LP对偶理论
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运筹学 第3章 LP的对偶问题与灵敏度分析
原问题目标函数的系数是其对偶问题约束条件 的右端项。
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0
3 LP问题的对偶理论
他/她——生产资料租用 者的投入： 租赁工厂的生产设备， 支付工时费和材料费， 考虑怎样的租赁价格可 以接受？
我——生产资料所有 者， 如何为每种资源定价？
产品A 产品B 资源限量 劳动力 设 备 原材料 利润元/kg 9 4 3 70 4 5 10 120 360 200 300
仅为理解“对偶规划”的意义 而设，现实生活中不存在“不劳 而获”的案例。如有发现“不劳 而获”存在，纯属巧合！ 切勿认为“不劳而获”发生在 别人身上，也会发生在自己身上。
对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“=”
1、给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量yi(i=1,2,…，n); 2、使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约束条件的右端 常数； 3、使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶问题目标函数的 系数； 4、将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问题目标 函数的系数； 5、改变约束条件不等号的方向，即将“≤”改为“≥”； 6、原问题“max”型，对偶问题为“min”型
思路
在考虑定价时，肯定要和生产A、B时的情 况进行比较，起码应当使两种情况下的总 利润相等。
产品A 产品B 资源限量
价格嘛…… 好商量， 好商量。只 是…... 王 老 板 李 老 板
Hi：王老板，听 说近来家具生意 好惨了，也帮帮 兄弟我哦!
劳动力 设 备 原材料 利润元/kg
9 4 3 70
m aij yi cj j 1,2,, n s.t. i 1 i 1,2,, m yi符号不限，
8对偶LP及对偶单纯形法
原问题 对偶问题 （对偶问题）
原始规划与对偶规划是同一组数 据参数,只是位置有所不同,所描 述的问题实际上是同一个问题从 另一种角度去描述.
（原问题）
线性规划的对偶模型
Page 10
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负; 目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负.
LP：min Z C X
如何安排生产， 使获利最多？
最优解为 x (4, 2)T 最优值为 zmax 14
Page 6
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定 出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种 机器的机时如何定价才是最佳决策？
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
本节主要内容
线性规划的对偶模型 对偶性质
Page 2
对偶单纯形法
学习要点： 1. 掌握线性规划的对偶形式
2. 掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤
对偶现象普遍存在
Page 3
“对偶”，在不同的领域有着不同的诠释。在词 语中，它是一种修辞方式，指两个字数相等、结构 相似的语句，旨表达出相关或相反的意思。如： “下笔千言，离题万里” “横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛” “天高任鸟飞，海阔凭鱼跃” 数学上也有如下对偶例子： 周长一定，面积最大的矩形是正方形； 面积一定，周长最小的矩形是正方形。
0T Y Xs 0 T 0 Ys X 0
互补松弛条件
其中：Xs为松弛变量、Ys为剩余变量.
对偶性质的应用
Page 21
借助以上性质可以证明，在用单纯形法求解原问题的迭代 过程中，单纯形表右列中的元素对应于原问题的基本可行解， 底行中松弛变量对应的元素恰好构成对偶问题的基本解。逐次 迭代下去，当底行对应于对偶问题的解也变成基本可行解（底 行元素全非负）时，原问题和对偶问题同时达到最优解. 即此 时对偶问题的这个基本可行解就是它的最优解。 用单纯形方法求解原线性规划的过程中，每次迭代都保证 得到原问题的一个基本可行解，底行某些元素对应于对偶问题 的基本解. 单纯形法的迭代的过程既可以看作使原问题的基本 可行解逐步变为最优解（此时底行元素非负)的过程，也可看 作使对偶问题的基本解逐步变成基本可行解的过程。
原始规划与对偶规划是同一组数 据参数,只是位置有所不同,所描 述的问题实际上是同一个问题从 另一种角度去描述.
（原问题）
线性规划的对偶模型
Page 10
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负; 目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负.
LP：min Z C X
如何安排生产， 使获利最多？
最优解为 x (4, 2)T 最优值为 zmax 14
Page 6
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定 出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种 机器的机时如何定价才是最佳决策？
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
本节主要内容
线性规划的对偶模型 对偶性质
Page 2
对偶单纯形法
学习要点： 1. 掌握线性规划的对偶形式
2. 掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤
对偶现象普遍存在
Page 3
“对偶”，在不同的领域有着不同的诠释。在词 语中，它是一种修辞方式，指两个字数相等、结构 相似的语句，旨表达出相关或相反的意思。如： “下笔千言，离题万里” “横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛” “天高任鸟飞，海阔凭鱼跃” 数学上也有如下对偶例子： 周长一定，面积最大的矩形是正方形； 面积一定，周长最小的矩形是正方形。
0T Y Xs 0 T 0 Ys X 0
互补松弛条件
其中：Xs为松弛变量、Ys为剩余变量.
对偶性质的应用
Page 21
借助以上性质可以证明，在用单纯形法求解原问题的迭代 过程中，单纯形表右列中的元素对应于原问题的基本可行解， 底行中松弛变量对应的元素恰好构成对偶问题的基本解。逐次 迭代下去，当底行对应于对偶问题的解也变成基本可行解（底 行元素全非负）时，原问题和对偶问题同时达到最优解. 即此 时对偶问题的这个基本可行解就是它的最优解。 用单纯形方法求解原线性规划的过程中，每次迭代都保证 得到原问题的一个基本可行解，底行某些元素对应于对偶问题 的基本解. 单纯形法的迭代的过程既可以看作使原问题的基本 可行解逐步变为最优解（此时底行元素非负)的过程，也可看 作使对偶问题的基本解逐步变成基本可行解的过程。
线性规划对偶理论
线性规划对偶理论前言线性规划（linear programming, LP）是一种求解线性模型的算法，该算法可以在目标函数下寻找最佳的解决方案。
通常情况下，线性规划可以被看作是一种最优化问题，其目的是在满足一组约束条件的前提下，找到可以最大化或最小化目标函数的变量值。
而对偶理论是线性规划问题中的重要概念之一，在很多情况下，使用对偶理论能够有效地求解出更优的解答。
线性规划与对偶理论在介绍线性规划对偶理论之前，我们先来简单了解一下线性规划的概念。
线性规划可以被定义为一组决策变量的线性函数，该函数的取值范围应在满足一组线性方程（或不等式）约束条件的前提下，使得目标函数达到最小（或最大）值。
换句话说，线性规划要求我们在可接受的条件下，寻找到最优的决策变量值。
围绕这种思想，我们可以进一步探讨线性规划的对偶问题。
在实践中，我们常常会面对一些较复杂的线性规划问题，此时我们可以使用对偶理论对其进行简化处理。
形式化地说，对于一个线性规划问题，我们可以构建一个对应的对偶问题，二者之间的关系可以被描述为一种对称的互补关系。
具体而言，在每个线性规划问题中，我们可以根据不同的约束条件求出一个对应的乘法因子，这个乘法因子可以在构建对偶问题时被使用。
通过这种方式，我们总是可以在对偶问题中找到一组最优解，而这组最优解实际上是原始问题的一个下界。
同时，我们可以利用对偶问题的最优解来求解原始问题的最优解，这种方法被称为对偶算法。
相比于原始的线性规划问题，对偶问题有着更为简洁的约束条件和更为易于求解的优化问题，因此其求解效率较高。
对偶问题的分析与求解在实际求解中，我们通常需要对给定的线性规划问题进行对偶化处理，并使用一系列的对偶算法来求解对偶问题。
下面，我们将会举两个例子来说明对偶问题的分析与求解。
例1：最小费用最大流问题最小费用最大流问题是一种最优化问题，其目的是在给定图中求出最大流量下的最小费用。
在具体求解中，我们可以通过建立一个对应的线性规划问题，并将其对偶化得到一个更加简洁的对偶问题。
线性规划的理论与实例分析
线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。
本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。
（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。
例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。
（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。
例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。
（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。
例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。
通常用不等式或等式形式表示。
二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。
三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。
（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。
单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。
单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。
4-LP对偶单纯形法12
− 1) A B1 b ′ ≥ 0 b ′ = b + ∆b, 而基变量的取值（ 最优解） 原来的最优基仍是最优 基，而基变量的取值（ 最优解）
生变化。 和目标函数最优值将发 生变化。
− 新问题的最优解为 x B = AB1 ( b + ∆ b ), x N = 0
T − 新问题的最优值为 f = c B A B 1 ( b + ∆ b ) = b T y + y T ∆ b ∂f 把约束看作资源限制， = y i − − 把约束看作资源限制， y i 给出每增加一 ∂ bi
的改变量， 个单位第 i种资源所引起的最优值 的改变量， y i 为第 i种资源的影子价格。 种资源的影子价格。
改变右端向量b 2. 改变右端向量b为 b′
min c T x s .t . Ax = b, x≥0
− 最优解为 x B = AB1 b, x N = 0, T − 目标函数最优值为 f = c B AB1 b,
(1 ) 最优性条件
min z = c T x s .t . Ax = b, x≥0 −T y := AB c B 对偶可行 ,
(LP )
对应的原始基本解 x : 基变量指标集 B , 非基变量指标集 N
AN := AB AN .
T −1
min
z = c B b − c B AN x N + c N x N = c B T b + (c T − c T A ) x N B N N −1 s.t. x B = AB b − AN x N ,
2. 扩充问题有最优解
(x , x
*
ห้องสมุดไป่ตู้
* n+ 1），则 +
LP对偶理论
2x1 -x2+3x3+x4+x5 3
xi 0 ( i =1 … 5 )
其对偶解 y1﹡ =4/5
y2﹡ =3/5
Z﹡ =5
用对偶理论求(P)的最优解
36
解：(D)为
maxZ =4y1+3y2
y1+2y2 2 ①
y1 - y2 3
2y1+3y2 5
②
③
y1+y2 2
3y1+y2 3
3y1' -3y1 " +4y2 5 -2y1' +2y1 " +y2 6 y1' , y1 ", y2 0 令 y1 = y1' -y1 " minW=7y1 +9y2 3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1自由 , y2 0
9
(3)、原问题第k个约束为等式，对偶问题第 k个变量是自由变量。
33
(P)
(D)
9
5
8
0
0
x1
CB 0 0 CB 0 9 xB x4 x5 xB x4 x1 0 5 1 9 2 1 9 3 1 0 0 1
x2
5 1 1 -4 -2 1
x3
8 1 8 -64 -23 8
x4
0 1 0 0 1 0
x5
0 0 1 -9 -3 1
34
(P)最优解(0, 9, 0, 4, 64), = 9
(P)
AX≤ b X 0 minW=yb
(D)
yA C y0
21
定理1、(弱对偶定理) X ，y 分别为(P), (D)的可行解，则有C X y b 证明：由A X b, y 0 由A y C, X 0 有 yA X y b 有 yA X CX
第2章 线性规划的对偶理论
≤9
y1≤0， y2≥0， y3无约束
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
1.本节以实例引出对偶问题; 2.介绍了如何写规范与非规范问题的对偶问题;
作业：教材P61 T 1、2 下一节：对偶性质
2.2 对偶性质
Dual property
2.2 对偶性质 Dual property
时得到最优解，C CB B 1 A 是 X＝（X B，X N）的检验数 CB CB B 1B 和
CN CB B1N 的合并。
令 Y CB B1 ,由 C CB B 1 A 0与 CB B 1 0 得
YA C Y 0
可见，这是Y是对偶问题的一个可行解。 思考：Y右边的部分是什么？
C X°≤Y°AX≤Y°b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的 线性规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划 的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶 问题的目标值。
2.2 对偶性质 Dual property
由这个性质可得到下面几个结论：
（1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下界； （DP）的任一可行解的 目标是（LP）的最优值的上界；
【例2.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x135x2x2108 x1 0, x2 0
【解】这是一个规范形式的线性规划，它的对偶问题求 最小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5yy1172yy22
y3 3y3
4
3
yi 0,i 1,2,3
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
LP对偶理论
16
4X2 12
1 2
4 0 0 4
X1
X2
8
16 12
(2 3)
X1
X2
2
设 y1 , y2 , y3 , y4分别为A, B, C, D设备的单价 y1
2 1 4 0 y2
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +44 3
y1 … y4 0
2 2 0 4
y3
y4
17
X=(8,24)T
minW=48y1+120y2 3y1+3y2 5 y1 +4y2 6 minW=48y1+120y2 +My5 +My6 3y1+3y2 -y3+y5 =5 y1 +4y2 -y4+y6= 6
18
48
y1 yB M M y5 y6 yB M 120 y5 y2 yB y1
2x1 -x2+3x3+x4+x5 3
xi 0 ( i =1 … 5 )
其对偶解 y1﹡ =4/5
y2﹡ =3/5
Z﹡ =5
用对偶理论求(P)的最优解
36
解：(D)为
maxZ =4y1+3y2
y1+2y2 2 ①
y1 - y2 3
2y1+3y2 5
②
③
y1+y2 2
3y1+y2 3
y xs≡ 0 xn+i yi = 0 ( i=1 … m )
…
( j=1 … n )
30
( ∵ xj
n j=1
运筹学之对偶理论
1.如果原问题是对目标函数CX求最大(小)值, 2.对偶问题就是对目标函数Yb求最小(大)值. 二,
对偶问题的一般规则
1.将原问题的不等式约束统一成 ≤ 的形式,对目标函数求最大值; 2.将原问题的不等式约束统一成 ≥ 的形式,对目标函数求最小值; 三, .原问题的每一个行约束(指除非负性条件外的线性等式或不等式约束) 对应对偶问题的一个变量. 1.若该行约束是不等式,则限制Yi ≥ 0 2.若该行约束是等式,则Yi 无符号限制. 四,原问题的每一个变量x j的相应的系数向量Pj = (a1 j , a 2 j , a mj )对应对偶问题 的一个行约束. 1.如果 原问题不等式 约束统一成 ≤ 的形式,且 该x j 有非负限制,则对应行约束为∑ aij y i ≥ c j ;
),对偶问题的形式 (一),对偶问题的形式 对称型对偶问题: 1,对称型对偶问题:已知 P,写出 D. , .
矩阵形式: 矩阵形式: P maxZ = CX AX ≤ b X≥0
D min W = Yb YA ≥ C Y≥0
例一, 例一,写出线性规划问题的对偶问题 max Z = 2 x 1 3 x 2 + 4 x 3
项目 A b C 目标函数 约束条件 决策变量
原问题 约束的系数矩阵
对偶问题 约束的系数矩阵的 转置
约束条件的右端项向量 目标函数的价值系 数系数向量 目标函数的价值系数系 约束条件的右端项 数向量 向量
max z = CX
AX ≤ b
minω = Y ′b A′ Y ≥ C ′
X ≥0
Y ≥0
二,线性规划的对偶理论
模型对比: 模型对比:
max Z = 10 x
1
+ 18 x
运筹学第2章 对偶理论
写出对偶问题
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
17LP对偶理论(运筹学)
lj
则求
Xk为换入变量
λk alk
28
(4)、以alk 为主元，换基迭代 为主元，
关于①的解释： ∗ 关于①的解释：第 l 个方程 (B-1 b)l= xil +Σ alj xj
j∈ N
即 xil = (B-1 b)l -Σ alj xj < 0 某xj 从0↗ 0 0
，xil不能变 不能变>0
②为保持λj ≤ 0 ，即对偶解可行性 为保持
∴ X最优 最优
3
定理3、 为 的最优基 的最优基， 定理 、B为(P)的最优基，则 y= CB B-1 是(D)的最优解。 的最优解。 的最优解 <称B为对偶最优基，y 为对偶最优解 称 为对偶最优基 为对偶最优基， 为对偶最优解> 证明：由 证明： CB B-1 b B-1 b y≥0
4
C- CB B-1 A B-1 A - CB B-1 ≤ 0
x1 x4
y3 y1
x2 x5
x3
y5
15
例： minω = 2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5 ≥ 4 (P) 2x1 -x2+3x3+x4+x5 ≥ 3 xi ≥ 0 ( i =1 … 5 ) y2﹡ =3/5 Z﹡ =5
其对偶解 y1﹡ =4/5
用对偶理论求(P)的最优解 用对偶理论求 的最优解
x≥0
9
x1 ( ym+1 … ym+n ) … xn ( j=1 … n ) ≡0
∴ ym+j • xj = 0
由 y(Ax-b)≡ 0 同理可得 y • xs≡ 0 xn+i • yi = 0 ( i=1 … m )
则求
Xk为换入变量
λk alk
28
(4)、以alk 为主元，换基迭代 为主元，
关于①的解释： ∗ 关于①的解释：第 l 个方程 (B-1 b)l= xil +Σ alj xj
j∈ N
即 xil = (B-1 b)l -Σ alj xj < 0 某xj 从0↗ 0 0
，xil不能变 不能变>0
②为保持λj ≤ 0 ，即对偶解可行性 为保持
∴ X最优 最优
3
定理3、 为 的最优基 的最优基， 定理 、B为(P)的最优基，则 y= CB B-1 是(D)的最优解。 的最优解。 的最优解 <称B为对偶最优基，y 为对偶最优解 称 为对偶最优基 为对偶最优基， 为对偶最优解> 证明：由 证明： CB B-1 b B-1 b y≥0
4
C- CB B-1 A B-1 A - CB B-1 ≤ 0
x1 x4
y3 y1
x2 x5
x3
y5
15
例： minω = 2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5 ≥ 4 (P) 2x1 -x2+3x3+x4+x5 ≥ 3 xi ≥ 0 ( i =1 … 5 ) y2﹡ =3/5 Z﹡ =5
其对偶解 y1﹡ =4/5
用对偶理论求(P)的最优解 用对偶理论求 的最优解
x≥0
9
x1 ( ym+1 … ym+n ) … xn ( j=1 … n ) ≡0
∴ ym+j • xj = 0
由 y(Ax-b)≡ 0 同理可得 y • xs≡ 0 xn+i • yi = 0 ( i=1 … m )
lp问题及其对偶问题的matlab求解实验原理
lp问题及其对偶问题的matlab求解实验原理线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于求解特定约束条件下的线性目标函数的最优值。
对于LP问题，可以通过求解其对偶问题来获得相同的最优解。
MATLAB提供了强大的优化工具箱，可以方便地求解LP问题和对偶问题。
要了解LP问题及其对偶问题的MATLAB求解原理，首先需要理解LP问题的基本概念和数学表达式。
LP问题的一般形式可以表示为：最小化：c^T * x约束条件：A * x <= bx >= 0其中，c是包含n个目标函数系数的列向量，x是包含n个决策变量的列向量，A是包含m个约束条件系数的矩阵，b是包含m个约束条件右端常数的列向量。
LP问题的对偶问题可以表示为：最大化：b^T * y约束条件：A^T * y <= cy >= 0其中，y是包含m个对偶变量的列向量。
在MATLAB中，我们可以使用linprog函数来求解LP问题，使用linprog函数的步骤如下：1. 定义目标函数的系数c，约束条件的系数矩阵A和右端常数向量b。
2. 调用linprog函数，传入目标函数系数c、约束条件系数矩阵A、右端常数向量b等参数，并指定求解的算法选项。
3. 获取求解结果，包括最优解x和最优目标函数值。
对于LP问题的对偶问题，可以使用线性规划工具箱中的dualize函数将LP问题转化为对偶问题，然后使用linprog函数求解对偶问题。
使用MATLAB求解LP问题和对偶问题的实验原理如下：首先，根据LP问题的数学表达式，定义目标函数的系数c、约束条件的系数矩阵A和右端常数向量b。
然后，调用linprog函数，传入定义的参数，并根据需要指定求解的算法选项。
接下来，获取求解结果，包括最优解x和最优目标函数值。
对于LP问题的对偶问题，使用dualize函数将LP问题转化为对偶问题。
最后，使用linprog函数求解对偶问题，并获取求解结果，包括对偶变量y和对偶目标函数值。
第二章对偶理论11资料讲解
即原问题有可行解且目标函数值无界（可达正无 穷），则其对偶问题无可行解；反之对偶问题有 可行解且目标函数值无界（可达负无穷），则其 原问题无可行解。（性质1，CX≤Yb，Yb≥CX）
如果原问题无可行解时，对偶问题无可行解或具 有无界解
对偶问题无可行解时，原问题无可行解或具有无 界解
（原问题有可行解，对偶问题无可行解，则原问 题有无界解）
元，生产一件乙产品需两种设备分别为5、1小时，盈利1 元。
从美佳公司来看，出让资源获得的利润应不少于自己组 织生产获得的利润。因此有：
y1 + 6y2 2
5 y1 +2 y2 1
5
要使收买成功，双方的要求都必 须满足，于是得到出让资源问题的 线性规划数学模型： min w=17 y1 +24 y2
显然，该企业愿意出让的条件是，出让的价格不应低
于同等数量资源由自己组织生产活动时获取的利润。
分析：设y1 , y2 分别表示单位时间（h）设备A 、设备B 的出让代价，则从东方公司来看，希望用最小的代价把全
部资源收买过来， 故有： min w=17 y1 +24 y2 因生产一件甲产品需两种设备分别为1、6小时，盈利2
（4）由此可知，原问题目标函数的最大值对应于 对偶问题的目标函数的最小值。CX＊ Yb
（具体见第三节基本性质）
11
§2 原问题与对偶问题
一、对偶关系（对称形式）
原问题
对偶问题
max z=CX
min w=Yb
st. AX b
st. YA C
X0
Y0
看书上表2.1，验证对应关系
对称性：LP的原问题与对偶问题之间存在对称关系，即 LP对偶问题的对偶是原问题 结论：LP对偶问题与原问题互为对偶。 看例2，通过例子得出结论 第一步，化为对称形式下的原问题形式；第二步，根据对 应关系写出其对偶问题；第三步，做一变换，得到原12问题
如果原问题无可行解时，对偶问题无可行解或具 有无界解
对偶问题无可行解时，原问题无可行解或具有无 界解
（原问题有可行解，对偶问题无可行解，则原问 题有无界解）
元，生产一件乙产品需两种设备分别为5、1小时，盈利1 元。
从美佳公司来看，出让资源获得的利润应不少于自己组 织生产获得的利润。因此有：
y1 + 6y2 2
5 y1 +2 y2 1
5
要使收买成功，双方的要求都必 须满足，于是得到出让资源问题的 线性规划数学模型： min w=17 y1 +24 y2
显然，该企业愿意出让的条件是，出让的价格不应低
于同等数量资源由自己组织生产活动时获取的利润。
分析：设y1 , y2 分别表示单位时间（h）设备A 、设备B 的出让代价，则从东方公司来看，希望用最小的代价把全
部资源收买过来， 故有： min w=17 y1 +24 y2 因生产一件甲产品需两种设备分别为1、6小时，盈利2
（4）由此可知，原问题目标函数的最大值对应于 对偶问题的目标函数的最小值。CX＊ Yb
（具体见第三节基本性质）
11
§2 原问题与对偶问题
一、对偶关系（对称形式）
原问题
对偶问题
max z=CX
min w=Yb
st. AX b
st. YA C
X0
Y0
看书上表2.1，验证对应关系
对称性：LP的原问题与对偶问题之间存在对称关系，即 LP对偶问题的对偶是原问题 结论：LP对偶问题与原问题互为对偶。 看例2，通过例子得出结论 第一步，化为对称形式下的原问题形式；第二步，根据对 应关系写出其对偶问题；第三步，做一变换，得到原12问题
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∴ X最优 最优
18
经济解释： 经济解释： W=yb=(y1 … ym )
b1 bm … = b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym
bi ： 第 i 种资源的数量 yi ：对偶解 bi增加 bi ,其它资源数量不变时,目标函数 其它资源数量不变时, 的增量 Z= bi yi yi ：反映 i 的边际效益(边际成本) 反映b 的边际效益(边际成本)
15
7.2 对偶问题解的性质 maxZ=CX AX≤ b (P) X≥0 minW=yb yA≥ C (D) y≥0
16
定理1、 弱对偶定理 弱对偶定理) 定理 、(弱对偶定理 分别为(P), (D)的可行解，则有 X ≤ y b 的可行解， 的可行解 则有C X ，y 分别为 证明：由A X ≤ b, y ≥0 证明： 由 yA ≥ C, X ≥0 有 yA X ≤ y b 有 yA X ≥ CX
19
应用 情况① 该资源有利可图， 情况① 某资源对偶解>0，该资源有利可图， 可增加此种资源量；某资源对偶解为0 可增加此种资源量；某资源对偶解为0，则不 增加此种资源量。 增加此种资源量。 情况② 直接用影子价格与市场价格相比较， 情况② 直接用影子价格与市场价格相比较， 进行决策，是否买入该资源。 进行决策，是否买入该资源。
§7 LP的对偶理论 的对偶理论
7.1 1 4 0 2
2 2 2 0 4 3
加工能力(小时 天 加工能力 小时/天) 小时 12 8 16 12
1
A B C D
销售收入
为产品1 设X1 ， X2 为产品 ，2的产量 的产量 2X1 +2X2 ≤ 12 X1 +2X2 ≤ 8 4X1 X1 X2 ≥0 maxZ= 2X1 +3X2 2 2 1 2 4 0 0 4 (2 3) X1 X2
所以 CX ≤ yA X ≤ yb
17
推论1 都有可行解， 推论 、(P), (D)都有可行解，则必都有最优解。 都有可行解 则必都有最优解。 推论2 有可行解, 推论 、(P)有可行解 但无有限最优解，则(D)无 有可行解 但无有限最优解， 无 可行解。 可行解。 定理2、 X , y 分别为 分别为(P), (D)的可行解，且 的可行解， 定理 的可行解 C X = y b , 则它们是 则它们是(P), (D) 的最优解。 的最优解。 证明：对任 ， 证明：对任X，有CX≤ y b =CX
2
12 X1 X2
≤ 16
4X2 ≤ 12
≤
8 16 12
分别为A, 设 y1 , y2 , y3 , y4分别为 B, C, D设备的单价 设备的单价 y1 2 1 4 0 2 2 0 4 y2 y3 y4
2y1 +y2 +4y3 ≥ 2 2y1 +2y2 +44 ≥ 3 y1 … y4 ≥ 0
13
或将原问题变形为 minZ= 4X1 +2X2 -3X3 X1 -2X2 2X1
≥-6
+3X3 ≥ 9
X1 +5X2 -2X3 = 4 X2 , X3 ≥0
14
对偶规划 maxW= -6y1 +9y2 +4y3 y1+2y2 + y3 = 4 -2y1 +5y3 ≤ 2 3y2 -2y3 ≤ -3 y1 , y2 ≥0 , y3自由
9
(3)、原问题第k个约束为等式，对偶问题第 、原问题第 个约束为等式 个约束为等式， k个变量是自由变量。 个变量是自由变量。 个变量是自由变量 原问题第k个变量是自由变量， 原问题第 个变量是自由变量，则对偶 个变量是自由变量 问题第k个约束为等式约束 个约束为等式约束。 问题第 个约束为等式约束。
≥
2 3
3
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4 y1 … y4 “影子价格” 影子价格” 影子价格 2 2 (y1 y2 y3 y4) 1 2 4 0 0 4
4
≥ (2,3)
定义： 定义： 原问题 maxZ=CX AX ≤ b X≥0 A 矩阵 A 对偶问题 minW=yb yA≥ C y≥ 0 矩阵 A y,C 行向量 b 列向量 minW=bTy ATy≥ CT y≥ 0 矩阵
7
解：
3X1 -2X2 ≤ 7 3X1 -2X2 ≥ 7 4X1 +X2 ≤ 9 maxZ= 5X1 +6X2 3X1 -2X2 ≤ 7 -3X1 +2X2 ≤ -7 4X1 +X2 ≤ 9 X1 , X2 ≥0 y1' y1 " y2
8
对偶问题 minW=7y1' -7y1 " +9y2 3y1' -3y1 " +4y2 ≥5 -2y1' +2y1 " +y2 ≥ 6 y1' , y1 ", y2 ≥ 0 令 y1 = y1' -y1 " minW=7y1 +9y2 3y1+4y2 ≥5 -2y1 +y2 ≥ 6 y1自由 , y2 ≥ 0
≥0 变量≤ 0
无限制
≥ 约束≤
＝
≥ 约束≤
＝
≤0 变量≥ 0 变量≥
无限制
11
例2、写对偶规划 minZ= 4X1 +2X2 -3X3 -X1+2X2 2X1
≤6
+3X3 ≥ 9
X1 +5X2 -2X3 = 4 X2 , X3 ≥0
12
maxW= 6y1 +9y2 +4y3 -y1+2y2 + y3 = 4 2y1 +5y3 ≤ 2 3y2 -2y3 ≤ -3 y1 ≤ 0 , y2 ≥0 , y3自由
10
对偶关系对应表
原问题 目标函数类型 目标函数系数 与右边项的对应关系 变量数与约束数 的对应关系 原问题变量类型与 对偶问题约束类型 的对应关系 原问题约束类型与 对偶问题变量类型 的对应关系 max 目标函数系数 右边项系数 变量数n 变量数 约束数m 约束数 对偶问题 min 右边项系数 目标函数系数 约束数 n 变量数m 变量数
X,b 列向量 C 行向量
y,b 列向量 C 行向量
5
“对称型” 对称型” 对称型
对偶问题的性质： 对偶问题的性质： (1)、对偶问题的对偶问题是原问题。 、对偶问题的对偶问题是原问题。 (2)、 maxZ=CX 、 AX= b X≥0 minW=yb yA≥ C y为自由 为自由
6
的对偶问题是
例1、写出下面问题的对偶规划 、 maxZ= 5X1 +6X2 3X1 -2X2 =7 4X1 +X2 ≤ 9 X1 , X2 ≥0
20