
a FBy
ql
beam) 。 梁 的 受 力 以 及 各 部 分尺寸均示于图中。试画出：其剪力图和弯矩图并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。
解：1．确定约束力
航向
航向
在Y8飞机主起落架 结构设计中的体现 车架大梁是受弯构件
5.2 梁的内力及其与外力的相依关系 5.2.1 梁的内力与梁上外力的变化有关
截面法
截面法确定任意横截面上的内力分量
用假想截面从所要求 的截面处将杆截为两部分 考察其中任意一部 分的平衡
由平衡方程求得横 截面的内力分量
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
5.2.3 剪力和弯矩的正负号规则
FQ
FQ 弯时针矩方剪M向力转F(QM动(Fy者Q或y为或M正FQ；zz))逆一一时使作针截方开用向部在转分动杆左者件侧为产负面生。顺上 使 截开部分逆时针方向转动；或者作用在右 侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为 正；反之为负。
a
O
M
q
E
4a
e
e
81qa2/32
B
a FBy
qa c b 7qa/4
qa2 b,c
D
7．确定剪力与弯矩 ql 的最大绝对值
从图中不难得到剪力与
弯矩的绝对值的最大值
qa x 分别为
d
FQ
＝9 max 4
qa
DE
C
B
2kN
1.5m
1.5m FRB
FQ/kN
e
1.11 f
1.11
O
0.89 a
0a
O
0.89 b ,c 0.89 d
1.335 b c
d,e
1.665
0.335
x
fx
0
M/kN.m
解：4．应用截面法确定控 制面上的剪力和弯矩值，并
将 其 标 在 FQ － x 和 M － x 坐 标
系中。
5．根据微分关系连图线
5.3 剪力方程与弯矩方程
3．建立Axy坐标系
以梁的左端A为坐标原点，建立Axy坐标系， 如图a所示。
5.3 剪力方程与弯矩方程
4．确定剪力方程和弯矩方程
以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截
开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力 FQ(x)和弯矩M(x)的正方向，如图（b）所示。 由左段梁的平衡条件
Fy＝0， FQD－FP＝0
MD＝0， MD＋FP Δ ＝0
FQD＝FP
M D＝FP Δ ＝FP 0＝0
【例题5.1】 图示之 一端固定另一端自由 的悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中 力FP及集中力偶MO 作用，如图所示。试 确定截面C及截面D上 的剪力
5.3 剪力方程与弯矩方程
5.4 剪力图与弯矩图
作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向 力，这时梁的横截面上只有剪力FQ和弯 矩M两种内力分量。表示剪力和弯矩沿 梁轴线方向变化的图形，分别称为剪力 图（diagram of shearing forces）和弯矩 图（diagram of bending moment）。
5.4 剪力图与弯矩图
因为梁上无分布载荷作 用，所以剪力FQ图形均为平 行于x轴的直线；弯矩M图形 均为斜直线。于是，顺序连
接FQ－x和M－x坐标系中的a 、b、c、d、e、f各点，便得
到梁的剪力图与弯矩图。
例题2
FRA
B A
1.5m
1kN.m
DE
C
B
1.5m
2kN
1.5m
FRB
5．确定剪力与弯矩的最 大绝对值
e
FQ/kN
【例题5.1】 图示之一端固定另一端自由的悬 臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集 中力偶MO作用，如图所示。试确定截面C及截 面D上的剪力
解：1．求截面C上的剪力和弯矩 用假想截面从截面C处将梁截开，取右段为研究对象，
在截开的截面上标出剪力FQC和弯矩MC的正方向，如图 （b）所示。 由平衡方程
是，AB段内弯矩图的形状
qa x
便大致确定。为了确定曲 线的位置，除AB段上两个
d 控制面上弯矩数值外，还
需确定在这一段内二次抛
x 物线有没有极值点，以及 d 极值点的位置和极值点的
弯矩数值。从剪力图上可
以看出，在e点剪力为零
。
例题3 A FAy FQ a 9qa/4 O
a
O
M
q
E
4a
B
a FBy
例题2
A
FRA
1.5m
1kN.m
1.5m
简支梁受力的大小和方向如图示
B
。
2kN
1.5m
FRB
试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。 解：1．确定约束力 根据力矩平衡方程
M A＝0， M B＝0
求得A、B 二处的约束力 FRA＝0.89 kN , FRB＝1.11 kN
1kN.m
Fy＝0， FQC－FP＝0
MC＝0， MC－MO＋FP l＝0
FQC＝FP
M C＝M O－FP l＝2FPl FPl＝FPl
解：2．求截面D上的剪力和弯矩
从截面D处将梁截开，取右段为研究对象。假设D、B两
截面之间的距离为，由于截面D与截面B无限接近，且位 于截面B的左侧，故所截梁段的长度。在截开的横截面 上标出剪力FQD和弯矩MD的正方向，如图（c）所示。由 平衡方程
a
O
M
q
D
B
5．根据微分关系连
图线
4a
a ql FBy
对 于 剪 力 图 ： 在 AB 段 ，因有均布载荷作用，
剪力图为一斜直线，于
qa
qa
x
是连接a、b两点，即得
这一段的剪力图；在
c
d
b 7qa/4
CD 段 ， 因 无 分 布 载 荷 作用，故剪力图为平行
x 于x轴的直线，由连接c
qa2
d
b,c
、d二点而得，或者由
B A
FRA
1.5m
DE
C
B
2kN
1.5m
1.5m
FRB
FQ/kN
x O
x O
M/kN.m
例题2
解：2．确定控制面
在集中力和集中力偶作用处的 两侧截面以及支座反力内侧截面
均为控制面，即A、B、C、D、 E、F各截面均为控制面。
3．建立坐标系
建立FQ－x和M－x坐标系
例题2 B A
FRA
1.5m
1kN.m
件上的外力相平衡；
在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的
规律变化；
梁的内力变化的一般规律
结论
梁各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
5.2.2. 控 制 面
控制面的概念
外力规律发生变化截面—集中力、集中力 偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横 截面。
控制面的概念
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一 种函数规律变化，这一段杆的两个端截面 称为控制面（control cross-section）。据 此，下列截面均可为控制面：
e
qa
c b 7qa/4
e
81qa2/32
qa2 b,c
D 6．确定弯矩图极值点 的位置。
q
ql
A
E
xE
ME
qa x
FAy＝
9 4
qa
d
Fy＝0，
9 4
qa

q
xE＝0
x
M＝0，
M
E

qxE2 2
＝0
d
x
＝9 E4
a
M
＝
E
1 2
qxE2＝
81 32
qa
2
例题3 A FAy FQ a 9qa/4 O
其中任一点作平行于x 轴的直线而得。
例题3 A FAy FQ a 9qa/4 O
a
O
M
q
E
4a
B
a FBy
e
qa
c
b 7qa/4
e
81qa2/32
qa2 b,c
D
5．根据微分关系连图线
对于弯矩图：在AB段，因
有均布载荷作用，图形为
ql 二次抛物线。又因为q向 下为负，弯矩图为凸向M
坐标正方向的抛物线。于
例题2
FRA
B A
1.5m
1kN.m
DE
C
B
1.5m
2kN
1.5m
FRB
FQ/kN
e
1.11 f
1.11
O
0.89 a
0a
O
0.89 b ,c 0.89 d d,e
1.335 b 1.665 c
0.335
x
fx
0
从所得到的剪力图和弯矩 图 中 不 难 看 出 AB 段 与 CD 段 的剪力相等，因而这两段内 的弯矩图具有相同的斜率。 此外，在集中力作用点两侧 截面上的剪力是不相等的， 而在集中力偶作用处两侧截 面上的弯矩是不相等的，其 差值分别为集中力与集中力 偶的数值，这是由于维持DE 小段和BC小段梁的平衡所必 需的。建议大家自行加以验 证。
力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支 座A与支座B处铅垂方向的约束力相同。于是，根据 平衡条件不难求得：