3.1.2两条直线平行与垂直的判定 教案设计

3.1.2两条直线平行与垂直的判定

●三维目标

1．知识与技能

(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．

(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．

2．过程与方法

(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．

(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．

3．情感、态度与价值观

(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．

(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．

(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．

●重点难点

重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．

难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．

重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．

●教学建议

本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？⇒引导学生回忆初中几何知识，先建立倾斜角同平行与垂直间的关系.⇒

通过引导学生回答所提问题理解斜率同直线的平行与垂直的关系.⇒

通过例1及其变式训练，使学生理解直线的平行同其斜率间的关系.

⇒通过例2及其变式训练，使学生理解直线的垂直同其斜率间的关系.⇒

借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒

完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课标解读

1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)

2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)

3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母

分类讨论．(易错点)

两条直线平行与斜率之间的关系

【问题导思】

1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？

【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．

2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？

【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂

直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．

两条直线平行与斜率之间的关系

设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对

应关系如下：

前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°

对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在

图示

两条直线垂直与斜率之间的关系

【问题导思】

1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？

【提示】α2＝α1＋90°.

2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？

【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．

两条直线垂直与斜率的关系

对应关系

l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，

则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1

l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜

率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示

两条直线平行关系的判定

12

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；

(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；

(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；

(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．

【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可．

【自主解答】(1)k1＝

1－(－2)

2－(－1)

＝1，k2＝

－1－4

－1－3

＝

5

4，k1≠k2，l1与l2不平行．

(2)k 1＝1，k 2＝2－1

2－1＝1，k 1＝k 2，

∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝

0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，k 1＝k 2，而k MA ＝3－1

－1－0

＝－2≠－1， ∴l 1∥l 2.

(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.

判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．

已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________.

【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2， ∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x ＝2. 【答案】 2

两条直线垂直关系的判定

12(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；

(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．

【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．

【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k

2

＝1，故l 1与l 2不垂直．

(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝1

10，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.

(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．