插值回归分析解决人寿保险额

统计回归模型
一
根据题目提示，我们知道：
1风险偏好数值越大，就表示越偏爱高风险，
2年均收入与人寿保险额存在着二次关系，
3风险偏好度与人寿保险额存在线性效应关系，
4风险偏好与人寿保险额可能存在着二次效应或二者有交互效应。

根据表格：
二：作出假设如下：
1风险偏好度对人寿保险额有二次效应；
2风险偏好度和年收入对人寿保险额有交互效应；
3年均收入与人寿保险额存在着二次关系，
符号说明：
y——人寿保险额
x——经理的年平均收入
1
x——风险偏好度
2
β——回归系数（i=0、1、2、3,4）
i
ε——随机误差
2
R——回归方程的决定系数
F——统计量值
p——与统计量对应的概率值
初步模型与散点图拟合
通过上图我们很容易发现，随着x1的增长，y有明显的向上弯曲增加的趋势，图中的曲线可以近似用二次函数模型表示，
y=β0+β1x1+β2x12 +ε（1）
通过上图我们发现当x2增大时，y有增大趋势，而且有一次线性关系趋势，我们就用一次函数表示y与x2的关系如下，
y=β0+β1x2 +ε（2）
根据以上两幅散点拟合图形及（1）（2）模型综合分析，建立以下模型：
y=β0+β1x1+β2x12+β3x2+ε（3）（3）式右端的x1和x2称为回归变量（自变量），β0+β1x1+β2x12+β3x2是给定价是给定年平均收入x1,风险偏好度x2时，人寿保险额y的平均值,
其中的参数β0，β1，β2，β3称为回归系数，由表1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果模型选择得合适，ε应大致服从均值为零的正态分布
模型求解：
直接利用MATLAB统计工具箱中的regress求解，使用如下：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
x=[1 7 66.290 4394.3641
1 5 40.964 1678.0493
1 10 72.996 5328.4160
1 6 45.010 2025.9001
1 4 57.204 3272.2976
1 5 26.85
2 721.0299
1 4 38.12
2 1453.2869
1 6 35.840 1284.5056
1 9 75.796 5745.0336
1 5 37.408 1399.3585
1 2 54.376 2956.7494
1 7 46.186 2133.1466
1 4 46.130 2127.9769
1 3 30.366 922.0940
1 5 39.060 1525.6836
1 1 79.380 6301.1844
1 8 52.766 2784.2508
1 6 55.916 3126.5991];
>> y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]';
>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
其中输入y为模型（3）中y的数据（n维向量，n=18）,x为对应于回归系数β=(β0，β1，β2，β3)的数据矩阵[1 x1 x1^2 x2](n*4矩阵，其中第一列全为1)，alpha为置信水平@（缺省时@=0.05）；输出b为β的估计值，计作β^,bint为b的置信区间，r为残差向量y-x*β^,rint为r的置信区间，stats为回归模型的检验统计量，有3个值，第1个回归方程的决定系数R^2(R是相关系数)，第2个是F统计量值，第3个是与F统计量对应的概率值p.
得到模型（3）的回归系数估计值及置信区间（置信水平@=0.05），检验统计量R^2，F，p。

结果分析：
上表显示，R^2=1指应变量y(人寿保险额)的 1.0e+004 * 0.0001可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于@，因而模型三整体上是可以用的。

表2显示检查他们置信区间得到，β0，β1，β2，β3都未包含零点，表明回归变量x1，x2都是显著的。

表2的回归系数给出了模型（3）中β0，β1，β2，β3 ，即β0=-62.3486，β1=0.8396，β2= 5.6846，β3= 0.0371。

因此，该模型还是可用的，为了更好地理解风险偏好度和经理年平均入对人寿保险额的关系，对此进行改进。

模型改进II：
模型（3）中回归变量x1和x2对因变量y的影响是相互独立的，即经理的年平均收入x1和人生保险额y之间存在二次关系，并风险偏好度与人寿保险额y有线性关系，
根据经验可以猜想，风险偏好度对人寿保险有二次关系，于是将模型（3），增加一项
即；y= β0+β1x1+β2x2+β3 x22 +β4 x12 +ε（5）
上表的回归系数给出了模型（5）中的估计值β0，β1，β2，β3 ，β4，
即-60.9101，0.9303， 4.4529，0.0359，β4=0.1159,则人寿保险额的估计值：
y =-60.9101+0.9303x1+4.4529x2+0.0359x22 +0.1159x12,
与模型（3）的结果相比，与表3检查它们的置信区间发现只有β4的置信区间包含零点，表明回归变量x12不是太显著的，因此，β4的估计值是不可靠的，要对模型（5）进行残差分析，
利用matlab，在程序运行结束时打入rcoplot(r,rint)就会出现下图：首次回归所得图5.1
图2.1个异常数据，剔除第3第5数据后再次回归，得到回归分析图2.2
再次踢出第五个数据再次得到回归分析图2.3
再次踢出第9，10数据后的回归分析图2.4
数据正常
结果其如表四：
在经过几组数据的踢出，使得模型的各估计值更为有了提升，无异常数据，该模基本可用。

所以通过模型二的建立，其各计值-63.2111， 1.0998，
3.4542，0.0340，β4=0.2450,则其预测方程为
y =-63.2111+1.0998x1+3.4542x2+0.0340x22 +0.2450x12 从中我们可知人寿保险额y与风险偏好度x1有二次关系
该模似乎可以使用了，但是为了得到人寿保险额y是否与风险偏好度x1和经理年收入x2有交互效应，我们将对模型（5）进行再次改进。

模型Ш
为进一步的了解人寿保险额y与风险偏好度x1和经理的年平均收入x2是否有交互效应
x2的乘积表示风险偏好度x1和经理的年平均收入x2交不妨简单的用x1
，
互效应，于是将模型（5）进一步改进得到
y= β0+β1x1+β2x2+β3 x22 +β4 x12 +β5 x1x2 + ε（6）
在这模型中，假设风险偏好度x1和经理的年平均收入有关，下面我们通过分析作出了y跟x1，x2乘积的散点图和拟合曲线，见如下表所示：
利用matlab统计工具得到下表的回归系数估计值及其置信区间（置信水平
与模型（3）的结果相比，表3的回归系数给出了模型（5）中的估计值β
0，β
1
，
β2，β 3 ，β4，
即β
0= -65.3853，β
1
= 1.0172，β
2
=5.2172，β
3
= 0.0358，β4=0.1661, β5=-0.0196
则人寿保险额的预测方程为
y=-65.3853+1.0172x
1+5.2172x
2
+0.0358x
2
2+0.1661x
1
2-0.0196x1x2，
根据表3检查它们的置信区间发现有β
4,β
5
的置信区间包含零点，表明回
归变量x
1
2，x1x2不是显著的，对此不能正确判断，需对模型（6）作残差分析，首次进行得到图6.1
踢出第3,5个数据后的回归分析图6.2如下所示：
再出第5个数据后的回归分析图6.3下所示：
通过这三次的残差回归分析，踢出几组数据后，各数据都能表示人寿保险额y 与风险偏好度x1和经理年平均收入x2的关系，可通过残差回归分析检查得到， 最后的数据发现β5的置信区间包含零点，因为数据有限，故本次模型不再对β5进行残差分析和数据剔除，从而认为x 1x 2对y 的影响不是太显著，我们将变量x 1x 2从模型（6）中去掉。

结果分析：
经过几次模型改进，发现存在的问题，通过残差回归分析，几次数据的踢出，得到的改进模型使数据更有说服力，模型显示表明人寿保险额y 与风险偏好度x1有二次关系；与x 1x 2无关。

所以，模型（5）的预测方程为
221221y 63.21111.0998x 3.4542x 0.0340x 0.2450x =-++++
五.模型结果
通过以上模型（3）和模型（4）的分析和求解过程，可以看到，模型（3）是最理想的，也与我们的假设相一致，则该问题的数学模型为：
221162.3489 5.68460.83960.0371y x x x =-+++
只需要知道风险偏好度x2和人寿保险金额x1,就可以计算预测值y^.
六、模型的优缺点
此模型的优点是，能通过简单的风险偏好度和年均收入这两组数
据得到经理人的人寿保险额，为应用（或使用者）提供了方便。

但是考虑到人寿保险行业的特殊性，影响一个投保人投保额的大小的因素并不只有题中提到的两种，比如投保人的身体健康状况对其投保额的多少或者当时的社会稳定状态等都会有一定的影响，由于模型只有两个参变量，模型过于粗糙，不能很好地反应现实问题，只能为现实问题提供粗略的估计。

应该增加些额外的参变量（当然这些变量应该与保险额相关）对模型加以推广，像职业、健康、年龄这些因素等。